五点差分法(matlab)解椭圆型偏微分方程

用差分法解椭圆型偏微分方程

-(Uxｘ+Uyy)＝(pｉ＊pｉ—1)e^xｓin(ｐi＊y) 0＜x<2; 0

U(0,ｙ)=sｉn(pi*y),Ｕ(2,y)=e^2sin(ｐi＊y); 0=〈y＜=1

Ｕ(x,0)＝0, U(x,1)＝０; 0＝〈x〈＝２

先自己去瞧一下关于五点差分法得理论书籍

Matｌａb程序:

ｕnctioｎ [p e u x y k]=wuｄiaｎcｈafenfａ(ｈ,m,n,ｋｍax,ep)

% ｇ-ｓ迭代法解五点差分法问题

％kmａx为最大迭代次数

%ｍ,n为x,ｙ方向得网格数,例如(2—０)／0.0１=2０0;

％e为误差,p为精确解

syｍs ｔemp;

u=zerｏｓ(ｎ+1,m+1);

x=0+(0:m)*h;

y=0＋(0:ｎ)＊h;

for(i＝1:n+１)

u(i,1)=sin(ｐi*y(i));

ｕ(i,m＋1)=eｘp(1)*eｘｐ(1)*sｉn(pｉ＊y(i));

eｎd

for(i=1:n)

for(j＝1:ｍ)

f(i,j)=(pｉ＊pｉ－1)＊ｅxｐ(x(j))*sin(ｐｉ＊y(i));

end

end

t=zeros(ｎ—１,m－1);

ｆor(ｋ=1:kmaｘ)

for(i＝２:n)

for(j=２:m)

temp=h＊h＊f(i,j)／4+(ｕ(ｉ,j+１)+u(i,j－1)+u(i+１,j)+ｕ(i－1,j))／4;

t(i,j)=(ｔeｍｐ-u(ｉ,ｊ))*(temp－u(i,j));

ｕ(ｉ,j)=teｍp;

eｎd

end

t(ｉ,ｊ)＝sqｒｔ(ｔ(i,j));

ｉf(k〉kmax)

break;

eｎd

ｉf(max(maｘ(t))＜ep)

break;

end

ｅｎd

for(i=1:ｎ+1)

fｏr(j=１:m+1)

p(i,j)＝exp(x(ｊ))*sin(ｐi*y(i));

ｅ(i,j)=ａbs(u(i,j)－ｅxｐ(x(j))＊sin(ｐi＊y(ｉ)));

ｅｎd

End

在命令窗口中输入:

［p e u x y k]=wｕdiancｈafeｎｆa(０。１,20,１0,10００0,1e-6) k＝１47 surf(x,y,ｕ) ;

ｘｌabeｌ(‘x’);yｌabｅl(‘y’);zlabel(‘u’);

Tiｔｌe(‘五点差分法解椭圆型偏微分方程例１’)

就可以得到下图

suｒｆ(ｘ,y,ｐ)

ｓuｒｆ(x,y,e)

［pｅu x y k]=wudianchaｆenfa(0、05,40,20,１0０00,1e－６)

[p ｅu x y k]=wｕdｉanchafeｎfa(０、025,８0,40,1０000,１e-６)

为什么分得越小,误差会变大呢？

我们试试运行:

［ｐe u x y k］=wuｄiａnｃhafenfａ(0、０25,8０,4０,1000０,1e－8)

K＝2164

ｓｕｒf(ｘ,y,e)

误差变小了吧

还可以试试

［p e u x y ｋ］＝wudiaｎｃhafenfa(０、025,80,40,10000,1e-１０) K＝３３55

误差又大了一点

再试试

[p ｅｕx y k］＝wuｄｉａnｃｈａfｅnfa(０.025,8０,40,10００0,1e—11) k＝3952

误差趋于稳定

总结:

最终得误差曲面

与网格数有关,也与设定得迭代前后两次差值(eｐ,瞧程序)有关;固定网格数,随着设定得迭代前后两次差值变小,误差由大比变小,中间有一个最小值,随着又增大一点,最后趋于稳定。

也许可以去研究一下那个误差最小得地方或者研究趋于稳定时得临界值。