合工大《数字信号处理》习题答案
第2章
习 题
2.1用单位脉冲序列)(n δ及其加权和表示题1图所示的序列。 2.1)1()()1()2(2)4()(-+++-+++=n n n n n n x δδδδδ
)6(2)4(5.0)3(4)2(2-+-+-+-+n n n n δδδδ
2.2 请画出下列离散信号的波形。
(1))(21n u n
??
?
??
(2))()2(n u n
- (3))1(2
1
--n u n
(4))5()1(---n u n u
答案略
2.3 判断下面的序列是否是周期的,若是周期的,确定其周期。
(1))8
73cos()(π
π-=n A n x ,A 是常数; (2))8
1
()(π-=n j e n x 。
2.3 (1)
3
14
20
=
ωπ
,所以周期为14。 (2)
πωπ
1620
=,是无理数,所以)(n x 是非周期的。
2.4 设系统分别用下面的差分方程描述,)(n x 与)(n y 分别表示系统输入和输出,判断系统是否是线性非时变的。
(1))()(0n n x n y -= (2))()(2
n x n y = (3))sin()()(n n x n y ω= (4))()(n x e
n y =
2.4 (1)由于)()]([0n n x n x T -=
)()()]([0m n y n m n x m n x T -=--=-
所以是时不变系统。
)()()()()]()([21020121n by n ay n n bx n n ax n bx n ax T +=-+-=+
所以是线性系统。
(2))()()]([2
m n y m n x m n x T -=-=-,所以是时不变系统。
)()()]()([)]()([2122121n by n ay n bx n ax n bx n ax T +≠+=+,所以是非线性系统。
(3))()sin()()]([m n y n m n x m n x T -≠-=-ω,所以不是时不变系统。
)()()sin()]()([)]()([212121n by n ay n n bx n ax n bx n ax T +=+=+ω,所以是线性系
统。
(4))()()]()([21)()()]
()([212121n by n ay e e e n bx n ax T n bx n ax n bx n ax +≠==++,所以是非线性
系统。
)()]([)(m n y e m n x T m n x -==--,所以是时不变系统。
2.5 给定下述系统的差分方程,试判定系统是否是因果稳定系统,并说明理由。
(1))1()()(++=n x n x n y (2))()(0n n x n y -= (3))
()(n x e n y =
(4)∑+-==0
)()(n n n n k k x n y
2.5
(1)该系统是非因果系统,因为n 时刻的输出还和n 时刻以后()1(+n 时间)的输入有关。如果M n x ≤|)(|,则M n x n x n y 2|)1(||)(||)(|≤++≤,因此系统是稳定系统。 (2)当00 00≥n 时,系统是因果系统。如果M n x ≤|)(|,则M n y ≤|)(|,因此系统是稳定系统。 (3)系统是因果系统,因为n 时刻的输出不取决于)(n x 的未来值。如果M n x ≤|)(|,则 M n x n x e e e n y ≤≤≤)|(|)(|||)(|,因此系统是稳定系统。 (4)系统是非因果系统,因为n 时刻的输出还和)(n x 的未来值有关。如果M n x ≤|)(|, 则,M n k x n y n n n n k |12||)(||)(|0 +≤≤ ∑+-=因此系统是稳定系统。 2.6 以下序列是系统的单位冲激响应)(n h ,试说明该系统是否是因果、稳定的。 (1))(2)(n u n h n = (2))(2)(n u n h n -= (3))2()(+=n n h δ (4))(1 )(2n u n n h = 2.6 (1)当0 由于 ∞?+++=∑∞ -∞ =Λ210 222 |)(|n n h 所以系统不稳定。 (2)当0 由于 2222 |)(|210 =+++=--∞ -∞ =∑Λn n h 所以系统稳定。 (3)当0 由于 1|)(|∑∞ -∞ ==n n h 所以系统稳定。 (4)当0 由于 ∞?+++= ∑∞ -∞ =Λ2 22211101|)(|n n h 所以系统不稳定。 2.7设线性时不变系统的单位脉冲响应)(n h 和输入序列)(n x 如题 2.7图所示,试求输出 )(n y 。 2.7 ) ()]2(5.0)1()(2[)()()(n x n n n n x n h n y *-+-+=*=δδδ ) 5()4(2)3(5.4)2()1(2)(5.0)1()2(2) 2(5.0)1()(2-+-+-+-+-+-+-+-=-+-+=n n n n n n n n n x n x n x δδδδδδδδ2.8 设线性时不变系统的单位冲激响应)(n h 和输入)(n x 分别有以下三种情况,分别求出输出)(n y 。 (1))()(3n R n h =,)()(3n R n x = (2))()(4n R n h =,)2()()(--=n n n x δδ (3))(5.0)(n u n h n =,)()(5n R n x = 2.8 (1))()()()()(33n R n R n h n x n y *=*= ) 4()3(2)2(3)1(2)()]4()3()2([)]3()2()1([)]2()1()([) 2()1()()()]2()1()([3333-+-+-+-+=-+-+-+-+-+-+-+-+=-+-+=*-+-+=n n n n n n n n n n n n n n n R n R n R n R n n n δδδδδδδδδδδδδδδδδ(2))()]2()([)()()(4n R n n n h n x n y *--=*=δδ ) 5()4()1()()]5()4()3()2([)]3()2()1()([) 2()(44-----+=-+-+-+---+-+-+=--=n n n n n n n n n n n n n R n R δδδδδδδδδδδδ(3))()(5.0)()()(5n R n u n h n x n y n *=*= ) 4(5 .0)3(5 .0)2(5 .0)1(5 .0)(5.0)]4()3()2()1()([)(5.04 3 2 1 -+-+-+-+=-+-+-+-+*=----n u n u n u n u n u n n n n n n u n n n n n n δδδδδ 2.9 确定下列信号的最低采样率与奈奎斯特采样间隔。 (1))100(t S a (2))100(2 t S a (3))50()100(t S t S a a + 2.9 若要确定奈奎斯特采样间隔,必须先求出信号频谱的最高频率。 (1)抽样函数对应于门函数:)2/()(ωτττa S E t G →,其中τ为门函数的宽度。 由傅立叶变换的对称性知: )(2)2/(ωπτττG t S E a → 由题可知,200=τ。因此,此信号的最高频率是100弧度/秒。 因此,21002?≥s f π 即,π 100 = s f ,100 π= s T (2)信号为两个抽样函数的乘积,因此频谱应为两个抽样函数频谱的卷积。由卷积积分的结果来确定信号频谱的范围。 通过上一题目可知,)100(t S a 信号的最高频率为100弧度/秒,因此相卷积后的最高频率是200弧度/秒。 π 200 = s f ,200 π = s T (3)由傅立叶变换的线性,总信号的频谱为两个信号频谱的叠加,然后确定最高频率。 π 100 = s f ,100 π= s T 2.10 设系统由下面差分方程描述: )1(2 1 )()1(21)(-++-= n x n x n y n y 设系统是因果的, (1)求该系统的单位脉冲响应。 (2)利用卷积和求输入)()(n u e n x n j ω=的响应。 2.10 (1)x(n)=δ(n),因为y(n)=h(n)=0,n<0 所以h(0)=0.5y(-1)+x(0)+0.5x(-1)=1 h(1)=0.5y(0)+x(1)+0.5x(0)=1 h(2)=0.5y(1)+x(2)+0.5x(1)=0.5 ......h(n)=0.5y(n-1)+x(n)+0.5x(n-1)=0.5n-1 所以 h(n)= 0.5n-1 u(n-1)+δ(n) (2)y(n)=x(n)*h(n)= [0.5n-1 u(n-1)+δ(n)]* e jwn u(n) = [0.5n-1 u(n-1)]* e jwn u(n)+ e jwn u(n)= [e jwn -0.5n ]/ (e jw -0.5)u(n-1)+ e jwn u(n) 2.11有一理想抽样系统,抽样频率为π6=Ωs ,经理想低通滤波器)(Ωj H a 还原,其中 ?????≥Ω<Ω=Ωπ π3||, 03||, 2 1)(j H a 今有两个输入,t t x a π2cos )(1=,t t x a π5cos )(2=。输出信号)(1t y a 、)(2t y a 有无失真?为什么? 2.11 根据奈奎斯特定理: 因为t t x a π2cos )(1=,而频谱中最高角频率2621π π< =Ωa ,所以)(1t y a 无失真。 因为t t x a π5cos )(2=,而频谱中最高角频率2 652π π>=Ωa ,所以)(2t y a 失真。 2.12 有一连续信号)2cos()(?π+=ft t x a ,式中20=f Hz ,2 π ?= (1) 求出)(t x a 的周期; (2) 用采样间隔s T 02.0=对)(t x a 进行采样,试写出采样信号)(?t x a 的表达式。 2.12 (1)s f T a 05.01 == (2))()2cos()()()()()(?nT t fnT nT t nT x t t x t x n n a T a a -+= -==∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =δ?πδδ ∑∞ -∞ =-+= n nT t nT )()40cos(δ?π 第3章 习 题 3.1 求下列序列的z 变换,并标明收敛域。 (1))4()(-=n n x δ (2))(21)(n u n x n ??? ??= (3))1(21)(--?? ? ??-=n u n x n (4)n n x 1 )(= ,1≥n (5))1(5.0)(-=n u n x n (6)())(2.0)(n u n n x n = 答案: 3.1 解(1)由z 变换的定义可知, 4)4()(-∞ -∞ =-=-= ∑z z n z X n n δ,0≠z (2)102 11121)(21)(--∞ =∞ -∞=--=??? ??=??? ??=∑∑z z z n u z X n n n n n n ,21||>z (3)n n n n n n z z n u z X -∞ --=∞ -∞=-∑∑?? ? ??-=--??? ??-=121)1(21)( 1 1 2 1112-∞ =-= -= ∑z z n n n ,21 || =-= 1 1)(n n z n z X 由于∑∑∞ =----∞=-=-=-=1 2 11 11)()(1)(n n n n z z z z n n dz z dX ,1||>z 则z z z z z X -=--=1ln )1ln(ln )( 而)(z X 的收敛域和 ) () (z X z dX 的收敛域相同,所以)(z X 的收敛域为1||>z 。 (5)由于5.0)1(5.0)1(5.0)(1 -=-=-n u n u n x n n 所以5 .05 .05.05.0)(1 -= -=-z z z z z X ,5.0||>z (6)利用)]([) (11n nx ZT dz z dX z =- 由于2 .0)(1-= z z z X 所以2 21) 2.0(2.0)2.0()2.0()()(-=---=-=z z z z z z dz z dX z z X ,2.0||>z 3.2 已知2 11 2523)(---+--=z z z z X ,分别求: (1)收敛域为2||5.0< 3.2 2 2 1 2 5232523)(2 211-- -=+--=+--=---z z z z z z z z z z z X (1))1(2)(21)(--+??? ??=n u n u n x n n (2))(]221[)(n u n x n n -?? ? ??= 3.3 已知序列)(n x 的傅立叶变换为()j X e ω ,试求下列序列的傅立叶变换。 (1))()(01n n x n x -= (2))()(2n x n x * = (3))()(3n x n x -= (4)2 ) ()()(4n x n x n x +-=* (5))()1()(2 5n x n n x -= 3.3 (1)0 1()()j n j j X e e X e ωω ω-= (2)2()()j j X e X e ωω *-= (3)3()()j j X e X e ωω -= (4)由于DTFT[)(n x -*]=)(ω j e X * )](Re[2 ) ()()(4ωωωj j j jw e X e X e X e X =+=* (5)因为()()j j n n X e x n e ω ω∞ -=-∞ = ∑,所以 n j n j e jn n x d e dX ωωω-∞ -∞ =-=∑)()() ( 即 ω ωd e dX j n nx DTFT j ) ()]([= 同理 2 22 ) ()]([ω ωd e X d n x n DTFT j -= 而 )()(2)()()1()(225n x n nx n x n n x n n x +-=-= 252 ()()()2()j j j j d X e dX e X e j X e d d ωωω ω ωω =--+ 3.4 设题3.4图所示的序列)(n x 的傅立叶变换用()j X e ω表示,不直接求出()j X e ω ,完成下列运算: (1))(0 j e X (2) ωπ π ωd e X j ?- )( (3))(π j e X (4) ωπ π ωd e X j ?- 2|)(| 题3.4图(西电,丁玉美,P64,题5图) 3.4 (1)6)()()(00 == = ∑∑∞ -∞ =-∞ -∞ =n n j n j n x e n x e X (2) )(2)(n x d e e X n j j πωωπ π ω=?- ππωπ π ω4)0(2)(==?- x d e X j (3)211211211) 1()()()(=+-+--+-=-= = ∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =-n n n n j j n x e n x e X ππ (4) ππ ωπ π ω 28| )(|2|)(|2 2 ==∑?∞ -∞ =- n j n x d e X 3.5用留数定理法分别求以下)(z X 的z 反变换: (1)2 14 11211)(---- =z z z X , 21||>z ; (2)1 14 1121)(----=z z z X , 41 || 3.5 (1)1212 111411211)(---+= -- =z z z z X dz z z j n x n c 1 1 211121)(--?+=π,设c 为21||>z 内的逆时针方向的闭合曲线。 当0≥n 时,n n z z z z 211 211111+=+-- 在c 内有21 -=z 一个单极点,则 )()21 (]21,2 11[Re )(n u z z s n x n n -=-+= 又由于)(n x 是因果序列,故0 )()2 1 ()(n u n x n -= (2)dz z z X j n x n c 1 )(21)(-?= π,设c 为4 1|| )(-n z z X 在c 外有一个单极点4 1 = z ,则 n n z z X s n x )4 1 (7]41,)([Re )(1=-=- 当0=n 时,1 )(-n z z X 在c 内有一个单极点0=z ,则 8]0,)([Re )(1==-n z z X s n x 当0>n ,1 )(-n z z X 在c 内有没有极点,则 0)(=n x 综上所述,)1()4 1 (7)(8)(--+=n u n n x n δ 3.6 试求如下序列的傅立叶变换: (1))3()(-=n n x δ (2))()(n u a n x n =,10< (4))cos()()(0n n u e n x an ω-= 3.6 (1)ωω 3)(j j e e X -= (2)由于1 11 )(--= az z X ω ωj j ae e X --= 11 )( (3)ω ω j a j e e e X ---=11)( (4)a j a j a j j e e e e e e e X 2200 cos 21cos 1)(------+--=ωωωω ωω 3.7 已知下列因果序列)(n x 的z 变换为)(z X ,求该序列的初值)0(x 和终值)(∞x 。 (1))21)(1(1)(1 12 1------++=z z z z z X (2)) 5.01)(5.01()(111 ---+-=z z z z X 3.7 (1) 1)(lim )0(==∞ →z X x z 由于极点有一个在单位圆外,所以终值不存在。 (2) 0)(lim )0(==∞ →z X x z 0)()1(lim )(1 =-=∞→z X z x z 3.8 用卷积定理求下列卷积和。 (1))2()(5)(-*=n n u n y n δ (2))1()(5)(+*=n u n u n y n 3.8由)()()(n h n x n y *= 可知)()()(z H z X z Y *= (1)2 5 )(--= z z z z Y )2(5)(2-=-n u n y n (2)z z z z z z z z z z z Y ?? ? ??--+--=--= 41)155(15)( )1(4 1 )1(545)(1+-+= +n u n u n y n 3.9 用z 变换法解下列差分方程: (1))(05.0)1(9.0)(n u n y n y =--,0)(=n y ,1-≤n (2))()2(15.0)1(8.0)(n n y n y n y δ=-+--, 2.0)1(=-y ,5.0)2(=-y ,0)(=n y ,3-≤n 3.9(1)1 1 11 05 .0)(9.0)(---=-z z z Y z Y ) 9 .09.01(5.0) 1)(9.0(05.0)1)(9.01(05.0)(2 1 1--+-=--=--=--z z z z z z z z z z Y )()9.0(45.0)(5.0)(n u n u n y n -= (2)1])2()1()([15.0])1()([8.0)(2 2 1 =-+-++-+---z y z y z Y z z y z Y z z Y 2 11 15.08.0103.0085.1)(---+--=z z z z Y n n n z z z z z z z z z z Y z F )3.0)(5.0(03.0085.115.08.0103.0085.1)()(12 111 ---=+--==----- 当0≥n 时, n n n n z F s z F s n y 5.025625.03.04775.15.02 .05125.03.02.02955.0]5.0),([Re ]3.0),([Re )(?+?-=?+?-=+= 3.10 线性时不变因果系统用下面差分方程描述: )()2(cos )1(2)(2n x n y r n ry n y =-+--θ 式中)()(n u a n x n =,试求系统的响应。 3.10 已知)()(n u a n x n =,则 )()2(cos )1(2)(2n u a n y r n ry n y n =-+--θ 将上式进行z 变换,得 1 22111 )(cos )(2)(----= +-az z z Y r z z rY z Y θ 因此, ) )()(()1)(cos 21(1)(213 1 221z z z z a z z az z r rz z Y ---=-+-=---θ 式中,θ j re z =1,θ j re z -=2。 由于系统是因果的()(n h 是因果序列),且)(n x 也是因果序列,所以)(n y 是因果序列。因此,)(z Y 的收敛域为:),max(||a r z >,且0 dz z z Y j n y c n ?-= 1)(21 )(π,c 包含3个极点:a ,1z ,2z 。 ) )()(()()(222 1 z z z z a z z z z Y z F n n ---= =+- ]),([Re ]),([Re ]),([Re )(21z z F s z z F s a z F s n y ++= ) )((sin 2sin 2))(())(())(())(())((|)() )()((|)() )()((|)() )()((2221222 22112 1212 2212 1212 212 2 1 a re a re jr a jr re a re re a re z z a z z z z a z z z a z a a z z z z z z a z z z z z z z z a z z a z z z z z a z z j j n n j j n j j n n n z z n z z n a z n --??+---= --+ --+--=----+----+----=-++-+-+++=+=+=+θθθθθθθθ 3.11 如果)(1n x 和)(2n x 是两个不同的因果稳定实序列,求证: 1212111()()[ ()][ ()]222j j j j X e X e d X e d X e d π π π ωωωωπ π π ωωωπ π π - - - =??? 式中,1()j X e ω和2()j X e ω分别表示)(1n x 和)(2n x 的傅立叶变换。 3.11 令)()()(21jw jw jw e X e X e Y =,则 )()()(21n x n x n y *= 又dw e e X n x jwn jw )(21 )(? -= π π π ,可知dw e X x jw )(21 )0(? -= π π π )()(|)()(|)]()([)0(21 021 021m x m x m n x m x n x n x y m n m n -= -= *=∑∑∞ -∞ ==∞ -∞ == 由于)(1n x ,)(2n x 都是因果序列,所以上式中的m 只能为0值,因此 )0()0()0(21x x y = 所以 ])(21 ][ )(21 [ )()(21 2121dw e X dw e X dw e X e X jw jw jw jw ? ? ? ---=π π π π π π π π π 3.12 研究一个满足下列差分方程的线性时不变系统,该系统不限定为因果、稳定系统。利用方程的零、极点图,试求系统单位冲激响应的三种可能选择方案。 )()1()(2 5 )1(n x n y n y n y =++- - 3.12 H(z)=z/(z 2 -2.5z+1)=2/3[z/(z-2)-z/(z-0.5)] (1)|z|>2,h(n)= 2/3[2n -0.5n ]u(n) 系统是非稳定但是因果的。 (2)|z|<0.5, h(n)= -2/3[2n -0.5n ]u(-n-1) 系统是非稳定是非因果的 (3) 0.5<|z|<2,h(n)= -2/3[2n u(-n-1) +0.5n u(n)] 系统是稳定但是非因果的. 3.13 (1)某离散系统激励为)()(n u n x =时的零状态响应为)()5.01(2)(n u n y u -=,求激励为)(5.0)(n u n x n =的零状态响应。 (2)已知一离散系统的单位冲激响应为)(]4.05.0[)(n u n h n n -=,写出该系统的差分方程。 3.13 (1)5.015.01221 ) 5.01( 2) () ()(-=---=----== z z z z z z z z z z X z Y z H 激励为)(5.0)(n u n x n =的零状态响应: 2 )5.0(5.05.01)()()(-=--= =z z z z z z X z H z Y )()5.0(2)(n u n n y n = (2))(]4.05.0[)(n u n h n n -= 2 11 22.09.011.02.09.01.04.05.0)()()(---+-=+-=---==z z z z z z z z z z z X z Y z H )2(2.0)1(9.0)1(1.0)(---+-=n y n y n x n y 3.14 已知线性因果系统用下面差分方程描述: )1(9.0)()1(9.0)(-++-=n x n x n y n y (1) 求系统函数)(z H 及单位冲激响应)(n h ; (2) 写出传输函数)(ω j e H 表达式,并定性画出其幅频特性曲线; (3) 设n j e n x 0)(ω=,求输出)(n y 。 3.14 (1)1 1 9.019.01)(---+=z z z H 11 119.018.119.019.01)(-----+=-+=z z z z z H )1(9.08.1)()(1-?+=-n u n n y n δ (2)ω ω ω j j j e e e H ---+=9.019.01)( 极点9.0=z ,零点9.0-=z (3)n j e n x 0)(ω= 00 09.019.01)()(ωωωωωj j n j j n j e e e e H e n y ---+== 3.15 若序列)(n h 是因果序列,其傅立叶变换的实部如下式: ω ω ωcos 21cos 1)(2a a a e H j R -+-=