2.3.1 圆的标准方程优化训练
1．圆心是O(－3,4)，半径长为5的圆的方程为()
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝5
B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25
C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5
D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25
解析：选D.将O(－3,4)，r＝5代入圆的标准方程可得．
2．下面各点在圆(x－1)2＋(y－1)2＝2上的是()
A．(1,1)B．(2,1)
C．(0,0) D．(2，2)
答案：C
3．方程y＝9－x2表示的曲线是()
A．一条射线B．一个圆
C．两条射线D．半个圆
答案：D
4．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1,0)的圆的方程为________．
解析：设圆心为P(a，a)，而切点为A(1,0)，
则PA⊥x轴，∴a＝1.
故方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
答案：(x－1)2＋(y－1)2＝1
5．若坐标原点在圆(x－a)2＋(y－a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．
答案：－2 1．点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是() A．在圆内B．在圆外 C．在圆上D．不确定 解析：选B.判断点与圆的位置关系，即寻求|PO|与r的关系．设O为圆心，r为半径，则|PO|2＝m4＋25>24＝r2，∴点P在圆外． 2．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝ 3 3 x的距离为() A.1 2 B. 3 2 解析：选A.直线y ＝ 33 x 可化为3x －3y ＝0，圆的圆心为(1,0)， ∴d ＝33＋9＝12. 3．过点P (－8，－1)，Q (5,12)，R (17,4)三点的圆的圆心坐标是( ) A ．(5,1) B ．(4，－1) C ．(5，－1) D ．(－5，－1) 解析：选C.可用PQ 、PR 线段的垂直平分线的交点，也可以求出圆的方程． 4．三颗地球通讯卫星发射的信号即可覆盖全球，若设赤道大圆的方程为x 2＋y 2＝R 2(R 为地球半径)，三颗卫星均匀分布于赤道上空，则三个卫星所在位置确定的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＝2R 2 B ．x 2＋y 2＝4R 2 C ．x 2＋y 2＝8R 2 D ．x 2＋y 2＝9R 2 解析：选B.由题意知卫星距地面高度为R ，所以方程为x 2＋y 2＝4R 2. 5．设P (x ，y )是曲线x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则 x －12＋y －12的最大值为( ) A.26＋2 B.26 C ．5 D ．6 解析：选A. x －12＋y －12的几何意义是圆上的点P (x ，y )到点(1,1)的距离，故可用数形结合法求解． x 2＋(y ＋4)2＝4表示以C (0，－4)为圆心，2为半径的圆，式子 x －12＋y －12表示圆上的点P (x ，y )到点A (1,1)的距离，即求P 点到A 点距离的最大值． ∵A 点在圆C 外，∴|AC |＝1＋1＋42＝26. ∴最大值为26＋2. 6．设实数x 、y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么y x 的最大值是( ) A.12 B.33 C.32 D. 3 解析：选D.令y x ＝k ，即y ＝kx ，直线y ＝kx 与圆相切时恰好k 取最值．则|2k |1＋k 2＝3，解得k ＝± 3. 故y x 的最大值为 3. 7．圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝1关于直线x ＋2y －3＝0对称的圆的方程是________． 解析：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝1. 由题意得??? b ＋1a －3×－12＝－1，a ＋32＋2×b －12 －3＝0，解得??? a ＝195，b ＝35. ∴所求圆的方程为(x － 195)2＋(y －35)2＝1. 答案：(x －195)2＋(y －35 )2＝1 8．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同心且过点P (－1,1)的圆的方程是________． 解析：圆心为(2，－3)，设半径为r ，则(x －2)2＋(y ＋3)2＝r 2，又因为过点P (－1,1)，则r 2＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝25. 答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝25 9．过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________. 解析：当圆心与已知点(1，2)的连线垂直于l 时，劣弧所对的圆心角最小，此时k ＝－1 2－0 1－2＝22 . 答案：22 10．求满足下列条件的圆的方程． (1)经过点P (5,1)，圆心为点C (8，－3)； (2)经过点P (4,2)，Q (－6，－2)，且圆心在y 轴上． 解：(1)圆的半径r ＝CP ＝5－82＋1＋32＝5，圆心为点C (8，－3)， ∴圆的方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25. (2)设所求圆的方程是x 2＋(y －b )2＝r 2. ∵点P 、Q 在所求圆上，依题意有 ????? 16＋2－b 2＝r 2，36＋2＋b 2＝r 2，???? r 2＝1455，b ＝－52. ∴所求圆的方程是x 2＋(y ＋52)2＝1454 . 11．平面直角坐标系中有A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？ 解：能． 设过A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 . 将A ，B ，C 三点的坐标分别代入有 ????? a 2＋1－b 2＝r 2，2－a 2＋1－b 2＝r 2，3－a 2＋4－b 2＝r 2，解得?????a ＝1，b ＝3，r ＝ 5. ∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5. 将D (－1,2)的坐标代入上式圆的方程左边， (－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5， 即D 点坐标适合此圆的方程． 故A ，B ，C ，D 四点在同一圆上． 12．设A (－c,0)、B (c,0)(c ＞0)为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a (a ＞0)，求P 点的轨迹． 解：设动点P 的坐标为(x ，y )， 由 |PA ||PB |＝a (a ＞0) 得x ＋c 2＋y 2x －c 2＋y 2＝a ，化简， 得(1－a 2)x 2＋2c (1＋a 2)x ＋c 2(1－a 2)＋(1－a 2)y 2＝0. 当a ＝1时，方程化为x ＝0. 当a ≠1时， 方程化为(x －1＋a 2 a 2－1c )2＋y 2＝(2ac a 2－1 )2. 综上，当a ＝1时，点P 的轨迹为y 轴； 当a ≠1时，点P 的轨迹是以点(a 2＋1a 2－1c,0)为圆心，以|2ac a 2－1 |为半径的圆．
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