积分中的对称性
积分中的对称性 作者:刘建康 【摘要】介绍几种常见对称性在重积分、曲线积分及曲面积分的计算过程中的几个结论。【关键词】积分;轮换对称性;奇对称;偶对称 在积分的计算过程中,当积分区域具有某种对称性时,如果被积函数具有某种特性,这时可以利用对称性简化积分的计算。这里所讨论的对称性主要包括两个方面:积分区域关于坐标轴(或坐标面)的对称性和积分区域的轮换对称性。设Dn为一积分区域,所谓积分区域的轮换对称性是指当任一点P(x1,x2,…,xn)∈Dn时,有Pi(xi, xi+1, … , xn,x1,x2,…,xi-1)∈Dn, i=1,2,…,n。 在一元函数积分学中,我们有下面所熟悉结论: 若f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则有 ∫a-af(x)dx= 0, f(-x)=-f(x) 2〖JF(Z〗a0f(x)dx〖JF)〗,f(-x)=f(x) 利用这一性质,可以简化较复杂的定积分的计算。对重积分、曲线积分及曲面积分也有类似的结论。下面我们根据积分范围的不同来介绍对称性在各类积分计算中的几点应用。 1 对称性在重积分计算中的应用 对称性在计算二重积分Df(x,y)dσ方面的应用。 结论1 若f(x,y)在区域D内可积,且区域D关于y轴(或x轴)对称,则有 ①Df(x,y)dσ=0, f(x)为关于x(或y)的奇函数 ②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ,f(x,y)为关于x(或y)的偶函数。 其中D1为区域D被y轴(或x轴)所分割的两个对称区域之一。 结论2 若f(x,y)在区域D内可积,且区域D关于原点成中心对称,则有: ①Df(x,y)dσ=0,f(-x,-y)=-f(x,y),即f(x,y)关于原点成奇对称; ②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ=2D2f(x,y)dσ,f(-x,-y)=f(x,y),即f(x,y)关于原点成偶对称,其中D1、D2关于原点对称,且D1+D2=0。
二重积分积分区域的对称性
情形一:积分区域D 关于坐标轴对称 定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且D 关于x 轴对称,则 1)当(,)(,)f x y f x y -=-(即(,)f x y 是关于y 的奇函数)时,有 (,)0D f x y dxdy =?? . 2)当(,)(,)f x y f x y -=(即(,)f x y 是关于y 的偶函数)时,有 1 (,)2(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =?? ?? . 其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。 例5 计算3()D I xy y dxdy = +??,其中D 为由2 2y x =与2x =围成的区域。 解:如图所示,积分区域D 关于x 轴对称,且 3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=- 即(,)f x y 是关于y 的奇函数,由定理1有 3()0D f xy y dxdy +=?? . 类似地,有: 定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且D 关于y 轴对称,则 2 2(,),(,)(,). (,)0,(,)(,).D D f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy f x y f x y ?-=?=??-=? ???? 当当 其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。 例 6 计算2,D I x ydxdy = ??其中D 为由22;-220y x y x y =+=+=及所围。 解:如图所示,D 关于y 轴对称,并且 2(,)(,)f x y x y f x y -==,即被积分函数是关于x 轴 的偶函数,由对称性定理结论有:
01-积分的奇偶对称性
积分的奇偶对称性 ----定积分、二重积分、三重积分、 第一类曲线积分、第一类曲面积分
. )(2)()()2(;0)()()1(], ,[0???==-∈--a a a a a dx x f dx x f x f dx x f x f a a C f 为偶函数,则若为奇函数,则 若设01 定积分的奇偶对称性
.),(2),(),,(),(),()2(; 0),(),,(),(),()1(,,,),(1 2121??????==-=-=-+=D D D dxdy y x f dxdy y x f y x f y x f x y x f dxdy y x f y x f y x f x y x f y D D D D D D y x f 则为偶函数,即关于若则为奇函数,即关于若轴对称, 关于上连续在有界闭区域设02 二重积分的奇偶对称性
.),(2),(),,(),(),()4(; 0),(),,(),(),()3(,,,),(1 2121??????==-=-=-+=D D D dxdy y x f dxdy y x f y x f y x f y y x f dxdy y x f y x f y x f y y x f x D D D D D D y x f 则为偶函数,即关于若则为奇函数,即关于若轴对称, 关于上连续在有界闭区域设02 二重积分的奇偶对称性
03 三重积分的奇偶对称性;),,(2),,(),,,(),,(),,()2(; 0),,(),,,(),,(),,()1(,,,),,(1 2121?????????ΩΩΩ ==-=-=-ΩΩΩ+Ω=ΩΩdxdydz z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f z z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f z z y x f xoy z y x f 则为偶函数,即关于若则为奇函数,即关于若面对称, 关于上连续在有界闭区域设
积分对称性定理
关于积分对称性定理 1、 定积分: 设 f ( x) 在 a,a 上连续,则 2、 二重积分: 若函数f(x,y)在平面闭区域D 上连续,则 (1) 如果积分区域D 关于x 轴对称,f(x,y)为y 的奇(或偶)函数, 即 f(x, y) f(x, y)(或 f(x, y) f (x, y)),则二重积分 0, f x,y 为y 的奇函数 f x, y dxdy 2 f x, y dxdy, f x,y 为y 的偶函数 D D 1 其中:D i 为D 满足y 0上半平面区域。 (2) 如果积分区域D 关于y 轴对称,f(x,y)为x 的奇(或偶)函数, 即 f x, y f x, y (或 f x, y f x, y ),则二重积分 0, f x, y 为x 的奇函数, f x,ydxdy 2 f x,ydxdy, f x, y 为)的偶函数. D D 2 其中:D 2为D 满足x 0的右半平面区域。 (3) 如果积分区域D 关于原点对称,f(x,y)为x,y 的奇(或偶)函 a -a x dx 0, a 2 f x dx, 0 x 为X 的奇函数, X 为X 的偶
数,即卩 f ( x, y) f (x,y)(或 f ( x, y) f(x,y))则二重积分 0, f x,y为x,y的奇函数 f x,ydx:y 2 f xydxy,f x,y 为Xy的偶函数 D D2 其中:D1为D在y 0上半平面的部分区域。 (4)如果积分区域D关于直线y x对称,则二重积分 f x, ydxdy f y,x dxdy .(二重积分的轮换对称性) D D (5)如果积分区域D关于直线y x对称,则有 0, 当f( y, x) f(x,y)时f(x,y)dxdy 2 f(x,y)dxdy 当仁y, x) f(x,y)时 D D 利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是(1)(2)(3) 中应同时具有积分域D对称及被积函数fx,y具有奇偶性两个特 性。 3、三重积分: (1)若f X, y,z为闭区域上的连续函数,空间有界闭区域关 于xoy坐标面对称,1为位于xoy坐标面上侧z 0的部分区域,贝卩 有
关于重积分对称性的结论
考虑如何正确利用二重积分中的被积函数的奇偶性和积分区域的对称性来简化二重积分的计算,主要结论如下: 一般设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续,则(,)D I f x y d σ=??存在。 1.若D 关于y 轴对称,而对任意的(,)x y D ∈,那么 (1)当(,)f x y 在D 上为x 的奇函数,即(,)(,)f x y f x y -=-时,有0I =; (2)当(,)f x y 在D 上为x 的偶函数,即(,)(,)f x y f x y -=时,则有1 2(,)D I f x y d σ=??,其中 1{()|(),0}D x,y x,y D x =∈≥或者1{()|0}D D x,y x =≥。 2. 若D 关于x 轴对称,而对任意的(,)x y D ∈,那么 (1)当(,)f x y 在D 上为y 的奇函数,即(,)(,)f x y f x y -=-时,有0I =; (2)当(,)f x y 在D 上为y 的偶函数,即(,)(,)f x y f x y -=时,则有2 2(,)D I f x y d σ=??,其中 2{()|(),0}D x,y x,y D y =∈≥或者2{()|0}D D x,y y =≥。 3. 若D 关于原点对称,而对任意的(,)x y D ∈,那么 (1)当(,)f x y 在D 上为关于x 和y 的奇函数,即(,)(,)f x y f x y --=-时,有0I =; (2)当(,)f x y 在D 上为关于x 和y 的偶函数,即(,)(,)f x y f x y --=时,则我们就有12 2(,)2(,)D D I f x y d f x y d σσ==????,其中1D 、2D 同上述1与2中所述。 4. 若D 关于直线y x =对称,那么我们有 (,)()D D f x y d f y,x d σσ=????,称此特性为积分区域D 关于积分变量具有对称性。
高等数学-积分对称性
二重积分的对称性: ??=D d y x f I σ),( ⑴若D 关于y 轴)0(=x 对称, ①若),,(),(y x f y x f -=-则0=I , ②若),,(),(y x f y x f =-则??=1 ),(2D d y x f I σ,1 D :0≥x ⑵若D 关于x 轴)0(=y 对称, ①若),,(),(y x f y x f -=-则0=I , ②若),,(),(y x f y x f =-则??=2 ),(2D d y x f I σ,2 D :0≥y 三重积分的对称性: ???Ω =dv z y x f I ),,( ⑴若Ω关于xoy 面)0(=z 对称, ①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I , ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则1 ,),,(21 Ω=???Ωdv z y x f I :0≥z ⑵若Ω关于yoz 面)0(=x 对称, ①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I , ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则2 ,),,(22 Ω =???Ωdv z y x f I :0≥x ⑶若Ω关于xoz 面)0(=y 对称, ①若),,,(),,(z y x f z y x f -=-则0=I , ②若),,,(),,(z y x f z y x f =-则3,),,(2 3 Ω =???Ωdv z y x f I : 0≥y 轮换对称性: 设Ω关于z y x ,,具有轮换对称性(既若Ω∈),,(z y x ,则将 z y x ,,任意互换后的点也属于Ω),则被积函数中的自变量可以任意轮换 而不改变积分值: ???Ω dv z y x f ),,(???Ω =dv x z y f ),,(???Ω =dv x y z f ),,( 特别:???Ω dv x f )(???Ω =dv y f )(???Ω =dv z f )( 从而 3)]()()([=++???Ω dv z f y f x f ???Ω dv x f )(
对称性在各种积分中的定理
对称性在积分计算中的应用 定理2.1.1[3] 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续,且D 关于 x 轴对称.如果函数),(y x f 是关于y 的奇函数, 即),(),(y x f y x f -=-,D y x ∈),(, 则(,)0D f x y d σ=??;如果),(y x f 是关于y 的偶函数,即),(),(y x f y x f =-, D y x ∈),(,则1 (,)2(,)D D f x y d f x y d σσ=????. 其中1D 是D 在x 轴上方的平面区域. 同理可写出积分区域关于y 轴对称的情形. 则由定理2.1.1知32sin 0D y xd σ=??. 由定理2.1.1可得如下推论. 推论2 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续,若积分区域D 既关于x 轴对称,又关于y 轴对称,则 ⑴ 若函数),(y x f 关于变量y x ,均为偶函数,则1 (,)4(,)D D f x y d f x y d σσ=????. 其中1D 是区域D 在第一象限的部分,{}1(,)|0,0D x y D x y =∈≥≥. ⑵ 若函数),(y x f 关于变量x 或变量y 为奇函数,则(,)0D f x y d σ=??. 当积分区域关于原点对称时,我们可以得到如下的定理. 定理 2.1.2[]4 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续,且D 关于 原点对称.如果),(),(y x f y x f -=--,(,)x y D ∈,则(,)0D f x y d σ=??;如果),(),(y x f y x f =--,(,)x y D ∈,则1 2(,)2(,)2(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ==??????,其中{}1(,)|0D x y D x =∈≥,{}2(,)|0D x y D y =∈≥. 为了叙述的方便,我们给出区域关于y x ,的轮换对称性的定义. 定义 2.1.1 设D 为一有界可度量平面区域(或光滑平面曲线段),如果对于任意(,)x y D ∈,存在(,)y x D ∈,则称区域D (或光滑平面曲线段)关于y x ,具
重积分积分区域的对称性
重积分积分区域的对称 性 内部编号:(YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128)
情形一:积分区域D 关于坐标轴对称 定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且D 关于x 轴对称,则 1)当(,)(,)f x y f x y -=-(即(,)f x y 是关于y 的奇函数)时,有 (,)0D f x y dxdy =?? . 2)当(,)(,)f x y f x y -=(即(,)f x y 是关于y 的偶函数)时,有 1 (,)2(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =?? ?? . 其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。 例5 计算3()D I xy y dxdy =+??,其中D 为由22y x =与2x =围成的区域。 解:如图所示,积分区域D 关于x 轴 对称,且 3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=- 有 即(,)f x y 是关于y 的奇函数,由定理13()0D f xy y dxdy +=?? . 类似地,有: 定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且D 关于y 轴对称,则 其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。 例6 计算2,D I x ydxdy =??其中D 为由 22;-220y x y x y =+=+=及所围。 解:如图所示,D 关于y 轴对称,并且 2(,)(,)f x y x y f x y -==,即被积分函数是关于x 轴的 偶函数,由对称性定理结论有: 1 1 22 22200 22215 x D D I x ydxdy x ydxdy dx x ydxdy -+==== ?????? .
关于积分对称性定理
关于积分对称性定理 1、 定积分: 设)(x f 在[],a a -上连续,则 ()()()()-0 0,d 2d ,a a a f x x f x x f x x f x x ?? =???? ?为的奇函数,为的偶函数. 2、 二重积分: 若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续,则 (1)如果积分区域D 关于x 轴对称,),(y x f 为y 的奇(或偶)函数,即 ),(),(y x f y x f -=-(或),(),(y x f y x f =-),则二重积分 ()()()()1 0,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ?? =???????为的奇函数, 为的偶函数. 其中:1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。 (2) 如果积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇(或偶)函数,即()(),,f x y f x y -=-(或()(),,f x y f x y -=),则二重积分 ()()()()2 0, ,,d d 2,d d , ,D D f x y x f x y x y f x y x y f x y x ?? =????? ??为的奇函数,为的偶函数.
其中:2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。 (3)如果积分区域D 关于原点对称,),(y x f 为y x ,的奇(或偶)函数,即 ),(),(y x f y x f -=--(或),(),(y x f y x f =--)则二重积分 ()()()()2 0,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ?? =???????为的奇函数,为的偶函数. 其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。 (4)如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分 ()()y x x y f y x y x f D D d d ,d d ,????=.(二重积分的轮换对称性) (5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有 1 0,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-?? =?--=??????当时当时 利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特性。 3、三重积分: (1)若()z y x f ,,为闭区域Ω上的连续函数,空间有界闭区域Ω关于xoy 坐标面对称,1Ω为Ω位于xoy 坐标面上侧0≥z 的部分区域,则
二重积分积分区域的对称性教程文件
二重积分积分区域的 对称性
情形一:积分区域D 关于坐标轴对称 定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且D 关于x 轴对称,则 1)当(,)(,)f x y f x y -=-(即(,)f x y 是关于y 的奇函数)时,有 (,)0D f x y dxdy =?? . 2)当(,)(,)f x y f x y -=(即(,)f x y 是关于y 的偶函数)时,有 1 (,)2(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =???? . 其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。 例5 计算3()D I xy y dxdy =+??,其中D 为由22y x =与2x =围成的区域。 解:如图所示,积分区域D 关于x 轴对 称,且 3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=- 即(,)f x y 是关于y 的奇函数,由定理1有 3()0D f xy y dxdy +=??. 类似地,有: 定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且D 关于y 轴对称,则 22(,),(,)(,).(,)0,(,)(,).D D f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy f x y f x y ?-=?=??-=? ????当当 其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。 例6 计算2,D I x ydxdy =??其中D 为由 22;-220y x y x y =+=+=及所围。
解:如图所示,D 关于y 轴对称,并且2(,)(,)f x y x y f x y -==,即被积分函数是关于x 轴的偶函数,由对称性定理结论有: 11222220022215 x D D I x ydxdy x ydxdy dx x ydxdy -+====??????. 定理6 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且D 关于x 轴和y 轴都对称,则 (1)当(,)(,)f x y f x y -=-或(,)(,)f x y f x y -=-时,有 (,)0D f x y dxdy =?? . (2)当(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=时,有 1 (,)4(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =???? 其中1D 为由x 轴和y 轴分割D 所的到的1/4区域。 9例7 计算二重积分()D I x y dxdy = +??,其中D :1x y +≤ . 解:如图所示,D 关于x 轴和y 轴均对称,且被积分 函数关于x 和y 是偶函数,即有 (,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=,由定理2,得 1 ()4()D D I x y dxdy x y dxdy =+=+???? 其中1D 是D 的第一象限部分,由对称性 知,11D D x dxdy y dxdy = ????, 故14()D I x y dxdy =+??14()D x x dxdy =+??1 8D x dxdy =??43= . 情形二、积分区域D 关于原点对称 定理7 设平面区域12D D D =+,且1,D 2D 关于原点对称,则当D 上连续函数满足 1)(,)(,)f x y f x y --=时,有1 (,)2(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =????
对称性在积分中的应用
对称性在积分中的应用 摘要:对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系,小到分子原子.根据对称性,我们就可以把复杂的东西简单化,把整体的东西部分化.本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题,主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用,并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性,从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法.另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算.积分的计算是高等数学教学的难点,在积分计算时,许多问题用“正规”的方法解决,反而把计算复杂化,而善于运用积分中的对称性,往往能使计算简捷,达到事半功倍的效果. 关键词:积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称
目录 一、引言 二、相关对称的定义 (一)区域对称的定义 (二)函数对称性定义 (三)轮换对称的定义 三、重积分的对称性 (一)定积分中的对称性定理及应用(二)二重积分中的对称性定理及应用(三)三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性 (一)第一曲线积分的对称性定理及应用(二)第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性 (一)第一曲面积分的对称性定理及应用(二)第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结 参考文献 谢词
一、 引言 积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性.在积分计算中,根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性,往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分对称性的定理及结论,再结合相关的实例进行具体探讨.本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性,平行于坐标面的平面等的对称性定义. 二、相关的定义 定义1: 设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -?∈,则D 关于直线a x =对 称,对称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ?)2,(y b x - ),(y x D ∈,则D 关于直线b y =对称,称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称(显然 当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称). 定义2: 设平面区域为D ,若点),(y x D ∈?),(a x a y --,则D a x y +=对称, 称点),(y x 与),(a x a y --是关于a x y +=的对称点.若点),(y x D ∈?),(x a y a -- D ∈,则D 关于直线z y ±=对称. 注释:空间区域关于平行于坐标面的平面对称;平面曲线关于平行于坐标轴的直线 对称;平面曲面以平行于坐标面对称,也有以上类似的定义. 空间对称区域. 定义3:(1)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈-),,(z y x ,则称空间区域Ω关于xoy 面对 称;利用相同的方法,可以定义关于另外两个坐标面的对称性. (2)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈-),,(z y x ,则称空间区域Ω关于z 轴对称;利用相同 的方法,可以定义关于另外两个坐标轴的对称性. (3)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈---),,(z y x , 则称空间区域Ω关于坐标原点对称. (4)若对Ω∈?),,(z y x ,?点Ω∈),,(),,,(y x z x z y ,则称空间区域Ω关于z y x ,,具有 轮换对称性. 定义4:若函数)(x f 在区间()a a ,-上连续且有)()(a x f a x f +=-,则)(x f 关于 a x =对称当且仅当0=a 时)()(x f x f =-,则)(x f 为偶函数.若)()(x a f x a f +-=-,
重积分积分区域的对称性
重积分积分区域的对称 性 公司内部编号:(GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-
情形一:积分区域D 关于坐标轴对称 定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且D 关于x 轴对称,则 1)当(,)(,)f x y f x y -=-(即(,)f x y 是关于y 的奇函数)时,有 (,)0D f x y dxdy =?? . 2)当(,)(,)f x y f x y -=(即(,)f x y 是关于y 的偶函数)时,有 1 (,)2(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =?? ?? . 其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。 例5 计算3()D I xy y dxdy =+??,其中D 为由22y x =与2x =围成的区域。 解:如图所示,积分区域D 关于x 轴对称, 且3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=- 有 即(,)f x y 是关于y 的奇函数,由定理1 3()0D f xy y dxdy +=?? . 类似地,有: 定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且D 关于y 轴对称,则 其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。 例6 计算2,D I x ydxdy =??其中D 为由 22;-220y x y x y =+=+=及所围。 解:如图所示,D 关于y 轴对称,并且 2(,)(,)f x y x y f x y -==,即被积分函数是关于x 轴 的偶函数,由对称性定理结论有: 1 1 22 22200 22215 x D D I x ydxdy x ydxdy dx x ydxdy -+==== ?????? .
重积分的对称性定理
能用此性质。 的奇偶性两者兼得时才的对称性与被积函数注意:仅当积分域对称,则关于直线如果轴的上半平面部分。 在为其中,为偶函数,即关于,为奇函数,即关于,分 的奇偶函数,则二重积同时为关于原点对称,如果积分域轴的右半平面部分。 在为其中,为偶函数,即关于,为奇函数,即关于,分 的奇偶函数,则二重积为轴对称,关于如果积分域轴的上半平面部分。 在为其中,为偶函数,即关于,为奇函数,即关于,分 的奇偶函数,则二重积为轴对称,关于如果积分域二重积分的对称性定理 ),(),(),(.4),(),(,),(2),(),(,0),(,),(.3),(),(),(2),(),(0),(),(.2),(),(),(2),(),(0),(),(.1112211y x f D d x y f d y x f x y D x D D y x f y x f y x f d y x f y x f y x f y x f d y x f y x y x f D y D D y x f y x f x f d y x f y x f y x f x f d y x f x y x f y D x D D y x f y x f y f d y x f y x f y x f y f d y x f y y x f x D D D D D D D D D ????????????????===--?? ???-=--==-?? ???-=-==-?? ???-=-=***σ σσσσσσσ
三重积分的对称性定理 若积分区域Ω关于坐标平面xoy 对称,则三重积分(,,)I f x y z dv Ω=???有以下结论: 1. 当(,,)(,,)f x y z f x y z =--时,0.I = 2. 当(,,)(,,)f x y z f x y z =-时,12(,,)I f x y z dv Ω =???,其中1Ω是Ω在0z ≥的部分.
二重积分积分区域的对称性
二重积分积分区域的对 称性 Document number:BGCG-0857-BTDO-0089-2022
情形一:积分区域D 关于坐标轴对称 定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且D 关于x 轴对称,则 1)当(,)(,)f x y f x y -=-(即(,)f x y 是关于y 的奇函数)时,有 (,)0D f x y dxdy =?? . 2)当(,)(,)f x y f x y -=(即(,)f x y 是关于y 的偶函数)时,有 1 (,)2(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =?? ?? . 其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。 例5 计算3()D I xy y dxdy =+??,其中D 为由22y x =与2x =围成的区 域。 解:如图所示,积分区域D 关于x 轴对称,且 3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=- 即(,)f x y 是关于y 的奇函数,由定理1有3()0D f xy y dxdy +=??. 类似地,有: 定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且D 关于y 轴对称,则 2 2(,),(,)(,).(,)0,(,)(,). D D f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy f x y f x y ?-=?=??-=? ???? 当当 其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。 例6 计算2,D I x ydxdy =??其中D 为由 22;-220y x y x y =+=+=及所围。
解:如图所示,D 关于y 轴对称,并且2(,)(,)f x y x y f x y -==,即被积分函数是关于x 轴的偶函数,由对称性定理结论有: 1 1 22 22200 22215 x D D I x ydxdy x ydxdy dx x ydxdy -+==== ?????? . 定理6 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续,且D 关于x 轴和y 轴都对称,则 (1)当(,)(,)f x y f x y -=-或(,)(,)f x y f x y -=-时,有 (,)0D f x y dxdy =?? . (2)当(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=时,有 1 (,)4(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =?? ?? 其中1D 为由x 轴和y 轴分割D 所的到的1/4区域。 9例7 计算二重积分()D I x y dxdy =+??,其中D :1x y +≤ . 解:如图所示,D 关于x 轴和y 轴均对称,且被积分函数关于x 和y 是偶函数,即有 (,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=,由定理2,得 1 ()4()D D I x y dxdy x y dxdy = +=+???? 其中1D 是D 的第一象限部分,由对称性知,1 1 D D x dxdy y dxdy = ???? , 故1 4()D I x y dxdy =+??1 4()D x x dxdy =+??1 8D x dxdy =??4 3 =. 情形二、积分区域D 关于原点对称
对称性在积分计算中的应用
对称性在积分计算中的应用-中学数学论文 对称性在积分计算中的应用 高春香 内蒙古财经大学统计数学学院010051 者简介:高春香,女。内蒙古财经大学统计数学学院。职称:副教授。 研究方向:高等数学教学及其教改的研究) 【摘要】结合高等数学积分中的教学实践,阐述了对称性在定积分、二重积分、三重积分计算中的应用, 归纳总结出利用平面区域的对称性来计算积分. 运用对称性方法计算积分,一定要仔细验证积分区域和被积函数所满足的对称性质,否则,将会造成对称性方法的不当使用。 关键词对称性定积分重积分平面区域 积分在数学分析中占有很重要的地位,积分的计算方法有很多种,许多文献和书籍都对其有较深的探讨,但是对利用对称性来计算积分的方法研究的不多.笔者通过多年的教学实践,深知对称性在积分运算中有着很重要的意义,通常可以简化计算.本文研究了对称性在积分运算中的应用,归纳总结出利用平面区域的对称性来计算定积分、二重积分、三重积分的方法. 1.定积分的对称性 定理利用积分区间关于原点的对称性和函数的奇偶性,有:若x∈[-a,a],则
小结这个例子运用换元法,将非积分上下限对称问题变形为积分上下限对称问题,巧妙运用定理对问题进行了解答。
小结用对称性定理来简化二重积分和三重积分的计算,有时候可以起到事半功倍的效果.对于一般的对称性定理,若加以适当拓广,还可以用来巧妙地求解一些重积分的计算和证明问题。 通过上面的举例分析,可以发现对称性方法是积分计算中一种常用且有效的方法,利用对称性技巧,可以大大简化积分的运算。只要积分域是对称的,就可以用上面介绍的方法进行积分计算.在进一步明确了被积函数的奇偶性及积分区域的对称性可以简化积分的计算之后,则可以应用上述定理对各类积分进行奇偶性化简之后计算.但是,运用对称性方法计算积分,一定要仔细验证积分区域和被积函数所满足的对称性质,各类定理适用的条件,否则,将会造成对称性方法的不当使用。参考文献 [1]谭泽光,刘坤林.微积分(下)[M].清华大学出版社,2006. [2]孙钦福.二重积分的对称性定理及其应用.曲阜师范大学学报,2008. [3]张仁华.二重积分计算中的若干技巧.湖南冶金职业技术学院学报,2008. [4]温田丁.考研数学中二重积分的计算技巧.高等数学研究, 2008.