2012 年 第 8 期 数学通讯(上半月) 8-12
处理函数双变量问题的六种解题思想
吴享平(福建省厦门第一中学) 361000
在解决函数综合题时， 我们经常会遇到在某个范围内都可以任意变动的双变量问题， 由 于两个变量都在变动，因此不知把那个变量当成自变量进行函数研究，从而无法展开思路， 造成无从下手的之感， 正因为如此， 这样的问题往往穿插在试卷压轴题的某些步骤之中， 是 学生感到困惑的难点问题之一， 本文笔者给出处理这类问题的六种解题思想， 希望能给同学 们以帮助和启发。 一、改变“主变量”思想
例１.已知 f (x) x 2 mx 1 m,在｜m| 2时 恒成立，求实数 x 的取值范围 .
分析： 从题面上看，本题的函数式 f (x)是以 x 为主变量 ，但由于该题中的“恒”字是 相对于变量
m 而言的，所以该题应把 m 当成主变量，而把变量 x 看成系数，我们称这种思 想方法为改变“主变量”思
想。
解： x 2 mx 1 m m(x 1) x 2 1 0 在｜ m| 2时 恒成立，即关于 m 为自 变量的一次函数 h(m) (x 1)m x 2
1在 m [ 2,2] 时的函数值恒为非负值
得 x x 2 22x x 33 00
x
3或 x 1。
对于题目所涉及的两个变元， 已知其中一个变元在题设给定范围内任意变动， 求另一个 变元的取值范围问题，这类问题我们称之为“假”双变元问题，这种“假”双变元问题，往 往会利用我们习以常的 x 字母为变量的惯性“误区”来设计，其实无论怎样设计，只要我们 抓住“任意变动的量”为主变量， “所要求范围的量”为常数，便可找到问题所隐含的自变 量，而使问题快速获解。 二、指定“主变量”思想
例２ .已知 0 m n,试比较 e n m ln(m 1) 与1 ln(n 1)的大小，并给出证明
m,n ，这里不妨把 m 当成常数，指定 n 为主变量 x ，解答如下
xm
解：构造函数 f (x) e x m ln(m 1) 1 ln(x 1),x [m, ) ，m 0，
f (x)min f(m) 0，于是，当 0 m n 时，
f (n) e n m ln(m 1) 1 ln(n 1) 0即 e n m ln(m 1) >1 ln(n 1)。 因此，有些问题虽然有两个变量，
只要把其中一个当常数，另一个看成自变量，便可使 问题得以解决，我们称这种思想方法为：指定“主变量”思想。
三、化归为值域或最值思想
x2
例３ .已知函数 f (x) a x x 2 xln a,(a 1)，对 x 1,x 2 [ 1,1], | f(x 1) f (x 2)| e 1，
h( 2) 0 h(2) 0
分析 ：本题涉及到两个变量 由 f (x)
xm
e
1 x1
1 (x 1)e x e m x 1 (x 1)e m
在 x [m, ) 上恒成立，
f (x)在 [m, )上递增，
2012 年第8 期求实数a 的取值范围。
数学通讯(上半月) 8-12
分析：该题虽然在区间[－１，１]上有两个变量x1, x2 ，但由于x1,x2 [ 1,1] 总有
| f (x1) f (x2)|小于f (x)在区间[ 1,1]上的最大值与最小值的差，因此该问题便可化归为求函数f ( x)在区间[ 1,1]上的最大值与最小值问题。
解：由f (x) a x lna 2x lna (a x 1)ln a 2x，f (0) 0，当x [ 1,0] 时，
a x 1 0,lna 0,2x 0，f (x) 0即f (x)在[ 1,0]上递减；当x [0,1] 时，a x 1 0
ln a 0,2x 0，f (x) 0即f (x)在[0,1]上递增， f (x)min f(0) 1；f ( x) max
11
max{ f(1), f ( 1)} ，又由f(1) f ( 1) (a 1 ln a) ( 1 lna)＝a 2 ln a ，构造
a a
函数h(a) a 12ln a,a [1, )，h(a) 1 12 3 (a21)0，h(a)在[1, ) 上 a a2a a2
递增，又h(1) 0，当a 1时h(a) 0即f(1) f ( 1), f(x)max f(1) a 1 lna。
x1,x2 [ 1,1], | f (x1) f(x2)| f ( x)max f (x)min a ln a ，因此，要题设中的不等式恒成立，
只需a lna e 1成立便可，于是构造(a) a ln a e 1，a (1, ) ，由(a)
1 1 a 10，(a)在(1, )上递增，又(e) 0 (a) 0 a e，又a 1 aa
1 a e，因此，所求实数a的取值范围为(1,e] .
四、化归为函数单调性思想
例4.已知a b e ，试比较a b与b a的大小，并说明理由。
ln a 分析：要比较a b与b a的大小，由a b e可知，只要比较blna与alnb的大小比较ln a
a
与lnb的大小即可，因此，只要研究函数f (x) ln x,在(e, ) 单调性便可，解答如下。
bx
ln x 1 ln x
解：构造函数f (x) ,x (e, )，f (x) 2 0在(e, )上恒成立，f (x) xx
在(e, )上递减，由a b e得ln a ab 2 例5. 已知函数f (x) (a 1)ln x ax2 1 ( a 1 ), 若对任意m,n (0, ) ， | f (m) f (n)| 4|m n|，求a的取值范围 a1 解：由f (x) 2ax, x 0,a 1, f (x) 0，即f(x)在(0, )上单调递减，x 2012 年 第 8 期 数学通讯(上半月) 8-12 不妨让 0 m n ， f(m) f(n)， | f(m) f(n)| 4|m n| f (m) f (n) 4n 4m f (m) 4m f (n) 4n (* )，因此，构造函数 F(x) f(x) 4x ，由( * ) F(x) a1 在 (0, )上递减， F (x) 0 f (x) 4 0 2ax 4 0在 (0, )上恒成立 x 4x 1 4x 1 a 2 在 x (0, ) 上恒成立，于是再次构造函数 h(x) 2 x (0, ) ， 2x 2 1 2x 2 1 h( x)min h(1 ) 2 ， a 2，因此满足题意要求的实数 2 a 的取值范围为 ( , 2]. 以上两例的解法均是通过等价转化与变形， 使需要解决的问题等价化归为函数单调性问 题来加以解决，我们将这一解题思想称之为：化归成函数单调性思想 五、整体代换， “变量归－”思想 2 例６ .已知函数 f (x) 2ln x x 2 1，若 x 1,x 2 是两个不相等的正数，且 f(x 1) f(x 2) 0，试 比较 x 1 x 2与 2 的大小，并说明理由。 解： f(x 1) f (x 2) 0 x 12 x 22 2 2ln( x 1 x 2 ) (x 1 x 2)2 2 2x 1x 2 2ln(x 1x 2) ①， 设 t x 1x 2 (0, )，则 (x 1 x 2)2 2 2x 1x 2 2ln(x 1x 2) 2 2t 2lnt ②，构造函数 h(t) ＝ 2 (t 1) 2 2t 2lnt ，t (0, )，由h(t) 2 2 ，当t (0,1)时h(t) 0；当t (1, )时 1 h (t) 0. h(t)min h(1) 4 ，又因为， 若t x 1x 2 1时，则 x 2 代入①式得 x 1 x 2 1， x 1 这与 x 1,x 2是两个不相等的正数相矛盾， t x 1x 2 1 h(t) ＝2 2t 2lnt 4 ，代入②式得 2 (x 1 x 2) 4, x 1 x 2 2 。 例７ .已知函数 G(x) x 2 aln x bx 2(a 0)有两个零点 x 1,x 2，且 x 1,x 0,x 2成等差数 列，试探究 G (x 0) 值的符号。 解：依题意得 G(x 1) 0 且 G(x 2) 0 得 x22 bx2 aln x2 2 0 (2) ， x 1 x 2 ，不妨设 0 x 1 x 2 ，由(１)－(２)得 (x1 x2) b a(ln x1 ln x2) ①，又 G (x 0) G (x 1 x 2 ) x 1 x 2 2 由 h(x) 22 8x 2 4 (4x 1)4x 8x 2 4x 4 (2x 2 1)2 (2x 2 1)2 1 8(x 1)(x 2 ) (2x 2 1)2 1 .当 x (0, )时h (x) 0； 2 1 当 x ( , ) 时 h(x) 0 ， 2 2012 年 第 8 期 数学通讯(上半月) 8-12 例８ .已知函数f (x) ln x,g(x) ax 2 bx(a 0)，且 f(x)与 g(x)有两个相异的交点 A(x 1, y 1), B(x 2,y 2), (x 1 x 2 ) ，线段 AB 的中点为 M ，过点 M 作与 x 轴垂直的直线 l ，直线 l 与函数 f(x) 和函数 g(x)的图象分别相交于点 P 、Q 两点，问是否存在这样的两交点 A,B ，使得函数 f(x)在 P 点处的切线 与函数 g(x) 在 Q 点处的切线平行？若存在，求出满足条件的 A,B 两点的坐标； 若不存在，说明理由。 解： 若满足题意的两点存在，则 x 1 0,x 2 0, x 1 x 2 ，不妨让 0 x 1 x 2 ，依题意得 ln x 1 ln x 2 ，由(１)－(２)得 a(x 1 x 2) b 1 2 h(t)在(0,1]上递增，因此，当 t (0,1) 时h(t) h(1) 0， 等式①不成立， (x 1 x 2) b 2a ，将①式代入得 G(x 0) a(ln x 1 lnx 2) 2a x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 a [ln x 1 2(x 1 x 2)] x 1 x 2 x 2 x 1 x 2 a x (x x 1 1) x a [ln x 1 x 2 ]，令t x 1 (0,1) ，则G (x 0) x 1 x 2 x 2 x 1 1 x 2 x 1 x 2 x a x [ln x 1 x 2 t 2 4 ] ②， 构造 t1 4 函数 h(t) ln t 2 t1 1 t (0,1]， h(t) 1 t (t 1) (t 1) 2 2 0在 t (0,1]上恒成立。 t(t 1)2 h(t)在(0,1] 递增， h(t)max h(1) 0， 当t (0,1)时，h(t) 0，又因 0 x 1 x 2， a 0， G (x 0) a [ln t 2 x 1 x 2 t 1 4 ] 0，所以 G (x 0) 恒为正值。 ax 12 bx 1 lnx 1 (1) 2 ax 2 bx 2 lnx 2 (2) P,Q 两点的横坐标均为 x 1 x 2 2 1 ， f (x) , f ( x x 1 x 2 ) 2 ) 2 x 1 x 2 又 g (x) 2ax b ， g( x 1 x 2 x ) a(x 1 x 2 ) b ，若 2 f (x 1 2x 2)＝ g (x 1 2x 2 ) ，则 a(x 1 x 2) b 2 (**) ， x 1 x 2 根据( *)与( ** )得 lnx 1 lnx 2 2(x 1 x 2 ) x 1 x 2 ln x 1 x 2 x 1 1 2 x 2 x 1 1 x 2 ①。令 t x 1 ， t (0,1) x 2 则 lnt 2 4 ,构造 h(t) lnt 2 4 ， t 1 t 1 t (0,1] ， 1 h (t) t (t 1) 2 2 t(t 1)2 0 ， (*) ，又依题意知 即满足题意条 数学通讯(上半月) 8-12 2012 年 第 8 期 件的 A,B 点不存在。 以上例６、例７、例８的解，都是通过等价转化，将关于 x 1,x 2的双变量问题等价转化为 以 x 1, x 2所表示的运算式为整体的单变量问题，通过整体代换转化为只有一个变量的函数式， 从而使问题得到巧妙的解决，由此我们将这一解题思想称之为“变量归一”思想。 六、借助“参照物” ,建构“桥梁”思想 例９ .已知函数 f (x) ln(1 x) ，对于任意的 x 1,x 2 ( 1, ),(x 1 x 2),当 x (x 1, x 2 )时，比 较 f(x) f(x 1) 与 f(x) f(x 2) 的大小，并说明理由。 x x 1 x x 2 分析： 联想到教材中，指数函数与对数函数的递增“速度”比较，我们可作出函数 解：构造函数 1(x) f(x) f(x 1) x x1 ； 2(x) f (x) f (x 2) x x2 ，x (x 1,x 2) x 1 x 1 1(x 1) 0， x (x 1,x 2)时， 1(x) 0 f(x) f(x 1) x x1 f(x) f (x1) 1 ① 1 1 1 1 x 1 x x 1 x 1 1 1 1 (x x ) 又由 2(x) 1 1 (x x 2) 1 2 (x x 22) 0在 x (x 1 , x 2 )上恒成立， 2(x) x 1 x 1 (x 1) (x 1) 在 ［x 1,x 2］递减，又 2(x 2) 0， x ( x 1 , x 2 )时， 2(x) 0 f(x) f (x2) x x2 f(x) f(x2) 1 ② 2 2 x 1 x x 2 x 1 由①、②可得 f(x) f(x 1) > f(x) f(x 2). x x 1 x x 2 例９的上述解法，并不是直接作差进行比较，而是通过作图引导，寻找到破解问题的“参 1 照物”( 1 )，通过这一“参照物”搭起所要比较大小的两式之间的“桥梁” ，从而使问题得 x1 以解决，我们将这一思想方法称之为：借助“参照物” ,建构“桥梁”思想。 当然，对于函数中的双变量问题是近年高考试卷中的“热门”试题之一，这类试题不仅形 式多样，而联系到的知识面较广，构造思维能力要求较高，因此，解决这类问题的方法也是多 种多样的，笔者给出处理这类问题的六种解题思想，其目的在于能给读者提供一定的帮助与启 发，希望能起到抛砖引玉的作用。 5 f(x) ln(x 1) 简图(如右) ，通过图形的直观判断可得 k AB f (x) f(x 1) x x 1 f (x) k BC f (x) f (x 2) x x 2 11 f (x) ，所以容易想到：借助 f (x) 为“桥染” x 1 x 1 通过“传递关 系”来探索问题的解，解答如下 由 1 (x) 11 x 1 x 1 (x x 1) 1 (x 1)2 ((x x 1x ) 1 2) 0， 1(x) 在［x 1,x 2］递增，又 2012 年６月投稿 2 主管：中华人民共和国教育部主办：华中师范大学湖北省数学学会武汉数学学会 x1 x2 4 主管：中华人民共和国教育部主办：华中师范大学湖北省数学学会武汉数学学会
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