第二章 §2 2.1
一、选择题
1．平面内到定点F 的距离等于到定直线l 的距离的点的轨迹是( ) A ．抛物线 B ．直线 C ．抛物线或直线 D ．不存在
[答案] C
[解析] 当点F 在直线l 上时，为过点F 与l 垂直的直线；当点F 不在直线l 上时，为抛物线．
2．抛物线y 2＝20x 的焦点坐标为( ) A ．(20,0) B ．(10,0) C ．(5,0) D ．(0,5) [答案] C
3．已知抛物线y ＝3
4x 2，则它的焦点坐标是( )
A ．(0，3
16)
B ．(3
16，0)
C ．(1
3，0)
D ．(0，1
3)
[答案] D
[解析] 由y ＝34x 2，得x 2＝43y ，则p 2＝13，抛物线开口向上，所以焦点坐标为(0，1
3)．
4．若抛物线y 2＝2px
的焦点与椭圆x 26＋y 2
2
＝1的右焦点重合，则p 的值为( )
A ．－2
B ．2
C ．－4
D ．4 [答案] D
[解析] 椭圆的右焦点为(2,0)， ∴p
2
＝2，∴p ＝4. 5．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＋2x ＝0 B ．x 2＋y 2＋x ＝0 C ．x 2＋y 2－x ＝0 D ．x 2＋y 2－2x ＝0
[答案] D
[解析]抛物线y2＝4x的焦点是(1,0)．
∴圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.
6．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是() A．4B．6
C．8D．12
[答案] B
[解析]本题考查抛物线的定义．
由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.
二、填空题
7．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝4x上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点P的横坐标x＝________.
[答案] 5
[解析]设P(x0，y0)，抛物线y2＝4x的准线x＝－1，
则P到准线的距离为x0＋1.
∵P到焦点的距离为6，
∴由抛物线定义得x0＋1＝6，
∴x0＝5.
8．根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为x＝－1，________；
(2)焦点在x轴的负半轴上，焦点到准线的距离是2，________.
[答案](1)y2＝4x(2)y2＝－4x
[解析](1)∵抛物线的准线方程为x＝－1，
＝1，∴p＝2，
∴焦点在x轴正半轴，且p
2
∴抛物线的方程为y2＝4x.
(2)∵焦点到准线距离为2，∴p＝2.
又∵焦点在x轴负半轴上，
∴抛物线方程为y2＝－4x.
三、解答题
9．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(3，－4)；
(2)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上． [解析] (1)∵点(3，－4)在第四象限，
∴抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0)．
把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝94
，
∴所求抛物线的方程为y 2＝
163x 或x 2＝－9
4
y . (2)对于直线x ＋3y ＋15＝0，令x ＝0，得y ＝－5； 令y ＝0，得x ＝－15.
∴抛物线的焦点坐标为(0，－5)或(－15,0)． ∴所求抛物线的标准方程是x 2＝－20y 或y 2＝－60x .
10．某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5m 时，水面宽为8m ，一木船宽4m ，高2m ，载货后木船露在水面上的部分高为3
4m ，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不
能通航？
[答案] 2m
[解析] 以拱桥顶为坐标原点，拱高所在直线为y 轴，建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意知，点A (4，－5)在抛物线x 2＝－2py (p >0)上．
∴16＝－2p ×(－5)，2p ＝16
5
.
∴抛物线方程为x 2＝－16
5
y (－4≤x ≤4)．
设水面上涨，船面两侧与抛物线拱桥接触于B 、B ′时，船开始不能通航，设B (2，y ′)． 由22＝－165×y ′，∴y ′＝－54
.
∴水面与抛物线拱顶相距|y ′|＋3
4
＝2(m)．
水面上涨到与抛物线拱顶相距2m 时，木船开始不能通航.
一、选择题
1．在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3的距离相等的点的轨迹是( ) A ．直线 B ．抛物线 C ．圆 D ．双曲线
[答案] A
[解析] ∵点(1,1)在直线x ＋2y ＝3上，故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x ＋2y ＝3垂直的直线．
2．抛物线y ＝1
a x 2(a ≠0)的焦点坐标为( )
A ．(0，a 4)或(0，－a
4)
B ．(0，a
4)
C ．(0，14a )或(0，－1
4a )
D ．(0，1
4a
)
[答案] B
[解析] 抛物线的标准方程为x 2＝ay ，当a >0时，2p ＝a ，p ＝a 2，焦点坐标为(0，a
4)；当
a <0时，2p ＝－a ，p ＝－a 2，焦点坐标为(0，－p 2)，即(0，a
4
)．故选B.
3．过点F (0,3)，且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x
C ．x 2＝12y
D ．x 2＝－12y
[答案] C
[解析] 由题意，知动圆圆心到点F (0,3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线．
4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为 ( ) A.1
2 B ．1 C ．2 D ．4
[答案] C
[解析] 抛物线的准线为x ＝－p
2
，
将圆方程化简得到(x －3)2＋y 2＝16，准线与圆相切，则－p
2＝－1?p ＝2，选C.
二、填空题
5．(2014·西安市长安中学期中)已知椭圆x 2＋ky 2＝3k (k >0)的一个焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该椭圆的离心率是________．
[答案]
3
2
[解析] 抛物线的焦点为F (3,0)，椭圆的方程为：x 23k ＋y 2
3＝1，∴3k －3＝9，∴k ＝4，
∴离心率e ＝323＝3
2
.
6．若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________． [答案] 2 x ＝－1
[解析] 本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程. 由p
2＝1知p ＝2，则准线方程为x ＝－
p
2
＝－1. 三、解答题
7．设抛物线的方程为y ＝ax 2(a ≠0)，求抛物线的焦点坐标与准线方程． [答案] (0，14a ) y ＝－1
4a
[解析] 抛物线方程y ＝ax 2(a ≠0)化为标准形式： x 2＝1
a
y ，
当a >0时，则2p ＝1a ，解得p ＝12a ，p 2＝1
4a ，
∴焦点坐标是(0，14a )，准线方程是y ＝－1
4a .
当a <0时，则2p ＝－1a ，p 2＝－1
4a
.
∴焦点坐标是(0，14a )，准线方程是y ＝－1
4a ，
综上，焦点坐标是(0，14a )，准线方程是y ＝－1
4a .
8．在抛物线y 2＝2x 上求一点P ，使其到直线l ：x ＋y ＋4＝0的距离最小，并求最小距离．
[答案] P ????12，－1 最小距离724
[解析] 解法一：设P (x 0，y 0)是抛物线上的点，则x 0＝y 20
2
，P 到直线x ＋y ＋4＝0的距离
为d ＝
|x 0＋y 0＋4|2
＝
????
y 2
02＋y 0＋42
＝
(y 0＋1)2＋7
22
≥722
＝72
4.
故当点P 的坐标为????12，－1时，d 有最小值72
4
. 解法二：因为?????
y 2＝2x
x ＋y ＋4＝0
无实根，
所以直线与抛物线没有公共点．
设与直线x ＋y ＋4＝0平行的直线为x ＋y ＋m ＝0.
由?????
x ＋y ＋m ＝0
y 2＝2x
消去x ，得y 2＋2y ＋2m ＝0， 设此直线与抛物线相切，即只有一个公共点． 所以Δ＝4－8m ＝0，所以m ＝12.
由?
????
x ＋y ＋12＝0y 2＝2x ，得y ＝－1，x ＝1
2
.
即点P ????12，－1到直线x ＋y ＋4＝0的距离最近，
距离d ＝
????
4－122＝
72
4
.