宁夏青铜峡市高级中学2020-2021学年高一12月月考数学试题

2020-2021学年第一学期高一年级物理月考试卷一、选择题（共48分，单项选择题1-12题，每题3分，共36分；多选题13-15题，全选正确得4分，选不全得2分，有错选得0分，共12分。

）1. 下述各力中，根据力的性质命名的是（）A. 重力B. 压力C. 拉力D. 阻力【答案】A【解析】【详解】A．重力是物体由于受到地球的吸引而产生的；故属于按性质命名的力，A正确；B．压力是从力的作用效果的角度命名的，B错误；C．拉力是从力的作用效果的角度命名的，C错误；D．阻力是按效果命名的力，D错误。

故选A。

2. 关于摩擦力与弹力的关系，下列说法中错误的是（）A. 有摩擦力一定有弹力B. 同一接触面上的弹力和摩擦力的方向一定垂直C. 滑动摩擦力的方向总跟接触面相切，跟物体的相对运动方向相反D. 静摩擦力是在两个运动的物体之间产生，其大小与两个物体间的压力成正比【答案】D【解析】【详解】A．从摩擦力产生的条件来看，有摩擦力一定有弹力，但有弹力不一定有摩擦力，A 正确；B．弹力的方向垂直于接触面，摩擦力的方向沿着接触面，同一接触面上的弹力和摩擦力的方向一定垂直，B正确；C．滑动摩擦力的方向总跟接触面相切，跟物体的相对运动方向相反，C正确；D．静摩擦力的大小不一定与接触面上的压力成正比，最大静摩擦力与两个物体间的压力成正比，D错误。

故选D。

3. 物体同时受到同一平面内的三个力作用，下列几组力中，它们的合力不可能为零的是( )A. 5N、7N、8 NB. 2N、3N、5NC. 1N、5N、10 ND. 1N、10N、10N【答案】C【解析】【详解】三个力合力为0时，则任意两个力的合力与第三个力大小相等，方向相反，由此可知，任意一个力在另外两个力的合力范围之内．5N和7N的合力范围为：2N-12N，8N在合力范围里，故三个力的合力可能为0；故A错误；2N和3N的合力范围为：1N-5N，5N在合力范围里，故三个力的合力可能为0；故B错误；1N和5N的合力范围为：4N-6N，10N不在合力范围里，故三个力的合力不可能为0；故C正确；1N和10N的合力范围为：9N-11N，10N在合力的范围里，故三个力的合力可能为0．故D错误．4. 如图所示，一物体受到向右的F=2N的力作用，由于水平面粗糙，力F没有推动物体。

2021届宁夏银川一中高三上学期第一次月考数学（理）试卷★祝考试顺利★ (含答案)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合()22,14y A x yx ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，1(,)4x B x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B 的子集的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A 【解析】由题意，集合A 表示椭圆，集合B 表示指数函数，画出图形，数形结合可得答案.【详解】集合()22,14y A x y x ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，1(,)4x B x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭， 则()2214=,14x y x A B x y y ⎧⎫⎧+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⋂⎨⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎩⎭，画出图形如图：由图可知，A B 的元素有2个，则A B 的子集有22=4个， 故选：A2. 函数()221log x f x x-=的定义域为（ ） A. ()0,∞+B. ()1,+∞C. ()0,1D. ()()0,11,+∞【答案】D 【解析】根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围即可.【详解】由题意，2log 00x x ≠⎧⎨>⎩，解得0x >且1x ≠，即函数()221log x f x x-=的定义域为()()0,11,+∞.故选：D.3. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C. 命题“x R ∃∈，使210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x +->”D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 【答案】D 【解析】分别根据四种命题之间的关系以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【详解】解：A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x ≠，则1x ≠”，则A 错误．B ．由2560x x --=，解得6x =或1x =-，则“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故B 错误．C ．命题“x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x ++”，故C 错误．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，则根据逆否命题的等价性可知命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题，故D 正确．故选D ．4. 埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ） A. 128.5米 B. 132.5米 C. 136.5米 D. 110.5米【答案】C 【解析】设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案． 【详解】胡夫金字塔原高为h ，则2304 3.141592h ⨯= ，即2304146.42 3.14159h ⨯=≈⨯米， 则胡夫金字塔现高大约为136.4米．故选C ．5. 下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是（ ） A. 1ln||y x = B. ()ln(1)ln(1)f x x x =--+C. e e ()2x xf x -+=D. e 1()e 1x x f x -=+【答案】D 【解析】根据已知利用函数的性质逐项分析排除即可.【详解】在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是奇函数，A 选项，1()ln()||f x f x x -==是偶函数，不符合条件； B 选项，定义域{|1}x x >不关于原点对称，不符合条件；C 选项，e e ()()2x xf x f x -+-==是偶函数，不符合条件；D 选项中，因为()()1111x xxx e e f x f x e e -----====-++，所以函数()11x x e f x e -=+为奇函数，将函数式变为()211xf x e =-+，随着x 增大函数值也增大，()f x 是单调递增函数，符合条件， 故选：D.6. 设函数32()log x f x a x+=-在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 3(1,log 2)--B. 3(0,log 2)C. 3(log 2,1)D. 3(1,log 4)【答案】C试题分析：∵单调函数32()log x f x a x+=-在区间（1，2）内有零点， ∴f （1）•f （2）＜0 又则 解得，故选Ｃ．7. 已知函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（0a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A. 1- B. 12- C.12D. 2【答案】C 【解析】由()12f =可确定函数解析式，然后根据分段函数的意义求值即可.【详解】函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（0a >且1a ≠），()12f a ==，则()22,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，121212f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则11222112log 222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C8. 函数1()||(1)x x e f x x e +=-的图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】研究函数的定义域和奇偶性，用排除法求解．【详解】函数1()||(1)x x e f x x e +=-的定义域是{|0}x x ≠，排除BD ，又11()()(1)(1)x xx xe ef x f x x e x e --++-===----，即函数为奇函数．排除A ． 故选：C.9. 若()2xf x =的反函数为()1f x -，且()()114f a f b --+=，则11a b+的最小值是（ ） A. 1 B.12C. 13D.14【答案】B 【解析】先求出()1f x -，根据题中条件，求出16ab =，再由基本不等式，即可求出结果.【详解】由2x y =得2log x y =，所以()12log f x x -=，又()()114f a f b --+=，所以22log log 4a b +=，即2log 4ab =，所以16ab =，因此112142a b +≥==， 当且仅当11a b=，即4a b ==时，等号成立. 故选：B.10. 设0.512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.50.3b =，0.3log 0.2c =，则a 、b 、c 的大小关系（ ）．A. b a c <<B. a b c <<C. a b c >>D. a c b <<【答案】A 【解析】利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即可.【详解】解：因为12y x =在[0,)+∞上单调递增，110.32>> 所以0.50.50.5110.32⎛⎫> ⎪⎝⎭>，即0.50.5110.32⎛⎫>> ⎪⎝⎭因为0.30.3log 0.2log 0.31>= 所以b a c << 故选：A11. 已知定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()()0xf x f x -<'，且()22f =，则()0x xf e e ->的解集是（ ） A. (),ln2-∞ B. ()ln2,+∞C. ()20,eD. ()2,e +∞【答案】A 【解析】 构造函数()g x =()f x x，求导确定其单调性，()0x x f e e ->等价为()()2xg e g >，利用单调性解不等式即可 【详解】令()g x =()()()()()2,0,g x f x xf x f x g x xx-=<∴'' 在()0,+∞上单调递减，且()()221,2f g ==故()0xxf e e ->等价为()()2,2x xf e f e>即()()2xg e g >,故2xe<,解x<ln2,故解集为(),ln2-∞ 故选A12. 已知函数1,0,()ln 1,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解a ，b ，()c a b c <<，则()a b c +的取值范围是（ ）A. 52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 22,e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C. 52,2⎛⎤⎥⎝⎦D. 52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】画出()f x 的图像，根据图像求出m 以及a +b 的值和c 的范围，进一步求出答案. 【详解】画出()f x 的图像，因为方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解a ，b ，()c a b c << 可知m 的范围(]0,1由题可知a +b =-2，0ln 11c <+≤所以11c e<≤所以()22-≤+<-a b c e .故选：B. 二、填空题13. 若函数()f x 称为“准奇函数”，则必存在常数a ，b ，使得对定义域的任意x 值，均有()(2)2f x f a x b +-=，已知()1xf x x =-为准奇函数”，则a ＋b ＝_________. 【答案】2. 【解析】根据函数关于点对称的关系式，找到函数f （x ）的对称点，即可得到结论． 【详解】由()(2)2f x f a x b +-=知“准奇函数”()f x 关于点(,)a b 对称； 因为()1xf x x =-=111x +-关于(1,1)对称，所以1a =，1b =，2a b +=. 故答案为2.14. 若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是________； 【答案】51[,)8+∞ 【详解】函数()323f x x tx x =-+，()2'323f x x tx =-+又函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减∴23230x tx -+≤在区间[]1,4上恒成立即323048830t t -+≤⎧⎨-+≤⎩，解得:518t ≥，当518t =时，经检验适合题意． 故答案为51,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． 15. 已知函数()f x 的值域为[]0,4（2,2x），函数()1=-g x ax ，2,2x，[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围为________________.【答案】55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】依题意分析()f x 的值域A 包含于()g x 的值域B ，再对a 分类讨论得到()g x 的值域，列关系计算即可.【详解】因为[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立， 所以()f x 的值域A 包含于()g x 的值域B ，依题意A =[]0,4，又函数()1=-g x ax ，2,2x，因此，当0a =时，{}1B =-，不满足题意；当0a >时，()g x 在[]2,2-上递增，则[][]21,210,4B a a =---⊇，故210214a a --≤⎧⎨-≥⎩，即得52a ≥；当0a <时，()g x 在[]2,2-上递减，则[][]21,210,4B a a =---⊇，故210214a a -≤⎧⎨--≥⎩，即得52a ≤-.综上，实数a 的取值范围为55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 故答案为：55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 16. 定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且()()4f x f x -=，现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期； ②()f x 的图象关于直线2x =对称； ③()f x 是偶函数．其中正确的序号是 . 【答案】①②③试题分析：由()()20f x f x ++=，得，则，即4是的一个周期，8也是的一个周期；由()()4f x f x -=，得的图像关于直线对称；由()()4f x f x -=与，得，即，即函数为偶函数.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 一、必考题：17. 已知幂函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >.（1）求m 的值及函数()f x 的解析式；（2）若()()212+<-f a f a ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2m =，()4f x x -=； （2）111(,)(,3)322-.【解析】（1）由()()23f f >，得到240m m -<，从而得到04m <<，又由m Z ∈，得出m 的值和幂函数的解析式；（2）由已知得到122a a -<+且120,20a a -≠+≠，由此即可求解实数a 的取值范围. 【详解】（1）由题意，函数()24-=mmf x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >，所以在区间(0,)+∞为单调递减函数， 所以240m m -<，解得04m <<，又由m Z ∈，且函数()24-=m m f x x （实数m Z ∈）的图像关于y 轴对称，所以24m m -为偶数，所以2m =，所以()4f x x -=.（2）因为函数()4f x x -=图象关于y 轴对称，且在区间(0,)+∞为单调递减函数，所以不等式()()212+<-f a f a ，等价于122a a -<+且120,20a a -≠+≠，解得1132a -<<或132a <<， 所以实数a 的取值范围是111(,)(,3)322-.18. 已知函数()()()210211x c cx x c f x c x -⎧+<<⎪=⎨⎪+≤<⎩满足()298f c =.（1）求常数c的值； （2）解不等式()18f x >+. 【答案】（1）12c =；（2）58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 【解析】（1）根据题意，得到01c <<，所以2c c <，再由函数解析式，根据()298f c =，得到3918c +=，求解，即可得出结果；（2）先由（1）得到4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，，，分102x <<，112x ≤<两种情况，解对应的不等式，即可得出结果.【详解】（1）因为01c <<，所以2c c <；由()()()210211x c cx x c f x c x -⎧+<<⎪=⎨⎪+≤<⎩，()298f c =，可得3918c +=，解得：12c =； （2）由（1）得4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，，， 由()18f x >+得， 当102x <<时，11128x +>+，解得4x >，则142x <<； 当112x ≤<时，4211x -+>+，解得58x <，则1528x ≤<； 所以()1f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 19. 已知函数()21log 1ax f x x +=-（a 为常数）是奇函数. （1）求a 的值与函数()f x 的定义域.（2）若当()1,x ∈+∞时，()()2log 1f x x m +->恒成立.求实数m 的取值范围.【答案】（1）1a =，定义域为{1x x <-或}1x >；（2）(],1-∞.【解析】（1）根据函数是奇函数，得到()()f x f x -=-，求出1a =，再解不等式101x x +>-，即可求出定义域；（2）先由题意，根据对数函数的性质，求出()()2log 1f x x +-的最小值，即可得出结果.【详解】（1）因为函数()21log 1ax f x x +=-是奇函数， 所以()()f x f x -=-，所以2211log log 11ax ax x x -+=----， 即2211log log 11ax x x ax--=++， 所以1a =，令101x x +>-，解得1x <-或1x >， 所以函数的定义域为{1x x <-或}1x >；（2）()()()22log 1log 1f x x x +-=+，当1x >时，所以12x +>，所以()22log 1log 21x +>=.因为()1,x ∈+∞，()()2log 1f x x m +->恒成立，所以1m ，所以m 的取值范围是(],1-∞.20. 已知函数22()(22)(1)x f x x ax e a x =-+⋅+-⋅.（1）求曲线()y f x =在()0,2处的切线方程；（2）若23a =，证明：()2f x ≥. 【答案】（1）2y =；（2）证明见解析.【解析】（1）对函数求导，求出()00f '=，再由导数的几何意义，即可求出切线方程；（2）若23a =，则()222122e 33x f x x x x ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭，由（1）得到()2(1)e 13x f x x x '⎡⎤=-⋅+⎣⎦，设函数()(1)e 1x g x x =-⋅+，对()g x 求导，研究()g x 单调性，求出()()00g x g ≥=，判定()f x 单调性，求出最小值，即可得出结果.【详解】（1）由22()(22)(1)x f x x ax e a x =-+⋅+-⋅得()()()()()2222e (22)2121e 21x x x f x ax x ax e a x a x ax a x '⎡⎤=-++-+⋅+-=-+⋅+-⎣⎦，所以()00f '=，由导数的几何意义可知：曲线()y f x =在()0,2处的切线斜率0k =，曲线()y f x =在()0,2处的切线方程()200y x -=⨯-，即2y =.（2）若23a =，则()222122e 33x f x x x x ⎛⎫=-+⋅+ ⎪⎝⎭，由（1）可知，()22222e (1)e 13333x x f x x x x x x ⎛⎫'⎡⎤=-+⋅+=-⋅+ ⎪⎣⎦⎝⎭， 设函数()(1)e 1x g x x =-⋅+，则()e x g x x '=⋅，当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，则()g x 在(),0-∞单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+单调递增，故()()00g x g ≥=，又()()23f x xg x '=⋅，故当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，则()f x 在(),0-∞单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 在()0,∞+单调递增，故()()02f x f ≥=.21. 已知函数()()2212ln 2f x a x x ax a R =-++∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a <时，求函数()f x 在区间[]1,e 的最小值.【答案】（1）答案详见解析；（2）答案详见解析.【解析】（1）先对函数求导，根据结果分0a >、0a =、0a <三种情况，令导函数等于0，分别求出每种情况的单调区间即可；（2）结合第一问的单调性，分2e a ≤-、122e a -<<-和102a -≤<两种情况，分别讨论每一段的最小值即可.【详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，（Ⅰ）.()()()2222x a x a x ax a f x x x+-+-'==， （1）当0a =时，()0f x x '=>，所以()f x 在定义域为()0,∞+上单调递增；（2）当0a >时，令()0f x '=，得12x a =-（舍去），2x a =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：此时，()f x 在区间()0,a 单调递减，在区间(),a +∞上单调递增；（3）当0a <时，令()0f x '=，得12x a =-，2x a =（舍去），当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：此时，()f x 在区间()0,2a -单调递减，在区间()2,-+∞a 上单调递增.（Ⅱ）.由Ⅰ知当0a <时，()f x 在区间()0,2a -单调递减，在区间()2,-+∞a 上单调递增.（1）当2a e -≥，即2e a ≤-时，()f x 在区间[]1,e 单调递减， 所以()f x 的最小值为()22122f e a ea e =-++； （2）当12a e <-<，即122e a -<<-时，()f x 在区间()1,2a -单调递减，在区间()2,a e -单调递增，所以()f x 的最小值为()()222ln 2f a a a -=--，（3）当21a -≤，即102a -≤<时，()f x 在区间[]1,e 单调递增，所以()f x 的最小值为()112f a =+. 二、选考题：请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22. 心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系Ox 中，方程(1sin )a ρθ=-（0a >）表示的曲线1C 就是一条心形线，如图，以极轴Ox 所在的直线为x 轴，极点O 为坐标原点的直角坐标系xOy 中.已知曲线2C 的参数方程为133x t y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）若曲线1C 与2C 相交于A 、O 、B 三点，求线段AB 的长.【答案】（1）6πθ=（ρ∈R ）；（2）2a . 【解析】 （1）化简得到直线方程为33y x =，再利用极坐标公式计算得到答案. （2）联立方程计算得到,26a A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，37,26a B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算得到答案 . 【详解】（1）由133x t y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩消t 得，30x -=即33y x =， 2C 是过原点且倾斜角为6π的直线，∴2C 的极坐标方程为6πθ=（ρ∈R ）.（2）由6(1sin )a πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得，26a ρπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴,26a A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，由76(1sin )a πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得3276a ρπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴37,26a B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴3||222a a AB a =+=. [选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数()|31||33|f x x x =-++（1）求不等式()10f x ≥的解集；（2）正数,a b 满足2a b +=≥.【答案】(1) 4(,2][,)3-∞-+∞ (2)证明见解析 【解析】（1）分类讨论，去绝对值，解一元一次不等式，即可求解；（2）要证不等式两边平方，等价转化证明()f xa b ≥++min ()f x a b ≥++根据绝对值的不等式求出min ()f x ，运用基本不等式即可证明结论.【详解】（1）当1x <-时，()13336210f x x x x =---=--≥， 解得2x -≤，所以2x -≤；当113x -≤≤时，()1333410f x x x =-++=≥，x φ∈； 当13x >时，()31336210f x x x x =-++=+≥， 解得43x ≥，所以43x ≥. 综上，不等式()10f x ≥的解集为4(,2][,)3-∞-+∞. （2）证明：因为,ab≥等价于()f x a b ≥++x ∈R 恒成立.又因()|31||33|4f x x x =-++≥，且2a b +=1≤， 12a b +≤=，当且仅当1a b ==时等号成立.≥成立.。

一、选择题〔本大题共12个小题，每题5分，共60分〕1．以下说法中，正确的选项是〔 〕 A ．直线的倾斜角为α，那么此直线的斜率为tan αB ．直线的斜率为tan α，那么此直线的倾斜角为αC ．假设直线的倾斜角为α，那么sin 0α>D ．任意直线都有倾斜角α，且90α︒≠时，斜率为tan α2.假设经过点A (2,1),B (1,m )的直线l 的倾斜角为锐角,那么m 的取值范围是() A .m<1B .m>1C .m<-1D .m>-13．正方体的棱长为1，那么该正方体外接球的体积与其内切球外表积之比为〔〕A ．18:1B ．3:1C ．D 24．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，那么以下命题正确的选项是〔〕A ．假设//m α，//m n ，那么//n αB ．假设//αβ，//m α，那么//m βC ．假设m α⊥，//m n ，那么 n α⊥D ．假设αβ⊥，//m α，那么m β⊥ 5．假设圆台的母线与高的夹角为6π，且上、下底面半径之差为2，那么该圆台的高为〔〕A ．3B ．2C ．D ．6.说法正确的选项是〔〕A ．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B ．三棱锥的三个侧面都可以是直角三角形C ．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥7如图，在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，，那么 2021-2021学年第一学期 高二年级数学第一次月考测试卷 命题人：青铜峡市高级中学 吴忠中学青铜峡分校AD 与BC 所成的角为( )A ．30°B．60°C．90° D ．120°8如图，一个圆柱的底面半径为3，高为2，假设它的两个底面圆周均在球O 的球面上，那么球O 的外表积为〔〕A ．323π B ．16π C ．8π D ．4π 9在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1D BC D --的大小为〔 〕 A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 10．正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为〔〕A ．3a 2 B ．3 a 2 C ．6 a 2 D ．6 a 211．直四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱长为4，底面为正方形且边长为1，一小虫从C 点出发沿直棱柱侧面绕行一周后到达1C 点，那么小虫爬行的最短路程为〔〕A ．25B ．42C 7D ．512．如下图，AB 是⊙O 的直径，VA 垂直于⊙O 所在的平面，点C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，M ，N 分别为VA ，VC 的中点，那么以下结论正确的选项是( )A ．MN ∥AB B ．MN 与BC 所成的角为45°C ．OC ⊥平面VACD ．平面VAC ⊥平面VBC二、填空题：本大题共4小题，每题5分. 共20分13．假设直线l 经过点()2,1a --和()2,1a --，且与斜率为23-的直线垂直，那么实数a 的值为_______14．正六棱锥底面边长为a ，体积为23a 3，那么侧棱与底面所成的角为 _______15．圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm ，圆心角为23π的扇形，那么此圆锥的体积为___________3cm ．16．如图，一个空间几何体的三视图，其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图是边长为2的正方形，那么其体积是三、解答题：本大题共6小题， 共70分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．〔10分〕 ()1,2A ，()2,1B ，()0,C m 三点．〔1〕假设过A ，C 两点的直线的倾斜角为45︒，求m 的值．〔2〕A ，B ，C 三点可能共线吗？假设能的，求出m 值．18．〔12分〕四边形ABCD 的顶点A (m ，n )、B (5，－1)、C (4,2)、D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形.19.〔12分〕如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AC BC BC CC ⊥=.设1AB 的中点为D ，11.B C BC E =求证：(1)11//DE AACC 平面俯视图 正视图 侧视图(2)11BC AB ⊥20．〔12分〕如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，120BCD ︒∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PB = 2.AB AC PA ===〔1〕求证：BD ⊥平面PAC〔2〕过AC 的平面交PD 于点M ，假设——12P AC PAC D M V V =，求三棱锥P AMC -的体积． 21．〔12分〕如图，矩形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，//AB CD ，2AB AD ==，4CD =，ED =M 为CE 的中点，N 为CD 中点．()1求证：平面//BMN 平面ADEF ；()2求证：平面BCE ⊥平面BDE ；22. 〔12分〕如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的一点.(I)求证:平面 PAC ⊥平面PBC .(II)假设2AB AC PA ===，1，求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值. 1-12.DADCDBCBBDBD。

2020-2021学年宁夏青铜峡市高级中学高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．下列说法中，正确的是（）A ．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB ．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC ．若直线的倾斜角为α，则sin 0α>D ．任意直线都有倾斜角α，且90α︒≠时，斜率为tan α 答案：D利用直线的倾斜角与直线斜率的定义即可判断. 解：对于A ，当90α︒=时，直线的斜率不存在，故A 不正确； 对于B ，虽然直线的斜率为tan α，但只有0180α︒︒<时，α才是此直线的倾斜角，故B 不正确； 对于C ，当直线与x 轴平行或重合时，0α︒=，sin 0α=，故C 不正确；根据直线倾斜角的定义以及斜率的定义，可判断D 正确； 故选：D . 点评：本题考查了直线的倾斜角与直线的斜率定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 2．若经过点A (2，1)，B (1，m )的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是（） A ．m <1 B ．m >1 C ．m <-1 D ．m >-1答案：A设直线l 的倾斜角为α，利用1tan 012AB m k α-==>-求解即可. 解：设直线l 的倾斜角为α， 则1tan 012AB m k α-==>-， ∴1m <. 故选：A.本题主要考查了直线的倾斜角，要求学生结合斜率的计算公式，结合斜率与倾斜角的关系，进行分析求解；属于较易题.3．已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的体积与其内切球表面积之比为（）A ．18:1B ．3:1C ．D 2答案：D12，利用球体积，表面积公式计算得结果. 解：由正方体性质知，它的外接球的半径为R ，内切球的半径为12r =，32443V R S r πππ∴====球球，，V ∴球：S 球= 2故选：D 点评：本题主要考查了正方体的性质，球的体积，表面积的计算，属于基础题.4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A ．若//m α，//m n ，则//n α B ．若//αβ，//m α，则//m β C ．若m α⊥，//m n ，则 n α⊥ D ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥答案：C由线面平行的性质和线面的位置关系，可判断A ；由面面平行和线面平行的性质，可判断B ；由线面垂直的性质，可判断C ；由面面平行的性质和判定，可判断D. 解：解：对于A ，若//m α，//m n ，可得//n α或n ⊂α，故A 错误； 对于B ，若//αβ，//m α，可得//m β或m β⊂，故B 错误；对于C ，由两条平行线中一条垂直于一个平面，可得另一条也垂直于这个平面，则n α⊥，故C 正确；对于D ，若αβ⊥，//m α，当m 平行于α、β的交线，则//m β，故D 错误.【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的关系，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题. 5．若圆台的母线与高的夹角为6π，且上、下底面半径之差为2，则该圆台的高为（）A ．B ．2C ．D ．答案：D设上、下底面半径分别为R ，r ，圆台高为h ，然后根据题意列出等式求出h 即可. 解：设上、下底面半径分别为R ，r ，圆台高为h ，由题可知：tan 6R r h π-=，即23h =，所以h = 故选：D . 点评：本题考查圆台中相关量的计算，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 6．下列说法正确的是（）A ．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B ．三棱锥的三个侧面都可以是直角三角形C ．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 答案：B对A 、C 、D 分别举出反例即可，而对于B 可找到符合条件的图形，进而得出答案. 解：对于A ，如图（1）符合条件但却不是棱柱；对于B，在图（2）所示的正方体中，的三个侧面都是直角三角形，故B正确.三棱锥1B BCD对于C，如图（3），其侧棱不相交于一点，故不是棱台.对于D，如图（4），以直角三角形的斜边AB为轴旋转得到的是两个对底的圆锥.故选：B. 点评：本题考查空间几何体的识别，正确理解柱体、台体及锥体的定义是解题的关键，本题属于基础题.7．如图，在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，EF=2，则AD 与BC 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案：C取AC 的中点M ，连ME,MF ， 因为点E ，F 分别为AB ，CD 的中点， 所以,ME BC MFAD ，且11==1,==122ME BC MF AD所以EMF ∠为异面直线AD 与BC 所成的角（或其补角）， 在MEF ∆中，1,2ME MF EF ===,所以222ME MF EF +=, 所以90EMF ∠=︒．即异面直线AD 与BC 所成的角为90︒．选C ．8．如图，一个圆柱的底面半径为3，高为2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为（）A ．323πB ．16πC ．8πD ．4π答案：B采用数形结合，根据勾股定理可得球的半径，然后利用球的表面积公式，可得结果. 解：根据题意，画图如下：则OA R =，3O A r '==，12hOO '==， 故在Rt OO A '∆中，22132OA OO O A ''=+=+=，2R ∴=，2244216S R πππ∴==⋅=球.故选：B 点评：本题主要考查球的表面积，属基础题.9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1D BC D --的大小为（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 答案：B根据BC ⊥平面11CDD C ，可知1BC CD ⊥，同时BC CD ⊥，可知二面角1D BC D --的平面角为1∠DCD ，即可得结果. 解：由题可知：在正方体1111ABCD A B C D -中，BC ⊥平面11CDD C 由1CD ⊂平面11CDD C ，所以1BC CD ⊥，又BC CD ⊥ 所以二面角1D BC D --的平面角为1∠DCD ， 因为1=CD DD ，则1=4π∠DCD故选：B 点评：本题考查二面角的平面角的大小，关键在于找到该二面角的平面角，考查观察能力以及概念的理解，属基础题.10．已知正ABC 的边长为a ，那么ABC 的平面直观图A B C '''的面积为（） A ．234a B ．238a C ．268a D ．2616a 答案：D作出正ABC 的实际图形和直观图，计算出直观图A B C '''的底边B C ''上的高，由此可求得A B C '''的面积. 解：如图①②所示的实际图形和直观图.由斜二测画法可知，A B AB a ''==，1324O C OC a ''==， 在图②中作C D A B ''''⊥于D ，则326sin 452C D O C ''=⨯'=='. 所以2116622A B C S A B C D a '''''''=⋅==△. 故选：D. 点评：本题考查直观图面积的计算，考查计算能力，属于基础题.11．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱长为4，底面为正方形且边长为1，一小虫从C 点出发沿直棱柱侧面绕行一周后到达1C 点，则小虫爬行的最短路程为（） A ．25 B ．42C ．7D ．5答案：B根据题意知小虫绕行一周爬行路程最短，即沿1CC 展开所得正方形的对角线1CC 为其最短路程. 解：由题意，小虫从C 点出发沿直棱柱侧面绕行一周后到达1C 点，所以将侧面沿1CC 展开所得正方形的对角线1CC 即为小虫爬行的最短路程，∴142CC = 故选：B 点评：本题考查了棱柱表面上的最短路径问题，属于简单题.12．如图所示，AB 是⊙O 的直径，VA 垂直于⊙O 所在的平面，点C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，M ，N 分别为VA ，VC 的中点，则下列结论正确的是（）A ．MN //AB B ．MN 与BC 所成的角为45° C ．OC ⊥平面VACD ．平面VAC ⊥平面VBC答案：D由中位线性质，平移异面直线即可判断MN 不与AB 平行，根据异面直线平面角知MN 与BC 所成的角为90°，应用反证知OC 不与平面VAC 垂直，由面面垂直的判定知面VAC ⊥面VBC ，即可知正确选项. 解：M ，N 分别为VA ，VC 的中点，在△VAC 中有//MN AC ， 在面ABC 中ABAC A =，MN 不与AB 平行；AC BC C =，知：MN 与BC 所成的角为90BCA ∠=︒；因为OC ⋂面VAC C =，OC 与平面内交线,AC VC 都不垂直，OC 不与平面VAC 垂直； 由VA ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC 即VA BC ⊥，而90BCA ∠=︒知AC BC ⊥，AC VA A ⋂=有BC ⊥面VAC ，又BC ⊂面VBC ，所以面VAC ⊥面VBC ；故选：D 点评：本题考查了异面直线的位置关系、夹角，以及线面垂直的性质，面面垂直判定的应用，属于基础题. 二、填空题13．若直线l 经过点()2,1a --和()2,1a --，且与斜率为23-的直线垂直，则实数a 的值为_______ 答案：23-由直线的垂直关系得132a -=，即可求a 的值. 解：由题意知：直线l 的斜率为32， ∴213222a a a =-=---+，即23a =-，故答案为：23- 点评：本题考查了根据直线的垂直关系求参数值，由直线垂直有121k k =-即可求参数值，属于简单题.14．正六棱锥底面边长为a ，体积为32a ，则侧棱与底面所成的角为____________. 答案：45根据正六棱锥底面边长为a ，可求出其底面积，再结合体积求出其高，进而求出侧棱的长，根据直线与平面所成的角的概念，即可求出侧棱与底面所成的角． 解：设正六棱锥的高为h ，因为正六棱锥底面边长为a ，所以其底面积226S ==，又因为其体积231133V Sh h ==⨯=，所以h a =， 所以侧棱与底面所成的角为45. 故答案为：45 点评：本题主要考查了棱锥的体积公式及直线与平面所成的角的求法，关键是利用六棱锥的体积，求出六棱锥的高．15．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为___________3cm ．答案：3由题意先求得圆锥的底面半径和高，再利用213V r h π=即可得解. 解：圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm ，圆心角为23π的扇形， ∴扇形的弧长为()2643cm ππ⨯=， ∴该圆锥底面半径为()422r cm ππ==，∴该圆锥的高为)h cm =，∴圆锥的体积为()23114333V r h cm ππ==⨯⨯.故答案为：1623π. 点评： 本题考查了圆锥体积的计算，考查了圆锥侧面展开图的应用，属于基础题. 16．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是_________.答案：由三视图可知此几何体是一个正四棱锥，此四棱锥的底面边长为2,高为,所以其体积为.三、解答题 17．已知()1,2A ，()2,1B ，()0,C m 三点．（1）若过A ，C 两点的直线的倾斜角为45︒，求m 的值．（2）A ，B ，C 三点可能共线吗？若能的，求出m 值．答案：（1）1m =；（2）能共线，3m =.（1）利用直线的倾斜角和斜率的关系，以及斜率公式得tan45°=1=210m --，即可求得m 的值；（2）三点共线，则任过两点的直线的斜率相等，根据斜率公式，可求m 的值. 解：（1）过A ，C 两点的直线的斜率为2210AC m k m -==--， 又直线AC 的倾斜角为45︒，所以=tan4512AC k m ︒==-，得1m =.（2）2210AC m k m -==--，21112AB k -==--， 若A ，B ，C 三点共线，则有AB AC k k =，即12m -=-，解得3m =，所以A，B，C三点能共线，且3m=.点评：本题考查了斜率公式，考查了斜率与倾斜角的关系；判断A、B、C三点共线的方法. 18．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)、B(5，－1)、C(4,2)、D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形.答案：m＝2、n＝－1或m＝165、n＝85-.解：试题分析：直角梯形有一组对边平行,还有垂直关系,此题分∠A＝∠D＝90°,∠A＝∠B＝90°两种情况讨论.试题解析：(1)如图，当∠A＝∠D＝90°时，∵四边形ABCD为直角梯形，∴AB∥DC且AD⊥AB.∵k DC＝0，∴m＝2，n＝－1.(2)如图，当∠A＝∠B＝90°时，∵四边形ABCD为直角梯形，∴AD∥BC，且AB⊥BC，∴k AD＝k BC，k AB k BC＝－1.∴解得m＝，n＝－.综上所述，m ＝2、n ＝－1或m ＝，n ＝－.19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AC BC ⊥，1BC CC =.设AB 的中点D ，11B C BC E =.求证：（1）DE 平面11AAC C ；（2）11BC AB ⊥.答案：（1）见解析（2）见解析试题分析：（1）要证线面平行，只需找线线平行，因为D,E 为中点，利用中位线即可证明；（2）只需证明1BC ⊥平面1B AC 即可，显然可证111B C B C AC B C ⊥⊥，，因此原命题得证.试题解析：⑴在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面111A B C ，且1BC CC =∴矩形11BB C C 是正方形，E ∴为1B C 的中点，又D 为1AB 的中点，//DE AC ∴，又DE ⊄平面11AA CC ，AC ⊂平面11AA CC ，//DE ∴平面11AA CC⑵在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,1AC CC ∴⊥又AC BC ⊥，1CC ⊂平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，1BC CC C ⋂=， AC ∴⊥平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，1AC B C ∴⊥矩形11BCC B 是正方形，11BC B C ∴⊥，1,AC B C ⊂平面1B AC ，1C C C A ⋂B =，1BC ∴⊥平面1B AC又1AB ⊂平面1B AC ，11BC AB ∴⊥.点睛：两条直线的垂直，一般需要用到线面垂直，先证明其中一条直线是另外一条直线所在平面的垂线，在此证明过程中，一般还要再次用到线面垂直的判定或性质，从而得到线线垂直.20．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，120BCD ︒∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，22PB =， 2.AB AC PA ===（1）求证：BD ⊥平面PAC（2）过AC 的平面交PD 于点M ，若——12P AC PAC D M V V =，求三棱锥P AMC -的体积． 答案：（1）证明见解析；（23（1）由菱形的性质有BD AC ⊥，勾股定理知PA AB ⊥，结合面面垂直的推论可得PA BD ⊥，根据线面垂直的判定证垂直即可；（2）由PA ⊥面ABCD 即可计算P ACD V -，结合已知条件可求三棱锥P AMC -的体积；解：（1）由题意知：底面ABCD 是菱形，且 2.AB AC ==∴BD AC ⊥，又在△PAB 中2AB PA ==，22PB =90PAB ∠=︒， ∴PA AB ⊥，又面P AB ⊥面ABCD ，面P AB 面ABCD AB =，PA ⊂面P AB ， ∴PA ⊥面ABCD ，而BD ⊂面ABCD ，有：PA BD ⊥，PAAC A =，∴BD ⊥平面PAC ；（2）由（1）知：PA ⊥面ABCD ，有1123||222sin 60363P ACD ACD V PA S -=⋅=⨯⨯⨯⨯︒=， 而——M PAC P AMC V V =，且——12P AC PAC D M V V =， ∴—3P AMC V =点评： 本题考查了应用几何图形的性质，及线面垂直的判定证明垂直，根据已知体积关系结合三棱锥的体积公式求三棱锥的体积.21．如图，矩形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，AB ∥CD ，AB=AD=2，CD=4，22ED =，M 为CE 的中点，N 为CD 中点．（1）求证：平面BMN ∥平面ADEF ；（2）求证：平面BCE 平面BDE ．答案：（1）见解析；（2）见解析.（1）由MN ∥ED ，得MN ∥平面ADEF ，得平面BMN ∥平面ADEF ；（2）由题意得ED ⊥BC ，得BC ⊥BD ，从而得BC ⊥平面BDE ．进而平面BCE ⊥平面BDE ， 解：（1）证明：在△EDC 中，,M N 分别为,EC DC 的中点，所以//MN ED ，又DE ⊂平面ADEF ，且MN ⊄平面ADEF ，所以MN ∥平面ADEF ．;因为N 为CD 中点，S S a =+∥1i i =+，2AB =，0,1,1S i a ===所以四边形ABND 为平行四边形，所以//BN DA又DA ⊂平面ADEF ，且BN ⊄平面ADEF ，所以BN ∥平面ADEF,BN MN N ⋂=,EN MN ⊂面BMN∴平面BMN ∥平面（2）证明：在矩形ADEF 中，ED AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，所以ED ⊥平面ABCD ．所以ED BC ⊥． 在直角梯形ABCD 中，2AB AD ==，4CD =，可得22BC =．在△BCD 中，22,4BD BC CD ===，因为222BD BC CD +=，所以BC BD ⊥． 因为BD DE D ⋂=,所以BC ⊥平面BDE ．BC ⊂面BCE ，∴平面BCE 平面点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.22．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的一点.（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若2,1AB AC PA ===，求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析；（22. （1）先证PA BC ⊥，AC BC ⊥，从而BC ⊥平面PAC ，再由面面垂直的判定定理得到平面PAC ⊥平面PBC ．（2）作CM ⊥平面ABC ，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求出直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值．解：（1）由AB 是圆的直径，得AC BC ⊥，由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA BC ⊥，又PA AC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，BC ∴⊥平面PAC ，BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC .（2）如图，作CM ⊥平面ABC ，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.在Rt ABC ∆中，2AB =，1AC =，3BC ∴=. 又1PA =，()0,1,0A ∴，()3,0,0B ，()0,1,1P . 故()3,0,0CB =，()0,1,1CP =. 设平面BCP 的法向量为()1111,,n x y z =，则110,0,CB n CP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11130,0,x y z ⎧=⎪∴⎨+=⎪⎩令11y =，则()10,1,1n =-. ()0,0,1AP =，设直线PA 与平面PBC 所成角为θ，∴11112sin cos ,22AP n AP n AP n θ⋅-=<>===. ∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为2.点评：本题考查面面垂直的证明、线面角的正弦值，考查推理论证能力和运算求解能力，求解时要注意充分发挥空间想象能力，将定判定定理和性质定理的条件写完整．。