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归纳法基本步骤

（一）：

一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n)，有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；

（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。

（二）：

对于某个与自然数有关的命题P(n)，

（1）验证n=n0时P(n)成立；

（2）假设n0≤n

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。

（三）倒推归纳法（）：

（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n)成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；

（2）假设P(k+1)（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k)成立，

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立；

（四）

对两个与自然数有关的命题P(n)，Q(n)，

（1）验证n=n0时P(n)成立；

（2）假设P(k)（k>n0）成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立；

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n)，Q(n)都成立。

应用

（1）确定一个表达式在所有范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。

（2）和广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。

（3）证明数列前n项和与通项公式的成立。

（4）证明和自然数有关的不等式。

数学归纳法的变体

在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。