当前位置：文档之家› 三角函数及导数试题

三角函数及导数试题

一．选择题（36分，每小题3分）

1．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为A ．120° B ．150° C ．180° D ．240°

2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC+ccosB=asinA ，则△ABC 的形状为

A ．直角三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．不确定

3．若函数f （x ），g （x ）满足0)()(1

-=dx x g x f ，则f （x ）

，g （x ）为区间

[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f （x ）=sin x ，g （x ）=cos x ；

②f （x ）=x+1，g （x ）=x ﹣1；③f （x ）=x ，g （x ）=x 2

，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

4．设函数f ′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣1）=0，当x ＞0时，xf ′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是 A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B ．（﹣1，0）∪（1，+∞） C ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D ．（0，1）∪（1，+∞） 5．已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=

时，函数f （x ）取得最

小值，则下列结论正确的是

A ．f （2）＜f （﹣2）＜f （0）

B ．f （0）＜f （2）＜f （﹣2）

C ．f （﹣2）＜f （0）＜f （2）

D ．f （2）＜f （0）＜f （﹣2）

6． “a ≤﹣1”是“函数f （x ）=lnx+ax+在[1，+∞）上是单调函数”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 7．函数y=sin （ωx+φ）（x ∈R ，ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图，则 A ．ω=，φ=

B ．ω=

，φ= C ．ω=

，φ=

D ．ω=

，φ=

8．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧的长为

l ，弦AP 的长为d ，则函数d=f （l ）的图象大致为

9．函数f （x ）=sinx 在区间（0，10π）上可找到n 个不同数x 1，x 2，…，x n ，使得

n x x f x x f x x f )(......)

()(2211=

==则n 的最大值等于

A ．8

B ．9

C ．10

D ．11

10．若函数f （x ）=sin ωx （ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω= A ．

B ．

C ．2

D ．3

11． “a=1”是“函数ax ax y 2

sin cos -=的最小正周期为π”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件

12．若5

2s i n ,532c

o s -==θθ

则角θ的终边一定落在直线上．

A ．7x+24y=0

B ．7x ﹣24y=0

C ．24x+7y=0

D ．24x ﹣7y=0

二．填空题（12分，每小题3分）

13．设函数f （x ）在（0，+∞）内可导，且f （e x ）=x+e x

，

则f ′（1）= ．

14．已知)3

sin()(π

ω+

=x x f （ω＞0），

)3()6(ππf f =，且f （x ）在区间)3

,6(π

π上有最小值，无最大值，则ω= ． 15．设f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且g （x ）≠0，当x ＜0时)()()()(x g x f x g x f '>'，

且0)3(=-f ，则不等式

()

(

16．如图，y=f （x ）是可导函数，直线l 是曲线y=f （x ）在x=4处的切线，令g （x ）=

，则g ′（4）

= ．

三．解答题（64分,17-20题每题11分，21、22每题10分） 17．设函数x

x x f π

=ln )(，m ∈R ．

（Ⅰ）当m=e （e 为自然对数的底数）时，求f （x ）的极小值；

（Ⅱ）讨论函数3

)(')(x

x f x g -=零点的个数；（Ⅲ）若对任意b ＞a ＞0，＜1恒成立，

求m 的取值范围．

18．设函数)ln 2

()(2x x k x

e x

f x +-=（k 为常数，

e=2.71828…是自然对数的底数）．

（Ⅰ）当k ≤0时，求函数f （x ）的单调区间；

（Ⅱ）若函数f （x ）在（0，2）内存在两个极值点，求k 的取值范围．

19．设函数x k x x f ln 2

)(2

-= k ＞0．（1）求f （x ）的单调区间和极值；

（2）证明：若f （x ）存在零点，则f （x ）在区间（1，）上仅有一个零点．

20．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2asinA=（2b ﹣c ）sinB+（2c ﹣b ）sinC ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a=2，b=2，求△ABC 的面积．

21．在△ABC 中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC 的长；（2）求sin2C 的值． 22．已知函数f （x ）=sin （2x ﹣

）+2cos 2

x ﹣1．

（Ⅰ）求函数f （x ）的单调增区间；

（Ⅱ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a=1，b+c=2，f （A ）=，求△ABC 的面积．四、选做题（共8分） 23．【选修4-4 坐标系与参数方程】已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为：，曲线C 的参数

方程为：

（α为参数）．

（I ）写出直线l 的直角坐标方程；

（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．

必做题答案：1-6 CACAAA 7-12 CCCBAD

13．2 14．

15．)3,0()3,( --∞16．-

17.解：（Ⅰ）当m=e 时，f （x ）=lnx+，∴f ′（x ）=

；

∴当x ∈（0，e ）时，f ′（x ）＜0，f （x ）在（0，e ）上是减

函数；

当x ∈（e ，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（e ，+∞）上是增函数；

∴x=e 时，f （x ）取得极小值为f （e ）=lne+=2；（Ⅱ）∵函数g （x ）=f ′（x ）﹣=﹣

﹣（x ＞0），

令g （x ）=0，得m=﹣x 3

+x （x ＞0）；设φ（x ）=﹣x 3

+x （x ＞0），

∴φ′（x ）=﹣x 2

+1=﹣（x ﹣1）（x+1）；

当x ∈（0，1）时，φ′（x ）＞0，φ（x ）在（0，1）上是增函数，

当x ∈（1，+∞）时，φ′（x ）＜0，φ（x ）在（1，+∞）上是减函数；

∴x=1是φ（x ）的极值点，且是极大值点，

∴x=1是φ（x ）的最大值点，∴φ（x ）的最大值为φ（1）=；

又φ（0）=0，结合y=φ（x ）的图象，如图；可知：①当m ＞时，函数g （x ）无零点； ②当m=时，函数g （x ）有且只有一个零点； ③当0＜m ＜时，函数g （x ）有两个零点； ④当m ≤0时，函数g （x ）有且只有一个零点；综上，当m ＞时，函数g （x ）无零点；

当m=或m ≤0时，函数g （x ）有且只有一个零点；当0＜m

＜

时，函数g （x ）有两个零点；

（Ⅲ）对任意b ＞a ＞0，

＜1恒成立，等

价于f （b ）﹣b ＜f （a ）﹣a 恒成立；设h （x ）=f （x ）﹣x=lnx+﹣x （x ＞0），则h （b ）＜h （a ）． ∴h （x ）在（0，+∞）上单调递减；∵h ′（x ）=﹣﹣1≤0

在（0，+∞）上恒成立，

∴m ≥﹣x 2

+x=﹣

+（x ＞0），∴m ≥；对于

m=，h ′（x ）=0仅在x=时成立；∴m 的取值范围是[，

+∞）．

18. 解：（Ⅰ）f （x ）的定义域为（0，+∞），∴f ′（x ）=

﹣k （﹣

）

（x ＞0），

当k ≤0时，kx ≤0，∴e x

﹣kx ＞0，令f ′（x ）=0，则x=2，∴

当0＜x ＜2时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞2时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，

∴f （x ）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k ≤0时，函数f （x ）在（0，2）内单调递减，

故f （x ）在（0，2）内不存在极值点；当k ＞0时，设函数g （x ）=e x

﹣kx ，x ∈[0，+∞）．

∵g ′（x ）=e x ﹣k=e x ﹣e lnk

，当0＜k ≤1时，当x ∈（0，2）

时，g ′（x ）=e x

﹣k ＞0，y=g （x ）单调递增，故f （x ）在（0，2）内不存在两个极值点；当k ＞1时，

得x ∈（0，lnk ）时，g ′（x ）＜0，函数y=g （x ）单调递减，x ∈（lnk ，+∞）时，g ′（x ）＞0，函数y=g （x ）单调递增，∴函数y=g （x ）的最小值为g （lnk ）=k （1﹣lnk ）函数f （x ）在（0，2）内存在两个极值点

当且仅当

解得：e

综上所述，函数f （x ）在（0，2）内存在两个极值点时，k 的取值范围为（e ，

）

19. 解：（1）由f （x ）=

f'（x ）=x ﹣由f'（x ）=0解得x=

f （x ）与f'

（x ）在区间（0，+∞）上的情况如下：

X （o ，

）

（

f'（x ） ﹣ 0

f （x ）

↓

所以，f （x ）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）； f （x ）在x=

处的极小值为f （

）=

．

（2）证明：由（1）知，f （x ）在区间（0，+∞）上的最小值为f （

）=

．

因为f （x ）存在零点，所以，从而k ≥e

当k=e 时，f （x ）在区间（1，]上单调递减，且f （）

所以x=是f （x ）在区间（1，]上唯一零点．当k ＞e 时，f （x ）在区间（0，

）上单调递减，且

，

所以f （x ）在区间（1，]上仅有一个零点．

综上所述，若f （x ）存在零点，则f （x ）在区间（1，]

上仅有一个零点． 20. 解：

（Ⅰ）由已知及正弦定理可得

，

整理得，所以

又A ∈（0，

π），故

．

（Ⅱ）由正弦定理可知

，又a=2，，

，所以．又

，故或．

若，则，于是；

若

，则

，于是

．

21. 解：（1）由余弦定理可得：BC 2

=AB 2+AC 2

﹣2AB ?ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=

．

（2）由正弦定理可得：，则

sinC=

，

∵AB ＜BC ，∴C 为锐角，则cosC=

．因此sin2C=2sinCcosC=2×

．

22. 解：

（Ⅰ）因为

所以函数f （x ）的单调递增区间是〔〕

（k ∈Z ）

（Ⅱ）因为f （A ）=，所以又0＜A

＜π所以

从而

故A=

在△ABC 中，∵a=1，b+c=2，

A=∴1=b 2

+c 2

﹣2bccosA ，即1=4﹣3bc ．故bc=1从而

S △ABC =

选做题答案

23. 解：（1）∵直线l

的极坐标方程为：

，

∴ρ（

sin θ﹣cos θ）=，∴

，∴x

﹣

y+1=0．

（2）根据曲线C 的参数方程为：

（α为参

数）．得（x ﹣2）2

+y 2

=4，

它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，

∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值

=．

三角函数基础练习题-及答案

三角函数基础练习题一、选择题： 1. 下列各式中,不正确．．．的是（） (A)cos(―α―π)=―cos α (B)sin(α―2π)=―sin α (C)tan(5π―2α)=―tan2α (D)sin(k π+α)=(―1)k sin α (k ∈Z) 3． y=sin )2 33 2(π+x x ∈R 是（） (A)奇函数 (B)偶函数 (C)在[(2k ―1)π, 2k π] k ∈Z 为增函数 (D)减函数 4．函数y=3sin(2x ―3 π)的图象，可看作是把函数y=3sin2x 的图象作以下哪个平移得到（） (A)向左平移3 π (B)向右平移3 π (C)向左平移6 π (D)向右平移6 π 5．在△ABC 中，cosAcosB ＞sinAsinB ，则△ABC 为（） (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)无法判定 6．α为第三象限角, 1 sec tan 2tan 1cos 1 2 2 -+ +ααα α化简的结果为（） (A)3 (B)－3 (C)1 (D)－1 7．已知cos2θ= 3 2 ，则sin 4θ+cos 4θ的值为（） (A)18 13 (B)18 11 (C)9 7 (D)－1 8．已知sin θcos θ=8 1且4 π＜θ＜2 π，则cos θ－sin θ的值为（） (A)－ 2 3 (B)43 (C) 2 3 (D)±4 3

9． △ABC 中，∠C=90°，则函数y=sin 2A+2sinB 的值的情况（） (A)有最大值，无最小值 (B)无最大值，有最小值 (C)有最大值且有最小值 (D)无最大值且无最小值 10、关于函数f(x)=4sin(2x+3 π), (x ∈R )有下列命题（1）y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数 (2) y=f(x)可改写为y=4cos(2x －6 π) (3)y= f(x)的图象关于(－6 π，0)对称 (4) y= f(x)的图象关于直线x=－6 π 对称其中真命题的个数序号为（） (A) (1)(4) (B) (2)(3)(4) (C) (2)(3) (D) (3) 11．设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c=2 6，则a 、b 、c 大小关系（） (A)a ＜b ＜c (B)b ＜a ＜c (C)c ＜b ＜a (D)a ＜c ＜b 12. 若 sinx ＜ 2 1 ，则x 的取值范围为（） (A)(2k π，2k π+6 π)∪(2k π+6 5π，2k π+π) (B) (2k π+6 π，2k π+6 5π) (C) (2k π+6 5π，2k π+6 π) (D) (2k π－67π，2k π+6 π ) 以上k ∈Z 二、填空题： 13．一个扇形的面积是1cm 2，它的周长为4cm, 则其中心角弧度数为______。 14．已知sin α+cos β=3 1，sin β－cos α=2 1，则sin(α－β)=__________。

导数与三角函数交汇试题

导数与三角函数交汇试题 1．（2019?石家庄一模）已知函数，（1）求函数f（x）的极小值（2）求证：当﹣1≤a≤1时，f（x）＞g（x） 2．（2019春?常熟市期中）已知函数f（x）＝e2x（sin x﹣3cos x）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值． 3．（2019?大连模拟）已知函数f（x）＝ae x﹣sin x+1其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）当a＝1时，证明：对?x∈[0，+∞），f（x）≥2；（2）若函数f（x）在[0，π]上存在两个不同的零点，求实数a的取值范围．4．（2019?天津）设函数f（x）＝e x cos x，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[，]时，证明f（x）+g（x）（﹣x）≥0；（Ⅲ）设x n为函数u（x）＝f（x）﹣1在区间（2nπ+，2nπ+）内的零点，其中n∈N，证明2nπ+﹣x n＜． 5．（2019?新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝2sin x﹣x cos x﹣x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 6．（2019?新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝sin x﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：（1）f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；（2）f（x）有且仅有2个零点． 7．（2019?富阳区模拟）设函数f（x）＝2x2+alnx，（a∈R）（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+m，求实数a，m的值（Ⅱ）若f（2x﹣1）+2＞2f（x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）关于x的方程f（x）+2cos x＝5能否有三个不同的实根？证明你的结论 8．（2019?北辰区模拟）已知函数f（x）＝e x﹣ax，（a∈R），g（x）＝．

高三数学(理科)测试题(函数、导数、三角函数、解三角形)

高三数学《函数与导数、三角函数与解三角形》测试题（理科）一、选择题 1．设2 :f x x →是集合A 到集合B 的映射，若{}1,2B =，则A B 为 ( ) A ．? B ．{1} C ．?或{2} D ．?或{1} 2．函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为( ) A ．（－1，0） B ．（0，1） C ．（1，2） D ．（1，e ） 3．若函数2 ()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2 a -∞上为减函数，则a 的取值范围是 ( ) A ．(0，1) B ．(1，＋∞) C ．(1，23) D ．(0，1)∪(1，23) 4.若0()ln 0 x e x g x x x ?≤=? >?，则1 (())2g g = ( ) A ．1 2 B ．1 C ．1 2e D ．ln 2- — 5．已知3 2 ()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则有 ( ) A ．0b < B ．01b << C ．12b << D ．2b > ] 6. 已知函数()f x 定义域为R ，则下列命题： ①若()y f x =为偶函数，则(2)y f x =+的图象关于y 轴对称. ②若(2)y f x =+为偶函数，则()y f x =关于直线2x =对称. ③若函数(21)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的图象关于直线1 2 x 对称. ④若(2)(2)f x f x -=-，则则()y f x =关于直线2x =对称. ⑤函数(2)y f x =-和(2)y f x =-的图象关于2x =对称. 其中正确的命题序号是 ( ) A.①②④ B.①③④ C.②③⑤ D.②③④ ＝(sin x ＋cos x )2－1是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 ` C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数 x

三角函数能力提高训练题含答案

三角函数能力提高训练 2017.12 选择题 1．若π04α<< 0，则（）Ａ．sin 2sin αα> Ｂ．cos 2cos αα< Ｃ．tan 2tan αα> Ｄ．cot 2cot αα< 答案：Ｂ 2．函数s i n ()y A a x b =+的图象与函数cos()y A ax b =+的图像在区间π(0)m m a a ??+>???? ，（）Ａ．可能没有交点Ｂ．一定有两个交点Ｃ．至少有一个交点Ｄ．只有一个交点答案：Ｃ 3．在ABC △，cos 2cos 2A B <是A B >的（）Ａ．充分非必要条件Ｂ．必要非充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既非充分也非必要条件答案：Ｃ填空题 4．函数23sin cos 3cos 2y x x x =+- 的最小正周期是．答案：4π 5．函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是．答案：12 +6．关于函数π()4sin 23f x x ? ?=+ ??? ()x ∈R ，有下列命题： ①由12()()0f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍； ②()y f x =的表达式可改写为π4cos 26y x ? ?=- ??? ； ③()y f x =的图象关于点π06??- ???，对称； ④()y f x =的图像关于直线π6x =- 对称．其中正确命题的序号是．答案：②③ 解答题

7．已知22sin 2sin 1αβ+=，3sin 22sin 20αβ-=，且αβ，为锐角，求证：π22 αβ+=．解：223sin 12sin cos2αββ=-= 又3sin 22sin 2αβ= 2sin 22cos 2tan 2sin sin ααβαα ∴= = tan 2cot βα∴= 1tan tan tan 2tan tan(2)1 1tan tan 21tan tan ααβααβαβαα +++==--无意义 π02α<< ，π02 β<<，02πβ<< 3π022αβ∴<+< π22αβ∴+=． 8．已知tan α，tan β是方程2 410x x --=的两个根，求22sin ()4sin 2()6cos ()αβαβαβ+-+++的值．解：由已知：tan tan 4αβ+=且tan tan 1αβ=- tan()2αβ∴+=．原式2222sin ()8sin()cos()6cos ()sin ()cos () αβαβαβαβαβαβ+-++++=+++ 22tan ()8tan()6tan ()1 αβαβαβ+-++=++ 65 =- 9．在ABC △中，求222sin sin sin 222A B C ++的最小值，并指出取最小值时，ABC △的形状，并说明理由．解：设2 22sin sin sin 222A B C y =++ 31(cos cos cos )22A B C =-++ 312cos cos cos()2222A B A B A B +-??=--+???? 2312cos cos 2cos 122222A B A B A B +-+??=--+ ???

高中三角函数综合题及答案

三角函数习题 1．在ABC ?中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ． (Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>u r r 且m n ?u r r 的最大值是5,求k 的值 2．在ABC ?中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量 (2sin ,m B =r ,2cos 2,2cos 12B n B ??=- ???r ,且//m n r r ? (I)求锐角B 的大小; (II)如果2b =,求ABC ?的面积ABC S ?的最大值 3．已知??? ? ??-=23,23a ,)4cos ,4(sin x x ππ=,x f ?=)(? (1)求)(x f 的单调递减区间? (2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]3 4,0[∈x 时,)(x g y =的最大值? 4．设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数()()f x a a b =?+ (I)求函数()f x 的最大值与最小正周期; (II)求使不等式3()2 f x ≥成立的x 的取值集合? 5 ．已知函数2π()2sin 24f x x x ??=+ ???，ππ42x ??∈???? ，．（1）求)(x f 的最大值和最小值；（2）2)(<-m x f 在ππ42x ??∈???? ，上恒成立，求实数m 的取值范围．

6．在锐角△ABC 中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,已知.3tan )(222bc A a c b =-+ (I)求角A; (II)若a=2,求△ABC 面积S 的最大值? 7．在锐角ABC ?中，已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ，且(tanA －tanB)＝1＋tanA·tan B ． (1)若a 2－ab ＝c 2－b 2，求A ． B ．C 的大小； (2)已知向量m ρ＝(sinA ，cosA)，n ρ＝(cosB ，sinB)，求｜3m ρ－2n ρ｜的取值范围．三角函数习题答案 1.【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ．即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C ) ∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵01,∴t =1时,m n ?u r r 取最大值. 依题意得,-2+4k +1=5,∴k = 2 3. ? 2.【解析】:(1) //m n r r 2sinB(2cos 2B 2-1)=-3cos2B