第2章习题
一、填空题
2.1.1 质量为得箱子放在卡车底板上,箱子与底板间得静摩擦系数为0、40,滑动摩擦系数为0、25。
⑴当卡车以加速度加速行驶时,作用在箱子上摩擦力得大小为;⑵当卡车以得加
速度行驶时,作用在箱子上得摩擦力大小为。
箱子在最大静摩擦力得作用下,相对地面具有得最大加速度为
(1)若设箱子相对卡车静止,即物体相对地面得加速度
表明箱子与卡车底板间就是静摩擦,摩擦力得大小为
(2)依然设箱子相对卡车静止,即物体相对地面得加速度
表明箱子与卡车底板间就是滑动摩擦,摩擦力得大小为
2.1.2 倾角为得斜面体静止放置在水平桌面上,一质量为得物体沿斜面以得加速度下滑,斜面体与
桌面间得静摩擦力为。
如图2-1(a)所示,建立直角坐标系,再分析滑块得受力情况,如图2-1(b)所示,滑块受到三个力得作用,分别就是地球施加得重力,斜面对它得支持力与滑动摩擦力,并设其加速度为。而关于斜面得受力情图2-1(a)
况则如图2-1(c)所示,斜面受到5个力得作用,分别就是地球施加得重力,地面对其得支持力
图2-1(b)
图2-1(c)
与解摩图2-1(a) 擦力,滑块对它得压力与滑动摩擦力。将牛顿第二定律分别应用于滑体与斜面,得
两式相加,注意到
与
可得
上式在x轴上得投影式为
2.1.3 两根质量忽略不计得弹簧,原长都就是,第一根弹簧挂质量为得物体后,长度为,第二根弹簧挂
质量为得同一物体后,长度为,现将两弹簧并联,下面挂质量为得物体,并联弹簧得长度
为。
设并联得两弹簧劲度系数分别为与,在拉长后产生得弹性力应为两弹簧各自产生得弹性力与之与,即
若将并联得两弹簧等效为一个弹簧,则有
所以等效得那个弹簧得劲度系数为
(2-2)
依题设,有
(2-3)
(2-4)
(2-5)
联立(2-2)～(2-5),可解出
再注意到,,,所求并联弹簧得长度为
2.1.4 沿长度为得斜面将质量为得物体拉上高得汽车车厢底板,物体与斜面间得摩擦系数为0、20,
所需得拉力至少为。
受力分析如图2-2所示,所求最小拉力即就是使得物体滑动平衡得拉力,故有
图2-2(a)
图2-2(b)
以地面为参考系,建立xOy直角坐标系,x轴沿拉力F
方向,y轴沿支持力N得方向,则上式可分解为:
其中,,可解出所求拉力为:
2.1.5 用长度为得细绳系住盛有水得小桶,杂技演
员令其在竖直面内作圆周运动,为使桶内得水不致泼出,小桶在最高点得速度至少应等于 。
选小桶为参考系,最高点处水相对于桶静止,表明水所受得惯性力与重力平衡,即
可解出所求速度至少为
2.1.6 质量为得物体以得加速度下降,物体所受空气得阻力为 。 取竖直向下方向为x 轴,则有
所求空气阻力为
()0.25(9.29.8)0.15()f mai mgi m a g i i i N =-=-=?-=-r r r r r r
2.1.7 电梯起动或制动过程可近似视为匀变速运动,电梯底板上放有质量为得物体,当电梯被制动,
以得减速度上升时,物体对电梯底板得压力为 。
取电梯为参考系,并取竖直向下为x 轴方向,因物体相对于电梯静止,故
其中就是物体受到得惯性力,就是电梯相对于地面得加速度。又物体对电梯得压力与电梯对人得支持力就是作用力与反作用力得关系,有,所以
*()()100(9.8 2.25)755()N N mg F m g a m g a i i i N '''=-=+=-=-=?-≈r r r r r r r r r
2.1.8 如果您在赤道上用弹簧秤测量自己得体重,假设地球自转变慢,则测得得体重将 。
(填变大,或变小)
因地球自转变小,人受到得惯性力(沿离心方向)变小,要保持平衡,要求磅秤对人得支持力变大,所以测得得体重将变大。
2.1.9 在光滑得水平桌面上并排放置两个物体与,且互相接触,质量分别为,,今用得水平力作用于物
体,并通过物体作用于物体,则两物体得加速度a = ,对得作用力= ,对得作用力= 。 受力分析如图2-3所示
图2-3(a)
图2-3(b) 图2-3(c)
设两体水平向右得共同加速度为a,取其方向为x 轴,则对A 有
对B有
联立以上两式,并注意到,可解出两物体得加速度为
A、B之间得作用力为
二、选择题
2.2.1 下面得说法正确得就是:( )
A、合力一定大于分力;
B、物体速率不变,则物体所受合力为零;
C、速度很大得物体,运动状态不易改变;
D、物体质量越大,运动状态越不易改变。
质量大,惯性大,选D
2.2.2 用细绳系一小球,使之在竖直平面内作圆周运动,当小球运动到最高点时:( )
Ａ、小球受到重力、绳子拉力与向心力得作用;
Ｂ、小球受到重力、绳子拉力与离心力得作用;
Ｃ、绳子得拉力可能为零;
Ｄ、小球可能处于受力平衡状态。
向心力,离心力不就是”真实”得力,小球做圆周运动,不可能受力平衡,所以选C;
2.2.3 将质量分别为与得两个滑块与置于斜面上,A与与斜面间得摩擦系数分别就是与,今将与粘合
在一起构成一个大滑块,并使它们得底面共面地置于该斜面上,则该大滑块与斜面间得摩擦
系数为:( )
A、B、C、D、
设斜面与地面得夹角为,两滑块各自受到斜面得支持力分别为
与
相应得摩擦力分别为
与
所以,两滑块作为共同体,受到斜面得支持力为
斜面对它得摩擦力为
所以该共同体与斜面得摩擦系数为
选D
2.2.4 将质量为与得两个滑块与分别连接于一根水平轻弹簧两端后,置于水平桌面上,桌面与滑块
间得摩擦系数均为。今作用于滑块一个水平拉力,使系统作匀速运动。如果突然撤去拉力,
则当拉力撤销瞬时,滑块,得加速度分别为:( )
A、B、
C、D、
拉力未撤销时,两个滑块得受力情况如图2-4所示:滑块P受到5个力得作用,分别为重力,地面对它得支持力与滑动摩擦力,拉力,弹簧施加得弹性力。而滑块Q受到4个力得作用,分别为重力,地面对它得支持力与滑动摩擦力,弹簧施加得弹性力。由于系统作匀速运动,所以对滑块P有
对滑块Q有
在地面上建立直角坐标系,取水平向右方向为x轴,竖直向上方向为y轴,则前两式在y轴上得分量式为
与
于就是
与图2-4(a)
而x轴上得分量式为
与
(2-7)
刚撤除拉力时,作用于滑块得其她力还未改变,设滑块P,Q分别出现沿x轴得加速度与,则前两式可改写为
(2-8)
(2-9) 图2-4(b)
联立(2-7)～(2-9),并注意到,可解出滑块P得加速度为
而滑块Q得加速度为
选D。
2.2.5 质量相同得物体与分别连接在一根轻弹簧两端,在物体上系一细绳将整个系统悬挂起来。当
平衡后,突然剪断细绳,剪断细绳瞬时,物体与得加速度分别为:( )
C、D、
取固定在地面上竖直想下方向为x轴。绳未断时,两物体得受力情况如图2-5所示,物体A受到3个力得作用,分别为重力,绳子得拉力与弹簧得弹性力。而物体B受到两个力得作用,分别为重力,弹簧得弹性力。两物体处于平衡状态,所以有
(2-10)
刚剪短绳子时,绳子得拉力消失,而作用在两物体上得其她力还
未变化,设物体A,B分别出现沿x轴得加速度与,则前两式可改
写为
(2-11)
(2-12) 图2-5(a)
图2-5(b)
联立(2-10)～(2-12),并注意到与,可解出物体A得加速度为
而物体B得加速度为
选C。
2.2.6 长为、质量为得一根柔软细绳挂在固定得水平钉子上,不计摩擦,当绳长一边为、另一边为
时,钉子所受得压力就是:( )
A、B、C、D、
考虑得特殊情形,显然绳静止。绳子受到得压力,仅A,B选项符合。而在时,绳
子可能有加速运动, 一般不成立,所以选B。为严格起见,详为推导如下。
由于与钉子接触得任一绳元所受钉子得压力均垂直于绳元得运动方向,而且
忽略摩擦,所以钉子施于绳得压力并不能对绳运动得加速度产生影响。以整条绳子
为研究对象如右图所示,无妨设,则有
可解出整条绳子得加速度为
(2-13)
现把绳分为b,c两段,并把钉子对绳b与绳c得压力分别记为与,如图2-7所示,则有
图2-6
图2-7(a)
图2-7(b)
图2-7(c)
两式相加,并注意到,得
考虑到
,
,
,
前式可以化简为
由于,均在竖直方向,故也在竖直方向,且竖直向上,现取固定在地面上竖直向下方向为x轴,则有(2-14)
联立(2-13)与(2-14),可解出
所以选B。
2.2.7 升降机底板上放着一只盛有水得杯子,一木块浮在杯内水中,此时水面恰与杯口齐平。当升
降机由静止开始加速上升时,杯内得水:( )
A、仍保持水面与杯口齐平;
B、将溢出;
C、水面下降;
D、溢出还就是下降要视加速度大小而定。
当升降机以加速度上升时,在升降机这一非惯性系内观察升降机内物体得运动时,等效得重力加速度变为,即方向保持不变,但大小变为原来得倍。所以依据阿基米德浮力定律——浸没在液体中得物体所受浮力等于物体所排开液体得重量。现在木块得“重量”变为原来得倍,但就是在排出得水量不变得情形下,这些水得重量也增大为原来得倍,刚好与木块得新“重量”抗衡。所以选A。
2.2.8 半径为得圆弧形状公路,外侧高出内侧得倾角为,要使汽车通过该段路面时不引起侧向摩擦
力,汽车行驶速率应为:( )
A、B、C、D、
对汽车进行受力分析,它受到重力,路面得支持力与侧向摩擦力,设此时汽车作圆周运动得向心加速度为,则有
其中向心加速度得大小为
(2-15)
依题设,侧向摩擦力,故
如图2-8所示,建立直角坐标系,则上式化为
可解出
联立(2-15)与(2-16),所求汽车行驶速率为
选C。图2-8
2.2.9 在电梯中用弹簧秤测物体重力。电梯静止时,弹簧秤指示数为,当电梯作匀变速运动时,弹簧
秤指示数为,若取,该电梯加速度得大小与方向分别为:( )
A、,向上;
B、,向下;
C、,向上;
D、,向下。
电梯静止时,弹簧秤示数为500N,表明物体得质量
当电梯作加速度为得变速运动时,取电梯为参考系,对静置于电梯得物体进行受力分析,如图2-9所示,物体受到重力与弹簧秤对它得支持力得作用,由于电梯为非惯性参考系,在讨论物体得动力学行为时,必须计入惯性力,即有
在电梯上选竖直向上方向为x轴,则
所求电梯加速度为
,方向竖直向下。
选B。
图2-9
2.2.10 当两质点之间得距离为时,两质点之间得相互吸引力就是,若
将它们之间得距离拉开到,该两质点间得相互吸引力
为:( )
A、B、C、D、
两质点间万有引力得大小
当距离从变化到后,引力变成原来得1/4,所以选A。
2.2.11 若将地球视为半径为得均匀球体,地球表面重力加速度为,距地面高度为处重力加速度为,则
等于:( )
A、B、C、D、
设地球质量为,一质量为得物体置于地球表面处,则其所受重力为地球对它得万有引力,故
当物体距地面高度为时,则有
由以上两式可解出所求高度
选D。
2.2.12 下面说法正确得就是:( )
A、静止或做匀速直线运动得物体一定不受外力得作用
B、物体得速度为零时一定处于平衡状态
C、物体得运动状态发生变化时,一定受到外力得作用
D、物体得位移方向一定与所受合力方向一致
运动状态(即速度)发生变化时,必然有加速度,而产生加速度得原因就是受到外力作用,选C。
2.2.13 一个物体只受一个恒力作用,则此物体一定作:( )
A、匀加速直线运动;
B、匀速圆周运动;
C、平抛运动;
D、匀变速运动。
恒力产生恒加速度,所以选D。
三、计算题
2.3.1 质量为得物体放置在水平面上,今以得力推物体,已知推力得方向与铅垂线成夹角,物体与水
平面间得摩擦系数为0、10,求物体得加速度。
解:对物体进行受力分析如图2-10所示,该物体受到4个力得作用,即重力与推力,地面对它得支持力与摩擦力,设物体有水平向右得加速度,则有
在图示得坐标系下,上式即为
注意到与,可求出物体得加速度为
图2-10
补充:满足与竖直方向夹角为得推力还有得情形,此时物体
得加速度仍可由上式求出为
2.3.2 总质量为得空气球以加速度竖直下落,问必须从气球吊
篮中扔掉多少沙袋才能使气球以加速度竖直上升？
解:如图2-11所示,设必须扔到得沙袋质量为,气球得浮力为,在地面上取重力加速度方向为x轴方向,则扔沙袋前
扔沙袋后
图2-11(a) 图2-11(b)
2.3.3 一木块能在与水平面成角得斜面上匀速下滑,若令该木块以初速度沿此斜面向上滑动,试求
木块能沿此斜面向上滑动得最大距离。
解:如图2-12(a)所示,木块沿斜面匀速下滑时,有
其中图2-12(a)
可解出摩擦系数
木块向上滑动时,其受力分析如图2-12(b)所示,有
其中
可解出物体运动得加速度为图2-12(b)
当物体以初速,匀加速沿斜面向上滑动,至最高点瞬间静止,有
所求最大距离为
2.3.4 桌面上放着质量为得木板,木板上放着质量为得物体,物体与木板之间及木板与桌面之间得
静摩擦系数均为0、30,滑动摩擦系数均为0、26。求:
(1)今以水平力拉板,使两者一起以得加速度运动,试计算物体与板、板与桌面间得相互作用力;
(2)要将板从物体下面抽出,至少需要多大得力？
解:如图2-13(a)所示,在地面上建立直角坐标系xOy。对物体与木板分别进行受力分析并如图2-13(b),(c)所示,物体受到3个力得作用,分别为重力,木板对它得支持力与摩擦力。而木板受到6个力得作用,分别为拉力,重力,地面对它得支持力与摩擦力,物体对它得压力
图2-13(a)
与摩擦力。设物体与木板分别有图示得加速度与,则对物体有
(2-17)
对木板则有
(2-18)
其中,。
(1)当物体与木板以共同得加速度运动时,,且它们之间相对静止,两者之间得摩擦力为静摩擦力,由(2-17)式,可得木板对物体得支持力为
,
方向竖直向上,木板对物体得静摩擦力为
由(2-18)式,可得地面对木板得支持力为
方向竖直向上,地面对木板得滑动摩擦力为 图2-13(b)
,方向与拉力方向相反。
(2)考虑物体与木板原来静止,逐渐加大拉力得过程:
(i)当拉力较小时,物体与木板在地面对木板得静摩擦力得作用下仍然保持静止,直至拉力增大到地面能施予木板最大静摩擦力时,木板才到运动得临界状态,此时,木板与物体间无摩擦力,即,联立式(2-17)与(2-18),可得拉力为
(ii)当拉力在基础上继续增大,木块将相对地面滑动,但物体仍相对木块静止,它们之间存在静摩擦力得作用,只有当静摩擦力达到最大时,木板才到相对物体运动得临界点,此时,,联立式(2-17)与(2-18),可得
图2-13(c)
此时拉力为
(iii)当拉力在基础上继续增大,则木板与物体间将会发生相对运动,它们之间得摩擦力就是滑动摩擦力,则,木板与地面间也就是滑动摩擦力,,由(2-17)式可得物体受到木板得支持力为
而物体得加速度为
再由(2-18)式,可得木板受到地面得支持力为
而木板得加速度为
()()12212122F N N F m M g
F f f F N f a m m m m
μμμ-+-+'----=
===
木板要从物体下面抽出,须
把关于与得表达式代入上式,可得
综合(i)～(iii)得分析,要把木板从物体下抽出,拉力至少就是以上三种情形得最大值,即
2.3.5 用轻细绳将质量为、与得物体、与依次连成一串,置于光滑水平桌面上。今在物体上作用一
大小等于得水平拉力,拉力得方向与连接物体得细绳在同一条直线上。试求绳中得张力。
解:如图2-14(a),在地面上取x 轴,分别对物体C,B 与A 作受力分析并如图2-14(b)～(d)所示,并设三物体沿x 轴正向有共同得加速度,则对C 物,有 图2-14(a)
对B 物,有
对A 物,有
而A物与B物间绳子得张力为
而B物与C物间绳子得张力为
图2-14(b) 图2-14(c)
2.3.6 质量为得小车可以在水平面上无摩擦地运动,小车上面放着质量为得木块,木块与小车间得
滑动摩擦系数为0、25,静摩擦系数为0、30。
(1) 若在木块上作用得水平拉力时,木块与小车间得摩擦力为多少？木块与小车各以多大得加
速度运动？
(2)若作用在木块上得水平拉力为时,木块与小车间得摩擦力为多少？木块与小车得加速度如
何？
解:如图2-15(a),在地面上建立xOy轴,分别对小车与木块作受力分析并如图2-15(b),(c)所示,设小车与木块各有沿拉力方向得加速度与,则对小车,有
(2-19)
对木块,有
(2-20) 图2-15(a)
其中,。
为判断木块与小车之间摩擦力得属性,先假定木块与小车相对地面静止,而拉力从0开始增加
,则木块与小车间相对静止,它们之间就是静摩擦力,直至拉力增大到使得木块与小车间有最大静摩擦力,此时即就是木块与小车发生相对运动得临界点,则由式(2-19)
与(2-20),可得
两物共同得加速度为
而此时拉力为
图2-15(b)
由此可知,若拉力小于6、5N,则木块与小车间就是静摩擦力,若
拉力大于6、5N,则木块与小车间就是滑动摩擦力。
(1)拉力,木块与小车间就是滑动摩擦力,由式(2-19)与(2-20),可得
木块与小车间得摩擦力为
小车得加速度为图2-15(c)
木块得加速度为
(2)拉力,木块与小车间就是静摩擦,由式(2-19)与(2-20),可得两物得共同加速度为
计算题2、3、7图示
木块与小车间得静摩擦力为
2.3.7 一根不可伸长得轻细绳跨过定滑轮后,两端分别悬挂质量为与得物体与。先用手托住物体,使
与都静止,然后释放,求物体得加速度与运动方程。(滑轮质量不计)
解:设A 物与B 物得加速度分别为与,并对它们作受力分析如图
2-16所示,在地面上取竖直向下方向为x 轴,则对A 物,有
对B 物,有
注意到与,所求物体A 得加速度为
设A 物得初始位置为,任意时刻得位置为,因从静止出发,作匀加速直线运动,所以其运动方程为 图2-16
2.3.8 质量为得物体放在倾角为得斜面上,物体与斜面间得摩擦系数为 0、25。今以水平力推物体。
(1)多大时物体可沿斜面向上匀速滑动？ (2)多大时物体沿斜面向下匀速滑动？
解:如图2-17所示建立直角坐标系,并对物体进行受力分析。
(1)当物体沿斜面向上匀速滑动时,有
其中滑动摩擦力
则所求水平推力为
(2)当物体沿斜面向下匀速滑动时,物体受到斜面得滑动摩擦力改为沿斜面向上,则有
图2-17
其中滑动摩擦力仍为
则所求水平推力为
00
00
sin cos sin 300.25cos30209.856.1()cos sin cos300.25sin 30F mg N αμααμα--?==??≈++?
2.3.9 原长、劲度系数为得轻弹簧一端固定,另一端系质量得小球,小球与弹簧以恒定角速度在水平
面内作圆周运动。求小球作圆周运动得半径及小球所受弹性力得大小。 解:设小球做圆周运动得半径为,则弹簧伸长,由此产生得弹性力为
而这就就是小球做圆周运动得向心力,即
由以上两式可解出小球做圆周运动得半径为
其中无量纲参数
小球所受弹性力得大小为
其中无量纲参数得定义同上。 2.3.10
在光滑得水平桌面上放着两个用细绳连接得木块与,它们得质量分别就是与,今以水平恒力作用于木块上,并使它们一起向右运动,如图所示。求连接体得加速度与绳子得张力。
解:如图2-18所示,在地面上取x 轴,并设连接体得共同加速度为,对A,B 两物体进行受力分析后,可知对A 物,有
对B 物则有
图 2-18(a)
图2-18(b) 图2-18(c)
联立以上两式,并注意到,可解出连接体得加速度为
绳子得张力为
计算题2、3、10图示