习 题 七 （A ）
三、解答题
1. 设总体X 服从几何分布，分布律为{},....2,1,)1(1=-==-k p p k X P k ，(10<
解：因为{},....2,1,)
1(1
=-==-k p p k X P k ，所以X 的一阶矩
.1)1(1)1(11))1(()
1(}{)(2
/
/
'
1
1
1
1
p p p p p p p p p p p p p k k X kP X E n
k k n
k k n
k =--=??
????--=??????----=--=-===∑∑∑==-=
用样本的一阶A 1=X 代替总体X 的一阶矩E (X )得到,1
p
X =
所以p 的矩估计量为.1?X
p
= 2. 求均匀分布),(~b a U X 中参数b a ,的矩估计量． 解：设X 1，X 2，…，X n 为总体X 的一个样本，总体X 的一阶、二阶矩分别为
2
)(1b
a X E +=
=μ μ2 = E (X 2
) = D (X ) + [E (X )] 2
= 3
)2(12)(2
222b ab a b a a b ++=
++-
用样本的一阶、二阶矩A 1和A 2分别代替总体的一阶、二阶矩μ1和μ2，得到
??
???
++=+=322
221b
ab a A b a A 解得b a ,的矩估计量为
∑∑==--=--=--=n
i i n i i X X n X X X n A A A A a 122121121)(33333? ∑∑==-+=-+=-+=n i i n i i X X n X X X n A A A A b 1
22121121)(33333?
3. 设总体X 的概率密度为
||2
1);(θθ--=
x e x f ，∞<<∞-x 1,,n X X 是来自X 的简单随机样本，求参数θ的矩估计量．
解：总体X 的一阶为
θθθμθ
θθ
θθθ
θθθθθθθθθθθθθθθ=-+-=+--=
-=+===?????????∞
+--∞--∞-∞
+--∞+---∞--∞
+--∞--+∞
--∞--+∞∞---)()()()()()()
()()()(||121
21212121|2121|2121
2121
2121)(x x x x x x x x x x x de de dx e xe dx e xe xde xde dx
e x dx e x dx e x X E
用样本的一阶A 1=X 代替总体X 的一阶矩E (X )得到.?X =θ
4. 设总体X 的概率密度为??
???≥=--其它,0,1);(/)(μθθμx e x f θ
x ，其中μθθ),0(>是未知参数，1,,n X X 是来自X 的简单随机样本，求θ和μ的矩估计量．
解：总体X 的一阶为
.
|1
)(/)(/)(/)(/)(/)(1μθθμθ
μμ
μμ
μμμθ
μ
μμμ+=-=+-=-===????∞
+--∞
+--∞+----+∞
--θx θ
x θx θ
x θx de dx e
xe xde dx
e x X E
总体X 的二阶为
2
2222/)(/)(2/)(2/)(2
2
2)(22)(22|1
)(θθμθθμμμθθμθ
μμ
μμμθ
μ
μμ
μ++=++=++=+-=-===???∞
+--∞
+----+∞
--dx xe e
x de x dx
e x X E θx θ
x θ
x θx
用样本的一阶、二阶矩A 1和A 2分别代替总体的一阶、二阶矩μ1和μ2，得到
???++=+=2
221)(θ
μθμθA A 解得θ和μ的矩估计量为
∑=-=-=n i i X X n A A 1
221
2
)(1?θ， ∑=--=--=n
i i X X n X A A A 1
22
1
21)(1?μ. 5. 设),(~p m B X ，m 已知，10<
p 的最大似然估计量．
解：由于X 的分布律为
m k p p C x X P k m k
k m ,...,1,0,)1(}{=-==-
基于样本观测值x 1，x 2，…，x n 的似然函数为
i
i
x m n
i x x
m
n p p C p x x x L p L -=-==∏)
1();,...,,()(1
21,)
1(1
1
1∏=-
∑-∑===n
i x m
x nm x i n
i i
n
i i
C
p p
,ln )1ln(ln )(ln 111∑===+-??? ??∑-+??? ??∑=n
i x m n
i i n i i i
i C p x nm p x p L
,01)(ln d d 1
1=-∑--∑===p
x nm p x p L p n
i i
n i i 令
解得.11m
x
x nm p n i i
=∑=
=
,0)1()(ln d d 2
1
212
2<-∑--∑-===p x nm p x p L p n
i i
n i i 注意到： p 的最大似然估计值为.1?1m
x
x n p
n i i =∑== p 的最大似然估计量为.?m
X p
= 6. 设总体X 的概率密度为???<≥=-0,
00
,);(x x e x f x θθθ，今从X 中抽取10个个体，得数据
如下:
1050 1100 1080 1200 1300 1250
1340
1060
1150
1150
试用最大似然估计法估计θ．
解：设X 1，X 2，…，X n 为总体X 的一个样本，基于样本观测值x 1，x 2，…，x n 的似然函数为
?????≥∑====-=∏其它,
00,...,,,);();,...,,()(211211n x n
n
i i n x x x e x f x x x L L n
i i θθθθθ
当0,...,,21≥n x x x 时，∑=-=n
i i
x
θn L 1
ln )(ln θ
θ，令
0)(ln 1
=∑-==n
i i x n L d d θθθ， 解得
x
x n
n
i i
1
1
=
∑=
=θ． 考虑到
0)(ln 2
22<-=θ
θθn
L d d 所以，θ的最大似然估计值为
x
1
?=
θ 将数据代入计算，θ的最大似然估计量为=θ
?0.000858
7. 设某电子元件的使用寿命X 的概率密度为
??
?≤>=--,,
0,
,2);()(2θθθθx x e x f x 0>θ为未知参数，n x x x ,...,,21是X 的一组样本观测值，求θ的最大似然估计值．
解：设X 1，X 2，…，X n 为总体X 的一个样本，基于样本观测值x 1，x 2，…，x n 的似然函数为
????
?>∑====--=∏其它,
0,...,,,2);();,...,,()(21)(21211
θθθθθn x n n
i i n x x x e x f x x x L L n
i i 容易看出θ越大L (θ)越大，在约束θ>n x x x ,...,,21下，},...,,min{?21n
x x x =θ
即为θ最大似然估计值。
8. 设21,X X 是取自总体N (μ，1)的一个样本，试证下面三个估计量均为μ的无偏估计量，并确定最有效的一个．
213132X X +，214
3
41X X +，().2121X X +
证明：因为21,X X 独立均服从N (μ，1)，且
,31
32)(31)(32)3132(2121μμμ=+=+=+X E X E X X E ,4
3
41)(43)(41)4341(2121μμμ=+=+=+X E X E X X E . ,)()2
1
21(21μ==+X E X X E 所以
213132X X +，214
3
41X X +，().2121X X +均为μ的无偏估计量。又因为
,910
9199)(91)(94)3132(2121=+=+=+X D X D X X D ,8
5169161)(169)(161)4341(2121=+=+=+X E X E X X D ,2
12)()()21
21(21===+X D X D X X D 所以
().2
1
21X X +最有效。
9. 设总体X 的数学期望为μ，1,,n X X 是来自X 的简单随机样本．n a a a ,,,21 是任意常数,证明)0(1
1
1≠∑∑∑===n
i i
n i i n
i i
i a
a X a 是μ 的无偏估计量．
证明：因为X i 的数学期望均为μ，所以
,)()(1
1
1
1
1
1
μμ===∑∑∑∑∑∑======n
i i
n i i
n i i
n i i
i
n
i i
n
i i
i a
a a X a E a X a E
故)0(1
1
1
≠∑∑∑===n
i i
n i i n
i i
i a
a X a 是μ 的无偏估计量．
10. 设总体21~(,),,,n X N X X μσ 是来自X 的一个样本． (1) 试确定常数c ，使∑-=+-1
1
21
)(n i i i X X
c
为σ 2的无偏估计;
(2) 试确定常数c ，使)(22cS X -为μ 2的无偏估计． 解：（1）因为
2
1
1211
11
2211
2
2
2
1
11
1
211
121
1
1
11
21
1
121
11
11
211
12
1
11
2
1)1(2)2())(2)(()
)()()(2)(()
()()(2)(()
2())((σσμσμμσ-==++-+=+-=+-=+-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=-=-=++-=-=-=++-=-=-=++-=+n c c c X E X E X E X
E c X E X E X E X
E c X X X X
E c X X c E n i n i n i n i n i n i i i n i i i n i n i i i n i i i n i n i i i n i i i n i i i
所以当)1(21-=n c 时∑-=+=-11221))((n i i i X X c E σ，∑-=+-1
1
2
1)(n i i i X X c 为σ 2的无偏估计。
（2）因为
2
22
22222)()()()()()(σ
μσc n
X cD X E X D S cE X E cS X E -+=
-+=-=-
所以当n
c 1=
时222)(μ=-cS X E ，)(2
2cS X -为σ 2的无偏估计。
11. 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为
6.0，5.7，5.8，6.5，
7.0，6.3，5.6，6.1，5.0
设干燥时间总体服从N (μ ，σ 2)；在下面两种情况下，求μ 的置信水平为0.95的置信区间． (1) 由以往的经验知σ = 0.6 (小时); (2) σ 未知．
解：（1）由于σ = 0.6，求μ 的置信区间由公式??
? ??+-22,αασσz n X z n X 计算， 其中n=9，α=0.05，==025.02z z α 1.96，6919
1
==∑=i i x x ，代入计算得μ 的置信水平为0.95的置信区间为（5.608，6.392）.
（2）由于σ 未知，求μ 的置信区间由公式?
??
? ??-+--)1(),1(22n t n S X n t n S X αα计算， 其中n=9，α=0.05，)8()8(025.02t t =α=2.306，6919
1
==∑=i i x x ，33.0)(11212=--=∑
=n
i i x x n s ，
代入计算得μ 的置信水平为0.95的置信区间为（5.558，6.442）
12. 某机器生产圆筒状的金属品，抽出9个样品，测得其直径分别为1.01，0.97，1.03，1.04，0.99，0.98，0.99，1.01，1.03公分，求此机器所生产的产品，平均直径的置信水平为99%的置信区间．假设产品直径近似服从正态分布．
解：设X ~N (μ , σ2),由于σ2未知，μ 的置信区间为?
??
? ??-+--)1(),1(22n t n S X n t n S X αα，
其中n=9，α=0.01，3554.3)8()8(005.02==t t α，0056.1919
1
==
∑=i i x x ， 0006.0)(1121
2
=--=∑=n
i i x x n s ， 代入计算得μ 的置信水平为99%的置信区间为（0.978，1.033）.
13. 某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9只进行寿命测试，取得数据如下（单位：小时）：1050，1100，1080，1120，1250，1040，1130，1300，1200．设灯泡寿命服从正态分布，试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信水平为95%的置信区间． 解：设X ~N (μ,σ2),由于σ未知，μ 的置信区间为
?
??
? ??-+--)1(),1(2n t n S
X n t n S X αα， 其中n=9，α=0.05，)8()8(025.02t t =α=2.306，11.1141919
1
==∑=i i x x ，
11.8136)(1121
2
=--=∑=n
i i x x n s 代入计算得μ 的置信水平为95%的置信区间为（1071.78，1210.45）.
14. 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布，现随机抽取此种香烟8支为一样本，测得其尼古丁平均含量为18.6毫克，样本标准差s = 2.4毫克，试求此种香烟尼古丁含量方差的置信水平为0.99的置信区间．
解：设X ~N (μ , σ2),由于μ未知，σ2
的置信区间为?
??
? ??-----)1()1(,
)1()1(2212222n S n n S n ααχχ 其中n =8，α=0.01，9892
.0)7()1(,2777.20)7()1(2
995.02212005.022χχχχαα=-==--n n ，s = 2.4， 代入计算得μ 的置信水平为95%的置信区间为（1.99，40.76）.
15. 从某汽车电池制造厂生产的电池中随机抽取5个，测得其寿命分别为1.9，2.4，3.0，3.5，4.2，求电池寿命方差的置信水平为95%的置信区间，假设电池寿命近似服从正态分布． 16. 设使用两种治疗严重膀胱疾病的药物，其治疗所需时间（以天计）均服从正态分布．试验数据如下:
使用第一种药物 5.1,17,142111===s x n
使用第二种药物 8.1,19,162
222===s x n
假设两正态总体的方差相等，求使用两种药物平均治疗时间之差21μμ-的置信水平为99%的置信区间．
解：设两正态总体分别为X ~N (μ1 , σ12)，Y ~N (μ2 , σ22)，由于σ12= σ22未知，12μμ-的置信区间为???
? ??
+-+±-2121211)2(n n S n n t Y X w α， 其中
5.1,17,142
111===s x n 8.1,19,162222===s x n
2887.12
16148
.1155.1142)1()1(212
22211=-+?+?=-+-+-=
n n s n s n s w
查t 分布分位数表知t α/2(n 1+n 2 – 2) = t 0.005(28) = 2.1199．故得21μμ-的置信水平为0.99的置信区间为（-3.3，-2）．
17. 测得两个民族中各8位成年人的身高（单位:cm ）如下 A 民族：162.6 170.2 172.7 165.1 157.5 158.4 160.2 162.2
B 民族：175.3 177.8 167.6 180.3 182.9 180.5 178.4 180.4
假设两正态总体的方差相等，求两个民族平均身高之差μ1 – μ2的置信水平为90%的置信区间． 解：由于总体方差相等但未知，可采用
????
?
?+-+±-2121211)2(n n S n n t Y X w α 计算μ1 – μ2的置信区间．其中，由两个民族的观测数据计算得
63.29,61.163,8211===s x n
41.22,9.177,82
22===s y n
1.52
8841
.22763.2972
)1()1(212
2
2211=-+?+?=
-+-+-=n n s n s n s w
查t 分布分位数表知t α/2(n 1+n 2 – 2) = t 0.05(14) = 1.761．故得μ1 – μ2的置信水平为0.90的置信区间为(-18.78，-9.80)．
18. 工人和机器人独立操作在钢部件上钻孔，钻孔深度分别服从N (μ1，σ12)和N (μ2，σ22)，μ1，μ2，σ12，σ22均未知，今测得部分钻孔深度（单位:cm ）如下 工人操作： 4.02 3.94 4.03 4.02 3.95 4.06 4.00 机器人操作: 4.01 4.03 4.02 4.01 4.00 3.99 4.02 4.00 试求2
2
2
1σσ的置信水平为0.90的置信区间． 解：由于μ1和μ2未知，可采用?
??? ??-----)1,1(1,)1,1(121212
2212122221n n F S S n n F S S αα计算2
221/σσ的置信区间．
由两样本观测值计算得0189.0,72
11==s n ，00017.0,82
22==s n ，α = 0.1，查F 分
布的分位数表知
F 0.05(6,7) = 3.87，F 0.95(6,7) =
24.021
.41)6,7(105.0==F
故得2
221/σσ的置信水平为0.95的置信区间为
)39.46,853.2(24.0100017.00189.0,87.3100017.00189.0=??
? ????．
19. 求12题中μ的置信水平为0.95的单侧置信区间下限．
解：设X ~N (μ , σ2),由于σ2未知，μ 的的单侧置信下限可由下面公式计算得到
)1(--
=n t n
S
X αμ
其中n=9，α=0.01，8595.1)8()8(05.0==t t α，0056.1919
1
==
∑=i i x x ， 0006.0)(1121
2
=--=∑=n
i i x x n s ， 代入计算得μ 的置信水平为95%的单侧置信下限：
8595.13
0006
.00056.1?-
=μ=0.99 14. 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布，现随机抽取此种香烟8支为一样本，测得
其尼古丁平均含量为18.6毫克，样本标准差s = 2.4毫克，试求此种香烟尼古丁含量方差的置信水平为0.99的置信区间．
解：设X ~N (μ , σ2),由于μ未知，σ2
的置信区间为?
??
? ??-----)1()1(,
)1()1(2212222n S n n S n ααχχ 其中n =8，α=0.01，9892
.0)7()1(,2777.20)7()1(2
995.02212005.022χχχχαα=-==--n n ，s = 2.4， 代入计算得μ 的置信水平为95%的置信区间为（1.99，40.76）.
20. 求14题中香烟尼古丁含量方差的置信水平为0.99的单侧置信区间置信上限．
解：由于X ～N (μ，σ2)且μ未知，σ 2
的单侧置信上限为)
1()1(212
2
--=-n S n αχσ 其中n =8，α=0.01，=
=--)7()1(2
99..021χχαn 1.239，s = 2.4， 代入计算得μ 的置信水平为99%的单侧置信区间置信上限为54.32239
.14.2722
=?=σ.
21. 设总体),(~2σμN X ，已知0σσ=，要使总体均值μ的置信水平为1α-的置信区间长度不大于L ，问应抽取多大容量的样本？
解：由于),(~2σμN X ，已知0σσ=，总体均值μ的置信水平为1α-的置信区间为
?
??? ??+-2020,αασσz n X z n X 令置信区间为长度
L z n
≤2
02ασ，解得22/0)(4L
z
n ασ≤.
《概率论与数理统计》课后习题解答 习题一 3．设A ,B ,C 表示三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件： （1）A 发生,B 与C 不发生; （2）A 与B 都发生,而C 不发生; （3）A ,B ,C 都发生; （4）A ,B ,C 都不发生; （5）A ,B ,C 中至少有一个发生; （6）A ,B ,C 中恰有一个发生; （7）A ,B ,C 中至少有两个发生; （8）A ,B ,C 中最多有一个发生. 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）ABC ； （4）C B A ； （5）C B A ； （6）C B A C B A C B A ++； （7）BC AC AB ； （8）BC AC AB 或C B C A B A ． 5．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码． （1）求最小的号码为5的概率; （2）求最大的号码为5的概率. 解：设事件A 表示“最小的号码为5”，事件B 表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得 （1）12 1)(31025==C C A P ； （2）20 1)(31024==C C B P ． 6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求： （1）任取3件产品恰有1件是废品的概率; （2）任取3件产品没有废品的概率; （3）任取3件产品中废品不少于2件的概率. 解：设事件i A 表示“取出的3件产品中恰有i 件废品”)3,2,1,0(=i ，由概率的古典定义得
（1）0855.0)(3200 2194161≈=C C C A P ； （2）9122.0)(3200 31940≈=C C A P ； （3）0023.0)(3200 3611942632≈+=+C C C C A A P ． 8．从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率： A 表示“这三个数字中不含0和5” ； B 表示“这三个数字中包含0或5” ； C 表示“这三个数字中含0但不含5”． 解：由概率的古典定义得 157)(31038==C C A P ；158)(1)(=-=A P B P ；30 7)(31028==C C C P 9．已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ，求)(AB P 和)(B A P ． 解：4.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P )]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=-== 3.0) 4.06.0 5.0(1=-+-= 10．已知4.0)(=B P ,6.0)(=B A P ,求)(B A P ． 解：314.014.06.0)(1)()() ()()(=--=--==B P B P B A P B P B A P B A P 11．某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少? 解：设事件B A ,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知 3.0)()(,9.0)(===B P AB P A P ，则所求的概率为 3 19.03.0)()()|(===A P AB P A B P 12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码．
习题7-1 1. 选择题 (1) 设总体X 的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而12,,,n X X X 为来自X 的样本, 则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是( ) . (A) X 和S 2 . (B) X 和21 1()n i i X n μ=-∑ . (C) μ和σ2 . (D) X 和 21 1 ()n i i X X n =-∑. 解 选(D). (2) 设[0,]X U θ , 其中θ>0为未知参数, 又12,,,n X X X 为来自总体X 的样本, 则θ的矩估计量是( ) . (A) X . (B) 2X . (C) 1max{}i i n X ≤≤. (D) 1min{}i i n X ≤≤. 解 选(B). 3. 设总体X 的概率密度为 (1),01, (;)0, x x f x θθθ+<<=???其它. 其中θ>-1是未知参数, X 1,X 2,…,X n 是来自X 的容量为n 的简单随机样本, 求: (1) θ的矩估计量； (2) θ的极大似然估计量. 解 总体 X 的数学期望为 1 10 1 ()()d (1)d 2 E X xf x x x x θθθθ+∞ +-∞ +==+= +? ?. 令()E X X =, 即12 X θθ+=+, 得参数θ的矩估计量为 21?1X X θ-=-. 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… , X n 的一组观测值, 则似然函数为 1(1),01,0, n n i i i x x L θθ=?? ?+<0且 ∑=++=n i i x n L 1 ln )1ln(ln θθ, 令 1 d ln ln d 1 n i i L n x θ θ== ++∑=0, 得
习题一 2．设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7，P (A -B )=0.3，求P （ AB 解： P （AB ） =1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6。 3. 设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率。 解：因为 A B C A B ?,所以0()()P ABC P AB ≤≤，又 P （AB ）=0，则()0P ABC =， P （A ∪B ∪C ） =P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) =14+14+13-112=34 。 4．将3个不同的球随机地放入4个杯子中去，求所有杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率。 解：设i A ={杯中球的最大个数为i }，i =1，2，3。 将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故 34 13C 3!3()84 P A == 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()164 P A ==，因此 213319()1()()181616 P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()164P A ==. 6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，0这10个数字中任取五个数按先后顺序组成多位数，求下列事件的概率：(1) 这五个数字组成一个五位偶数；(2) 2和3都被抽到且靠在一起. 解（1）5105987648764190 P A ????-???==． （2）145102!876445 C P A ????==． 7．对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率；（2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 解：基本事件总数为57， （1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，所求事件包含基本事件的个数为1个，故 P （A 1）=517=51()7 ;
第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σ μ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）???>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==-Λ为未知参数。 解：（1）X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θn n n i i x x x c θ x f θL Λ 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL
教 案 概率论与数理统计 (Probability Theory and Mathematical Statistics ) Exercise 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用1A 、2A 、 3A 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标” ，试用1A 、2A 、3A 表示以下各事件： （1）只击中第一枪； （2）只击中一枪； （3）三枪都没击中； （4）至少击中一枪。 Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。所以，可以表示成 1A 32A A 。 （2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成 123A A A +321A A A +321A A A . （3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 123A A A . （4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 321A A A 或 123A A A +321A A A +321A A A +1A 32A A +321A A A +321A A A + 321A A A . Exercise 1.2 设事件B A ,的概率分别为 21,31 .在下列三种情况下分别求)(A B P 的值： （１）A 与B 互斥； （２）；B A ? （３）81)(=AB P ． Solution 由性质（5），)(A B P =)()(AB P B P -. （1） 因为A 与B 互斥，所以φ=AB ，)(A B P =)()(AB P B P -=P(B)= 21 （2） 因为；B A ?所以)(A B P =)()(AB P B P -=)()(A P B P -= 6 13121=-
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案 1．写出下列随机试验的样本空间． (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)； (2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取 出3个球； (3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：(1)}100,,2,1{ =Ω； (2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω； (3)},2,1{ =Ω； (4)}|),{(22y x y x +=Ω． 2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ． 解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ， }5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ； (3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ， }10,9,8,7,6,1{=B A ， }5,4,3,2{=B A ； 法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ； (4)}5{=BC ， }10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ， }4,3,2{=BC A ， }10,9,8,7,6,5,1{=BC A ；
(5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ， {1,8,9,10}=C B A ． 3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121| {≤<=x x A ，}2 341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ． 解：(1)B B A = ， }22 3,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ?； (3)A AB =， }21,10|{≤<≤ ≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ； (2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ． 解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生； (2)A ，B ，C 中至少有一个发生； (3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生； (4)A ，B ，C 中不多于一个发生． 6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(．
第三章 多维随机变量及其分布习题答案 3. 220,(1)(1),4,(,),0.5940, x y x y e e c F x y --<<+∞?--==? ? 其它 . 4. 2012.4(2),()0,X x x x f x ≤≤?-=??，其它201 2.4(34),()0,Y y y y y f y ≤≤?-+=? ? 其它. 5. ???=,0,4),(y x f ,),(其它G y x ∈???+=,0,48)(x x f X ,05.0其它<≤-x ?? ?-=, 0,22)(y y f Y 其它10<≤y . 6. (1) (|)(1),0,1,;,m m n m n P Y m X n C p p n m n -===-=≤否则(|)0P Y m X n ===; (2)(,)(1)/!,0,1,;,m m n m n n P Y m X n C p p e n n m n λλ--===-=≤否则(|)0P Y m X n ===. 7. 10. ⑴0y ≥时|0 ,(|)0 0,x X Y x e f x y x -≥?=?
11. ⑴放回抽样 ⑵ 不放回抽样 X 的条件分布律与上相同，再结合联合分布律可以看出: 放回抽样时独立，不放回抽样时不独立。 12. 1c = ; 当10x -<<时，|1/2,||(|)0, Y X x y x f y x -<-?=? ? 其它 ; 当| |1y <时，|1/(1||),1|| (|)0,X Y y x y f x y --<<-?=? ? 其它 . 13. ⑴ (2|2)5/16,(3|0)1/5P X Y P Y X ====== ； ⑶ ⑷ . ;0.375 . 16. ? ? ?<≥-=--00 ,0,)1()(6/3/z z e e z f z z Z . 17. ⑴(2)30 3!,()00,t T t t e f t t ->?=?≤? ；⑵(3)50()00,t T t t e f t t ->?=?≤?.
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A A B - （B ）()A B B ?- （C ）A B （D ）A B 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则A B 表示 [ A] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<
习题7.1 1.设总体X服从指数分布 试求的极大似然估计.若某电子元件的使用寿命服从该指数分布,现随机抽取18个电子元件,测得寿命数据如下(单位:小时): 16, 19, 50, 68, 100, 130, 140, 270, 280, 340, 410, 450, 520, 620, 190, 210, 800, 1100. 求的估计值. 解: 似然函数为 令 得 2.设总体X的概率密度为 其他 试求(1)的矩估计的极大似然估计 解: (1) 的矩估计 (2) 似然函数为
令 解得 3.设总体X服从参数为的泊松分布试求的矩估计和极大似然估计(可参考例7-8) 解:由服从参数为的泊松分布 由矩法,应有 似然函数为 解得的极大似然估计为 习题7.2 1.证明样本均值是总体均值的相合估计 证: 由定理知是的相合估计 2.证明样本的k阶矩是总体阶矩的相合估计量 证: 是的相合估计 3.设总体为其样品试证下述三个估计量 (1) (2)
(3) 都是的无偏估计,并求出每一估计量的方差,问哪个方差最小? 证: 都是的无偏估计 故的方差最小. 4.设总体其中是未知参数又为取自该总体的样品为样品均值 (1)证明是参数的无偏估计和相合估计 (2)求的极大似然估计 (1)证: 是参数的无偏估计 又 是参数的相合估计 (2)故其分布密度为 其他 似然函数 其他 因对所有有
习题7.3 1.土木结构实验室对一批建筑材料进行抗断强度试验.已知这批材料的抗断强度.现从中 抽取容量为6的样本测得样本观测值并算的求的置信度的置信区间 解: 置信度为的置信区间是 2.设轮胎的寿命X服从正态分布,为估计某种轮胎的平均寿命,随机地抽取12只轮胎试用,测得它们的 寿命(单位:万千米)如下: 4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.7 试求平均寿命的的置信区间(例7-21,未知时的置信区间) 解:查分布表知 平均寿命的的置信区间为 3.两台车床生产同一种型号的滚珠,已知两车床生产的滚珠直径X,Y分别服从 其中未知现由甲,乙两车床的产品中分别抽出25个和15个,测得 求两总体方差比的置信度0.90的置信区间. 解:此处 的置信度0.90的置信区间为: 4.某工厂生产滚珠,从某日生产的产品中随机抽取9个,测得直径(单位:毫米)如下: 14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8 设滚珠直径服从正态分布,若 (1)已知滚珠直径的标准差毫米; (2)未知标准差
00第一章 随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算； 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质； 3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题； 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量. 解：(1) {2,3, ,12}Ω=； (2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=； (3) {0,1,2, }Ω=； (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解：(1) ()()ABC ABC ； (2) A B C ； (3) ABC 或A B C . 3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) A B ；(3) ()A B C ；(4) ABC . 解：(1) AB 为“命中5环”； (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”；
(3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”； (4) ABC 为“命中2至4环”. 4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？ 解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”，则 {(0,0),(1,1)}A =，从而1 ()2 p A = . 5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率： (1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？ 解：从52张扑克中任取4张，有4 52C 种等可能取法. (1) 设A 为“全是黑桃”，则A 有413 C 种取法，于是413 452 ()C p A C =； (2) 设B 为“同花”，则B 有413 4C 种取法，于是413 452 4()C p B C =； (3) 设C 为“没有两张同一花色”，则C 有4 13种取法，于是4 452 13()p C C =； (4) 设D 为“同色”，则D 有426 2C 种取法，于是426 452 2()C p D C =. 6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？ 解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有12 3种等可能结果，记A 为“第一个盒中没有硬币”，则A 有12 2种结果，于是12 2()()3 p A =. 7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？ 解：从两个袋中各任取一球，有11 810C C ?种等可能取法，记A 为“取到的两个球同色”，则A 有1 111 5 4 3 6C C C C ?+?种取法，于是 1111543611 81019 ()40 C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？ 解：把10本书任意放在书架上，有10!种等可能放法，记A 为“指定的三本书放在一起”，则A 有3!8!?种放法，于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求5个人在不同楼层走出的概率？
第一章 1.见教材习题参考答案. 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C （1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A ，B ，C 都发生； （3） A ，B ，C （4） A ，B ，C 都不发生； （5） A ，B ，C （6） A ，B ，C 至多有1个不发生； 【解】（1） ABC （2） ABC （3）A B C (4) ABC =A B C (5) ABC (6) ABC ∪ABC ∪ABC ∪ABC =AB BC AC 3. . 4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6,P (B )=0.7, （1） 在什么条件下P （AB （2） 在什么条件下P （AB 【解】（1） 当AB =A 时，()()0.6P AB P A ==,()P AB 取到最大值为0.6. （2） 当A ∪B =Ω时，()()()()0.3P AB P A P B P A B =+-=,()P AB 取到最小值为0.3. 6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率. 【解】 因为P （AB ）=P （BC ）=0，所以P (ABC )=0， 由加法公式可得 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ = 14+14+13-112=34
概率论与数理统计课后习题答案 第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σ μ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==-Λ为未知参数。 解：（1）X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θn n n i i x x x c θ x f θL Λ 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θ θd θL d x θc θn θn θL
.1. 解：（正， 正）， （正， 反）， （反， 正）， （反， 反） A （正 ，正） ， （正， 反） .B （正，正），（反，反） C （正 ，正） ， （正， 反） ，（反，正） 2.解：(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6)；AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1)； A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)； AC - BC (1,1),(2,2). A B C D (1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4) 3. 解：(1) ABC ；(2) ABC ；(3) ABC ABC ABC ； (4) ABC ABC ABC ；( 5) A B C ； (6) ABC ；(7) ABC ABC ABC ABC 或AB AC BC (8) ABC ；(9) ABC 4. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中； 甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中c 5. 解：如图： 第一章概率论的基本概念习题答案
每次拿一件，取后放回，拿3次: ABC ABC; AB C ABC C; B A C ABC ABC ABC BA ABC BC ABC 6. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A C B C 但A B 0 7. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A (B C) 3 , 但是 （A B) C 3,6,7 ABC ABC A B 4,5,6 o 8.解: C ABC ABC ABC 3 C 4,5 6,7 P( BA) P(B AB) P(B) P(AB) (1) 2 ; (2) P( BA) P(B A) P(B) 1 P(A) 6 ; (3) P( BA) P(B AB) P(B) 1 P(AB)- 2 9. 解： P(ABC) P A B C 1 P(A B C)= 1 1 8 P (1 ) 2 982 1003 0.0576 ; 1旦 1003 0.0588 ; 1 P(A) 1 P(B) 1 P(C) 1 P(AB) 1 P(AC) 3 P(BC) P(ABC) 16 16 g 八牛 A)n .(.( (C p( B P (1) C ；8C ； C 100 0.0588 ; P (2) 3 100 1 98 0.0594 ; D P 3 2 2 P c ；c
《概率论与数量统计》第一章习题解答 1、写出下列随机试验的样本空间： （1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的产品记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果。 （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。 解： （1）设该班有n人，则该班总成绩的可能值是0，1，2，……，100n。故随机试验的样本空间S=｛i/n|i=0,1,2,……,100n｝。 （2）随机试验的样本空间S=｛10,11,12,……｝。 （3）以0表示检查到一个次品，1表示检查到一个正品，则随机试验的样本空间S=｛00，0100，0101，0110，0111，100，1010，1011，1100，1101，1110，1111｝。 （4）随机试验的样本空间S=｛（x,y）|x2+y2<1｝。 2、设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B 与C都不发生。 （2）A与B都发生，而C不发生。 （3）A，B，C中至少有一个发生。
（4）A，B，C都发生。 （5）A，B，C都不发生。 （6）A，B，C中不多于一个发生。 （7）A，B，C中不多于两个发生。 （8）A，B，C中至少有两个发生。 解： （1）A B C（2）AB C（3）A∪B∪C （4）ABC （5）A B C（6）A B C∪A B C∪A B C∪A B C （7）S-ABC （8）ABC∪AB C∪A B C∪A BC 3、（1）设A，B，C为三个事件，且P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P （AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/8，求A，B，C至少有一个发生的概率。 （2）已知P（A）=1/2，P（B）=1/3，P（C）=1/5，P（AB）=1/10，P（AC）=1/15，P（BC）=1/20，P（ABC）=1/30，求A∪B，A B，A∪B∪C，A B C，A B C，A B∪C的概率。 （3）已知P（A）=1/2，（i）若A，B互不相容，求P（A B），（ii）若P（AB）=1/8，求P（A B）。 解： （1）因为P（AB）=0，所以P（ABC）=0。故P（A∪B∪C）=P（A）+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3/4-1/8=5/8。 （2）P（A∪B）=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+1/3-1/10=11/15, P（A B）=1-P（A∪B）= 4/15, P（A∪B∪C）=P（A）
概率论与数理统计习题 部分习题简答 习题七 2． 解 =1α(),E X λ=由X A ==11?α 参数λ的矩估计量为.X λΛ = 3． 解 由()()12 2 1 ()3E X xf x dx x x dx α αααα +∞ -∞ ===-=?? ，得 13αα=, 由X A ==11?α , 所以α的矩估计量 3.X αΛ = 4． 解()()1 111 1 ,n n n n i i i i i i L f x x x θθθθθθ --======∏∏C ,()1ln ln (1)ln n i i L n x θθθ==+-∑， 令 ()1ln ln 0n i i d n x d θθθ==+=∑,所以，θ的极大似然估计值为 1ln n i i n x θΛ =?? ? ?=- ? ??? ∑. 5． 解 ()111122n i i i x x n n n i L e e σ σσσ σ=--=∑??== ? ??? ∏ ，()1ln ln 2ln n i n i x L n σσσ==---∑, 令 ()1 2 ln 0n i i x d n d σσ σ σ==- + =∑ ，得1 1n i i x n σ==∑ ， 所以，σ的极大似然估计量为 1 1n i i X n σΛ ==∑. 6． 解 (1) 由=1α()22()12213(1)32,E X θθθθθ=?+?-+-=- 可得2 31 αθ-= 由X A ==11?α , 所以θ的矩估计量为3-,2 X θΛ = 根据给定的样本观测值计算得到 14 (121).33 x =++= 所以6 5234 3?=- =θ ,即θ的矩估计值为5.6θΛ=
概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL
第一章 随机事件与概率习题参考答案与提示 1． 设为三个事件，试用表示下列事件，并指出其中哪两个事件是互逆事件： C B A 、、C B A 、、（1）仅有一个事件发生； （2）至少有两个事件发生； （3）三个事件都发生； （4）至多有两个事件发生； （5）三个事件都不发生； （6）恰好两个事件发生。 分析：依题意，即利用事件之间的运算关系，将所给事件通过事件表示出来。 C B A 、、 解：（1）仅有一个事件发生相当于事件C B A C B A C B A 、、有一个发生，即可表示成C B A C B A C B A ∪∪； 类似地其余事件可分别表为 （2）或AC BC AB ∪∪ABC B A BC A C AB ∪∪∪；（3）；（4）ABC ABC 或C B A ∪∪；（5）C B A ；（6）B A BC A C AB ∪∪或。 ABC AC BC AB ?∪∪ 由上讨论知，（3）与（4）所表示的事件是互逆的。 2．如果表示一个沿着数轴随机运动的质点位置，试说明下列事件的包含、互不相容等关系： x {}20|≤=x x A {}3|>=x x B {}9|<=x x C {}5|?<=x x D {}9|≥=x x E 解：（1）包含关系： 、 A C D ??B E ? 。 （2）互不相容关系：C 与E （也互逆） 、B 与、D E 与。 D 3．写出下列随机事件的样本空间： （1）将一枚硬币掷三次，观察出现H （正面）和T （反面）的情况； （2）连续掷三颗骰子，直到6点出现时停止, 记录掷骰子的次数； （3）连续掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和； （4）生产产品直到有10件正品时停止，记录生产产品的总数。 提示与答案：（1）； {}TTT TTH THT HTT THH HTH HHT HHH ,,,,,,,=?（2）； { ,2,1=?}（3）； {}18,,4,3 =?（4）。 { } ,11,10=?4．设对于事件有C B A 、、=)(A P 4/1)()(==C P B P , ， 8/1)(=AC P
)B= B (A) 0.15 B是两个随机事件， )B= (A) 0(B) B,C是两个随机事件
8.已知某对夫妇有四个小孩，但不知道他们的具体性别。设他们有Y 个儿子，如果生男孩的概率为0.5，则Y 服从 B 分布. (A) (01)- 分布 (B) (4,0.5)B (C) (2,1)N (D) (2)π 9.假设某市公安机关每天接到的110报警电话次数X 可以用泊松(Poisson)分布 ()πλ来描述.已知{49}{50}.P X P X ===则该市公安机关每天接到的110报警电话次数的方差为 B . (A) 51 (B) 50 (C) 49 (D) 48 10.指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。设某款电器的寿命（单位：小时）的密度函数为 则这种电器的平均寿命为 B 小时. (A) 500 (B) 1000 (C) 250000 (D) 1000000 11.设随机变量X 具有概率密度 则常数k = C . (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 1 12.在第11小题中, {0.50.5}P X -≤≤= D . (A) 14 (B) 34 (C) 1 8 (D) 38 13.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗骰子的点数之和(Z=X+Y)为6的概率为 C . (A) 336 (B) 436 (C) 5 36 (D) 636 14.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗 0.0010.001, 0()0, t e t f t -?>=? ?其它,01,()0, 其它. x k x f x +≤≤?=? ?
第七章 假设检验 I 教学基本要求 1、了解假设检验的相关概念及基本思想，掌握假设检验的基本步骤，知道犯两类错误的概率的含义； 2、掌握单正态总体均值和方差的假设检验； 3、掌握两个正态总体均值差与方差比的假设检验； 4、了解分布的假设检验. II 习题解答 A 组 1、某企业生产铜丝，而折断力的大小是铜丝的主要质量指标.从过去的资料来看，可认为折断力2(570,8)X N ~(单位：千克力)，现更换了一批原材料，测得10个样品的折断力如下： 578 572 570 568 572 570 570 572 596 584 从性能上看，折断力的方差不会有什么变化，试问折断力的大小与原先有无差异 (0.05)α=？ 解：若折断力的大小与原先无差异，则总体均值μ应为570，因此，提出假设如下： 0H ：570μ= vs 1H ：570μ≠ 由0.05α=，查附表得临界值0.975 1.96u =，根据样本观测值求得 575.2x = 于是，检验统计量U 的值 2.055U = = 由于0.975||U u ≥，所以，在显著性水平0.05α=下拒绝原假设0H ，即认为折断力与原先有差异. 2、某工厂生产的电子元件平均使用寿命2 (,)X N μσ~，现抽测15个元件，得到 18000x =、5200s =(单位：小时)，试问该工厂生产的电子元件的平均使用寿命是否为 20000(0.05)α=？ 解：若该工厂生产的电子元件的平均使用寿命为20000，则总体均值μ应为20000，因此，提出假设如下： 0H ：20000μ= vs 1H ：20000μ≠
由0.05α=，查附表得临界值0.975(14) 2.145t =，由已知数据求得检验统计量T 的值 0.149 T = =- 由于0.975||(14)T t <，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为该工厂生产的电子元件的平均使用寿命是20000小时. 3、用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度，重复测量6次，测得温度(C )为： 111.0 112.4 110.2 111.0 113.5 111.9 假定测量的温度服从正态分布，且井底温度的真实值为111.6C ，试问用热敏电阻测温仪间接测温是否准确(0.05)α=？ 解：若用热敏电阻测温仪间接测温是准确的，则总体均值μ应为111.6，因此，提出假设如下： 0H ：111.6μ= vs 1H ：111.6μ≠ 由0.05α=，查附表得临界值0.975(5) 2.571t =，根据样本观测值求得 111.67x =、2 1.399s = 于是，检验统计量T 的值 0.145 T = = 由于0.975||(5)T t <，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为用热敏电阻测温仪间接测温是准确的. 4、设考生在某次考试中的成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，得到平均成绩为66.5分、标准差为15分，问是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分(0.05)α=？ 解：若这次考试全体考生的平均成绩为70分，则总体均值μ应为70，因此，提出假设如下： 0H ：70μ= vs 1H ：70μ≠ 由0.05α=，查附表得临界值0.975(35) 2.0301t =，由已知数据求得检验统计量T 的值 1.4 T = =- 由于0.975||(35)T t <，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为这次考