第六讲图像变换
【目录】
§ 6.1、概述 (2)
1、变换条件 (2)
2、变换公式 (2)
§ 6.2、图像的傅立叶变换 (5)
1、变换表达式 (5)
2、Matlab提供的函数 (7)
3、傅立叶变换的性质 (8)
§ 6.3、正交变换 (15)
1、一维函数的正交性 (15)
2、二维函数的正交性 (17)
§ 6.4、空间周期 (19)
§ 6.5、傅立叶变换应用 (20)
1、图像频谱显示 (20)
2、特殊函数的傅立叶变换 (24)
2、图像滤波 (29)
3、图像特征识别 (32)
§ 6.6、快速傅立叶变换 (33)
1、推导 (33)
2、举例 (34)
3、分析 (37)
§ 6.7、余弦变换 (38)
1、定义 (38)
2、命令 (38)
3、基础函数 (40)
4、应用 (41)
§6.1、概述
1、变换条件
图像可以看作是一个矩阵，所谓图像变换，就是通过变换矩阵，将图像矩阵变换成另一个矩阵。变换后的矩阵能得到某些图像的信息。
通常，变换后的图像能体现图像的频率特征，可以用于图像的数据压缩和各种处理。
图像变换必需满足一下三个条件：
(1)变换是可逆的。
变换后的图像能保持原始图像的信息，可以通过逆变换矩阵把图像真实复原。
(2)变换后能给图像的进一步运算带来方便。
也就是说，图像的变换具有一定的含义，变换后的图像要么体现图像的某些特征，要么在数据上带来某些方便的处理。
(3)变换的算法简单，最好有快速算法。
图像的变换通常要经过两次矩阵乘法的运算，运算的速度关系到图像变换的好坏。大多数图像变换，要求图像是方阵，且行列数是2的幂次方才有快速算法。
2、变换公式
两式给出：
图
其中：
=N
-
y
N
u；，
v
x
=
2,1,0
,...,
1
,-
,
1
2,1,0
,...
()v u y x g,,,－称为正变换核，
()v u y x h,,,－称为逆变换核。
假如：
()()()v y g u x g v u y x g ,,,,,21=，()()()v y h u x h v u y x h ,,,,,21= 则称变换核是可分离的。如果：
()()v y g u x g ,,21=，()()v y h u x h ,,22=
则
表示为：
即
用矩阵来表示：
y x u
v
y x v u
v
()y x f ,可表示成()
()()()()
()()()
()?
??????
??
???------=1,1...1,10,1...
.........1,1...1,10,11,0...1,00,0N N f N f N f N f f f N f f f f
()v y g ,可表示成()
()()()()
()()()()?
????
??
??
???------=1,1...1,10,1...
.........1,1...1,10,11,0...1,00,0N N g N g N g N g g g N g g g G
()v x F ,可表示成()
()()()()()()()
()?
????
??
?????------=1,1...1,10,1...
.........1,1...1,10,11,0...
1,00,01111111111N N F N F N F N F F F N F F F F
显然有：
()()()∑-==10
,,,N y v y g y x f v x F 可表示成：fG F =1 若
()u x g ,可表示成()
()()()()
()()()
()?
??????
??
???------=1,1...1,10,1....
.........1,1...1,10,11,0...1,00,0N N g N g N g N g g g N g g g G
()v u F ,可表示成()
()()()()
()()()
()?
????
??
??
???------=1,1...1,10,1...
.........1,1...1,10,11,0...1,00,0N N F N F N F N F F F N F F F F
显然有：
()()()∑-==10
,,,N x u x g v x F v u F 可表示成：1F G F T =
则有：
fG G F T = 同样反变换有：
FH H f T =
显然，若I HG =，则：
f fI I GH f GH H fG G H FH H f T T T T T =====)()()( 即，要使变换可逆，必需要求变换是正交变换。
所以，图像变换，就是找出这样的变换矩阵，产生正交变换。下面介
绍傅立叶变换和余弦变换。
§ 6.2、图像的傅立叶变换
1、变换表达式
若令??
?
??-=N j w N π2exp ，显然傅立叶变换的正变换核有：
()vy
N
ux N w w v y g u x g ?=),(,，正变换矩阵为： ??????
????????=-?-?-?--???-???)1()1(1)1(0)1()1(1110
1)
1(01
00
0......
......
......
...N N N N N
N N
N N N
N
N N
N
N w w w w w w w w w G
逆变换核yv
N xu N
w w N
v y h u x h --=21),(),(，逆变换矩阵为： ??????
????????=
-?--?--?---?-?-?--?-?-?-)1()1(1)1(0)1()1(11101)
1(01000......
...............1N N N N N N N N N N N
N N N N w w w w w w w w w N H 。 下面例子，以N =4为例：
【例】变换核
w 4 = i n l i n e ('e x p (-2*j *p i /4*x *u )','x ','u '); G =[w 4(0,0),w 4(0,1),w 4(0,2),w 4(0,3);... w 4(1,0),w 4(1,1),w 4(1,2),w 4(1,3);... w 4(2,0),w 4(2,1),w 4(2,2),w 4(2,3);... w 4(3,0),w 4(3,1),w 4(3,2),w 4(3,3)];
H =[w 4(-0,0),w 4(-0,1),w 4(-0,2),w 4(-0,3);... w 4(-1,0),w 4(-1,1),w 4(-1,2),w 4(-1,3);... w 4(-2,0),w 4(-2,1),w 4(-2,2),w 4(-2,3);... w 4(-3,0),w 4(-3,1),w 4(-3,2),w 4(-3,3)]; H =H /4;
G,H,G*H
G=
1.00001.00001.00001.0000
1.00000.0000-1.0000i-1.0000-0.0000i-0.0000+1.0000i
1.0000-1.0000-0.0000i1.0000+0.0000i-1.0000-0.0000i
1.0000-0.0000+1.0000i-1.0000-0.0000i0.0000-1.0000i
H=
0.25000.25000.25000.2500
0.25000.0000+0.2500i-0.2500+0.0000i-0.0000-0.2500i
0.2500-0.2500+0.0000i0.2500-0.0000i-0.2500+0.0000i
0.2500-0.0000-0.2500i-0.2500+0.0000i0.0000+0.2500i
a n s=
1.0000-0.0000+0.0000i0+0.0000i0.0000+0.0000i
-0.0000-0.0000i1.0000-0.00000+0.0000i 0-0.0000i-0.0000-0.0000i1.0000+0.0000i-0.0000+0.0000i
0.0000-0.0000i0-0.0000i-0.0000-0.0000i1.0000
【例】傅立叶变换
w4=i n l i n e('e x p(-2*j*p i/4*x*u)','x','u');
G=[w4(0,0),w4(0,1),w4(0,2),w4(0,3);...
w4(1,0),w4(1,1),w4(1,2),w4(1,3);...
w4(2,0),w4(2,1),w4(2,2),w4(2,3);...
w4(3,0),w4(3,1),w4(3,2),w4(3,3)];
H=[w4(-0,0),w4(-0,1),w4(-0,2),w4(-0,3);...
w4(-1,0),w4(-1,1),w4(-1,2),w4(-1,3);...
w4(-2,0),w4(-2,1),w4(-2,2),w4(-2,3);...
w4(-3,0),w4(-3,1),w4(-3,2),w4(-3,3)];
H=H/4;
f=[1234;5678;9101112;13141516];
F=G'*f*G;
f1=H'*F*H;
f,F,f1
f=
1234
5678
9101112
13141516
F=
1.0e+002*
1.3600-0.0800+0.0800i-0.0800-0.0000i-0.0800-0.0800i
-0.3200-0.3200i0.0000+0.0000i-0.0000+0.0000i-0.0000-0.0000i -0.3200+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i-0.0000+0.0000i -0.3200+0.3200i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i f1=
1.0000+0.0000i
2.0000+0.0000i
3.0000+0.0000i
4.0000+0.0000i
5.0000-0.0000i
6.0000+0.0000i
7.0000+0.0000i
8.0000+0.0000i
9.0000-0.0000i10.0000-0.0000i11.0000+0.0000i12.0000+0.0000i
13.0000-0.0000i14.0000-0.0000i15.0000-0.0000i16.0000+0.0000i
2、M a t l a b提供的函数
M a t l a b提供了傅立叶变换函数，格式为：
Y=F F T2(X)。
返回图像X的二维傅立叶变换矩阵Y，输入图像和输出图像大小相同。
Y=I F F T2(X)
返回图像X的二维傅立叶反变换矩阵Y，输入图像和输出图像大小相同。
【例】傅立叶变换
f=[1234;5678;9101112;13141516];
F=F F T2(f);
f1=I F F T2(F);
f,F,f1
f=
1234
5678
9101112
13141516
F=
1.0e+002*
1.3600-0.0800+0.0800i-0.0800-0.0800-0.0800i
-0.3200+0.3200i000
-0.3200000
-0.3200-0.3200i000 f1=
1234
5678
9101112
13141516
【例】图像的傅立叶变换
C L F
f=z e r o s(256,256);
f(108:148,108:148)=1;
F=f f t2(f);
F2=l o g(1+a b s(F));
s u b p l o t(121),i m s h o w(f,[])
s u b p l o t(122),i m s h o w(F2,[])
傅立叶变换的性质
函数平均值
()()∑∑===00
,0,0x y y x f F ，即函数的平均值：
()()()21
1
2
0,0,1,N
F y x f N
y x f N N ∑∑--=
=。 →←
【例】
f =[ 1 2 3 4 5; 6 7 8 9 10;11 12 13 14 15;... 16 17 18 19 20;21 22 23 24 25]; F =f f t 2(f );
F (1,1),s u m (f (:))
a n s = 325 a n s = 325
(2) 周期性
傅立叶变换和它的反变换具有周期性。周期为N 。即： ()()()()N v N u F N v u F v N u F v u F ++=+=+=,,,,。 【证】
()()()()[]()()()()()()()()∑∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=-==???????+-=++??????+-???????+-=++??????+++-=++101
101
101
,12exp ,,2exp 2exp ,,2exp ,,N x N y N x N y N x N y v u F vy ux N j y x f N v N u F Ny Nx N j vy ux N j y x f N v N u F y N v x N u N j y x f N v N u F π
πππ
同样，由于反变换的存在，也赋予了以下周期性：
()()()()N y N x f N y x f y N x f y x f ++=+=+=,,,,
F(-4,-4) F(0,1) F(0,2) F(0,3) F(-4,0) F(-4,4)
F(1,0) F(1,1) F(1,2) F(1,3) F(2,0) F(2,1) F(2,2) F(2,3) F(3,0) F(3,1) F(3,2) F(3,3)
F(0,-4)
F(0,0) F(0,1) F(0,2) F(0,3) F(0,4) F(1,0) F(1,1) F(1,2) F(1,3) F(2,0) F(2,1) F(2,2) F(2,3) F(3,0) F(3,1) F(3,2) F(3,3) F(4,-4)
F(4,0) F(4,4) F(4,5) F(0,6) F(0,7) F(5,4) F(5,5) F(1,6) F(1,7) F(6,4) F(6,5) F(2,6) F(2,7)
F(7,4)
F(7,5)
F(3,6)
F(3,7)
(3) 共轭对称性
从前面的例子可以看到，原函数有N ×N 个实数，变换函数有N ×N 个复数，似乎傅立叶变换后，数据量增加一倍，其实，傅立叶变换具有共轭对称性：
()()v u F v u F --=,*, 【证】
()()()()()()()[]()()[]()()[]()∑∑∑∑
∑∑∑∑---=-=-=-=-=-==??????+-=--?
?????+=--??????-+--=--??????+-=11
101
101
101
,2exp ,,*2exp ,,2exp ,,2exp ,,N N N x N y N x N y N x N y v u F yv xu N j y x f v u F yv xu N j y x f v u F v y u x N j y x f v u F yv xu N j y x f v u F π
π
π
π
【例】
f =[23 34 45 56 23;44 34 98 34 34;21 34 99 10 34;... 11 23 34 55 89;98 66 37 45 23]; F =f f t 2(f )
F =
1.0e +003 *
1.1040 -0.0963 - 0.0550i 0.0368 + 0.1145i 0.0368 - 0.1145i -0.0963 + 0.0550i 0.0078 + 0.0320i -0.0533 + 0.0624i 0.2034 - 0.1019i -0.0523 + 0.0821i 0.0992 + 0.1529i -0.1073 + 0.0014i 0.0428 + 0.1033i -0.0812 + 0.0543i -0.0662 + 0.0695i -0.1979 - 0.0222i -0.1073 - 0.0014i -0.1979 + 0.0222i -0.0662 - 0.0695i -0.0812 - 0.0543i 0.0428 - 0.1033i 0.0078 - 0.0320i 0.0992 - 0.1529i -0.0523 - 0.0821i 0.2034 + 0.1019i -0.0533 - 0.0624i
(4) 平移性 若(
y x f ,()v u F ,，则：
(00,y y x x f --()()??
????+-002exp ,vy ux N j v u F π
， ()()??
????+y v x u N j y x f 002exp ,π
()00,v v u u F --。 【证】
对于()()()∑∑-=-=??????+-=101
2exp ,,N x N y vy ux N j y x f v u F π
，用： 0x x -代替x ，0y y -代替y ，显然有：
()()()()[]∑∑-=-=??????-+----=101
00002exp ,,N x N y y y y x x u N j y y x x f v u F π
()()()()∑∑-=-=???
???+???????+---=10001
002exp 2exp ,,N x N y vy ux N j vy ux N j y y x x f v u F ππ ()()()()???
???+-=??????+---∑∑-=-=00101
002exp ,2exp ,vy ux N
j v u F vy ux N j y y x x f N x N y ππ。
【说明】
原图像平移，变换图像幅值图没有变化。
【例】图像的平移
C L F
f 1 = z e r o s (256,256);f 1(108:148,108:148) = 1; f 2 = z e r o s (256,256);f 2(158:198,58:98) = 1; F 1 = f f t 2(f 1);F 1 = l o
g (1+a b s (F 1)); F 2 = f f t 2(f 2);F 2 = l o g (1+a b s (F 2)); s u b p l o t (221),i m s
h o w (f 1,[]) s u b p l o t (222),
i m s h o w (f 2,[]) s u b p l o t (223),i m s h o w (F 1,[]) s u b p l o t (224),i m s h o w (F 2,[])
特别地：
??? ?
?--2,2N v N u F 的傅立叶逆变换为()()y
x y x f +-1,。即，将转换图像的
原点移到图像的中心。
()y x f , ()()y
x y x f +-1,
f(0,0)
f(0,1) f(0,2) f(0,3) f(0,4) +f(0,0) -f(0,1) +f(0,2) -f(0,3) +f(0,4) f(1,0) f(1,1) f(1,2) f(1,3) f(1,4) -f(1,0) +f(1,1) -f(1,2) +f(1,3) -f(1,4) f(2,0) f(2,1) f(2,2) f(2,3) f(2,4) +f(2,0) -f(2,1) +f(2,2) -f(2,3) +f(2,4) f(3,0) f(3,1) f(3,2) f(3,3) f(3,4) -f(3,0) +f(3,1) -f(3,2) +f(3,3) -f(3,4) f(4,0)
f(4,1)
f(4,2)
f(4,3)
f(4,4)
+f(4,0)
-f(4,1)
+f(4,2)
-f(4,3)
+f(4,4)
()v u F ,
??? ?
?
--2,2N v N u F
F(0,0) F(0,1) F(0,2) F(0,3) F(0,4) F(3,3) F(0,4)
F(3,0) F(3,1) F(3,2) F(1,0)
F(1,1)
F(1,2)
F(1,3)
F(1,4)
F(4,3)
F(1,4)
F(4,0)
F(4,1)
F(4,2)
F(2,0) F(2,1) F(2,2) F(2,3) F(2,4) F(0,3) F(2,4) F(0,0) F(0,1) F(0,2) F(3,0) F(3,1) F(3,2) F(3,3) F(3,4) F(1,3) F(3,4) F(1,0) F(1,1) F(1,2) F(4,0) F(4,1) F(4,2) F(4,3) F(4,4) F(2,3) F(4,4) F(2,0) F(2,1) F(2,2)
M a t l a b提供函数，进行移动频谱原点到中心。即一、三象限和二、四象限进行互换。函数格式为：
F1=f f t s h i f t(F)
【例】
f=[2334455623;4434983434;2134991034;...
1123345589;9866374523];
F=f f t2(f)
f f t s h i f t(F)
F=
1.0e+003*
1.1040-0.0963-0.0550i0.0368+0.1145i0.0368-0.1145i-0.0963+ 0.0550i
0.0078+0.0320i-0.0533+0.0624i0.2034-0.1019i-0.0523+0.0821i0.0992+ 0.1529i
-0.1073+0.0014i0.0428+0.1033i-0.0812+0.0543i-0.0662+0.0695i-0.1979-0.0222i
-0.1073-0.0014i-0.1979+0.0222i-0.0662-0.0695i-0.0812-0.0543i0.0428-0.1033i
0.0078-0.0320i0.0992-0.1529i-0.0523-0.0821i0.2034+0.1019i-0.0533-
0.0624i
a n s=
1.0e+003*
-0.0812-0.0543i0.0428-0.1033i-0.1073-0.0014i-0.1979+0.0222i-0.0662-0.0695i
0.2034+0.1019i-0.0533-0.0624i0.0078-0.0320i0.0992-0.1529i-0.0523-0.0821i
0.0368-0.1145i-0.0963+0.0550i1.1040-0.0963-0.0550i0.0368+ 0.1145i
-0.0523+0.0821i0.0992+0.1529i0.0078+0.0320i-0.0533+0.0624i0.2034-0.1019i
-0.0662+0.0695i-0.1979-0.0222i-0.1073+0.0014i0.0428+0.1033i-0.0812+ 0.0543i
【例】图像的傅立叶变换
C L F
f=z e r o s(256,256);f(108:148,108:148)=1;
F=f f t2(f);F2=l o g(1+a b s(F));
s u b p l o t(221),i m s h o w(f,[])
s u b p l o t(223),i m s h o w(F2,[])
s u b p l o t(224),i m s h o w(f f t s h i f t(F2),[])
(5) 旋转不变性
如果原函数旋转一个角度，则变换函数同样旋转相同的角度。若： ()()()()?
?
?==???==??θθsin cos sin cos w v w u r y r x ， 则：
(
y x f ,()v u F ,可表示为(θ,r f ()?,w F ， 有：
(0,θθ+r f ()0,θ?+w F 。 【证】
()()()()()()()()()()()()()()()∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=?
??
???--+=+?
??
???--+-+=+?
??
???--=??????+-=??????+-=101
00101
0000101
101
101
cos 2exp ,,cos 2exp ,,cos 2exp ,,sin sin cos cos 2exp ,,2exp ,,N x N y N x N y N x N y N x N y N x N y wr N j r f w F wr N j r f w F wr N j r f w F r w r w N j r f w F vy ux N j y x f v u F θ?πθθθ?θθθ?πθθθ?θ?πθ?θ?θ?π
θ?π
【例】图像的傅立叶变换
C L F
f 1 = z e r o s (256,256);f 1(58:198,108:148) = 1; f 2 = i m r o t a t e (f 1,45,'c r o p ');
F 1 = l o g (1+a b s (f f t s h i f t (f f t 2(f 1)))); F 2 = l o g (1+a b s (f f t s h i f t (f f t 2(f 2)))); s u b p l o t (221),i m s h o w (f 1,[]) s u b p l o t (222),i m s h o w (f 2,[]) s u b p l o t (223),i m s h o w (F 1,[]) s u b p l o t (224),i m s h o w (F 2,[])
(6) 比例性
原图像的缩放，影响到变换图像的缩放。有
()by ax f ,??
?
??b v a u F ab ,1
【例】
x =o n e s (256,1);
y 1=c o s (l i n s p a c e (-5*p i ,5*p i ,256)); y 2=c o s (l i n s p a c e (-50*p i ,50*p i ,256)); f 1=x *y 1; f 2=x *y 2;
F 1=l o g (1+a b s (f f t s h i f t (f f t 2(f 1))));
F 2=l o g (1+a b s (f f t s h i f t (f f t 2(f 2)))); s u b p l o t (221),i m s h o w (m a t 2g r a y (f 1)); s u b p l o t (222),i m s h o w (m a t 2g r a y (f 2)); s u b p l o t (223),i m s h o w (m a t 2g r a y (F 1)); s u b p l o t (224),i m s h o w (m a t 2g r a y (F 2));
§ 6.3、正交变换
1、一维函数的正交性
【定义】
如果有N 个函数：
()()()x g x g x g n ,...,,21
构成一个函数集(){}x g n ，这些函数在区间],[00X x x +内满足下列特性：
()()?X
+???≠==000x x i j
i j
i j
i k dx x g x g 则此函数集(){}x g n 称为正交函数集。当1=i k 时，则称函数集(){}x g n 为归一化正交函数集。
任一函数()x f 在区间],[00X x x +内都可以用正交函数集各分量的线性组合近似：
()()()()x g C x g C x g C x f n n +++≈...2211。
为获得最佳的近似，即求得系数r C ，可用均方误差2最小的条件求出。
()()dx x g C x f X
X
x x n
i i i ?
∑+=??
????-=
00
2
121
【推导】
要使2
最小，对于每一个系数r C ，应满足02
=??r
C ，即：
()()()?
∑X
+==??
????-X
-00
021x x r n
i i i dx x g x g C x f
()()[]()000
=-?X
+dx x g x g C x f x x r
r
r
()()()()()()dx x g x f k dx x g x g dx
x g x f C x x r
r
x x r
r x x r
r ???X
+X
+X
+==
1
整理一下，有：
()???
?????-=∑?=+n i i i X x x C k dx x f X 122
2001
若函数集是归一化的，1=r k ，则有：
()()()??
?
?
??
?
?-X ==
∑?
?=X +X
+n
i i x x x x r
r C dx x f dx
x g x f C 12
2
2
00
00
1ε
【意义】
对于
()∞
+00
2
x x n dx x g 的正交函数集(){}x g n ，当下述两点成立时，称为完
备的正交函数集：
(1) 不存在这样的函数()x u ，且：
()()()??X
+X
+=∞<00
00
0,2
x x r
x x dx x g x u dx x u
显然，()x u 如果能使上式成立，说明()x u 与函数集(){}x g n 中的每一个成员都是正交的，因为()x u 就应该属于此函数集。如果函数集(){}x g n 不含
()x u ，则函数集就不完备；
(2) 如果函数()x f 在区间[]X x x +,0,0上可用正交函数集(){}x g n 近似表示
成：
()()()()x g C x g C x g C x f n n +++≈ (2211)
均方误差：
()???
?????-=∑?=+n i i i X x x C k dx x f X 1222
001
则当∞→n 时，必需：0lim 2=∞
→n ，函数集才完备。此时意味着：
()()()()()∑∞
==++++=1
111111......i i i x g C x g C x g C x g C x f
【说明】
(1) 任一函数，若能量有限,即
()∞
X
+dx x f x x 00
2，总可以用有限项级数来
逼近。
(2) 因为奇函数的累加仍为奇函数，偶函数的累加仍为偶函数，所以一个函数集要表示任何函数，则函数集中必需有奇函数和偶函数。 【举例】
下面考察三角函数的正交性。三角函数的表达式为：
()()∑∞
=++=1
0sin cos 2n n n nx b nx a a x f ，[]ππ+-∈,x
其函数集为：
,...sin ,cos ,...,2sin ,2cos ,sin ,cos ,2
1
nx nx x x x x 由于有：
22121,0cos 21,0sin 21π
ππ
ππππ===???+-+-+-dx nxdx nxdx ???≠==???≠==??+-+-m n m
n mxdx nx m n m n mxdx nx 0sin sin ,0cos cos πππππ
π
0sin cos =?+-
π
πmxdx nx
所以三角级数的函数集为正交函数集。
2、二维函数的正交性
【定义】
若M 阶实数矩阵满足M T I U U =?，则U 称为正交矩阵； 若M 阶复数矩阵满足M T I U U =?*，则U 称为酉矩阵。 【性质】正交归一
若U 为酉矩阵或正交阵，则在矩阵中各行或各列向量的模为1，任意不同行或列向量之间正交。
矩阵U 可表示成：
[]??????
????????==--T M T T M w w
w u u u U 110110......
其中：
()()()????
?
?
???
???-=i M u i u i u u i ,1...,1,0，()()()[]1,,...1,,0,-=M i u i u i u w T i 当U 为酉矩阵时，根据定义有：
()[]
?
???????????=???????
????????=--1...00............0...000...01......*1*1*0110*M T M T T T w w w w w w U U 故得：
?
?
?≠==?j i j i w w j T i 01*
同样：
()[]?
?
??????????=???????
????????=--1...00............0...100...01......110*1*1*0
*M T M T T T u u u u u u U U 可得：
??
?≠==j
i j i u u j T
i 01* 这个性质说明酉阵是一个正交归一矩阵。 【性质】若U 为酉阵，则T U 和1-U 也是酉阵。
因为，酉阵有：M T I UU =*，T U U *1=- 所以：
()
[][
]
M T
T T T T
T T I U U U U U U U U ====-1***
M T T I U U U U U U U U ====--------11111*1*11)()()( 【性质】若U 是酉阵，则其行列式的模为1
由于U 为一个复数方阵，所以也是复数，可令：
bi a U bi
a U -=+=*
则：
1
))((***
2
2===?=?=-+=-+=+?+=M T
T
I U bi a bi a bi a bi a bi a bi a
【性质】
若U 是酉阵，a 是向量，作变换Ua b =，则有b a =。 即：
2
*****2
)()(a a a Ua U a Ua Ua b b b T T T T T =====
【结论】
前面已经推导二维函数的变换可表示为：
T T HFH f fG G F ==
要使变换可逆，则必需：
I GH T =
若G 为酉阵，则T T FG G f fG G F **==（如傅立叶变换）； 若G 为正交阵，则T T GFG f fG G F ==（如余弦变换）。 这样的变换称为正交变换。
§ 6.4、空间周期
【推导】
考察傅立叶逆变换：
∑∑-=-=???
???+=101
)(2exp ),(),(N u N v vy ux N j v u F y x f π
可以转化为：
∑∑-=-=???
???+++=101
)(2sin )(2cos ),(),(N u N v vy ux N j vy ux N v u F y x f ππ
上式表明，图像),(y x f 可以看成由一组正弦函数和余弦函数加权求和得到的。加权因子为),(v u F 。而其中每一个正弦或余弦代表了一个频率分量。
取其中一项)(2cos 00y v x u N
+π
来分析，对于不同的x 、y 值，这个余弦函数表现不同的起伏，考察函数的最大值位置，即：
1)(2cos 00=+y v x u N π，得 ,...2,1,000±±==+n n y N
v x N u
这些组成了一组直线： 显然，有：
2
0201
??
? ??+??? ?=
N v N u d d 称为空间周期。
2
02
01??? ??+??? ??==N v N u d f
称为空间频率。 【结论】
显然，原函数),(y x f 变换为),(v u F 后，),(v u F 中的每一个数值代表了图像的一个频率分量的大小。
频率越大，u 、v 的值越大，在原点移到中心的频谱图像中，中心附近代表低频，外围代表高频。
图像比较平缓，表示频率比较低，图像变换快，表示频率比较高。
§ 6.5、傅立叶变换应用
1、图像频谱显示
许多图像的傅立叶频谱随着频率u 、v 的增大而迅速减小。使得显示和观察图像的频谱遇到困难。当以图像的形式来进行显示时，高频分量变得越来越不清楚。所以通常利用以下显示函数来显示频谱图像：
()),(1log ),(v u F v u D += 或者 ()()()v u F k v u D ,1log ,+=。
【例】频谱对数运算
C L F
x =l i n s p a c e (-10,10,1024);
y 1=a b s (s i n c (x ));y 2=l o g (1+y 1);y 3=20*y 1;y 4=l o g (1+y 3); s u b p l o t (221),p l o t (x ,y 1);a x i s t i g h t ,t i t l e ('a b s (F u )')
s u b p l o t (222),p l o t (x ,y 2);a x i s t i g h t ,t i t l e ('l o g [1+a b s (F u )]') s u b p l o t (223),p l o t (x ,y 3);a x i s t i g h t ,t i t l e ('20a b s (F u )')
s u b p l o t (224),p l o t (x ,y 4);a x i s t i g h t ,t i t l e ('l o g [1+20a b s (F u )]')
x