2012年湖北高考理科数学第21题赏析
设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．
（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴
上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的0k >，都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.
参考答案如下： 解
（Ⅰ）如图
1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由
||||(0,1)DM m DA m m =>≠且，
可得0x x =，0||||y m y =，所以0x x =，01
||||y y m
=
. ①
因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y +=. ②
将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为
2
2
2 1 (0,1)y x m m m
+=>≠且.
因为(0,1)(1,)m ∈+∞ ，所以
当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为(0)
，0)； 当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为(0,
，(0,
.
（Ⅱ）解法1：如图2、3，0k ?>，设11(,)P x kx ，22(,)H x y ，则11(,)Q x kx --，1(0,)N kx ，
直线QN 的方程为12y kx kx =+，将其代入椭圆C 的方程并整理可得 222222211(4)40m k x k x x k x m +++-=.
依题意可知此方程的两根为1x -，2x ，于是由韦达定理可得 211222
44k x x x m k -+=-+，即21
222
4m x x m k =+. 因为点H 在直线QN 上，所以21
21222
224km x y kx kx m k -==+.
于是11(2,2)PQ x kx =-- ，2211
21212
222
42(,)(,)44k x km x PH x x y kx m k m k =--=-++ . 而PQ PH ⊥等价于222
122
4(2)04m k x PQ PH m k -?=
=+ ， 即220m -=，又0m >
，得m
故存在m =使得在其对应的椭圆2
2
12
y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥.
图
解法2：如图2、3，1(0,1)x ?∈，设11(,)P x y ，22(,)H x y ，则11(,)Q x y --，1(0,)N y ，
因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以2222
112222
22
,
,m x y m m x y m ?+=??+=?? 两式相减可得 222221212()()0m x x y y -+-=. ③
依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠. 于是由③式可得
212121212()()
()()
y y y y m x x x x -+=--+. ④
又Q ，N ，H 三点共线，所以QN QH k k =，即112
112
2y y y x x x +=+. 于是由④式可得2
11212121121212()()12()()2
PQ PH
y y y y y y y m k k x x x x x x x --+?=?=?=---+. 而PQ PH ⊥等价于1PQ PH
k k ?=-，即212
m -=-，又0m >
，得m
故存在m =2
2
12
y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥.
解析：此题为圆锥曲线问题，一直是湖北高考命题者设置难点的最爱之一。计算难度一般较
大，往往出力不讨好，所以我们很多考生一般选择完成此题第一问，第二问做一个简单尝试有眉目就往下进行，否则会果断放弃。实际上我们很多老师在复习中对中档学生也往往这样要求，实在是投入产出比太低。
本人是今年高考阅卷理科21题评卷组成员，有幸见到很多学生的解答，下面就评卷过程中学生的常见问题作一些说明
第一问大部分学生还是可以得分，主要失分点在于
1、 作图时习惯将A 点作在第一象限，导致A 、M 纵坐标关系的不完整写成了011
y =
m
y 2、 对椭圆标准方程概念理解不透，焦点坐标没进行讨论
第二问解答上大部分学生没有使用上述两种解法：尝试的学生基本上选择了设直线PQ 的方程和椭圆方程联立求解，主要原因是没发现直线QN 的斜率是2k 。事实上设直线PQ 的方程为y=kx 联立也能够求解，但计算量很大，所以很多学生做了几步就放弃了，非常可惜。几乎所有尝试求解的学生都知道要利用垂直关系得到斜率之积等于-1，或向量的数量积等于
图2 (01)m <<
图3 (1)m >
图1 第21题解答图
0来求解，这就必然要找到P 、H 的坐标关系，而H 点的坐标又需要直线QN 的方程和椭圆方程联立求解，计算量很大，坚持算下去的很少，当然也有很多坚持计算的学生发生了计算错误导致做了无用功，尤为可惜。
解法如下：
设11(,)P x y ，Q ()11,x y --，22(,)H x y ，则:PQ l y kx =代入椭圆方程消元得
()2222
m k x m +=求得
P
??，
Q ??
?
,N ??
?
此时就很容易发现直线QN 的斜率为2k ，
设
:2QN l y kx =代
入
椭
圆
方
程
消
元
得
(
)2
4
2
2
2
2240m m k x x m k ++-=+，此方程两根为Q 、H 横坐标，由韦达定理可计
算
得
3
2x =
代回直线方程可
得
332y 从而
有
23PH ??=
，
OP ??= 由0OP PH ?= 得224222222222
420(4)()(4)()
m k m k m k m k m k m k -+=++++即220m -=，又0m >
，得m =
故存在m =使得在其对应的椭圆2
2
12
y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥.
参考答案的解法1是这种解法的技巧版，计算量略小一点。
至于解法2技巧性非常强，能做出的学生非常少，简直凤毛麟角！主要是没想到用点差法，想到的一般可以做出，高考复习时可以将本题作为重要例证讲解。