2015年高考数学走出题海之黄金30题系列
专题六考前必做难题30题(理科)(第二期)
1、已知复数∈+=a ai z (21R )，i z 212-=，若
2
1
z z 为纯虚数，则=||1z ( ) A ．2 B ．3
C ．2
D ．5
【答案】D 【解析】由于()()()5
422521221221i a a i ai i ai z z ++-=++=-+=为纯虚数，则1=a ，则=1z 5，
故选择D .
2、如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边,AB AD 分别交于F E 、两点，且交其对
角线于K ，其25AE AB = ,12
AF AD = ,AK AC λ=
，则λ的值为( )
A ．
29B ．27C ．25D ．2
3
【答案】A 【解析】
由已知25AE AB = ,12AF AD =
,结合向量加法的平行四边形法则可
25AE AB = ,12AF AD = ,5AB AE AD 2AF 2
∴
＝，＝,
由向量加法的平行四边形法则可知AC
AB AD +
＝， 55AK AC (AB AD)(AE 2AF)AE 2AF 22λλλλλ∴=+=+=+
＝,
由E ，F ，K 三点共线可得，5221,29
λλλ+=∴=.
3、设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对R x ∈，都有)2()2(+=-x f x f ，且当[]02，-∈x 时，
1)2
1
()(-=x x f ，若在区间]62(，
-内关于x 的方程)1(0)2(log )(>=+-a x x f a 恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是( )
A. （1,2）
B. （2，＋∞）
C. （1, 34）
D. )2,4(3 【答案】
D.
4、已知定义在R 上的函数()f x 满足①()(2)0f x f x +-=，②()(2)0f x f x ---=，③在
[1,1]-
上表达式为[1,0]
()1(0,1]x f x x x ∈-=- ∈??，则函数()f x 与函数1
2
20()log 0
x x g x x x ? ?=? >??≤的图像在区间[3,3]-上的交点个数为（ ） A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】B 【解析】
①()()02=-+x f x f ，②()()02=---x f x f ，∴()x f 图象的对称中心()0,1，()x f 图
象的对称轴为1-=x ，结合③画出()x f 和()x g 图象，如图所示，据此可知()x f 和()x g 图象
在[]3,3-上有6个交点，故答案为B.
5、下列命题正确的个数有( )
（1）命题“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件
（2）命题“R x ∈?,使得210x x ++<”的否定是:“对x R ?∈, 均有210x x ++>” （3）经过两个不同的点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线都可以用方程121()()y y x x --=
12()(x x y -1)y -来表示
（4）在数列{}n a 中,11=a ,n S 是其前n 项和,且满足22
1
1+=
+n n S S ,则{}n a 是等比数列 （5）若函数2
23-)(a bx ax x x f ++=在1=x 处有极值10，则114==b a ，
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B 【解析】
对应（1）当q p ∧是真命题时，q p ,都是真命题，能得到q p ∨是真命题；当q p ∨是真命题，
q p ,可能都是真命题，可能一真一假，不能得到q p ∧是真命题，q p ∧是真命题是q p ∨是
真命题的充分不必要条件，故（1）不对；命题R x ∈?，使得012
<++x x 的否定R x ∈?，
012≥++x x ，故（2）不对；对应（3）当21x x =时，直线方程1x x =满足，当21x x ≠时，
1
21
2x x y y k --=
，因此直线方程
()11
21
21x x x x y y y y ---=
-，即()()()()112121x x y y x x y y --=--，满足方程；对应（4)当2≥n 时，
2211+=
-n n S S ，又22
1
1+=+n n S S ，两式相减得n n a a 211=+，2≥n ，当1=n 时，
22
1
12+=
S S ，得 232=
a ，2
1
2312≠=∴a a ，故（4）不对；对应（4）()b ax x x f -+='232，()()?
??=+-+==-+='∴10110
2312
a b a f b a f 解得??
?-=-=33b a 或???==11
4b a ，当3,3-=-=b a ，()()0133632
2≥-=+-='x x x x f 不存在极值，
当4=a ，
11=b 符合题意，故（4）真确；命题真确的个数是2，故答案为B.
6、从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是（ ） A ．
49B ．13C ．2
9
D ．19
【知识点】古典概型K2 【答案】D
【解析】个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数与十位数有一个为奇数，一个为
偶数，共有15C 15C +15C 1
4
C =45记：“个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数为0”为事件A ，则A 包含的结果：10，30，50，70，90共5个由古典概率的求解公式可得， P （A ）=1
9
7、在平面直角坐标系中，记抛物线2
y x x =-与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y kx =（0k >）所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A
内的概率为
8
27
，则k 的值为（ ） A ．
827 B ．1981 C ．23 D ．13
【答案】D 【解析】
平面区域M 的面积为1
2
230
1111()()023
6S x x dx x x =
-=-=?，设平面区域A 的面积为'S ，由已知'827
S S =，得：'481S =，2
y x x =-与直线y kx =（0k >）除原点外的交点B 的坐标
为2
(1,)k k k --，可得：1'223111
4[()][(1)]2381
k
k
k S x x kx dx k x x k --=
--=--=?
，解得：
1
3
k =，故选D.
8、已知函数()f x 在[0,)+∞上可导，其导函数记作()()'02f x f =-， ,且
()()1
2
f x f x π+=
,当,[)0x π∈时，()()()'c o s 2s i n 2'f x x f x x f x
?>?-,若方程s (0)ec n f x k x +=在[0,+∞)上有n 个解，则数列2{
}n
n
k 的前n 项和为（ ） A .()121n
n -?+B .()1
12
2n n +-?+C .1?
2
n n -?D . (21)314
n n -?+
【答案】A 【解析】
由于()02f =-，且()()1
2
f x f x π+=
，则()()()()111201222f f f f πππ==-==-，()134f π=-，，()1
12n f n π-???=- ???
，．由
于当0)[x π∈，时，()()()cos2sin 2f x x f x x f x '??-'＞，则有
()()()1cos2sin 20f x x f x x '+->，即有
()()()()()2cos cos sin 02cos cos 0x f x x f x x x f x x '->?'>，则，则有
()()()cos 0cos 0cos x f x x f x x >'>，，在02π?? ???
，递增，()()()cos 0cos 0cos x f x x f x x <'<，，在2ππ?? ???
，递减，由于方程s (0)ec n f x k x +=在
[0)+∞，上有n 个解，即有()cos n k f x x =-在[0)+∞，上有n 个解，则
()()()1231
0cos 02cos 12cos 22k f k f k f ππππ=-==-=-=-=，，，
()41
3cos34
k f ππ=-=-，()()()1cos 1n k f
n n ππ?=---，，
则有1
212n n k -??
= ???
，即有
122n n
n
n k -=?，令21122322n S n -=+?+?+?+?，则2321222322n S n =?+?+?+?+?，两式相减得，2
3
1
12122222212
n
n n
n S n n ---=++++?+-?=-?-，则()121n S n =-?+．
故选A ．
9、已知四面体P ABC -中，4PA =
，AC =
PB BC ==PA ⊥平面PBC ，则四面体P ABC -的外接球体积为（ ） A ．
1256π B
．3
C
．3 D
．3 【答案】C 【解析】
如图，由题可得四面体P ABC -的底面PBC
是边长为2r =，∴四面体P ABC -外接球的半径222
(
)82
PA R r =+=
，∴R =
，故选C.
10、已知函数()f x =???>+-≤-)
0(,1)1()
0(,12x x f x x ,把函数()()g x f x x =-的零点按从小到大的顺序
排列成一个数列,则该数列的通项公式为（ ） A ．2
)
1(-=
n n a n B ．1-=n a n C ．)1(-=n n a n D ．22-=n n a
【答案】B 【解析】
当(]0,∞-∈x 时，由()()012=--=-=x x x f x g x
，得12+=x x
，令x
y 2=，1+=x y ，
在同一个坐标系内作出两函数在区间(]0,∞-上的图象，由图象易知交点为()1,0，故得到函数的零点为
0=x
当(]1,0∈x 时，(]0,11-∈-x ，()()11
2112
11--=+-=+-=x x x f x f ，由
()()021=-=-=-x x x f x g x ，得x x =-12，令12-=x y ，x y =，在同一个坐标系内作出两
函数在区间(]1,0上的图象，由图象易知交点为()1,1，故函数的零点为1=x 当(]2,1∈x 时，(]1,01∈-x ，()()1212
1121
1+=+=+-=---x x x f x f ，由
()()0122=-+=-=-x x x f x g x ，得122-=-x x ，令22-=x y ，1-=x y ，在同一个坐标
系内作出两函数在区间(]2,1上的图象，由图象易知交点为()1,2，故函数的零点为2=x 依次类推，当(]3,2∈x ，(]4,3∈x ，??????，(]1,+∈n n x 时，构造的两函数图象的交点依次
为()()()1,1,,1,4,1,3+??????n ，得对应的零点分别为()1,1,,4,3+??????==n x x ，得对应的零点分别为3=x ，
???=,4x ，1+=n x ，故所有的零点从小到大依次排列为0,1,2,3，???，1+n ，其对应的数
列通项公式为
1-=n a n ，故答案为B.
11、已知双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>，的中心为O ，左焦点为F ，P 是双曲线上的一点
=?→
→
PF OP 且
2
4→→
→=?OF
OF OP ，则该双曲线的离心率是
（ ）
【答案】D. 【解析】
因为0=?→
→
PF OP ，所以→
→
⊥PF OP ；又因为2
4→→
→=?OF OF OP ，所以2
4→→
→=?OF OF OP ，所以060,2
1
=∠=
→FOP c OP ，设双曲线另一个焦点为F '，则在POF '?中，由余弦定理可得
||PF '，又||PF =2a =，所以离心率e =
选D.
12、一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为 【答案】2 【解析】
由题意，正方体在正四面体的内切球内，求出内球的直径，就是正方体的对角线的长，然后求出正方体的棱长，设球的半径为r ，由正四面体的体积得
2
2
22633664331643314???
? ??-??=???r ，解得26=r ，设正方体的最大棱长为x ，则63=x ，解得2=x ，故答案为2.
13、给出下列四个命题：
①ABC ?中，A B >是sin sin A B >成立的充要条件； ②当01x x >≠且时，有1
ln 2ln x x
+
≥； ③已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若75S S >，则93S S >； ④若函数)23(-=x f y 为R 上的奇函数，则函数)(x f y =的图象一定关于点)0,2
3
(F 成中心对称．
其中所有正确命题的序号为． 【答案】①③ 【解析】
①正确.先证A B >是sin sin A B >的充分条件：A B > 则a b >（大角对大边），根据正弦定理知：
a b sinA sinB
=，则 sin sin A B >，再证A B >是sin sin A B >的必要条件：已知
s sin sin A B >, 根据正弦定理知：
a b sinA sinB
=，则边a b >, 根据大边对大角则有A B > 故sin sin A B >是A B >的充要条件. ②不正确，当01x <<时，1
ln 0ln x x
+
< ③根据等差数列的性质，片段和成等差 则537597S S S S S S ---，，三个数成等差数列
则7553972S S S S S S -=-+-（）
即9375S S 3S S -=-（）>0则9393S S 0,S S ->> ④是不对的，因为)2
3
(-
=x f y 是奇函数，所以图像关于原点对称，而)(x f y =)向右平移 23个单位可得)23(-=x f y 的图像，所以)(x f 的对称中心是)0,2
3(-
14、设()f x 是定义在R 上的函数，且对任意,x y R ∈,均有()()()2014f x y f x f y +=++成立，若函数()()20132014g x f x x =+有最大值M 和最小值m ，则M m + =__________. 【答案】-4028 【解析】
∵()f x 是定义在R 上的函数，且对任意x y R ∈，，均有()()()2014f x y f x f y +=++ 成立，
∴取0x y == ，得：()()()()000201402014f f f f =++=-，，取y x =- ，得到：
()()()02014f f x f x =+-+ ，∴()()4028f x f x +-=- ．记()()201320142014h x f x x =++ ，
则
()()()()
()2013
201320142[014201420]14
h x h x f x x f x x -+=-+-++++()()20132013201420144028f x f x x x =+-+-+()()20132013201420144028f x f x x x =+-+-+
()()40280f x f x =+-+= ，∴()y h x =为奇函数．记()h x 的最大值为A ，则最小值为
A -．
∴()201320142014A f x x A -≤++≤ ，∴()2013201420142014A f x x A --≤+≤- ，∵()()20132014g x f x x =+ ，()20142014A g x A ∴--≤≤- ，
∵函数()g x 有最大值M 和最小值m ，20142014M A m A ∴=-=--， ，
∴201420144028M m A A +=-+
--=-（） ．故答案为：-4028．
15、若定义在],[b a 上的函数13)(2
3+-=x x x f 的值域为]1,3[-，则a b -的最大值是. 【答案】4
【解析】由2
'()363(2)0f x x x x x =-=-<，得02x <<，所以在区间(,0],[2,)-∞+∞，
函数13)(23+-=x x x f 是增函数，在区间[0,2]，13)(2
3+-=x x x f 是减函数.0x =时.
函数的极大值为1，2x =时，函数的极小值为3-，而(3)1f =，(1)3f -=-，故定义在]
,[b a 上的函数13)(2
3
+-=x x x f 的值域为]1,3[-时，b a -的最大值是3(1)4--=.
16、对于函数[]
sin ,0,2()1(2),(2,)2
x x f x f x x π?∈?
=?-∈+∞??，有下列4个命题：
①任取1x ，[)20,x ∈+∞，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*()k N ∈，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立； ③对任意0x >，不等式()k f x x ≤
恒成立，则实数k 的取值范围是9,8??+∞????
． ④函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； 则其中所有真命题的序号是． 【答案】①④.
【解析】①：显然，当[0,)x ∈+∞时，max 1
()()12f x f ==，min 3()()12
f x f ==-，∴对于1x ，
[)20,x ∈+∞，12max min ()()()()2f x f x f x f x -≤-=，∴①正确；②：∵
[]sin ,0,2()1
(2),(2,)2
x x f x f x x π?∈?
=?-∈+∞??， ∴()2(2)k f x f x k =+，*
k N ∈，∴②错误；③：画出()f x 的图象，从而可知，若要使
()k f x x ≤
，只需114343222
n n k n k n --≤?≤-对于任意的*n N ∈恒成立，从而问题等价于求
数列43
{
}2
n n -的最大项， 由1
1434(1)3
711222434(1)3
4422n n n n n n n n n n +--+-?≥???≤≤?=?---?≥??，∴2
423524k ?-≥=，∴③错误；④画出()f x 的图象()ln(1)g x x =-的图象如图所示，则可知153ln(1)ln 222
>-=，
197
ln(1)ln 422
<-=，从而两个函数图象有三个交点，即函数()ln(1)y f x x =--有3个零点，∴④正确
.
17、银川市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域可近似为半径是R 的圆面．该圆的内接四边形ABCD 是原棚户建筑用地，测量可知边界
AB ＝AD ＝4万米，BC ＝6万米，CD ＝2万米．
(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及圆面的半径R 的值；
(2)因地理条件的限制，边界AD 、CD 不能变更，而边界AB 、BC 可以调整．为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在上设计一点P ，使得棚户区改造的新建筑用地APCD 的面
积最大，并求出其最大值．
【答案】（１）S 四边形ABCD ＝83(万平方米)，R ＝221
3(万米)；（２）作AC 的垂直平分线与圆弧
ABC 的交点即为P 点，最大面积为93万平方米 【解析】
(1)因为四边形ABCD 内接于圆，所以∠ABC ＋∠ADC ＝180°，连接AC ，由余弦定理：
AC 2＝42＋62－2×4×6cos ∠ABC
＝42
＋22
－2×2×4cos ∠ADC .
∴cos ∠ABC ＝1
2
.∵∠ABC ∈(0，π)，∴∠ABC ＝60°.
则S 四边形ABCD ＝12×4×6×sin60°＋1
2×2×4×sin120°＝83(万平方米)．
在△ABC 中，由余弦定理：
AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠BAC
＝16＋36－2×4×6×1
2＝28，故AC ＝27.
由正弦定理得， 2R ＝AC sin ∠ABC
＝
273
2
＝4213，∴R ＝2213(万米)．
(2)S 四边形APCD ＝S △ADC ＋S △APC ，
S △ADC ＝12
AD ·CD ·sin120°＝2 3.
设AP ＝x ，CP ＝y ，
则S △APC ＝12xy ·sin60°＝3
4
xy .
又由余弦定理：AC 2
＝x 2
＋y 2
－2xy cos60°＝x 2
＋y 2
－xy ＝28. ∴x 2
＋y 2
－xy ≥2xy －xy ＝xy .
∴xy ≤28，当且仅当x ＝y 时取等号． ∴S
四边形APCD
＝23＋
34xy ≤23＋3
4
×28＝93，即当x ＝y 时面积最大，其最大面积为93万平方米．
作AC 的垂直平分线与圆弧ABC 的交点即为P 点
18、已知函数()sin f x x ω=(0)ω>在区间[0,
]3π
上单调递增,在区间2[,]33
ππ
上单调递减;如图,四边形OACB 中,a ,b ,c 为ABC △的内角A B C ，，的对边,且满足
A
C
B A
C B cos cos cos 34sin sin sin --=+ω
. (1)证明:a c b 2=+
(2)若c b =,θ=∠AOB ,(0)θπ<<,22OA OB ==,求四边形OACB 面积的最大值.
【答案】(1)证明略；(2)4
3
52+ 【解析】
(1)由题意知:
243
π
π
ω=
,解得:32ω=,
A
C
B A
C B cos cos -cos -2sin sin sin =
+ A C A B A A C A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴
A C A
B A sin 2)(sin )(sin =+++∴
a c
b A B C 2sin 2sin sin =+?∴=+∴
(2)因为2b c a b c +==，,所以a b c ==,所以ABC △为等边三角形
21sin 2OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ??=+=?+
22sin -2cos )OA OB OA OB θθ=+?
435cos 3-sin +
=θθ2sin (-)3πθ=+
, (0)θπ∈ ，,2--333
π
ππ
θ∴∈(，),
当且仅当-3
2
π
π
θ=
，
即56
π
θ=时取最大值,OACB S 的最大值为2+.
19、某渔业公司年初用98万元购得一艘捕渔船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年的捕鱼收益50万元 （1）第几年开始获利？
(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船； ②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船。请问：选择哪种方案更好？ 【答案】（1）第3年开始获利；（2）方案①． 【解析】
（1）由题设知每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列. 设纯收入与年数的关系为)(n f ,
则9824098)]48(1612[50)(2--=-++++-=n n n n n f . 获利即为0)(>n f ,由0982402>--n n ,得 049202<+-n n , 解之得 51105110+<<-n ,即 1.172.2< (2)方案①,年平均收入)9 (240)(n n n n f +-== , 1449 249=?≥+ n n n n ,当且仅当7=n 时取”=”. 1214240) (=?-≤∴ n n f (万元) 即年平均收益,总收益为11026712=+?万元,此时7=n 方案②,102)10(2)(2+--=n n f , ∴当10=n 时,102)(max =n f ,总收益为110万元, 但方案①需7年, 方案②需10年,故应选择方案①． 20、已知函数6 9 ()ln cos ( )2 f x x x x π=+--的导数为()f x '，且数列{}n a 满足*1()3()6 n n a a nf n N π +'+=+∈. （1）若数列{}n a 是等差数列，求1a 的值；（2）当21=a 时，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）若对任意* ,n N ∈都有2 2 11 4n n n n a a a a +++≥+成立，求1a 的取值范围. 【答案】（1） 52（2）略（3 ）77(, [).22 -+-∞+∞ 【解析】169()sin 2f x x x π'= --+，则()46 f π '=，故143n n a a n ++=+ （1）若数列{}n a 是等差数列，则.,)1(111nd a a d n a a n n +=-+=+ 由143n n a a n ++=+得11()[(1)]43a nd a n d n +++-=+，解得：15 2,2 d a == （2）由*143().n n a a n n N ++=+∈得2147n n a a n +++=+ 两式相减，得24n n a a +-= 故数列{}21n a -是首项为1a ，公差为4的等差数列．数列{}2n a 是首项为2a ，公差为4 的等差数列， 由2112 7,2,5,a a a a +===得 所以2,21,.n n n a n n ?=?+? 为奇数为偶数 ①当，n 为奇数时12,2 3.n n a n a n +==+ 212341()()()n n n n S a a a a a a a --=+++++++ 21 (457) 2312715(45)2222 n n n n n n n -?-++-=+++-+=+= ②当n 为偶数时， n n a a a a S ++++= 321 21234123()()()715(41)2 n n n n a a a a a a n -+=++++++=+++-= （3）由（2）知，1122,23,n n a n a n a n -+?=?+-?为奇数 为偶数 ①当n 为奇数时，11122,25.n n a n a a n a +=-+=+- 由22221111 4148417.n n n n a a a a n n a a +++≥-≥-+-+得2 令2 2 133()84178(),4 2 f n n n n =-+-=--- 2max 11()(1)21,21421.f n f a a ∴==-∴-≥- 解得a a ≥ ≤ ②当n 为偶数时，11123,2.n n a n a a n a +=+-=+ 由22221111 4684 3.n n n n a a a a n n a a +++≥-≥-+++得2 令2 2 1 7()8438(),4 2 g n n n n =-++=-++ 2max 11()(2)21,2621g n g a a ∴==-∴-≥- 解得1a R ∈ 综上，1a 的取值范围是().-∞+∞ 21、经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴. 为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销. 经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p 万件与促销费用x 万元满足2 31 p x =- +(其中a x ≤≤0，a 为正常数)．已知生产该产品还需投入成本102p +万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为 20 (4)p + 元／件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求． (1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； (2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值. 【答案】(1)x x y -+- =1 4 16（0x a ≤≤）. (2)当1a ≥时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当1a <时，促销费用投入a 万元，厂家的利润最大. 【解析】 (1)由题意知，)210()20 4(p x p p y +--+ =， ······················ 3分 将231p x =- +代入化简得：x x y -+-=1 4 16（0x a ≤≤）. ················ 6分 (2)13)1(1 4 217)114( 17=+?+-≤+++-=x x x x y ， ·················· 8分 当且仅当 1,11 4 =+=+x x x 即时，上式取等号. ······················· 9分 当1a ≥时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； ·················· 10分 当1a <时，)11 4 ( 17+++-=x x y 在[]0,a 上单调递增， ················· 11分 所以x a =时，函数有最大值，即促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大.·········· 12分 综上，当1a ≥时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大； 当1a <时，促销费用投入a 万元，厂家的利润最大. ···················· 13分 22、如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，DC PD =， E 是PC 的中点． （Ⅰ）证明：PA //平面BDE ； （Ⅱ）求二面角C DE B --的平面角的余弦值； （Ⅲ）在棱PB 上是否存在点F ，使PB ⊥平面DEF ？证明你的结论． 【答案】（Ⅰ）参考解析. （Ⅱ）3 -.（Ⅲ）存在 【解析】 法一：（I ）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 设2PD DC ==，则(2,0,0)A ，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(2,2,0)B )0,2,2(),1,1,0(),2,0,2(==-= 设 1(,,)n x y z = 是平面BDE 的一个法向量， 则由 110 n DE n DB ??=???=?? ，得0220y z x y +=??+=?取1y =-，得1(1,1,1)n =- ． ∵1220PA n ?=-= ，1,//PA n PA BDE PA BDE ∴⊥?∴ ，又平面平面 （II ）由（Ⅰ）知1(1,1,1) n =- 是平面BDE 的一个法向量，又2(2,0,0)n DA == 是平面DEC 的一个法向量． 设二面角C DE B --的平面角为θ，由图可知>=<21,n n θ∴3 3 ,cos cos 21>=<=n n θ 故二面角B DE C -- 的余弦值为 （Ⅲ）∵)1,1,0(),2,2,2(=-= ∴0220,.PB DE PB DE =+-=∴⊥ 假设棱PB 上存在点F ，使PB ⊥平面DEF ，设)10(<<=λλ， 则(2,2,2)PF λλλ=- ，(2,2,22)DF DP PF λλλ=+=- 由0PF DF ?= 得22442(22)0λλλλ+--= ∴PB PF 3 1 )1,0(31=∈= ，此时λ 即在棱PB 上存在点F ，PB PF 3 1 =，使得PB ⊥平面DEF ． 法二：（I ）连接AC ，AC 交BD 于O ，连接OE ．在PAC ?中，OE 为中位线， ∴OE //PA PA BDE ?又平面,∴PA //平面BDE ． （II ）PD ⊥底面ABCD ,∴ 平面PDC ⊥底面ABCD ，CD 为交线, BC ⊥CD ∴平面BCE ⊥平面PDC ，PC 为交线, PD =DC ，E 是PC 的中点∴DE ⊥PC ∴DE ⊥平面PBC ，∴DE ⊥BE ∴BEC ∠即为二面角B DE C --的平面角． 设PD DC a ==，在Rt BCE ?中,3 3cos ,26,,22= ∠∴===BEC a BE a BC a CE 故二面角B DE C --的余弦值为 （Ⅲ）由（II ）可知DE ⊥平面PBC ，所以DE ⊥PB ，所以在平面PDE 内过D 作DF ⊥PB ，连EF ，则PB ⊥平面DEF ． 在Rt PDB ?中, PD a =，BD =，PB =，a PF 3 3 = ． 所以在棱PB 上存在点F ，PB PF 3 1 =，使得PB ⊥平面DEF ． 23、在如图所示的几何体中,ABC ?是边长为2的正三角形,1,AE AE >⊥平面ABC , 平面BCD ⊥平面ABC ,BD CD =,且.BD CD ⊥ (1)若2AE =,求证://AC 平面BDE (2)若二面角A DE B --为60°,求AE 的长. 第31题 三角函数的图象 I ．题源探究·黄金母题 例1．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： （1）1sin(3),23y x x R π=-∈； （2）2sin(+),4 y x x R π =-∈； （3）1sin(2),5y x x R π=--∈；（4）3sin(),63 x y x R π=-∈； 【解析】 （1） （2） （3 ） （4 ） 精彩解读 【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第16题） 【母题评析】本考查了如何利用五点 法 去 画 函 数 sin()y A x b ω?=++的图象，同 时培养了学生的作图、识图能力，对sin()y A x b ω?=++的性质有 了进一步的了解，为以后解决由图定式问题奠定了基础． 【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别 是在解决函数的问题中，函数图象是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式． 例2．（1）用描点法画出函数sin ,[0, ]2 y x x π =∈的图象． （2）如何根据（1）题并运用正弦函数的性质，得出函数 sin ,[0,2]y x x π=∈的图象； （3）如何根据（2）题并通过平行移动坐标轴，得出函数 【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第17题 【母题评析】本题是一道综合性问 题，考查了如何用五点法作图、如 何利用对称性进行图象变换以及图象的平移变换．培养了学生的作图、识图能力，对 sin()y A x b ω?=++的性质有了 进一步的了解． 【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图象是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式． 【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第18题 【母题评析】本题是一道综合性问题，考查了函数图象的平移变换．加深了学生对周期变换、振幅变换、相位变换的进一步了解． 【思路方法】使学生进一步认识到数形结合思想在解决函数的问题中的地位，以便引起学生对数形结合思想的重视． 高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点 的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭 圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解： (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1，a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1， y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0， 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 2 第65题 空间角的计算 I ．题源探究·黄金母题 【例1】如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD,PD=DC,点E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F. 图3.2-7 E A D B C P F (1)求证:PA//平面EDB; (2)求证:PB ⊥平面EFD; (3)求二面角C-PB-D 的大小. 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）600 . 【解析】如图所示建立空间直角坐标系,点D 为坐标原点,设DC=1. y x z 图3.2-8 G E A D B C P F （3）解:已知PB ⊥EF,由(2)可知PB ⊥DF,故 ∠EFD 是二面角C-PB-D 的平面角. 设点F 的坐标为(x,y,z),则)1,,(-=z y x . 因为k =,所以0=?, 所以(1,1,-1)·(k,k,1-k)=k+k-1+k=3k-1=0, 所以31= k ，点F 的坐标为)3 2 ,31,31(。 又点E 的坐标为)21 ,21,0(， 所以)6 1 ,61,31(--=，因为 cos FE FD EFD FE FD ?∠= =， 1111121(,,)(,,)136633361266 3--?---==? 即∠EFD=600 ，即二面角C-PB-D 的大小为600 . 【点睛】直线与平面平行与垂直的证明,二面角大小的求解是高热点中的热点,几乎每年必考,而此 例题很好的展现了,用向量方法证明直线与平面平行与垂直,还给出了用向量方法求二面角的大小. II ．考场精彩·真题回放 【例2】【2017课标II 理10】已知直三棱柱 2015年中考化学走出题海之考前必做难题30 题 参考答案与试题解析 一、选择题（共17小题，每小题3分，满分51分） 1． 解答：解：由于碳酸钙高温分解生成了氧化钙和二氧化碳，随着碳酸钙的分解放出了二氧化碳，碳元素的含量逐渐减少直到为零．由题意可知，碳酸钙中钙元素与碳元素的质量比为40：12=20：6，剩余固体中钙元素与碳元素的质量比为20：3，则已分解的碳酸钙占原碳酸钙的质量分数为50%，所以，D正确，A、B、C错误． 故选D． 2． 解答：解：某H 2 O 2 溶液中H、O的质量比为2：17； 则：19g 双氧水溶液中氢元素质量为：19g×=2g 根据过氧化氢分解的化学方程式可以知道，过氧化氢完全反应后生成水和氧气，该过程中氢元素的质量没有改变；所以反应后水的质量为： 2g÷×100%=18g 所以根据质量守恒定律可以知道生成氧气的质量为 19g﹣18g=1g； 故选A． 3．解 答： 解：A、由流图可知固体b为铁，故A正确． B、操作①中玻璃棒的作用是引流，②中玻璃棒的作用是搅拌．故B正确． C、滤液a中含有硫酸亚铁、硫酸锌和硫酸3种溶质，故C正确． D、固体a中含有锌，c是硫酸锌，滤液a中含有硫酸锌，b中含有硫酸锌．故 D错误． 故选：D． 4． 解答：解：A、物质甲、乙分别为硫酸、硫酸钠，含有相同的硫酸根离子，相互间不能发生反应，不满足题中的转化关系，故A错误； B、物质甲、乙、丙分别为氯化钾、碳酸钾、氢氧化钾，含有相同的钾离子，相互间不能发生反应，不满足题中的转化关系，故B错误； C、物质甲、乙分别是碳、水，碳和水之间不会发生反应，不满足题中的转化关系，故C错误； D、物质甲为铁可与物质乙氯化铜、丁盐酸反应置换反应，物质乙为氯化铜可与甲铁、丙锌两种金属发生置换反应，物质丙为锌可与乙氯化铜、丁盐酸发生置换反应，物质丁为盐酸可与甲铁、丙锌两活泼金属发生置换反应，物质丁盐酸可与氧化铜反应生成乙氯化铜，满足题中的转化关系，故D正确； 故选：D． 2014年高考化学走出题海之黄金30题系列专题01 经典母题30题2 （解析版） 【试题21】下表中列出五种短周期元素A、B、C、D、E的信息，请推断后回答： （1）写出C元素在周期表中的位置，写出D元素最高价氧化物的水化物电子式； （2）写出B单质与水反应的离子 ．．方程 式； （3）元素A和D形成的某种化合物可作为呼吸面具中氧气的来源，写出得到氧气反应的主要化学方程式； （4）X的水溶液显（填“酸”、“碱”或“中”）性，用离子 ．．方程式解释其原因是； （5）已知E元素的某种氢化物Y与A2的摩尔质量相同，Y与空气组成的燃料电池中， 电解质溶液是30％的KOH溶液，该电池放电时正极 ．．的电极反应式 为； （6）若使用Y—空气燃料电池精炼铜，当得到精铜80 g时，燃料电池中转移的电子数为N A。 【答案】（1）第三周期VIA族；；（2）Cl2 + H2O Cl－+ H+ + HClO； （3）2Na2O2 + 2CO2＝2Na2CO3 + O2；（4）酸；NH4++ H2O NH3·H2O + H+； （5）O2＋2H2O＋4e－== 4OH－；（6）2.5。 【解析】 + 2CO2 == 2Na2CO3 + O2。 考点：考查元素的推断及性质、化学方程式、离子方程式的书写、原电池反应原理及应用的知识 【试题22】工业上利用铬铁矿(FeO Cr2O3)冶炼铬的工艺流程如下: （1）实验室焙烧铬铁矿可选用的装置是__________（填序号）。 （2）完成下列化学方程式（在横线上填写物质的化学式及计量数）： 4CrO42－＋6S＋7H2O＝4Cr(OH)3↓＋3S2O32－＋_____________。 （3）操作I包括过滤与洗涤，简述实验室中洗涤沉淀的操作：__________________。 2017高考压轴题精选 黄冈中学高考数学压轴100题 目录 1.二次函数 ................................................................................................................................................................................ 2 2 复合函数 ............................................................................................................................................................................... 4 3.创新型函数............................................................................................................................................................................. 6 4.抽象函数 .............................................................................................................................................................................. 12 5.导函数——不等式 ............................................................................................................................................................... 13 6.函数在实际中的应用 ........................................................................................................................................................... 20 7. 函数与数列综合 ................................................................................................................................................................. 22 8.数列的概念与性质 ............................................................................................................................................................... 33 9. Sn 与an 的关系 ................................................................................................................................................................... 38 10.创新型数列......................................................................................................................................................................... 41 11.数列—不等式 ..................................................................................................................................................................... 43 12．数列与解析几何 .............................................................................................................................................................. 47 13．椭圆 ................................................................................................................................................................................. 49 14.双曲线 ................................................................................................................................................................................ 52 15.抛物线 ................................................................................................................................................................................ 56 16 解析几何中的参数范围问题 .......................................................................................................................................... 58 17 解析几何中的最值问题 .................................................................................................................................................. 64 18 解析几何中的定值问题 .................................................................................................................................................... 67 19 解析几何与向量 .......................................................................................................................................................... 70 20 探索问题............................................................................................................................................................................ 77 （1）2a b c π++...， ....................................................................................................................................................... 110 （2）2a b c π++< (110) 专题1 压轴选择题1 1．设函数，若，则实数a的取值范围是( ) A．B． C．D． 【答案】C 【解析】 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为，所以．故的取值范围是，故选C． 2．已知函数在上单调递减，且当时，，则关于的不等式的解集为（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 当时，由=，得或（舍），又因为函数在上单调递减，所以的解集为. 故选：D 3．已知函数，且，则不等式的解集为 A．B．C．D． 【答案】C 【解析】 函数，可知时，， 所以，可得解得． 不等式即不等式， 可得：或， 解得：或，即 故选：C． 4．已知定义在上的函数满足，且当时，，则( ) A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 由可得，，所以，故函数的周期为，所以，又当时，，所以，故．故选D． 5．在中，，，，过的中点作平面的垂线，点在该垂线上，当 时，三棱锥外接球的半径为（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 因为，，，所以，因此为底面外接圆圆心，又因为平面，所以外接球球心在上，记球心为，连结，设球的半径为，则， 所以，又，所以在中，，即，解得.故选D 6．已知奇函数的图象经过点，若矩形的顶点在轴上，顶点在函数的图象上，则矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值为（） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】 由，及得，，，， 如图，不妨设点在轴的上方，不难知该旋转体为圆柱，半径， 令，整理得，则为这个一元二次方程的两不等实根， 所以 于是圆柱的体积， 当且仅当，即时，等号成立.故选B 7．定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 根据题意，令其导数， 若函数满足，则有，即在上为增函数， 又由，则， ，又由在上为增函数，则有； 即不等式的解集为（0，2）； 故选：D． 专题01 经典母题30题 【经典1】— Why did you laugh just now？ — Ted wanted to tell us ______ very funny story, but he forgot ______ ending himself. A. a; an B. the; the C. the; a D. a; the 【答案】D 考点：考查冠词 【经典2】—— She has cut the cake into pieces. Which piece do you want? —— The one. It’s the biggest. A. five; four B. five; fourth C. fifth; fourth D. fifth; four 【答案】B 【解析】 试题分析：句意：她把蛋糕切成了五块。你想要哪一块？——第四块。这是最大的。结合语境可知前一空表示数量，故用基数词。后一空表示顺序，故用序数词，选B。 考点：考查数词 【经典3】— Help to some fish, kids. — Thanks. A. you B. your C. yourselves D. yours 【答案】C 【解析】 试题分析：you你，你们；your你的，你们的；yourselves你们自己。句意：孩子们，请随便吃些鱼吧！——多谢。短语help oneself to something，随便吃些……，故选C。 考点：考查人称代词辨析 【经典4】—— The apple tastes good. —— Yes. Would you like one? A. another B. each C. any D. some 2014年高考数学走出题海之黄金30题系列 1．设集合U={1, 2,3,4,5,6},M={1,3,5},则?U M 等于( ) (A){2,4,6} (B){1,3,5} (C){1,2,4} (D)U 2．设全集为R,函数M,则?R M 为( ) (A)(-∞,1) (B)(1,+∞) (C)(-∞,1] (D)[1,+∞) 3．设全集U=R ，A={x|(2)2 1x x -<}，B={|ln(1)}x y x =-，则右图中阴影部分表示的集合为 （ ） A ． {|1}x x ≥ B ． {|1}x x ≤ C ． {|01}x x <≤ D ． {|12}x x ≤< 4．已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1 第64题 空间垂直关系的证明 I ．题源探究·黄金母题 【例1】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证： （1）1B D ⊥平面11A C B ； （2）1B D 与平面11A C B 的交点H 是11A C B ?的重心 （三角形三条中线的交点）． 【解析】（1）连接11B D ，1111B D A C ⊥， 又1DD ⊥面1111A B C D ，∴111DD AC ⊥， ∵1111B D A C ⊥，1 111DD B D D = ∴11A C ⊥面1D DB ，因此111AC B D ⊥． 同理可证：11B D A B ⊥，∴1B D ⊥平面11A C B ． （2）连接11A H BH C H ，，， 由11111A B BB C B ==，得11A H BH C H ==． ∴点H 为11A BC ?的外心.又11A BC ?是正三角形， ∴点H 为11A BC ?的中心，也为11A BC ?的重心． H C 1 D 1 B 1 A 1 C D A B II ．考场精彩·真题回放 【例2】【2017课标1理18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=. （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； （2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角 A -P B - C 的余弦值. 【解析】分析：（1）根据题设条件可以得出 AB ⊥AP ，CD ⊥PD .而AB ∥CD ，就可证明出AB ⊥平 面PAD .进而证明平面PAB ⊥平面PAD .试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=?，得AB ⊥AP ， CD ⊥PD .由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平 面PAD .又AB ?平面PAB ， 所以平面PAB ⊥平面PAD . （2）略 【例3】【2017课标3理19】如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四 面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D –A E –C 的余弦值. 【答案】(1)证明略；(2) 7 7 . 【解析】分析：(1)利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直； 解析：（1）由题设可得，ABD CBD ???，从而 AD DC = 又ACD ?是直角三角形，所以 0=90ACD ∠取AC 的中点O ，连接DO ,BO ,则 走出题海：聚焦地球运动规律 聚焦之一：千姿百态的经纬网线判断问题 经纬网线因视角的不同而形状不同从而衍生出千姿百态的经纬网线增加了判读难度。判读经纬网线的关键在于沿着经线、纬线将“变形”的经纬网线还原到平时熟悉的形状。这项能力的培养关键在于平时的训练对经纬网线应从立体的角度去看而不是简单地将其看成平面图。 例1、【浙江宁波市2011年第二学期八校期初测试高三地理】若图中线段ac为地球表面的一半圆弧。回答1—3题。 8 小时前上传 下载附件(6.66 KB) 1、若线ac位于同一经线圈上新年伊始a点的正午太阳高度正好达90°则 A、a点比c点的线速度大 B、a、c位于同一纬线上 C、a与c的纬度值相等 D、a、c可能在同一经线上 2、若线ac位于晨昏线上a点的地方时为8时则 A、a点昼长大于c点昼长 B、c点日出的地方时是4时 C、太阳直射点位于北半球 D、a点的区时一定比c点的区时早12小时 3、若线ac位于70°N纬线上且6月22日晨昏线与a点的距离最近时下列说法错误的是 A、a点的太阳高度为3.5° B、c点的正午太阳高度为43.5° C、a点处于极昼 D、c点的正午太阳高度达一年中最小值 【解析】线段ac为地球表面的一半圆弧却表现为一段线条说明视角与该圆弧处于同一水平面解题时应将其转化为平时常见的侧视图、俯视图。 8 小时前上传 下载附件(40.69 KB) 第1题、将图转化为侧视图图1读图1可知a、c的纬度值相等虽不在同一纬线上但其线速度亦相等A、B选项错误C选项正确。a、c分属于不同的两条经线D选项错误。 第2题、由a点的地方时为8时推断a点在晨线上因晨昏圈为大圆故弧abc两端a、c位于同一经线圈的两条经线上且a、c两点的纬度值相等。据此将图转化为侧视图图2图3图中阴影表示 2014年高考化学走出题海之黄金30题系列专题02 新题精选30题1 （解析版） 【试题1】下列说法不正确 ．．．的是 A．汽车尾气中有NO x，主要是汽油不充分燃烧引起的 B．日用铝制品表面覆盖着氧化膜，对金属起保护作用 C．实验室常用粗锌和稀硫酸反应制取H2 D．从海水中提取溴的过程涉及氧化还原反应 【答案】A 【解析】 考点：本题考查化学与生活等知识 【试题2】下列说法中，正确的是 A．糖类、油脂和蛋白质都是人体所需要的营养素 B．节日焰火的五彩缤纷是某些金属单质性质的体现 C．化学反应能够制造出新的物质，同时也能制造出新的元素 D．为改善食物的色、香、味并防止变质，可在其中加入大量食品添加剂 【答案】A 【解析】 考点：考查化学在日常生活中的应用的知识 【试题3】下列有关化学用语或名称表达正确的是 A．亚硫酸的电离方程式：H2SO32H+＋SO32- B ．乙炔的分子结构模型示意图： C．H2O2的电子式： ·· ·· ···· O ·· ·· ·· O [ ]2－ H＋H＋ D．CH3－CH－CH2－CH2－OH CH3的名称3-甲基-1-丁醇 【答案】D 【解析】 试题分析：A、多元弱酸分步电离，错误；B、乙炔为直线型结构，错误；C、双氧水为共价化合物，不能形成离子，错误；D、正确。 考点：考查化学用语有关问题 【试题4】某有机物的结构简式如图所示，下列说法正确的是 A．可使溴的四氯化碳溶液或酸性KMnO4溶液褪色B．含有两种官能团 C．与乙酸互为同系物 D．可以发生取代反应和加成反应，但不能发生聚合反应 【答案】A 【解析】 考点：本题考查有机物的结构与性质 【试题5】相对分子质量为100的有机物A能与钠反应，且完全燃烧只生成CO2和H2O。 若A含一个六碳环，则环上一氯代物的数目为 A．5B．4C．3D．2 【答案】B 【解析】 新青蓝教育高考数学压轴100题1二次函数 2复合函数 3创新性函数 4抽象函数 5导函数（极值，单调区间）--不等式 6函数在实际中的应用 7函数与数列综合 8数列的概念和性质 9 Sn与an的关系 10创新型数列 11数列与不等式 12数列与解析几何 13椭圆 14双曲线 15抛物线 16解析几何中的参数范围问题 17解析几何中的最值问题 18解析几何中的定值问题 19解析几何与向量 20探究性问题 15.抛物线 例1．已知抛物线C ：2 2y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ． （Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行； （Ⅱ）是否存在实数k 使0=?NB NA ，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由． 解：（Ⅰ）如图，设 211(2) A x x ，， 222(2) B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=， 由韦达定理得 122k x x += ，121x x =-， ∴ 1224N M x x k x x +=== ，∴N 点的坐标为248k k ?? ???，． 设抛物线在点N 处的切线l 的方程为 284k k y m x ? ?-=- ? ??， 将2 2y x =代入上式得2 2 2048mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切， 22 22282()0 48mk k m m mk k m k ??∴?=--=-+=-= ???，m k ∴=． 即l AB ∥． （Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB = ，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点， 1 ||||2MN AB ∴= ． 由（Ⅰ）知121212111 ()(22)[()4] 222M y y y kx kx k x x =+=+++=++ 2 2142224k k ??=+=+ ???． MN ⊥ x 轴，22216 ||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-= ． 又 222121212 ||1||1()4AB k x x k x x x x =+-=++- x A y 1 1 2 M N B O 2019年高中数学 黄金100题系列 第61题 三视图与直观图问题 理 I ．题源探究·黄金母题 【例1】如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图 计算它的表面积与体积（尺寸如图，单位： cm ，π取3.14，结果精确到2 1cm ，可用计算器） 【解析】由奖杯的三视图知奖杯的上部是直径为4cm 的球，中部是一个四棱柱，其中上、下底面是边长分别为8cm 、4cm 的矩形，四个侧面中的两个侧面是边长分别为20cm 、8cm 的矩形，另两个侧面是边长分别为20cm 、4cm 的矩形，下部是一个四棱台，其中上底面是边长分别10cm 、8cm 的矩形，下底面是边长分别20cm 、16cm 的矩形，直棱台的高为2cm ，所以它的表面各和体积分别为11933 cm 、10673 cm ． 【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视 图 想象出空间几何体的形状并画出其直观 图,具体方法为； II ．考场精彩·真题回放 【例2】【2017课标1理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 【答案】B 【解析】分析：由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体平面内只有两个相同的梯形的面，则含梯形的面积之和为1 2(24)2122 ?+?? =，故选 B. 【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图. 【例3】【2017课标II 理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的 三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ） 1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A. 4 3 B. 8 3 C. 4 D. 8 【答案】A 2．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】C 【解析】该几何体由一个长、宽、高分别为1,1,2的长方体和一个长、宽、高分别为2,1,2的 长方体组成,所以表面积为: ()()()2111241222222?+?+?+?=,故选C. 3．已知,m n 是两条不同直线， ,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若,m n αα⊥⊥，则m n B. 若,m m αβ，则αβ C. 若,αγβγ⊥⊥，则αβ D. 若,m n αα，则m n 【答案】A 4．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中 11DD =， 12AB BC AA ===，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的 是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意，根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角 线长，宽应为正方体的棱长，故排除B，D，而在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除A， 所以正确答案为C. 5．一空间几何体的三视图如下图所示，该几何体的体积为12π+ x的值为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，其中侧棱长为8cm，底面边长为12cm， 将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm，如果不 计容器的厚度，则球的表面积为（） 中考数学走出题海之黄金30题系列 专题五 考前必做基础30题 一、选择题 1．下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） 2．一款手机连续两次降价，由原来的1299元降到688元，设平均每次降价的百分率为x, 则列方程为（ ） A ．688（1+x ）2=1299 B ．1299（1+x ）2=688 C ．688（1-x ）2=1299 D ．1299（1-x ）2=688 3．三角形在正方形方格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．不等式组的解在数轴上表示为（ ） 5．如图，∠1与∠2是（ ） A ．对顶角 B ．同位角 C ．内错角 D ．同旁内角 6．如图是由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则它的主视图是（ ） 34433545 532521x x +??-≥? ＞ 7．如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，如果添加一个条件使 △ABE ≌△CDF ，则添加的条件不能是（ ） （A ）AE=CF （B ）BE=FD （C ）BF=DE （D ）∠1=∠2 8．二元一次方程组的解是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 9．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩平均数均是9．2环，方差分别 为，则成绩最稳定的是（ ） （A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）丁 10．如图，圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角 的度数为（ ） A ． B ． C ． D ． 11．已知反比例函数y ＝的图象位于第一、第三象限，则k 的取值范围是 A ．k ＞2 B ．k≥2 C ．k≤2 D ．k ＜2 12．将半径为3cm 的圆形纸片沿AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心O ，用图中阴影部分的 扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 （ ） ? ??-=-=+236y x y x ???==15y x ???-=-=15y x ? ??==24y x ???-=-=24y x 2222s s 0.60,0.56,s 0.50,s 0.45==== 甲乙丁 丙 18090120 602k x - 好题速递1 1．已知P 是ABC ?内任一点,且满足AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r ,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ． 解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++u u u r u u u r u u u r u u u r ,由系数和1x y x y x y +=++,知点Q 在线段 BC 上．从而1AP x y AQ +=>?? + 1．下列属于氧化物的是 A．O2 B．SO2 C．KCl D．NaOH 2．关于分子和原子两种微粒的叙述正确的是 A. 物质只能由分子构成 B. 相同原子可能构成不同的分子 C. 分子质量一定大于原子质量 D. 化学变化中分子数目一定发生变化 3．下列物质由原子构成的是 A.蒸馏水 B．氯化钠 C．金刚石 D． C60 【答案】C 【解析】 试题分析：水是由水分子构成的，氯化钠由离子构成的（即由钠离子和氯离子构成），金刚 石由碳原子构成的， C60由分子构成的，答案选C。 考点：考查物质构成的奥秘 4．（2013四川成都）下列各图中和分别表示不同元素的原子，其中表示化合物的是 5．（2013重庆）化学变化多姿多彩，美丽如花。下图中甲、乙、丙、X分别是Fe2O3、C、CO、盐酸中的某一种，甲、乙、丙均能与X发生化学反应，则X是 A.C B. Fe2O3 C. CO D.盐酸 6．（2013广东深圳）如图是一个化学反应的微观模型图，其表示两种原子，甲、乙分别表示反应前和反应后的物质，下列说法错误的是 A．该反应遵守质量守恒定律 B．该反应可表示为2H2O＝2H2↑+O2↑ C．甲中所有物质都是化合物 D．该反应属于分解反应 7．（2013安徽）最近科学家用钙原子轰击铕原子，合成117号元素（部分信息如图所示）。 下列说法错误 ．．的是 A．该元素的相对原子质量为294g B．该元素的原子序数为117 C．该元素的核外电子数为117 D．钙和铕都属于金属元素 【答案】A 8．（2013辽宁沈阳）分析钾原子、钾离子的结构示意图，下列说法正确的是 A．两者质子数不同 B．两者电子层数相同 同 C．两者元素种类相同D．两者最外层电子数相2018年高考数学黄金100题系列第31题三角函数的图像文
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