当前位置：文档之家› 直线和圆的方程同步辅导讲义

直线和圆的方程同步辅导讲义

第一讲直线的倾斜角和斜率

一、主要内容

1、初步理解“直线的方程”与“方程的直线”两个概念；

2、掌握直线的倾斜角和斜率的概念，能熟悉运用斜率的定义式和坐标式解题。

二、学习指导

1、从本讲开始，同学们开始接触数学的一个重要的分支——《平面解析几何》。它的研究对象是平面几何中的图形，研究方法是通过代数的有关知识（方程组，不等式等）去解决平面图形的位置关系及几何性质，最基本的研究工具是坐标系。这种处理问题的思路称为解析法。

通过建立平面直角坐标系，建立了平面图形的最基本元素——点与实数集中——对有序实数对（x，y）之间的一一对应关系。在此基础上，建立了图形与方程之间的一一对应关系，进而将形的问题等价转换为数的问题，如图形的几何性质转化为方程特征，图形之间位置关系转化为方程组的解，等等。例如，直线与二元一次方程之间的对应关系，由作函数图象的描点法可知，当某点的坐标满足函数解析式（横、纵坐为对应的原象与象）时，该点一定在该函数对应的图象上；尽管描点法指的是特殊点，实质上我们知道，该图象上所有点的坐标都满足该图象对应的解析式。借助于函数与方程的思想，用解析几何的语言可叙述为：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；同时，这条直线上的所有点的坐标都是该方程的解。此时称该方程为“直线的方程”，这条直线是“方程的直线”。正因为有这样对应关系，所以可简说成“直线y=kx+b”。

上述概念体现了形与数互相转化的两个方面：①点直线上?坐标满足方程；②有序数对是方程的解?点在线上。

2、用解析法研究几何问题的一般步骤是：①建立坐标系；②设出必需的点的坐标；③代数运算得到问题的代数解；④代数解回到几何解。

在用代数方法求解过程中，除未知数x、y及已知量外，有时还需引入适当参数。

2、倾斜角与斜率之间的关系实质上是正切函数性质的体现。

（1）已知倾斜角为α，求斜率k时

法一：k≥0时，α=arctank

k<0时，α=π+arctank

法二：k=0时，α=0

k≠0时，α=arccot

4、斜率的坐标公式是借助于向量工具推导的。同学们在学习过程也应注重对已学知识

的复习及运用。由教材P36方向向量的定义，

→

P的方向向量为λ

→

P（λ∈R），其中一个

特殊的方向向量为（1，k），k为直线P1P2斜率，它在后面研究直线位置关系时仍会用到。

三、典型例题

例1判断下列命题是否正确：

①一条直线l一定是某个一次函数的图像；

②一次函数的图像一定是一条不过原点的直线；

③如果一条直线上所有点的坐标都是某一个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程；

④如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，那么这条直线叫做这个方程的直线．

解：①不正确．直线，不是一次函数；

②不正确．当时，直线过原点．

③不正确．第一、三象限角的平分线上所有的点都是方程的解，但此方程不是第一、三象限角平分线的方程

④不正确．以方程()的解为坐标的点都在第一象限的角平分线上，但此

直线不是方程()的图像．

说明：直线方程概念中的两个条件缺一不可，它们和在一起构成充要条件．

例2 已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点．（1）求直线l的斜率的取值范围．（2）求直线l的倾斜角的取值范围．

分析：如图1，为使直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角应介于直线PB的倾

斜角与直线P A的倾斜角之间，所以，当l的倾斜角小于90°时，有；当l的倾斜角

大于90°时，则有．

解：如图1，有分析知

＝－1，

＝3．

∴（1）或．

（2）arctg3．

例3、试用解析法证明：△ ABC中，M为BC中点，则AB2+AC2=2(AM2+MC)2。

分析：

第一步是建立适当的坐标系，所谓适当，是指借助于图形的对称性，或使尽可能多的点在坐标轴上，或尽可能将图形置于第一象限，等等。就本题来讲，可以如图建立坐标系，也

可以把点M 作为原点，BC 所在直线为x 轴等。

第二步是设出必要的已知量。本题△ABC 确定，可设B （0，0），C （a ，0），A(b ，c)，同时确定与已知量相关的量，如本题M(

，0)。第三步是借助于代数运算解决几何问题，利用两点间距离公式可求出欲证等式中相关量的长度。

|AB|2

=b 2

+c 2

，|AC|2

=(b-a)2

+c 2

∴ |AB|2

+|AC|2

=a 2

+2b 2

+2C 2

-2ab

|AN|2=(b-2a )2+c 2，|MC|2

=(a-2

a )2=4a 2

∴ 2(|AM|2

+|MC|2

)=2(b 2

+c 2

+ab 2

a 2-)=a 2+2

b 2+2

c 2

-2ab

∴ |AB|2+|AC|2=2(|AM|2+|MC|2

) 最后写出原命题需证的结论： AB 2

+AC 2

=2（AM 2

+MC 2

）

注：本题结论是很有用的一个结论，同学们最好能够记住它。若不用解析法，这道题该怎么解，请同学们思考。

例4、已知M(-4，2)，N(2，15)，若直线的倾斜角是直线MN 的倾斜角的一半，求直线斜率。

分析：

思路一：直接法思路。按照题目的逻辑关系，应先求出MN 的倾斜角，再求的倾斜角。当然只需求出相关角的三角函数值即可。

设直线MN 倾斜角为α，则tan α=)

4(23

15---=2

∵ tan α>0 ∴ α∈（0，2

π） ∴ sin α=

52，cos α=

则直线α倾斜角为

α ∴ tan

511sin cos 12-=

-=αα-=α ∴ 2

5k -=

思路二：间接法思路，即利用解方程思想，设直线α倾斜角为α，则直线MN 倾斜角为2α。下找关于tan α的等量关系。

∵ tan2α=k MN =2 ∴

-α

tan 1tan 2=2

∴ tan α+tan α-1=0

∴ tan α=

1±- ∵ 2α∈[0，π） ∴ α∈[0，)2

∴ tan α=

5- 例5、已知P （3，-1），M （6，2），N （-3,3），直线过点P ，求满足下列条件的的

倾斜角范围。

（1）直线与线段MN 相交；

（2）直线与线段MN 的延长线（或反向延长线）相交；解题思路分析：

可首先求出直线的斜率范围，画出示意图帮助分析。考虑临界状态： k PN =1，k PM =-3

（1）1≤k ≤-33，即1≤tan ≤-3

tan α在α∈[0，2π)上递增，由1≤tan α得4π≤α<2

tan α在（

π，π）上递增，由tna α≤-33得α<π2≤π65、当α=

时，仍与MN 相交综上所述，倾斜角α范围为[

ππ65

,4] 或直接看示意图得到α∈[ππ6

,4]

（2）思路一：借助于集合的补集思想 k MN =

8153

632+=

+- 当绕点P 绕转[0，π]时， k ∈R 当 ∥MN 时，33

815k -= ，直线与直线MN 无交点；否则，直线与线段MN 相交，或与MN 是直线相交。

∴ k <1，或 k >-33，且 k ≠33

3815- ∴ 倾斜角α≤α<

π，或π65

<α<π，且α≠arctan α333815-

思路二：从运动的角度，研究α在0～π之间变化时，直线与MN 的位置关系。例6、若直线的斜率k=1-m 2

（m ∈R ），求直线的倾斜角α范围。解题思路分析：

首先求出斜率k 的范围，将等量关系k=1-m 2

看成是k 关于m 的二次函数，则k ≤1，即tan α≤1。

其次利用正切函数的单调性：0≤tan α≤1时，0≤α≤4π；tan α<0时，α>2

。 ∴ α∈[0，

4π]∪（2

，π）注：由tan α范围求α范围，也可利用单位圆或正切函数图象。

例7、过P （6，3）的直线与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，若P 分有向线段→

--AB 所成的分比λ=

，求直线的的斜率和倾斜角。解题思路分析：

由斜率的坐标公式，只需求出A ，或B 的坐标即可。利用解方程的思想。思路一：设A （a ，0），B （0，b ）由分比B P P A x x x x --=λ公式得：6

a 21-=，a=9 ，A （9，0）

33k AB -

=，AB 倾解角π6

5 或利用分比λ公式：λ=B

P B

A y y y y --得：

33021--=，b=33，B （0，33 下略

思路二：利用定比分点公式：

???????λ+λ+=λ+λ+=1y y y 1x x x B A P B A P

∴ ????

???==232

b 323a 6

∴ ?????==3

3b 9a

下同思路一。

巩固练习

（一）选择题

1、若直线过点（1，2），（4，2+3），则此直线倾斜角为：

A 、

6π B 、4π C 、3π D 、2

π 2、设有斜率的直线一定是：

A 、过原点的直线

B 、垂直于x 轴的直线

C 、垂直于y 的直线

D 、垂直于坐标轴的直线 3、下列命题中正确的是：

A 、直线倾斜角为α，则些直线的斜率为tan α

B 、直线的斜率为tan α，则此直线倾斜角为α

C 、直线的倾斜角为α，则sin α≥0

D 、直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π

3、若三点A （2，3），B （a ，4），B （8，a ）共线，则a 值为： A 、 0 B 、5 C 、0或5 D 、0或-5

5、直线：y=kx+6沿x 轴负向平移3个单位，再沿y 轴正向平移1个单位，回到原位置，则k 等于：

A 、-31

B 、-3

C 、3

D 、3

6、已知直线的倾斜角α满足sin α=5

，则直线的斜率是：

A 、34

B 、43

C 、43或-34

D 、43或-4

7、过点A （-2，m ），B （M ，4）的直线倾斜角为π-arctan 2

，则实数m 的值是：

A 、10

B 、2

C 、0

D 、-8

8、如图直线 1、 2、 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则：

A 、k 1

B 、k 3

C 、k 3

D 、k 1

α)值属于： A 、（-1，

22） B 、[-1，22] C 、（22，22） D 、[-22，2

2） 10、过两点A （4，y ），B （2，-3）的直线倾斜角是π4

，则y 等于：

A 、-1

B 、-5

C 、1

D 、5

（二）填空题

11、直线的倾斜角α∈[

,4ππ）∪（ππ43

,2]，则斜率k ∈________________。

12、A （-1，1），B （x ，2），C （-2，y ）为直线上之点，已知斜率k=2，则x=________，y=________。

13、直线AB 过A （3，-5（，B （0，-9），倾斜角为α，（1）直线CD 的倾斜角为2α，则k CD =__________；（2）直线EF 的倾斜角为

，则k EF =__________； 14、已知A （cos α，sin α），B （cos β，sin β），α、β∈（0，2

），则直线AB 斜率k=__________，倾斜角α=__________。

15、如图，△ABC 为正三角形，∠CDE=450

，则三条直线AB 、BC 、AC 的斜率分别是： k AB =________ k BC =________ k AC =________

（三）解答题

16、过点P （-1，-3）的直线与y 轴正半轴无公共点，求直线的倾解角范围。 17、已知A （m ，m+1），B （2，m-1），求直线AB 倾解角α的值。

18、已知M （2，-3），N （-3，-2），直线过点P （1，1）且与线段MN 相交，求直线斜率范围。

19、用解析法证明：四边平方和等于两对角线平方和的四边形是平行四边形。 20、求函数4x 34x 10x )x (f 22+++-=最小值。

21. 四条直线l 1、l 2、l 3、l 4，它们的倾斜角之比依次为1∶2∶3∶4，若l 2的斜率为

，

求其余三条直线的斜率．

六、参考答案（一）选择题 1、 A 。3314232k =

--+=，33tan =α，),0[π∈α，6

=α。 2、 B 。 3、 C 。 4、 C 。k AB

a 1-，k AC =63a -，代入k AB =k AC 得a 2

-5a=0，a=0，或a=5。

5、 A 。思路一：考虑方程特征，平移后直线方程为y-1=k(x+3)+b ，y=kx+3k+b+1，由已知3k+b+1=b ，3k+1=0，k=-3

。

思路二：考虑直线上的点，设P 为上任一点，P （x ，y ），点P 平移后为P ’，P ’(x-3，y+1)。由已知P ’，P ’(x-3)，y+1)，由已知P ’∈ ，3

x 3x y 1y k k 'PP -=---+=

= 。

6、 D 。∵α∈(0，π)，sin α=53，∴当α∈[0，2

π）时，tan α=43；当α∈（21

，π）

时，tan α=-4

。

7、 A 。k AB =tan(π-arccos 21)=-tan(arctan 21)=-tan(arccos 21)=-2

，

∴2

1m 24m -=---，∴m=0 8、 D 。

9、 B 。∵0≤α<π，∴α-π<π-

443≤4

π，由图象可知，-1≤sin(α-π

4)≤22。

10、 C 。π=43

tan k AB =-1，∴12

43y -=-+，∴y=1

（三）填空题

11、（-∞，-1）∪[1，+∞]。

第2讲直线的方程

一、主要内容

直线普通方程的五种形式

二、学习指导

1、从几何条件看，给出直线上一点及直线的方向可以确定直线；给出直线上的两点也可以确定直线。由此得到了求直线方程两种常用途径，得到了直线方程的基本形式：点斜式及两点式。两点式归根到底又由点斜式确定。

同学们应熟练掌握直线普通方程五种基本形式的特征。使用范围及注意事项：（1）在选用点斜式y-y 0=k(x-x 0)（将k 作为待定参数）时，应讨论直线斜率k 不存在的情形，此时直线方程为x=x 0。

斜截式y=kx+b 作为点斜式的特例，也有类似问题。

点斜式是直线方程的最基本形式，斜截式是使用频率最高的一种形式。

（2）两点式是最不常用的一种形式。教材是把两点式转化为点斜式写出直线方程的，体现了转化的思想，同学们在解题时也应这样去转化。

也可以依照点斜式的推导思想去求两点式直线方程：已知直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线上任取一点P(x ，y)（异于P 1、P 2点），由P 1、P 2、P 三点共线，借助于向量一章中介绍的分比公式得到：

211y y y y x x x x --=

-- …………① 或借助于斜率概念，有211P P PP k k =（或12PP PP k k =等），则： 1

211x x y y x x y y --=

-- …………②

方程①及②均是两点式直线方程的表示形式。不管是哪一种分式形式，它都没有能表示出平面上直线x=x 1(x=x 2)及直线y=y 1，即直线斜率不存在或斜率为0时，不能通过两点式的分式形式表示出来。若将分式形式改写成整式形式，如，由①变形为(x-x 1)(y 1-y 2)=(y-y 1)(x 1-x 2)，则它可以表示平面上过任意两个已知点的直线方程。

截距式是两点式特例。当某条直线在坐标轴上截距相等时，应对截距是否为零进行讨论。若截距不为零，直线方程形式为x+y=a （a ≠0）；若截距为零，则直线方程形式为y=kx （k ≠0），此时直线必过原点。

（3）直线方程一般式Ax+By+c=0（A 2

+B 2

≠0），则指明了直线方程的特征，揭示了平面上直线（形）与二元一次方程（数）之间的一一对应关系。正因为存在这样一种对应关系，所以可把“直线的方程为Ax+By+C=0”简说成“直线Ax+By+C=0”。

应熟练对直线方程的各种形式进行互相转化。一般说来，解题的最后结果都应写成一般式。

2、求直线方程，一般用待定系数法。首先根据题目条件，选择适当的直线方程形式；

其次，通过解方程确定有关参数。

3、在求直线方程过程中，重视分析图形的平几性质简化计算。实际上，这也是研究解析几何问题的重要思想方法。

三、典型例题

例1、等腰△ABC 的顶点A （-1，2），AC 边所在直线斜率为3，点B 坐标为（-3，2），求AC 、BC 及∠A 平分线所在直线方程。

解题思路分析：

首先正确画出示意图，可以发现点C 有两种可能，应分情况求解。 AC 边所在直线方程：y-2=3 (x+1)，即3x-y+2+3=0。当点C 为点C 1时 ∵ AB ∥x 轴

∴ ∠BAC 2=

π，∠BAC 1=π32

又 |AB|=|AC 1|

∴ ∠ABC 1=∠AC 1B=

π ∴ 直线BC 方程：y-2=3

(x+3) 即3x-3y+6+33=0

∵ ∠A 平分线与线段AB 夹角为

π ∴ ∠A 平分线与x 轴正方向形成的角为π3

∴ ∠A 平分线方程：y-2=-3(x+1) 即3x+y-2+3=0

当点C 为点C 2时，△ABC 2为正三角形，BC 2倾斜角为π32，∠A 平分线倾斜角为6

，可求

得BC 边所在直线方程为3x+y-2+33=0，∠A 平分线方程为3x-3y+6+3=0。注：若进一步分析图形的平几性质，因|BA|=

|C 1C 2|，故△C 1BC 2是以B 为顶点的直角三角形。由AB ∥x 轴得∠BAC 2=3π。∴△ABC 2为正三角形，∠ABC 1=6

，即为直线BC 1倾斜角。

下求有关直线方程亦相当简单。

在后面讲完两条直线互相垂直的充要条件后，由BC 1⊥BC 2，求出1BC k 后，立即可以求2BC k ；两种情况下的角A 平分线亦互相垂直，求出第一种情形下∠A 平分线斜率，马上可以

得到第二种情形下角A 平分线斜率。

例2、过点P （2，1）作直线分别交x 轴、y 轴正半轴于A 、B 两点，求出△AOB 面积最小时直线的方程。

解题思路分析：

从条件分析，因涉及到过定点P ，故可选用点斜式，将斜率k 作为参数；又涉及到与坐标轴交点，也可采用截距式，将横、纵截距作为参数。

从结论分析，这是一个最值问题。应将△AOB 面积作为目标函数，将刚才设定的参数作为未知数建立函数关系，然后求该函数的最小值。

思路一：直线的斜率显然存在，设直线：y-1=k(x-2)，由直线的几何位置可知k<0（这是一个隐藏条件，却是解决本题关键。由此说明，形与数的对应、转化是多么重要！）

△AOB 面积S=

21|OA||OB|=]4k

)k 4[(21)k 21)(k 12(21+-+-=--

≥k

)k 4(2[21-?-+4]=4

当且仅当-4k=k

1-，k=21±（舍正）时，S min =4，此时直线方程为x+2y-4=0

思路二：设直线方程为1b y

a x =+，a>0，b>0（实际上，a>2，b>1）

∵ P ∈

∴ 1b

a 1=+ …………① 则△AOB 面积S=a

b 2

问题转化为在条件①下求二元函数S 的最小值，这在不等式中已多次讲过，这里只介绍一种消元方法。

由①得b=

a a

- S=2

a a 212a a a 212-?

=-? 令t=a-2，则t>0，S=)4t

t (21t )2t (212++=+?≥4]4t 4t 2[21=+??

当且仅当t

t =

，2t ±=（舍负）时等号成立，此时a=4，b=2，A （4，0），B （0，2）注1：在思路二之下，同学们可以发现一个有趣的结论：点P 在AB 中点。在与本题相

仿的条件下，记住这个结论也许会提高你解客观题的速度。

思路三：对于本题中的直线，在过点P 的条件下，实际是无数条直线，称这些直线为放置直线系（束），k 为变量。k 与倾斜角θ是对应的，故本题也可考虑将旋转角作为参数。

分析图形特征，当绕点P 绕转时，点P 与坐标轴围成矩形面积OMPN 为常数，引起的是两Rt △BNP 、Rt △PMA 的面积变化，由此可联想到用分割法求面积，如图。

设∠BAO=θ，θ∈（0，

）则APM PM ON BPN OAB S S S S ???++=矩

=(4tan θ+cot θ) ≥θ?θ?+cot tan 422

2=4

当且仅当4tan θ=cot θ，tan θ=21，θ=arctan 2

时，S min =4，此时直线方程：x+2y-4=0。

例3、对于直线上任意点（x ，y ），点（4x+2y ，x+3y ）仍在直线上，求直线方程。

解题思路分析：

法一：用待定系数法这个常规方法比较困难，考虑从特殊情形着手。为了保证两点（x ，y ），（4x+2y ，x+3y ）同时在直线上，

令 ???+=+=y 3x y y

2x 4x

解之得 ?

??==0y 0x

可知直线过原点，其方程特征为Ax+By=0（即常数项为0），下面再确定参数A 、B 。 ∵ 点（4x+2y ，x+3y ）在直线上 ∴ A （4x+2y ）+B(x+3y)=0 ∴ (4x+B)x+(2A+3B)y=0

设方程表示的直线其实就是直线Ax+By=0 ∴

B B

3A 2A B A 4+=

+ ∴ 2A 2-AB-B 2

∴ A=B ，或B=-2A

∴ 直线方程为x+y=0或x-2y=0

法二：若用待定系数法，只能选用两个参数设：y=kx+b 则 x+3y=k(4x+2y)+b

∴ x+3(kx+b)=4kx+2k(kx+b)+b ∴ (2k 2

+k-1)x+2(k-1)b=0 ∵ x ∈R

∴ ?

??=-=-+0b )1k (201k k 22

∴ ?????

b 21k 或??

?=-=0b 1k ∴ 直线：x-2y=0，或x+y=0

例4、已知△ABC 中，A(1，3），AB 、AC 边上的中线所在直线方程分别为x-2y+1=0，y-1=0求△ABC 各边所在直线方程。

解题思路分析：

尽可能画出准确的示意图。设AB 、AC 中点分别为E 、F

显然求各边所在直线斜率有一定困难，因中线与中点有关，中点又与三角形顶点相关，均考虑求△ABC 的顶点坐标。由已知两点的几何条件求直线方程。

∵ C ∈CE ，CE 方程为x-2y+1=0 ∴ 可设点C(2y 0-1，y 0)，则点F(y 0，2

y 0+) ∵ F ∈BC ，BF 方程

y-1=0

∴

012

y 0=-+ ∴ y 0=-1 ∴ C(-3，-1) 同理可求得B （5，1） ∴ △ABC 三边所在直线方程为 AB ：x+2y-7=0 BC ：x-4y-1=0 AC ：x-y+2=0

巩固练习

（一）选择题 1、直线：

14y

3x =+的倾斜角是 A 、34arctan B 、)34arctan(- C 、)34arctan(-+π D 、)3

arctan(--π

2、a 、b ∈N ，则过不同三点（a ，0），（0，b ），（1，3）的直线条数为 A 、1 B 、2 C 、3 D 、多于3

3、点A （3，0），B （0，4），动点P （x ，y ）在线段AB 上运动，则(xy)max 为 A 、3 B 、3 C 、

43 D 、49

144

4、已知点A （3，3）、B （-1，5）、直线：y=kx+1与线段AB 有公共点，则k 取值范围是

A 、(∞，-

21)∪(-21,+∞) B 、[-4，-21)∪(-]32

,21 C 、[-4，32] D 、（-∞，-4]∪[3

，+∞）

5、直线：Ax+By+C=0过第一、二、三象限，则

A 、???>>0BC 0A

B B 、???<>0B

C 0AB C 、???><0BC 0AB

D 、?

??<<0BC 0

6、直线：(m+2)x-(m-2)y-2m=0，直线x 轴上截距为3，则m 等于 A 、6 B 、-6 C 、

56 D 、5

- 7、直线2x-y-4=0绕它与x 轴的交点逆时针旋转450

所得直线方程是

A 、x-3y-2=0

B 、3x-y+6=0

C 、x-y-2=0

D 、3x+y-6=0

8、等腰△AOB 中，AO=AB ，点O （0，0），A （1，3），点B 在x 轴正半轴上，则直线AB 方程为

A 、y-1=3(x-3)

B 、y-1=-3(x-3)

C 、y-3=3(x-1)

D 、y-3=-3(x-1) （二）填空题

9、过点（2，1），且倾斜角α满足sin α=

的直线方程是______________________。 10、过点（1，2）且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线方程是________________。 11、已知直线y=kx+b ，当x ∈[-3，4]时，y ∈[-8，13]，则此直线方程是____________。

12、直线与x 轴、y 轴的正向交于A 、B ，S △AOB =2，且|AO|-|BO|=3，则直线方程________________。

13、直线3x-4y+k=0在两坐标轴上截距之积为2，则实数k=__________。 14、若直线(a-1)x+(3-a)y+a=0在两坐标轴上截距相等，则实数a=____________。 15、已知直线过点（1，-1）且倾斜角等于直线y=2x+1的倾斜角的两倍，则直线方程______________。（三）解答题

16、已知直线过点P （-1，3）且与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，若线段中点为P ，求方程。

17、直线过P （-2，1），斜率为k （k>1），将直线绕点P 逆时针方向旋转450

得直线m ，若直线和m 分别与y 轴交于Q 、R 两点，则当k 为何值时，△PQR 面积最小？求出面积的最小值。

18、已知两直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0都过点P （2，3），求经过两点Q 1（a 1，b 1），Q 2(a 2，b 2)的直线方程。

19、A 是直线：y=3x 上一点，且A 在第一象限内，直线AB 交x 轴正半轴于C ，求使△AOC 面积最小时A 点坐标。

20、已知3A+4B+5C=0，求直线：Ax+By+C=0必过某定点P ，并求点P 坐标。

六、参考答案（一）选择题

1、C 。 34k -

= ，34tan -=α，∵α∈[0，π），∴α=π+arctan(-34

) 2、B 。 ∵a 13a b -=

-，∴a

3b --=，∵a 、b ∈N ，∴1-a=±3，±1,当a=2时b=6；当a=4时b=4。

3、A 。 P ∈AB ，14y 3x =+，且x ≥0，y ≥0。∵4

3x +≥3

xy 12xy 2=，∴xy ≤3，

xy ≤3。

4、D 。如图，直线表示过P （0，1）的旋转线系，3

k PA =，4k PB -=，当从PA 逆时针旋转到y 轴时，k ≥3

2；当从y 轴逆时针旋转到PB 时，k ≤-4，∴k ≤-4，或k ≥

。 5、D 。化一般式为斜截式y=-

x B A -，当过第一、二、三象限时，k>0且b>0，∴0B A >-且0B C >-，∴B A <0且0B

<，∴AB<0且BC<0。

6、B 。

7、D 。所求直线斜率θ-θ

tan 45tan 1tan 45tan k 00（θ为直线2x-y-4=0的倾斜角，3212

1k -=-+=。

又直线过（2，0），∴直线方程为3x+y-6=0。

8、D 。 k AB =-k AO =-3，∴直线AB 方程y-3=-3(x-1)。（二）填空题

9、4x-3y-5=0，或4x+3y-11=0。当α为锐角时，tan α=

34，k=34，直线y-1=3

(x-2),即4x-3y-5=0；当α为钝角时，tan α=-34，k=34-，直线为y-1=-3

(x-2)，即4x+3y-11=0。

10、2x-y=0，或x+y-3=0。当截距为零时，设直线方程为y=kx ，令x=1，y=2，得k=2，

直线方程为2x-y=0；当截距不为零时，设直线方程为x+y=a ，令x=1，y=2，则a=3，直线方程为x+y-3=0。

11、y=3x+1，或y=-3x+4。记f(x)=kx+b ，当k>0时，f(x)在[-3，4]上递增，???=-=-13)4(f 8

)3(f ，

?==1b 3

k ；当k<0时，f(x)在[-3，4]上递减，???-==-8)4(f 13)3(f ，∴???=-=4b 3k 。 12、x+4y-4=0。设直线：1b y a x =+（a>0，b>0），则?????=-=3

b a 2ab 21

，???==4a 1

b 。

13、-24。令x=0，y=

4k ，令y=0，x=-3

k ，则2)3k

(4k =-+，∴k=-24。

14、0，或2。显然a ≠1，a ≠3，令x=0，y=3a a -；令y=0，x=a

1a -。令a 1a

3a a -=

-，解之得a=0，或2。

15、4x+3y-1=0。设直线y=2x+1倾斜角为α，则tan α=2，α

-α=α=2tan 1tan 22tan k =3

，∴直线L 方程为y+1=-4

(x-1)，即4x+3y-1=0。（三）解答题

16、解：设A （a ，0），B （0，b ），则???????=-=3

b 12

，???=-=6b 2a

∴ 直线方程16

y 2x

=+-，即3x-y+6=0。

17、解；设直线倾斜角为α，则直线m 倾斜角为α+450，k m =tan(α+450

)=k

1-+ ∴ 直线方程：y-1=k(x+2) 直线m 方程：)2x (k

11y +-+=- 令

x=0

则 y Q =2k+1>0，k 1k

3y k -+=

<0 ∴ |PQ|=y Q -y R =2k+1-1

k k

31k 2k 1k 3-++

+=-+ ∴ 1

k 3

k 1k 2|x ||PQ |21S P PQR -+++=?=?

]21k 2

)1k [(2+-+-=≥)12(4+

当且仅当k-1=1

k 2

-，k=12+，k=1-2（舍）时

)12(4S m in +=

18、解：由已知得???=++=++01b 3a 20

1b 3a 222

∴ （a 1，b 1），(a 2，b 2)均是方程2x+3y+1=0的解

∴ 点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)均在方程2x+3y+1=0表示的直线上 ∵ 过两点的直线唯一

∴ 直线Q 1、Q 2方程为2x+3y+1=0

19、解：（1）当AB 斜率存在时，设A(t ，3t)（t>0） ∵ k AB =k BC ∴

x 323t 2t 3-=

-- ∴ 2

t 3t

7x C -=

∵ 点C 在x 轴正半轴上 ∴ x C >0 ∴ t>

2 令 u=3t-2

则 S=)4u

4u (67u )

32u (

2212

++=+?≥328 当且仅当u=±2（舍负），t=34时，328S m in =，此时A （3

，4）

（2）当AB 斜率不存在时，A （3，9），S=2

∵ 3

28227>

∴ 当A 为（34，4）时，3

)S (m in AOC =?

20、解：∵ 3A+4B+5C=0 ∴ )B 4A 3(5

C +-=

代入直线方程得Ax+By-

(3A+4B)=0

∴ 54)53x (B A y +--

= ∴ )5

x (B A 54y -=-

由方程特征可知，这是表示过定点（5

,53）的旋转直线系

∴ P （5

,53）

第3讲两条直线的位置关系

一、主要内容

1.两条直线位置关系的判断

2.两条相交直线和夹角及两条平行直线之间的距离的计算

二、学习指导

1、通过前面的学习，同学们知道，平面几何中的直线（形）与代数中的二元一次方程Ax+By+C=0（A 、B 不全为0，下同）（数）之间建立了一一对应的关系，实际上，直线就是由数组（A 、B 、C ）确定。因此，直线与直线之间的位置关系可由它们对应的数组之间的关系来确定。

2、从定性的角度分析，两条直线的位置关系有平行、相交、重合。三种位置关系的判断可由这两条直线对应的方程构成的方程组的解的情况来判断。

不妨设直线 1：A 1x+B 1y+C 1=0(A 12

+B 12

≠0)，直线 2：A 2x+B 2y+C 2=0（A 22

+B 22

≠0）联立两条直线方程 ????

=++=++O

O 2

11110

2C y B x A 0

C y B x A

不失一般性，设A 1≠0，A 2≠0 ①×A 2-②×A 1得

(B 1A 2-B 2A 1)y=A 1C 2-A 2C 1 ③ 下对此一元一次型方程的解进行讨论：

当B 1A 2-B 2A 1≠0时，方程③有唯一解，原方程组有唯一解。即21A A ≠2

1B B

时，直线 1与 2

相交；

当???≠-=-0C A C A 0

A B A B 122

11221 时，方程③无解，原方程组无解。

即

2121C C B B A A ≠=时，直线 1与 2平行。当???=-=-0C A C A 0A B A B 122

11221时，方程③的解为一切实数，原方程组有无数个解，即

2121C C B B A A =

=时，直线 1与 2重合。教材是从斜截式的方程推导出两直线平行的条件，这是因为：（1）斜截式的几何特征比较明显，（2）斜截式就是初中所学的一次函数的解析式，同学们比较容易接受。上面的结论

是从直线方程的一般式推导出来的，偏重于方程的知识，体现了第一部分的指导思想。

1、从定量的角度，本小节研究了两个方面的问题：（1）在两条直线平行的位置关系下，度量它们之间的距离。

在点到直线距离公式的基础上，进一步可导出两平行线之间的距离公式，设 1：Ax+By+C 1=0,， 2：Ax+By+C 2=0，则 1与 2之间距离2

21B

A |C C |d +-=

。

（2）在两条直线相交的情况下，度量它们所成的角的大小。若两条直线的位置确定，则选用倒角公式；否则选用夹角公式。

2、一般方程形式下的几种直线系：（1）与Ax+By+C=0平行的直线系：Ax+By+m=0 （2）与Ax+By+C=0垂直的直线系：Bx-Ay+n=0

（3）过两条直线 1：A 1x+B 1y+C 1=0与直线 2：A 2x+B 2y+C 2=0的直线系：A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0，λ∈R 。此直线系不包括直线 2，若要包含 2，可将直线系方程写成 λ1(A 1x+B 1y+C 1)+λ2(A 2x+B 2y+C 2)=0（λ1、λ2∈R ）。

三、典型例题

例1、当实数m 为何值时，三条直线 1：3x+my-1=0， 2：3x-2y-5=0， 3：6x+y-5=0不能围成三角形。

解题思路分析：

本题的关键是 1、 2、 3不能围成三角形时，它们之间有多少种位置关系。可借助于逻辑知识进行分析。

1、 2、 3能围成三角形的充要条件是三条直线两两相交且不过同一点，其否定是三条直线不两两相交或均过同一点，即包含两种情形：（1）三条直线中至少有两条互相平行；（2）三条直线过同一点。

记 1、 2、 3三条直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 2=2

，k 3=-6。在第一种情形中只可能 1∥ 2， 1∥ 3，k 1=2

，k 1=-6 解之得m=-2或m=

由???=-+=--05y x 605y 2x 3得?

??-==1y 1x ， 1与 3交于点（1，-1），将（1，-1）代入3x+my-1=0，

得第二种情形下m 的值：m=2

∴ 当m=±2，或

时， 1、 2、 3不能围成三角形例2、求过点（2，3），与坐标轴围成的三角形面积为2a ，且满足下列条件的直线方程：（1）平行于直线ax+4y+6=0 （2）垂直于直线ax+4y+6=0 解题思路分析：

（1）设所求直线方程ax+4y+C 1=0 令x=0，y=-4C 1；令y=0，x=-a

∴

a 2|a

C ||4C |2111

=-- ∴ C 12

=16a 2

∴ C 1=±4a ① 又（2，3）在直线ax+4y+C 1=0上 ∴ 2a+12+C 1=0 ②

(1)(2)联立???=++=0C 12a 2a 4C 11或???++-=1C 12a 2a 4a

∴ ???-=-=8a 2

a （舍）或???-==24c 6a 1

∴ 所求直线方程为3x+2y-12=0 （2）设所求直线方程为4x-ay+C 2=0 令x=0，y=a C 2；令y=0，x=-4

2 ∴

a 2|4

C ||a C |2122

=- ∴ C 2=±4a ③ 又 8-3a+C 2=0 ④

③④联立解得???-=-=32C 8a 2（舍）或???

????

==732C 78a 2

∴ 所求直线方程为7x-2y-8=0

注：本题也可在找出斜率关系的基础上，用点斜式方程求解。

例3、已知两定点A （2，5），B （-2，1），M 和N 是过原点的直线上两个动点，且|MN|=22， ∥AB ，若直线AM 和BN 交点C 在y 轴上，求M 、N 及C 坐标。

解题思路分析：

本题用解方程的思想求点M 、N 的坐标，关键是寻找适当的等量关系。

思路一：由直线BN 与AM 在y 轴上的截距相等找等量关系，下求直线BN 和AM 方程。 ∵ k AB =1 ∴ k =1

∴ 可设M （a ，a ），N （b ，b ）由|MN|=22得|a-b|=2 ①

直线AM ：y-5=

)2x (2a 5a ---，令x=0，y=

2a a

3- 直线BN ：y-1=)2x (2b 1b ++-，令x=0，y=

b b

3+ 令2

b b 32a a 3+=

-，得a=-b ② ①②联立得???-==1b 1a 或?

??=-=1b 1

∴ M （1，1），N （-1，-1），C （0，-3）或M （-1，-1），N （1，1），C （0，1）

思路二；分别由B 、N 、C 及A 、M 、C 三点共线，借助于分比公式列方程设C （0，c ），点M 、N 同思路一所设 ∵ B 、N 、C 三点共线 ∴

N N

B C N N B y y y y x x x x --=

-- ∴ bc+2c-3b=0 ③ ∵ A 、M 、C 三点共线 ∴

M M

A C M M A y y y y x x x x --=

-- ∴ ac-3a-2c=0 ④ ③④联立，消去C 得2

a a

3b 2b 3-=

+ ∴ a=-b

即为思路一的（2）式，下同思路一

说明：本题结论为两解，说明点C 既可能是线段BN 和AM 延长线的交点，也可能是线段BN 和AM 的交点，即B 与N 及A 与M 既可能在y 轴同侧，也可能在异侧。

例4、△ABC 中，A(-5，-3），B （3，1），C （-1，5），若P 、Q 、R 分别是△ABC 的三边

AB 、AC 、BC 上的点，P 分→--AB 所成的比与Q 分→--CA 所成的比均为3

，且PQ ⊥QR ，求R 分→--BC

所成的分比。

解题思路分析：

∵→

--AP =3

1→

--PB

∴ P （-3，-2） ∵→

--CQ =31→

--QA

∴ Q （-2，3）

思路一：用解方程的思想，由1k k QP QR -=?建立方程设λ=→

--BR →

--RC ，则R （λ+λ-13，λ

+λ

+151） ∵ PQ ⊥QR ∴ -=?QR PQ k k 1 ∴

12133

1512332-=+λ

+λ

--λ

+λ

+?+--- 解之得11

λ 思路二：用解方程的思想求出R 点坐标，再用分比公式求分比

直线BC ：y-1=

)3x (3

5----，y=-x+4 ∴ 设R （x 0，4-x 0）

则 2

x x 1k 00

QR +-=

，k QP =5 代入1k k QP QR -=?得152

x x 100

-=?+- ∴ x 0=

7 ∴ R 分→

--BC 分比11

x x x x C 00B =--=

例5、已知直线：(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0 （1）求证：不论m 为何实数，直线恒过定点M ；

（2）过定点M 作一直线 1，使 1夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求 1的方程。（3）若直线 2过点M ，且与x 轴负半轴、y 轴负半轴围成的三角形面积最小，求 2方程。

解题思路分析：

（1）以m 为主元，对方程进行整理：

m(x-2y-3)+2x+y+4=0 若定点M 存在，设M(x 0，y 0)

则关于m 方程(x 0-2y 0-3)m+2x 0+y 0+4=0对一切实数m 恒成立 ∴ ???=++=--04y x 20

3y 2x 00

∴ ???-=-=2y 1x 0

∴ 定点M （-1，-2）

（2）中点坐标公式得 1与坐标轴交点坐标（-2，0），（0，-4）

∴ 直线 1：

y 2x

=-+- 即 2x+y+4=0

（3）设直线 2：y+2=k(x+1)，显然k<0 令y=0，x=

- 令x=0，y=k-2

∴ ]k

4)k [(212)k 2)(k 21(21|2k ||1k 2|21S -+-+=--=--=

≥4 当且仅当k=-2时，围成的三角形面积最小，此时 2方程为2x+y+4=0

同步练习

（一）选择题

1、直线 1：3x+5y+m=0与 2：6x+ny+4=0平行的条件是

A 、n=-10，m=-2

B 、n=-10，m=2

C 、n=10，m ≠-2

D 、n=10，m ≠2

2、△ABC 中，角A 、B 、C 对边为a 、b 、c ，则两直线xsinA+ay+c=0，bx-ysinB+sinC=0的位置关系是

A 、平行

B 、重合

C 、垂直

D 、相交不垂直

高三总复习直线与圆的方程知识点总结及典型例题.

直线与圆的方程、直线的方程已知 L 上两点 P 1（ x 1,y 1） P 2（ x 2,y 2 ）当 x 1 = x 2 时， =900 ，不存在。当 0 时， =arctank ， <0 时， = ②任何一个关于 x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。 5、直线系：（1）共点直线系方程： p 0（x 0,y 0）为定值， k 为参数 y-y 0=k （x-x 0）特别： y=kx+b ，表示过（ 0、 b ）的直线系（不含 y 轴）（ 2）平行直线系：① y=kx+b ，k 为定值， b 为参数。 ② AX+BY+ 入=0 表示与 Ax+By+C=0 平行的直线系 ③ BX-AY+ 入 =0 表示与 AX+BY+C 垂直的直线系（ 3）过 L 1,L 2交点的直线系 A 1x+B 1y+C 1+入（ A 2X+B 2Y+C 2）=0（不含 L2） 6、三点共线的判定：① AB BC AC ，②K AB =K BC ， ③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。、两直线的位置关系 k= y 2 y 1 x 2 x 1 20 2 已知方程说明斜截式 K 、b Y=kx+b 不含 y 轴和行平于 y 轴的直点斜式 P 1=(x 1,y 1) k y-y 1=k(x-x 1) 不含 y 轴和平行于 y 轴的直线两点式 P 1(x 1,y 1) P 2(x 2,y 2) y y 1 x x 1 不含坐标辆和平行于坐标轴的直线 y 2 y 1 x 2 x 1 截距式 a 、b xy 1 ab 不含坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax+by+c=0 A 、 B 不同时为 0 3、截距（略）曲线过原点横纵截距都为 0。 4、直线方程的几种形式几种特殊位置的直线 ①x 轴： y=0 ② y 轴： x=0 ③平行于 x 轴： y=b ④平行于 y 轴： x=a ⑤过原点： y=kx y 的二元一次方程。 1、倾斜角： 0< < k 0 2 = 不存在 2 +arctank 2、斜

(word完整版)高中数学必修二直线与方程及圆与方程测试题.docx

一选择题（共 55 分，每题 5 分） 1. 已知直线经过点 A(0,4)和点 B （ 1， 2），则直线 AB 的斜率为（） A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在 2．过点 ( 1,3) 且平行于直线 x 2 y 3 0 的直线方程为（） A ． x 2y 7 0 B ． 2x y 1 0 C ． x 2y 5 0 D ． 2x y 5 0 3. 在同一直角坐标系中，表示直线 y ax 与 y x a 正确的是（） y y y y O x O x O x O x A B C D 4．若直线 x+ay+2=0 和 2x+3y+1=0 互相垂直，则 a=（） A ． 2 B ． 2 C ． 3 3 3 3 2 D ． ( 2 5.过 (x ， y )和 (x ， y )两点的直线的方程是 ) 1 1 2 2 A. y y 1 x x 1 y 2 y 1 x 2 x 1 B. y y 1 x x 1 y 2 y 1 x 1 x 2 C.( y 2 y 1 )( x x 1) (x 2 x 1 )( y y 1) 0 D.( x 2 x 1)( x x 1) ( y 2 y 1 )( y y 1 ) 0 6、若图中的直线 L 1 、 L 2、 L 3 的斜率分别为 K 1、K 2、 K 3 则（） A 、 K ﹤ K ﹤ K L 3 1 2 3 L B 、 K ﹤ K ﹤ K 2 1 3 C 、 K 3﹤ K 2﹤ K 1 o x D 、 K 1﹤K 3﹤ K 2 L 1 7、直线 2x+3y-5=0 关于直线 y=x 对称的直线方程为（） A 、 3x+2y-5=0 B 、 2x-3y-5=0 C 、 3x+2y+5=0 D 、 3x-2y-5=0 8、与直线 2x+3y-6=0 关于点 (1,-1)对称的直线是（） A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0

直线方程与圆的方程

一、直线的方程：概念：倾斜角（１）倾斜角的范围：001800<≤α，这样定义的倾斜角可以使平面上的任意一条直线都有唯一的一个倾斜角．（２）特殊位置：当?=0α时，直线l 与x 轴平行；当?=90α时，直线l 与x 轴垂直．２．直线的斜率．（１）斜率的概念当倾斜角不是?90时，它的正切值叫做这条直线的斜率，记作：αtan =k ．说明：当?=90α时，直线l 没有斜率（但是有倾斜角）；当?≠90α时，直线l 有斜率，且是一个确定的值．由此可知斜率是用来表示倾斜角不等于?90的直线对于x 轴的倾斜程度的量．（２）斜率公式：1 212x x y y k --=，其中 ),(,),(2211y x y x 是直线l 上两点的坐标．例1：已知两点(1,5), (3,2)A B ---，直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l 的斜率．３．直线方程的五种形式：（１）点斜式：()11x x k y y -=-；（２）斜截式：b kx y +=；（３）两点式：1 21121x x x x y y y y --=--；（４）截距式： 1=+b y a x ；（５）一般式：0(,Ax By C A B ++=不同时为0)．例２．过点(2,1)P 作直线l 分别交,x y 轴正半轴于,A B 两点，当AOB ?的面积最小时，求直线l 的方程．练习：例2 把直线l 的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和在x 轴与y 轴上的截距，并画图．４．两条直线的位置关系：（１）平行（不重合）的条件： 212121,//b b k k l l ≠=?且；

高中数学竞赛_直线与圆的方程【讲义】

第十章直线与圆的方程一、基础知识 1．解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。如x 2+y 2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。 2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。 3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x 轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。 4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y 0=k(x-x 0)；（3）斜截式：y=kx+b ；（4）截距式：1=+b y a x ；（5）两点式：121121y y y y x x x x --=--；（6）法线式方程：xcos θ+ysin θ=p （其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：?????+=+=θθsin cos 00t y y t x x （其中θ为该直线倾斜角），t 的几何意义是定点P 0（x 0, y 0）到动点P （x, y ）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P 0P 方向向上则取正，否则取负）。 5．到角与夹角：若直线l 1, l 2的斜率分别为k 1, k 2，将l 1绕它们的交点逆时针旋转到与l 2重合所转过的最小正角叫l 1到l 2的角；l 1与l 2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。若记到角为θ，夹角为α，则tan θ=211 21k k k k +-,tan α=21121k k k k +-. 6．平行与垂直：若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。且两者不重合，则l 1//l 2的充要条件是k 1=k 2；l 1⊥l 2的充要条件是k 1k 2=-1。 7．两点P 1(x 1, y 1)与P 2(x 2, y 2)间的距离公式：|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+-。 8．点P(x 0, y 0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：2200| |B A C By Ax d +++=。 9．直线系的方程：若已知两直线的方程是l 1：A 1x+B 1y+C 1=0与l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，则过l 1, l 2交点的直线方程为A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2=0；由l 1与l 2组成的二次曲线方程为（A 1x+B 1y+C 1）（A 2x+B 2y+C 2）=0；与l 2平行的直线方程为A 1x+B 1y+C=0(1C C ≠). 10．二元一次不等式表示的平面区域，若直线l 方程为Ax+By+C=0. 若B>0，则Ax+By+C>0表示的区域为l 上方的部分，Ax+By+C<0表示的区域为l 下方的部分。 11．解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以x 和y 表示；（2）写出线性约束条件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。 12．圆的标准方程：圆心是点(a, b)，半径为r 的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2，其参数方程为???+=+=θ θsin cos r b y r a x （θ为参数）。

高中数学直线与圆的方程知识点总结

高中数学直线与圆的方程知识点总结 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】

高中数学之直线与圆的方程一、概念理解： 1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°； ③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围：斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：1 21 22121tan x x y y x x y y k --=--= =α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=?k k 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。 ③重合：斜率都存在时：2121,b b k k ==；二、方程与公式： 1、直线的五个方程：

①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(21211 21 121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中，将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可； ④截距式： 1=+b y a x 将已知截距坐标),0(),0,( b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可 3、距离公式： ①两点间距离：2 2122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2 2 00B A C By Ax d +++= ③平行直线间距离：2 2 21B A C C d +-= 4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A ①AB 中点),(00y x ：)2 ,2( 2 121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)3 2,32(2 1 21y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )3 2,32(2 121 y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。 5.直线的对称性问题

直线与圆的方程单元测试卷含答案

直线与圆的方程单元测试卷一。选择题 1.方程x 2+y 2+2ax-by+c=0表示圆心为C （2，2），半径为2的圆，则a 、b 、c 的值依次为（ B ）（A ）2、4、4；（B ）-2、4、4；（C ）2、-4、4；（D ）2、-4、-4 2.点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（ A ） (A) 11<<-a (B) 10<-