第一讲和倍问题
知识点：已知两个量的和与这两个量的倍数关系，要我们求这两个量分别是几。
和÷（倍数+1）= 较小数；较小数×倍数= 较大数；和－较小数= 较大数
例1：甲、乙两个仓库共存货物960吨，已知甲仓库所存货物是乙仓库的2倍，问甲、乙两个仓库各存货物多少吨？
例2：果园里有梨树，苹果树和桃树共1800棵，其中梨树的棵数是苹果树的2倍，桃树的棵数是苹果树的2倍，问三种树各多少棵？
例3：学校里的足球只数是排球的3倍，篮球的只数是排球的5倍，足球和篮球共72只，问三种球各多少只？
例4：三块钢板共重207千克，第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第三块的2倍，第三块钢板重多少千克？
例5：某小学购进红粉笔和白粉笔共244盒，购进的白粉笔比红粉笔的7倍少12盒，问购进红粉笔、白粉笔各多少盒？
例6：两箱茶叶共重88千克，如果从甲箱取15千克放入乙箱，那么乙箱的重量是甲箱的3倍，问两箱原有茶叶各多少千克？
例7：甲水池有水1500升，乙水池有水1200升，每分钟从甲水池流入乙水池25升水，问多少分钟后乙水池的水是甲水池的2倍？
自我检测：
一．填空。
1、小红和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是小红年龄的4倍。妈妈岁，小红
岁。
2、生产队养公鸡、母鸡共404只，其中公鸡是母鸡的3倍。公鸡有只，母鸡有只。
3、小明买语文本和数学本共25本，其中语文本比数学本的2倍多4本，语文练习本买了
本，数学练习本买了本。
4、师傅和徒弟一共生产零件190个，师傅生产的个数比徒弟的3倍少10个。徒弟生产零件
个，师傅生产零件个。
5、A、B两人同时从学校出发相背而行，2小时共行48千米，A的速度是B的2倍，求A的速度是，B的速度是。
6、一块长方形木板，长是宽的2倍，周长是54厘米。这块长方形木板的长是厘米，宽是厘米，面积是平方厘米。
7、甲、乙两个冷藏库原来共存肉92吨，从甲库运出28吨后，乙库存肉比甲库的4倍少6吨。原来甲库存肉吨，乙库存肉吨。
8、两个仓库共存粮2200千克，由乙库运出210千克，甲库存粮是乙库的2倍少380千克。甲库原来存粮千克，乙库原来存粮千克。
9、小红有30支铅笔，小兰有45支铅笔。小兰给小红支以后，小红的铅笔支数是小兰的2倍。
10、姐姐有320元，弟弟有180元，弟弟给姐姐元后，姐姐的钱比弟弟多3倍。
二、解答题。
11、甲、乙粮仓共存粮1038吨，如果把甲仓存的粮食放到乙仓9吨，两个仓库存粮就一样多，问甲、乙粮仓原来各存粮多少吨？
12、两数相除，商3余10，被除数、除数、商的和是163，求被除数和除数。
第二讲差倍问题
知识点：已知两个量的差与这两个量的倍数关系，要我们求这两个量分别是几。1、先根据两个量的倍数关系，确定其中一个量为1倍数，另一个量为几倍数。2、然后根据“两个量的差÷这两个量的倍数差”求出1倍数，然后用“1倍数×倍数”求出几倍数。
例１：甲、乙两所学校，甲校学生比乙校学生多210人，甲校学生人数是乙校的3倍，问甲、乙两校各有多少人？
例２：甲桶中的油是乙桶的4倍，从甲桶中取15千克油到乙桶，两桶油的重量相等，问原来两桶油各是多少千克？
例３：甲、乙两根绳子，甲绳长63米，乙绳长29米，两根绳子剪去同样的长度，剩下的甲绳长是乙绳的3倍，问剪去的绳子长多少米？
例4：甲、乙两个仓库各存一批面粉，甲仓库的袋数是乙仓库的3倍。从甲仓运走850袋，从乙仓运走50袋，两仓剩下的袋数相等，问原来两个仓库各存多少袋面粉？
例5：老王和小张原来银行里的存款相等，老王取出60元，小张存入20元后，小张的存款是老王的3倍，问原来两人存款共多少元？
例6：有两堆煤，甲堆94吨，乙堆138吨，每天各运走9吨，几天后，乙剩下的煤是甲堆的3倍？
例7：今年哥俩的岁数加起来是55岁，曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍，问哥哥今年几岁？
自我检测：
一、填空题
1、小红和妈妈的年龄相差28岁，妈妈的年龄是小红年龄的5倍。妈妈岁，小红岁。
2、百货商店中全自动洗衣机的台数是半自动洗衣机的3倍，两种洗衣机相差404台。全自动洗衣机有台，半自动洗衣机有台。
3、小明和小胖各有一些动漫书，小明比小胖多9本，是小胖的2倍多4本。小胖有动漫书
本，小明有动漫书本。
4、哥哥和弟弟都是集邮爱好者，哥哥的邮票数比弟弟多60张，是弟弟的3倍。哥哥有邮票
张，弟弟有邮票张。
5、父亲现年50岁，女儿现年14岁，年前，父亲的年龄是女儿的5倍。
6、一块长方形木板，长是宽的3倍少1厘米，周长是46厘米。这块长方形木板的长是厘米，宽是厘米，面积是平方厘米。
7、甲筐有梨400个，乙筐有梨240个，现从两筐中取出相同数量的梨，剩下梨的个数，甲筐恰好是乙筐的5倍。甲筐剩下个梨，乙筐剩下个梨。
8、两堆棋子，第一堆有87个，第二堆有69个。从第一堆中拿个棋子到第二堆，就能使第二堆的棋子数是第一堆的3倍。
9、甲冷藏库原来的存肉量比乙冷藏库少92吨，从甲库运出28吨后，乙库存肉比甲库的4倍少6吨，原来甲库存肉吨，乙库存肉吨。
10、姐姐和弟弟原来有同样数量的幸运星，姐姐又做了120颗，弟弟送给同学80颗后，姐姐的幸运星数是弟弟的5倍，原来他们两人共有颗幸运星。
二、解答题。
11、有大、小两个水池，大池里已经有水300立方米，小池中已经有水70立方米。现在往两个水池里注入同样多的水后，大池的水量是小池的3倍，问每个水池中注入了多少量的水？12、甲粮仓原来的存粮量比乙粮仓多1050吨，如果把甲仓存的粮食放到乙仓6吨，甲仓库的存粮就是乙仓库的4倍，那么甲、乙粮仓原来各存粮多少吨？
第三讲和差问题
知识点：已知两个数的和与两个数的差，要我们求这两个数分别是多少。方法1、首先要确定哪个数大、那个数小，两个数相差多少。2、和差问题的难点是确定两个数的和是几，差是几。3、关键用“移多补少”的方法，使两个数同样大，以便平均分，求其中一个数。4、数量关系是：大数=（两个数的和+两个数的差）÷2；小数=（两个数的和－两个数的差）÷2
例1: 甲、乙两笼鸡共有24只，已知甲笼鸡的只数比乙笼多4只，问甲、乙两个笼内各有鸡多少只？
例2：小红期中考试时，数学和语文的平均分是96分，语文比数学少8分，问语文、数学各得几分？
例3：甲、乙两仓库共有货物1000吨，如果从甲仓库调50吨货物到乙仓库，那么甲、乙仓库的货物同样多，问原来两仓库各存货物多少吨？
例4：某加工厂甲班和乙班共有工人94人，因工作需要从乙班调46人到甲班工作，这时乙班比甲班少12人，问原来两班各有多少人？
例5：两只盒子里共有15只面包，如果甲盒中放入4只面包，乙盒中取出2只面包，这时乙盒比甲盒多1只面包，问甲、乙两盒原来各有面包多少只？
例6：一只三层的书架，共放书108本，上层比中层多11本，下层比中层少5本，问上、中、下层各放书多少本？
例7：一群猴子共102只，共吃一堆桃子。大猴每只分得12只桃子，小猴每只分得10只桃子，桃子正好分完。小猴们很快把10只桃子吃完了，却要求再给每只小猴3只桃子，大猴们只得满足小猴们的要求后，还余24只桃子，问猴群共有多少只桃子？
自我检测：
一、填空题。
1、小星花了95元买了一条裤子和一件衬衫，已知衬衫比裤子贵了15元，那么裤子元，衬衫元。
2、小张与小王两位同学今年的年龄和是28岁，小张比小王大2岁。小张今年岁，小王今年岁。
3、两个连续奇数之和是100，则这两个奇数分别是和。
4、小阳期末考试时，语文和数学的平均分是96分，数学比语文高4分。他数学考了分，语文考了
分。
5、在一个直角三角形中，两个锐角相差40度，那么这两个锐角中，较大的角是度，较小的角是
度。
6、一个长方形的周长是14米，长比宽多3米，这个长方形的面积是平方米。
7、今年弟弟8岁，哥哥14岁。当他们两人的年龄和是48岁时，弟弟岁，哥哥岁。
8、两个水桶里共盛水30公斤，如果把第一桶里的水倒6公斤到第二桶里，两桶水就一样多。第一桶原有水
公斤，第二桶原有水公斤。
9、四年级有三个班，如果把甲班的1名学生调到乙班，两班人数相等；如果把乙班的1名学生调到丙班，丙班比乙班多2人。甲班和丙班比，班人数多，多人。
二、解答题。
10、一个展览会上，展品中有266件不是A公司的，有178件不是B公司的。这两个公司的展品合起来有498件，那么A公司有展品多少件？B公司有展品多少件？
第四讲速算与巧算
知识点：通过灵活运用定律和性质，进行简算或巧算。例如：分解或合并、利用特殊数、添括号获取括号、带符号搬家等方式。
例1：（1000+2）+（1001+4）+（1002+6）+…+（1050+102）=？例2: 99999×22222+33333×33334=？例3：66666×10001+66666×6666=？例4：（873×477－198）÷（476×874+199）=？例5：6273+9999×9999+3726=？例6: 654321×123456－654322×123455=？
例7：（1911+1912+1913+…+2044+2045）÷（1956+1957+1958+…+2000）=？
例8：（2×3×4＋4×6×8＋…＋200×300×400）÷（1×2×3＋2×4×6＋…＋100×200×300）=？
:
例9： 2772÷28＋34965÷35=？
自我检测：
一、填空题。
1、（2002+2002）×5= 。
2、1+（11×111）－1111= 。
3、下列五个数：0.0908、0.9008、0.0098、0.098、0.908中，最小的数是。
4、把一千一百万、一万一千、一千一百、十一这四个数之和写成阿拉伯数字是。
5、0.1+0.01+0.001= 。
6、0.2×0.3×0.4= 。
7、10÷0.02= 。
8、0.8×（0.3+0.7）= 。
9、9÷13+13÷9+11÷13+14÷9+6÷13= 。
二、解答题。
10、求1.2121212÷3.030303的值。
11、求1+2－3+4－5+6－7+…+2000－2001+2002的值。
第五讲年龄问题
知识点：是和差问题、和倍问题、差倍问题的综合运用。1、差倍抓住“差不变”“年龄差÷年龄的倍数差”算出1倍数。2、和倍算出年龄和“年龄和÷年龄的倍数和”求出当时两人的年龄。
3、和差先算年龄和，确定两人的年龄差，用（年龄和+年龄差）÷2=大年龄（年龄和－年龄差）÷2=小年龄，求出两人年龄。
例1：小明比妈妈小24岁，妈妈的年龄正好是小明的3倍，妈妈和小明现在分别是多少岁？
例2：玲玲和爷爷今年的年龄和是78岁，爷爷的年龄是玲玲的5倍，问两人今年各是几岁？
例3：王刚今年9岁，李英今年13岁，当两人年龄和是40岁的时候，王刚和李英分别是多少岁？
例4：小鲸鱼对大鲸鱼说：“妈妈，我到您现在这么大时，您就31岁了！”大鲸鱼对小鲸鱼说：“我像你这么大时，你只有1岁”，问小鲸鱼和大鲸鱼现在各多少岁了？
例5：张爷爷有三个孙子，大孙子22岁，二孙子20岁，小孙子15岁。25年以后，三个孙子的年龄之和比张爷爷那时年龄的2倍还少60岁，问张爷爷今年多少岁？
例6：今年姐妹俩年龄的和为55岁。若干年前，当姐姐的年龄只有妹妹现在这么大时，妹妹的年龄恰好是姐姐年龄的一半，问姐姐、妹妹今年各几岁？
自我检测：
一、填空题。
1、爸爸和妈妈的年龄和是69岁，十年后，爸爸比妈妈大3岁，那么爸爸现在岁。
2、王刚5年前的年龄等于李明7年后的年龄，王刚4年后与李明3年前的年龄和是35岁，李明今年
岁。
3、哥哥今年15岁，弟弟今年11岁，当兄弟俩岁数的和是100岁时，弟弟应该是岁。
4、爸爸今年35岁，儿子今年11岁，年前爸爸的年龄是儿子的5倍。
5、一家三口年龄之和是77岁。已知爸爸和妈妈同岁，妈妈的年龄是孩子的3倍，妈妈今年岁。
6、小明和小红两人6年后的年龄之和为30岁，小红的年龄等于两人的年龄差，小红今年岁。
7、小文今年7岁，他爸爸今年35岁。当小文岁时，他爸爸的年龄是他的8倍。
8、小华今年10岁，爷爷今年64岁，年后，爷爷的年龄等于小华年龄的4倍。
9、父亲今年的岁数是儿子的4倍，5年后父子共55岁，那时父亲岁。
二，解答题。
10、2000年，妈妈50岁，儿子23岁，问哪一年妈妈的年龄是儿子的4倍？
11、哥哥5年前的年龄等于妹妹3年后的年龄，哥哥4年后与妹妹3年前年龄的和是35岁，求哥哥、妹妹今年的年
四年级暑假数学讲义
第六讲相遇问题
知识点：行程问题涉及三个基本的量：路程、速度、时间。它们之间的关系是：路程=速度×时间；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度
例1：甲乙两人分别从相距60千米的两地同时出发相向而行，甲骑车每小时行10千米，乙步行每小时行5千米，问两人出发几小时后相遇？
例2：甲乙两人同时从A地出发相背而行，甲骑车每小时行10千米，乙步行每小时行5千米，问两人出发4小时后相距多少千米？
例3：甲乙两车分别从相距800千米的两地同时出发相向而行，甲车每小时行52千米，乙车每小时行48千米，问（1）几小时后两车还相距200千米？（2）几小时后两车相遇？（3）几小时后两车相遇又相距400千米？
例4：甲乙两人分别从AB两地同时出发相向而行，甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。在离AB两地中点3千米的地方相遇，求AB两地的距离。
例5：甲乙两人从AB两地骑车同时出发相向而行，2小时后相遇。相遇后乙继续向A地前进，甲则返回。当甲到达A地时，乙距离A地还有4千米。已知AB两地相距80千米，求甲、乙两人各自的速度？
例6：雏鹰小队外出野营活动，队伍长800米，行进的平均速度是每分钟60米。队伍最前面的联络员用5分钟时间跑到队伍最后面传达命令，联络员每分钟行多少米？
自我检测：
一、填空题。
1、甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，5小时相遇。甲车每小时行50千米，乙车每小时行60千米，求A、B两地相距千米。
2、A、B两港相距402千米。甲、乙两快艇分别从两地同时相对开出，3小时相遇。甲艇每小时行65千米，乙艇每小时行千米。
3、甲、乙两车从相距480千米的两地相对开出，甲每小时行60千米，乙每小时行40千米，现在要使两车在两地间的中点处相遇，则乙必须先行小时。
4、A、B两港相距108千米。甲、乙两船分别同时从两港相对开出。甲船每小时行16千米，乙船每小时行20千米，相遇时甲船离B港千米。
5、客车和小轿车分别从A、B两地同时相向而行，小轿车每小时行80千米，比客车每小时多行6千米。当两车相遇时小轿车比客车多行30千米，A、B两地相距千米。
6、快车和慢车同时由甲、乙两地相向而行，经过5小时相遇，相遇后快车再行3小时到达乙地。慢车每小时行48千米，求甲、乙两地的距离是千米。
7、甲、乙不同时由相距794千米的两地相向而行，甲每小时行52千米，乙每小时行42千米，甲行了416千米与乙相遇，乙比甲早出发小时。
8、甲、乙两地相距1510千米，客车和货车同时从两地相向而行，15小时后两车还相距10千米。已知货车每小时行45千米，求客车每小时行千米。
9、甲、乙两人骑车从两地先后出发，用同样的速度相向而行。甲用4小时行了48千米到达相遇地点，乙行了36千米到达相遇地点，乙行完全程要小时。
10、甲、乙两地相距918千米，A、B两车同时从两地相向而行，6小时相遇。已知A车的速度是B车的2倍，则A车每小时行千米，B车每小时行千米。
二、解答题。
11、一辆货车和一辆轿车同时从甲地开往乙地，轿车每小时行75千米，货车每小时行50千米。10小时后轿车到达乙地后，立即按原路返回，问再过几小时后与货车相遇？
12、甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向出发，甲车每小时走56千米，乙车每小时走48千米，两车在离中点32千米处相遇，问东、西两地之间的距离是多少千米？
第七讲追及问题
知识点：追及问题是行程问题的另一个分类，它的特点是两个运动物体行进的方向相同，基本数量关系式：追及路程=速度差×时间
例1：慢车以每小时45千米的速度从甲地开往乙地，3小时后快车以每小时60千米的速度也从甲地开往乙地，问多少小时后快车追上慢车？
例2：两辆汽车运送货物，大卡车以每小时36千米的速度从甲地开往乙地，2小时后小卡车以每小时48千米的速度也从甲地开往乙地，当小卡车追上大卡车时离甲地多远？
例3：两匹马在相距50米的地方同时同向出发，出发时黑马在前白马在后。如果黑马每秒跑10米，白马每秒跑12米，几秒后两马相距70米？
例4：上午8点一列货车以每小时40千米的速度从甲地开往乙地，中午12点一列客车以每小时65千米的速度也从甲地开往乙地。为了行车安全，火车间的距离不得小于10千米，那么货车最晚应在什么时间停车让客车驶过？
自我检测：
一、填空题。
1、A、B两地相距80米，甲在A地，乙在B地，他们同时同向出发。甲每秒跑5米，乙每秒跑3米，甲追上乙要用秒。
2、小王和小李都在甲地，准备去乙地。小王每分钟行120米，小李每分钟行150米。小王先行5分钟后，小李才出发，经过分钟后小李追上小王。
3、兔子和乌龟在一个200米的环形跑道上赛跑，它们从同一地点同时出发。乌龟每爬行5米，兔子超过它一圈。当乌龟爬完一圈时，兔子跑了圈。
4、小明和小勇家相距400米，并且都在学校东边，小勇家距学校比小明家距学校远。小明每分钟走75米，小勇家距学校为了保证两人都用16分钟同时到校，小勇每分钟必须走米。
5、学校操场的环形跑道长200米。甲、乙两人同时同地朝同一方向出发。甲每分钟行110米，乙每分钟行100米，经过分钟后甲可以追上乙。
6、甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，两人同时从A地到B地。结果甲比乙早到5分钟，求A、B两地的路程有米。
7、小方先行的速度是每分钟75米，小云步行的速度是每分钟65米。小云先出发步行100米后，小方出发去追小云。小方追上小云时，他共行了米。
8、甲、乙两匹马在相距50米的地方同时出发，出发时甲马在前乙马在后。如果甲马每秒跑10米，乙马每秒跑12米，经过秒后两马相距70米。
9、小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明。结果在距学校1000米处追上小明，小强骑自行车每分钟行米。
10、兄妹两人在周长300米的圆形水池边玩，从同一地点同时同向绕水池而行。哥哥每分钟走20米，妹妹每分钟走16米。当哥哥追上妹妹时，哥哥已经走了圈。
二、解答题。
11、甲、乙两人在周长是400米的环形跑道上跑步。如果两人从同一地点出发背向而行，那么经过2分钟两人相遇；如果两人从同一地点出发同向而行，那么经过20分钟两人相遇。已知甲的速度比乙快，问甲、乙两人跑步的速度各是多少？
12、红星小学组织学生排队步行去郊游，队伍总长630米，步行速度是每分钟行60米。队尾的王老师以每分钟150米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，问共用了多少分钟？
第八讲火车行程问题
知识点：运动方式多样，有时是相遇，有时是追及，有时是又有相遇又有追及。特别注意路程是什么。在火车行程问题中，路程有时是某一列火车的长，也可能是两列火车的长。遇到火车过桥问题时，还有可能是桥长与火车长度的和。
例1：客车以每秒钟21米的速度行驶，司机发现对面开来的一列货车，速度是每秒钟15米，从身边经过共用了10秒钟，问货车的车长是多少米？
例2：小樵在铁路边沿铁路方向的公路上散步，速度是2米/秒。从后面开来一列长288米的火车，从车头到车尾经过他身旁共用了16秒，问火车的速度是多少？
例3：火车通过一条长1460米的桥用了70秒，穿越1940米的隧道用了90秒，求火车的车长和车速。
例4：小薇坐在行驶的列车上，发现迎面开来长243米的货车用了9秒通过窗口，还发现列车通过一座240米长的桥用了16秒，求货车的速度。
例5：一列火车有18节车厢，每节车厢长45米，车厢与车厢之间相隔1米，问这列火车以30米/分的速度通过一座长103米的大桥需要多少分钟？
例6：在铁路复线上两列火车相向而行，甲车车长172米，车速每秒16米，乙车车长128米，车速每秒24米。现两车车头相距180米，几秒钟后两车的车尾相离？
例7：在铁路复线上两列火车同向而行，甲车车长172米，车速每秒24米，乙车车长128米，车速每秒16米。现乙车在前甲车在后，两车相距180米，甲车完全超过乙车要行多少路程？
自我测试：
一、填空题。
1、长度为100米的列车，若以每小时60千米的速度通过一个400米长的隧洞，要用分钟。
2、某人步行的速度是每秒钟2米。一列火车开来，从他身边经过用了10秒钟。已知火车的车身长是190米，火车每秒钟行米。
3、小王骑自行车每秒钟行5米，一列迎面开来的火车每秒行20米，车长是200米，火车从小王身边开过用了秒。
4、一位汽车驾驶员发现后面开来的火车，从他身边开过用了12秒。汽车每秒行15米，火车每秒行25米，求这列火车的长度是米。
5、一座桥长200米，一列长130米的火车通过这座桥共用了30秒，这列火车每秒钟行米。
6、一列长为240米的火车，以每秒钟30米的速度过一个隧道。从车头进洞到车尾出洞共用了1分钟，这个隧道的长度是米。
7、小红为测量疾驰而过的火车的长度和速度，她用秒表记下了火车从她面前通过要15秒；又记下从车头过第一根电线杆，到车尾过第二根电线杆所用的时间是20秒，并量出两个电线杆之间的距离是100米，火车的速度是每秒钟米，长度是米。
8、一列火车长900米，它从路边的一棵大树旁通过用了3分钟；它以同样的速度通过一座大桥，从车头上桥到车尾离桥共用了5分钟，这座大桥长米。
9、小明在铁路边的公路上散步，他散步的速度是每秒2米，这时从他后面开过来一列火车，从车头到车尾经过他身旁共用了21秒，已知火车全长336米，求火车每秒行米。
10、铁路旁边有一条公路，公路上一辆拖拉机正以每小时20千米的速度行驶。这时一列火车以每小时56千米的速度从后面开过来，火车从车头到车尾经过拖拉机身旁用了23秒，求火车的全长是米。
二、解答题。
11、一个车队以4米/秒的速度通过一座长200米的大桥，共用115秒。已知每辆车长5米，两车间隔10米，问这个车队共有多少辆车？
12、小刚在铁路旁边的公路上散步，他散步的速度是每秒2米。一列迎面开来的火车从他身边经过共用8秒；另一列从后面开来的火车从他身边经过共用10秒。经测量，两列火车的车身长和行驶速度都相等，问火车的速度和车身长各是多少？
第九讲流水问题
知识点：船在水中航行，除了本身的速度外，水本身还有流动的速度，因此船在顺水和逆水状态下行驶的速度是不同的。1、顺水船速=船速+水速2、逆水船速=船速－水速。
例1：
线段 平面几何是研究平面图形(plane flgure)的性质的一门学科，主要是研究平面图形的形状、大小及位置关系． 构成平面图形的基本元素是点和线，在线中，最简单、最常见的就是线段、射线或直线，它们的概念、性质及画图是后续学习研究由线段所组成的比较复杂图形(如三角形、四边形等)的基础． 几何中的线段、射线、直线等概念是从现实的相关形象中抽象而来，它们没有了实物中那些诸如宽度、硬度、颜色之类的性质，但却为现实问题的解决提供了有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形研究． 解决与线段相关的问题，常用到中点、代数化、枚举与分类讨论等相关概念与方法．例题 【例1】平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为个，最多为个． 思路点拨画图探求，从简单情形考虑，从特殊情形考虑． 注：几何原意是“测地术”，相传起源于四千多年前的土地测量、面积计算、器皿制造、房屋建筑、天文历算等实践活动的需要，公元前三百年左右，古希腊数学家欧基里德总结和整理了前人和当时的几何知识，写成了巨著《几何原本》． 当今，几何巳形成结构严密的科学体系，成为数学中的一个重要分支，是训练逻辑思维能力与空间想象能力的最有效学科之一． 求满足一定条件的某种几何图形的个数叫几何图形的计数，常用到穷举、归纳、逆推等方法，读者思考以下典型问题： (1)线段上有n个点(含两个端点)共有多少条线段? (2)n条直线两两相交的直线最多有几个交点? (3)n条直线最多能把平面分成几个区域? 【例2】如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN：PQ等于( )． A．1 B．2 C．3 D．4 思路点拨利用中点，设法把MN、PQ用含相同线段的代数式表示． 【例3】如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，求线段AC的长度． 思路点拨引人未知数，通过列方程求解． 【例4】摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米? 思路点拨条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以应当集中注意于名 段路程之间的关系，画线段图分析，借助图形思考． 【例5】(1)如图a，已知A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使PA+PB最小； (2)如图b，已知A、B在直线l的同侧，在l上求一点P，使PA+PB最小；
第二十六周巧算年龄 专题简析： 年龄问题是一类与计算有关的问题，它通常以和倍、差倍或和差等问题的形式出现。有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题的综合，需要灵活地加以解决。 解答年龄问题，要灵活运用以下三条规律： 1，无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的； 2，随着时间的向前或向后推移，几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量； 3，随着时间的变化，两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化。 1
例1：爸爸今年43岁，儿子今年11岁。几年后爸爸的年龄是儿子的3倍？ 分析与解答：儿子出生后，无论在哪一年，爸爸和儿子的年龄差总是不变的，这个年龄差是43－11=32岁。所以，当爸爸的年龄是儿子3倍时，儿子是32÷（3－1）=16岁，因此16－11=5年后，爸爸的年龄是儿子的3倍。 练习一 1，妈妈今年36岁，儿子今年12岁。几年后妈妈年龄是儿子的2倍？ 2，小强今年15岁，小亮今年9岁。几年前小强的年龄是小亮的3倍？ 2
3，爷爷今年60岁，孙子今年6岁。再过多少年爷爷的年龄比孙子大2倍？ 3
例2：妈妈今年的年龄是女儿的4倍，3年前，妈妈和女儿的年龄和是39岁。妈妈和女儿今年各多少岁？ 分析与解答：从3年前到今年，妈妈和女儿都长了3岁，她们今年的年龄和是：39+3×2=45岁。于是，这个问题可转化为和倍问题来解决。所以，今年女儿的年龄是45÷（1+4）=9岁，妈妈今年是9×4=36岁。 练习二 1，今年爸爸的年龄是儿子的4倍，3年前，爸爸和儿子的年龄和是44岁。爸爸和儿子今年各是多少岁？ 2，今年小丽和她爸爸的年龄和是41岁，4年前爸爸的年龄恰好是小丽的10倍。小丽和爸爸今年各是多少岁？ 4
四年级奥数班讲义 和倍问题姓名: 教学目标： 1.学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍问题 2.掌握寻找和倍的方法解决问题． 知识点说明： 和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然，从而找出解题规律，正确迅速地列式解答。 和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数.和倍问题的数量关系式是： 和÷(倍数+1)=小数 小数×倍数=大数或和一小数=大数 例题精讲： 例1、根据线段图列式： （课堂练习1）小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的7倍.爷爷比小华大多少岁？ （课堂练习2）小敏有14元，小花有10元，小花给小敏几元，小敏的钱数就是小花的2倍？ （课堂练习3）妹妹有课外书20本，姐姐有课外书25本，姐姐给妹妹多少本后，妹妹课外书是姐姐的2倍? 例2、一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘 米？ （课堂练习1）5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克？
例3、师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个？ （课堂练习1）书店去年和今年共售书380万册，今年售书量比去年售书量的2倍还 多20万册，问去年和今年各售书多少万册？ （课堂练习2）北京某小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共300朵。已知红 花的朵数比黄花的2倍少30朵。问两种花各有多少朵？ （课堂练习3）光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各 有多少人？ 例4、商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克，橘子的重量比苹果的3倍少3千克，香 蕉的重量是苹果的2倍多2千克，橘子重多少千克?
植树问题（三） 姓名 1. 一位小朋友以相等的速度在路上行走，从第1棵树走到第17棵树用了16分钟，如果这位小朋友走了30分钟，应走到第几棵树? 2. 一个人以相等的速度在林荫路上散步，他从第1棵树走到第21棵树用了20分钟，当他走10分钟时走到第几棵树? 3. 一位老人以相等的速度在公路散步，他从第1棵树走到第12棵树用了22分钟，如果这条公路上每相邻两棵树之间距离相等，这位老人走到第36分钟时能走到第几棵树?走到第36棵树时用几分钟? 4. 马路的一边等距离栽种着梧桐树，早晨小强以均匀的速度在马路的该边跑步锻炼身体，他从第3棵树跑到第15棵树用了12分钟，他准备往返跑步48分钟，问小强跑到第几棵树时应返回? 5. 有一根长180厘米的绳子，从一端开始每3厘米做一记号，每4厘米也做一记号，然后将标有记号的地方剪开，绳子共被剪成多少段? 6. 一根木头长150厘米，从一端开始，每隔15厘米画一个红点；再从同一端开始，每隔10厘米画一个绿点。然后在画有红点和绿点的地方用锯锯断，问：一共可以锯成多少段? 7. 有一根长210厘米的绳子，从一端开始每3 厘米做一记号，每5厘米也做一记号，然后将标有记号的地方剪开，绳子共被剪成多少段? 8. 一座大桥全长300米，计划在桥的两侧栏杆上各安装20块花纹图案，每块图案的横长为3米，靠近桥的图案距离桥两端都是25米。求相邻两块图案之间的距离。
9. 一座桥长168米，计划在桥西侧栏杆上，等距离地各安装16块广告牌，每块广告牌长3米，靠近桥两端的广告牌距桥端都是15米，求相邻两块广告牌之间间隔几米? 10. 一座桥有7个桥洞，从第1个桥洞到第7个桥洞全长100米，相邻两桥洞之间间隔5米，平均每个桥洞长多少米? 11. 一列火车全长350米，共有16节车厢，已知每节车厢之间的距离为2米，求每节车厢长多少米? 12. 六年级学生360人排成四路纵队，也就是四人一排，排成许多排，已知两排之间都相隔2米，这个队伍长多少米? 13. 四年级有350人，每10人排成一排，如果每相邻两排之间间隔1米，这个支队伍长多少米? 14. 某运动员有160人参加运动会入场式，他们每4人排成一行，前后每行间隔1米。主席台长25米，他们以每分钟32米的速度通过主席台，需要走多少分钟 15. 军训队伍共有学生有2404人，每4人1排，前后两人相隔3米，队伍以每秒2米的的速度前进，通过一座大桥时，从排头上桥到排尾离桥共用去18分钟，求这座大桥全长。 16. 陆、海、空三兵种组成三个仪仗队方阵，每方阵400人，都是8列纵队并列进行。陆军方阵前后每人间隔1米，海军方阵前后每人间隔2米，空军队伍方阵前后每人间隔3米，各兵种间隔4米，整个仪仗队前进速度为每分钟80米，求仪仗队通过98米检阅台要用多长时间? 17. 三年级共有4个班，每班40人，现组织三年级同学外出春游，每个班4个人一排，每排间隔1米，而每班与班之间间隔10米，队伍每分钟走30米，要全部通过一座234米长的大桥，需要多少分钟?
四年级数学讲义 奥数：容斥原理(1) 教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。 2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。 3、培养学生良好的书写习惯。 一、教学衔接 二、教学内容 （一）知识介绍 容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与 性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－ N ab。 （二）例题精讲 例1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。 【思路导航】完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。 例2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？
【分析与解答】已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。所以，两题都答得不对的有36－33=3人。 例3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？ 【分析与解答】要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。 例4、1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？ 【分析与解答】从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5=20个，6的倍数有16个 （100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。因此，是6或5的倍数的个数是16＋20－3=33个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100－ 33=67个。 例5、光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？【分析与解答】由题意知，24幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。24＋ 22=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、
四年级奥数讲义:排列 在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法．就是排列问题．在排的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关． 例如某客轮航行于天津、青岛、大连三个城市之间．问:应准备有多少种不同船票？ 分析这个问题，可以用枚举法解决，三个城市之间，船票有下面六种设置方式: 如果不用枚举法，注意到要准备的船票的种类不仅与所选的两个城市有关，而且与这两个城市作为起点、终点的顺序有关，所以，要考虑共准备多少种不同的船票，就要在三个城市之间每次取出两个，按照起点、终点的顺序排列． 首先确定起点站，在三个城市中，任取一个为起点站，共有三种选法． 其次确定终点站，每次确定了一个起点站后，只能从剩下的两个城市之中选终点站，共有两种选法． 由乘法原理，共需准备: 3×2=6 种不同的船票． 为叙述方便，我们把研究对象（如天津、青岛、大连）看作元素，那么上面的问题就是在三个不同的元素中取出两个，按照一定的顺序排成一列的问题．我们把每一种排法叫做一个排列（如天津——青岛就是一个排列），把所有排列的个数叫做排列数．那么上面的问题就是求排列数的问题． 一般地，从n个不同的元素中任取出m个（m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样，
则这就是两个不同的排列． 从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有排列的个数，叫做从 上面的问题要计算从3个城市中取出2个城市排成一列的排列数，就是 一般地，从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）排成一列的问题，可以看成是从n个不同元素中取出m个，排在m个不同的位置上的问题，而 第一步:先排第一个位置上的元素，可以从n个元素中任选一个，有n种不同的选法； 第二步:排第二个位置上的元素．这时，由于第一个位置已用去了一个元素，只剩下（n-1）个不同的元素可供选择，共有（n-1）种不同的选法； 第三步:排第三个位置上的元素，有（n-2）种不同的选法； … 第m步:排第m个位置上的元素．由于前面已经排了（m-1）个位置，用去了（m-1）个元素．这样，第m个位置上只能从剩下的[n-（m-1）]=（n-m+1）个元素中选择，有（n-m+1）种不同的选法． 由乘法原理知，共有: n（n-1）（n-2）…（n-m+1） 种不同的排法，即: 这里，m≤n；且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m个因数相乘． 例1 解:由排列数公式知:
小学四年级奥数讲义 需要牢背的基本概念 1、加法中的巧算：加法交换律：a+b =b+a 加法结合律：a+b+c=a+(b+c) 减法和加、减混合运算中的巧算： （1）一个数连续减去几个数，等于减去这几个数的和。相反，一个数减去几个 数的和，等于连续减去这几个数。即a-b-c=a-(b+c) a-(b+c) =a-b-c （2）在加、减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符 号“搬家”。 如：a-b+c=a+c-b （3）加、减混合运算中去括号（或添括号）时，如果括号前面是“—”号，那 么括号里“—”变“+”，“+”变“-”；如果括号前面是“+”号，那么括号里的 符号不变。如a-(b-c)=a-b+c,a+(b-c)=a+b-c 如果两个数的和恰好可以凑成整十、整百、整千……的数，那么其中一个数叫做 另一个数的“互补数”。 2、乘法中的巧算：乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：(a×b)×c=a ×(b×c) 乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c、(a-b)×c=a×c-b×c 3、除法中的巧算： （1）除法交换律：a÷b÷c=a÷c÷b （2）根据“被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变”的规律，进行 巧算。 公式：如果a÷b=c 则 (a×n)÷(b×n)=c (a÷n)÷(b÷n)=c n ≠0 （3）根据“一个数除以两个因数的积等于一个数连续除以这两个因数”的规律， 进行巧算。 公式：a÷(b×c)= a÷b÷c （4）根据“一个数除以两个因数的商等于一个数除以第一个因数乘以第二个因 数” 公式：a÷(b÷c)= a÷b×c （5）除法分配律：(a + b)÷c = a÷c + b÷c a÷c + b÷c=(a + b)÷c 4、你知道巧算中有几对好朋友吗？请写出来： 2×5=10 4×25=100 8× 125=1000 16×625=10000 3×37=111 7×11×13=1001 37037×3=10101 5、“头同尾合十”：头×（头+1）×100+尾×尾 “尾同头合十”：（头×头+尾）×100+尾×尾 6、平方差公式： a2-b2=(a+b)×(a-b) 7、配对求和，也就是等差数列求和。实质是变加法（连加）为乘法，这可以从 乘法的意义来理解。 公式：和= （首项+末项）×项数÷2 项数= （末项-首项）÷公差+1 首项=末项-公差×（项数-1）末项（或者某一项）= 首项+公差×（项
第一讲四则运算的关系 例题1、“华杯赛”是为了纪念我国杰出的数学家华罗庚而举行的数学竞赛。华罗庚生于1910年，现用“华杯”代表一个两位数，已知1910与“华杯”之和为2004，那么“华杯”代表的两位数我多少？ 例题2、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于240，而减数是差的2倍，差是多少？ 例题3、粗心的小明在计算除法时，把除数末尾的“0”写漏了，结果得到240，正确的结果是多少？ 例题4、31?□—□?27=24，如果两个□里的数相同，这个□里的数应是多少？
例题5、两个数相乘，如果一个因数增加5，积增加80，如果另一个因数减少4，积就减少100，原来这两个数相乘的积是多少？ 练习题： 1、如果25?□÷3?15+5=2005，那么□=（）。 2、在一个加法算式中，两个加数与和这三个数的和是360，已知一个加数是另一个加数的4倍，求较大的加数是多少？ 3、小华在计算乘法时，由于粗心，把一个因数末尾的0写掉了，那么正确的结果是多少？ 4、小明在计算有余数的除法时，把被除数115当成151，结果商比正确的得数大3，但余数恰好相同，正确的算是应是多少？ 5、一个学生做乘法时，把其中一个因数个位数字4看成1，得出的积是525，另一个学生把这个因数的个位数字误看成8，得出的积是700。正确的积应该是多少？
6、如果5?（2+△+△）—4=2006，那么△=（）。 7、在一道加法算式中，和比一个加数多2008，另一个加数比这个加数少92，和是多少？ 8、在一道减法算式中，被减数、减数与差的和是400，而减数是差的4倍，减数是多少？ 9、小明在计算一道除法算式时，将除以3看成乘以3，算出的结果是288，正确的结果是多少？ 10、粗心的小虎在计算（200—□）?4时错看成200—□?4，算得结果为20，正确的结果是多少？ 11、一个数除以8后再减3，得到的数比原来少66，原来的数是多少？ 12、有一个数，把它减去37，再乘以18，减去323，得到的结果用23去除，商是16，余数是11，求原来的数是多少？
四年级奥数讲义 消去法解题姓名: 在这一类的问题中，常常会同时出现两个或两个以上的未知的数量，并给出不同情形下 数量间的关系。解决这一类问题，通常采用“消去法”——即通过分析比较，去同求异，设法 消去一个未知数量，从而将问题简化。 【例题解析】 例1 、小华买了3把小刀和4块擦皮，共用去1元。小芳买了同样的6把小刀和4块擦皮，共用去1.6 元。小刀和擦皮单价分别是多少元？ 分析：3把小刀＋4块擦皮＝1元 6把小刀＋4块擦皮＝1.6元 课堂练习1、已知：3A＋7B＝101，9A＋7B＝149。那么10A – B的值是多少？ 课堂练习2、学校第一次买了3个水瓶和20个茶杯，共用去134元；第二次又买了同样的3个水瓶和16个茶杯，共用去118元。水瓶和茶杯的单价各是多少元？ 例2、食堂第一次运进大米5袋，面粉9袋，共重850千克。第二次运进大米7袋，面粉3袋，共重710千克。大米和面粉每袋各重多少千克？ 分析：7袋大米×3+3袋面粉×3=710千克×3 21袋大米＋9袋面粉＝2130千克； 5袋大米＋9袋面粉＝850千克；
课堂练1、买3个篮球和5个足球共、用去480元，买同样的6个篮球和3个足球共用去519元。篮球和足球的单价各是多少元？ 课堂练习2、育新小学买了8个足球和12个篮球，一共用去了984元；青山小学买了同样的16个足球和 10个篮球，一共用去1240元。每个足球和每个篮球各多少元？ 例3、同一商店里，2支钢笔和3瓶墨水的价钱是6.48元；而5支钢笔和4瓶墨水的价钱是14.24元。问这个商店的钢笔和墨水的单价各是多少钱？ 分析：消除钢笔价钱求墨水价钱。 课堂练习：已知：3A＋7B＝57，2A＋3B＝28。那么A＋B的值是多少？
计算：999999999×111111111 计算：66666×133332 求算式{20098 20099 20096 999888666?÷L L L 12312 3个个个的计算结果的各位数字之和。 计算：{ {2 2 2010120108 888111-L L 个个 计算：22222×99999＋33333×33334 第一讲：多位数计算 (★★★) (★★★★) (★★★★) (★★★★) (★★★) (★★★★)
计算1009 1009 1009 9999991999?+L L L 12312312 3个个个结果末尾有多少个零？ {20103 20104 20102 20105 3335556444222?+??L L L L 12312312 3个个个个 【你还记得吗】 (★★★) 计算：2010×20112011－2011× 计算：333×332332333－332×333333332 测试题 1．计算222222×999999 A ．222222217880 B ．222222788888 C ．222221777778 D ．222222177788 (★★★★★) (★★★★)
2．计算6666×13332 A ．88871112 B ．88881112 C ．88872222 D ． 3．计算：3001 3002 2993 1111222233334 L L L 1231424314243个个个 A ．3013333L 14243个3 B ．2003333L 14243个3 C ．3003333L 14243个3 D ．3063333L 14243个3 4．计算100×100－99×99＋98×98－97×97＋…＋2×2－1×1 A ．4950 B ．5050 C ．5150 D ．5250 5．计算 99999×26＋33333×24 A ．3996366 B ．6933669 C ．3399966 D ．3669966 6．计算：899×899＋1799 A ．819000 B ．810000 C ．900000 D ．981000 7．计算111111×777777＋444444×555555 A ．333332666667 B ．333333666667 C ．333332777777 D ．333333777777 8．计算2009×－2007× A ．2 B ．4016 C ．4017 D ．0 第二讲：容斥原理上
第一讲和倍问题 知识点：已知两个量的和与这两个量的倍数关系，要我们求这两个量分别是几。 和÷（倍数+1）= 较小数；较小数×倍数= 较大数；和－较小数= 较大数 例1：甲、乙两个仓库共存货物960吨，已知甲仓库所存货物是乙仓库的2倍，问甲、乙两个仓库各存货物多少吨？ 例2：果园里有梨树，苹果树和桃树共1800棵，其中梨树的棵数是苹果树的2倍，桃树的棵数是苹果树的2倍，问三种树各多少棵？ 例3：学校里的足球只数是排球的3倍，篮球的只数是排球的5倍，足球和篮球共72只，问三种球各多少只？ 例4：三块钢板共重207千克，第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第三块的2倍，第三块钢板重多少千克？ 例5：某小学购进红粉笔和白粉笔共244盒，购进的白粉笔比红粉笔的7倍少12盒，问购进红粉笔、白粉笔各多少盒？
例6：两箱茶叶共重88千克，如果从甲箱取15千克放入乙箱，那么乙箱的重量是甲箱的3倍，问两箱原有茶叶各多少千克？ 例7：甲水池有水1500升，乙水池有水1200升，每分钟从甲水池流入乙水池25升水，问多少分钟后乙水池的水是甲水池的2倍？
自我检测： 填空。 小红和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是小红年龄的4倍。妈妈岁，小红岁。 生产队养公鸡、母鸡共404只，其中公鸡是母鸡的3倍。公鸡有只，母鸡有只。 小明买语文本和数学本共25本，其中语文本比数学本的2倍多4本，语文练习本买了本，数学练习本买了本。 师傅和徒弟一共生产零件190个，师傅生产的个数比徒弟的3倍少10个。徒弟生产零件个，师傅生产零件个。 A、B两人同时从学校出发相背而行，2小时共行48千米，A的速度是B的2倍，求A的速度是 ，B的速度是。 一块长方形木板，长是宽的2倍，周长是54厘米。这块长方形木板的长是厘米，宽是厘米，面积是平方厘米。 甲、乙两个冷藏库原来共存肉92吨，从甲库运出28吨后，乙库存肉比甲库的4倍少6吨。原来甲库存肉吨，乙库存肉吨。 两个仓库共存粮2200千克，由乙库运出210千克，甲库存粮是乙库的2倍少380千克。甲库原来存粮千克，乙库原来存粮千克。 小红有30支铅笔，小兰有45支铅笔。小兰给小红支以后，小红的铅笔支数是小兰的2倍。 姐姐有320元，弟弟有180元，弟弟给姐姐元后，姐姐的钱比弟弟多3倍。
名师堂学校秋季班小学数学四年级讲义时间：9月3日 第1讲速算与巧算 教学目标： 1、养成在心算中养成凑数、搭配、的思维习惯。 2、利用运算定律简化运算。 3、根据某些算式的规律，学会创造条件，选择适当的方法进行简便运算。重点：运算定律 难点：熟练运用适当规律进行简便运算。 基本运算规律： 考点一：加减法简便运算 例1.计算：78＋76＋83＋82＋77＋80＋79＋85 【练习】 1.995＋996＋997＋998＋999 2、64＋62＋58＋57＋63＋56 例2.19999＋1999＋199＋19 【练习】 18＋298＋3998＋49998 例3.325＋46－125＋54 537－（543－163）－57 425－172－28 【练习】 8732＋2387－2732 328－（284－172） 523－（175＋123） 512－44－56 考点二：乘法简便运算 例4、25×38×4 125×35×8 【练习】 25×36×4×2 50×78×2 125×66×8 例5、25×32 125×16 25×19×64×125
【练习】 32×25 48×125 25×48×125×2 例5、125×34＋125×66 43×11＋43×36＋43×52＋43 【练习】 34×55＋34×44＋34 127×56＋127×45－127 例6、72×99 45×101 课后巩固练案 72×125 28×25 2×31×5 72×125×3 4723－（723＋189） 2356－159－256 3600－785＋534－215 124×64＋124×36 21×73＋21×26＋21 1456－299 384－1567－433－842 203×64 12345×99＋12345×9999－98×12345 每周家庭作业： 9999＋999＋99＋9 11＋23＋35＋45＋39＋77＋100 58×99 1999－99－899＋201 （1＋11＋21＋31＋41）＋（9＋19＋29＋39＋49） 1321×99 125×48 28×25 125×25×32 345×27＋345×72＋345 （2005＋2006＋2007＋2008＋2009＋2010＋2011）÷2008
四年级奥数思维训练专题 四年级奥数思维训练专题-简单列举 专题简析：直接列式解答比较困难时，可采用一一列举的方法解决.（根据题目的要求，通过一一列举各种情况最终达到解答整个问题的方法叫做列举法.） 例题1 从南通到上海有两条路可走，从上海到南京有3条路可走.王叔叔从南通经过上海到南京去，有几种走法？ 分析：为了帮助理解，先画一个线路示意图. 从南通到上海有两条路，每条路经上海到南京都有3条路；即有2个3条路：3×2=6（种） 试一试1：从甲地到乙地，有两条直达铁路，从乙地到丙地，有4条直达公路.那么，从甲地到丙地有多少种不同的走法？ 例2：有三张数字卡片，分别为3、6、0.从中挑出两张排成一个两位数，一共可以排成多少个两位数？
分析：排成时要注意“0”不能排在最高位. 十位上排6，个位有两种选择：60，63； 十位上排3，个位有两种选择：30，60. 一共可以排成2×2=4（个）两位数. 试一试2：用8、6、3、0这四个数字，可以组成多少个不同的三位数？最大的一个是多少？ 例3：用红、黄、蓝三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？ 分析：要使信号不同，每一种信号颜色的顺序就不同.把这些不同的信号一一列举如下： 红灯排在第一位置时，有两种不同的信号， 黄灯排在第一位置时，有两种不同的信号， 蓝灯排在第一位置时，有两种不同的信号.
因此，共有2×3=6种不同的排法. 试一试3：小红有3种不同颜色的上衣，4种不同颜色的裙子，问她共有多少种不同的穿法？ 例4：在一次足球比赛中，4个队进行循环赛，需要比赛多少场？（两个队之间比赛一次称为1场） 分析1：4个队进行循环赛，即每两个队都要赛一场.设4个队分别为A、B、C、D则： A队和其他3个队各比赛1次，要赛3场； B队和其他两个队还要各比赛1次，要赛2场； C队还要和D队比赛1次，要赛1场. 这样，一共需要比赛3＋2＋1=6（场）. 分析2：4个队进行循环赛，即每两个队都要赛一场.则每个队都要赛3场，共赛4×3=12场.这样就重复算了两次，因此实际共赛：12÷2=6（场） 试一试4：在一次羽毛球赛中，8个队进行循环赛，需要比赛多少场？
四年级奥数讲义:三角形的等积变形 我们已经掌握了三角形面积的计算公式: 三角形面积=底×高÷2 这个公式告诉我们:三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来 角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们:一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系． 为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论: ①等底等高的两个三角形面积相等． ②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等． ③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． ，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相 等． 同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍． 例如在右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相
等． 例如右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2 倍． 上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据． 例1 用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形． 方法2:如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．
20XX四年级数学竞赛奥数讲义例题图文百度文库 一、拓展提优试题 1．定义新运算：a△b＝（a+b）×b，a□b＝a×b+b，如：1△4＝（1+4）×4＝20，1□4＝1×4+4＝8，按从左到右的顺序计算：1△2□3＝．2．是三位数，若a是奇数，且是3的倍数，则最小是．3．10个连续的自然数从小到大排列，若最后6个数的和比前4个数的和的2倍大15，则这10个数中最小的数是． 4．有一个数学运算符号“⊙”，使下列算式成立：2⊙4＝8，4⊙6＝14，5⊙3＝13，8⊙7＝23．按此规定，9⊙3＝． 5．《好少年》上下两册书的页码共用了888个数码，且下册比上册多用8页，下册书有页． 6．如果a表示一个三位数，b表示一个两位数，那么，a+b最小是a+b 最大是，a﹣b最小是，a﹣b最大是． 7．只能被1和它本身整除的自然数叫做质数，如：2，3，5，7等．那么，比40大并且比50小的质数是，小于100的最大的质数是． 8．某冷饮店推出“夏日冰饮第二杯半价”活动，小刚买了2杯饮料共花了13元5角．那么一杯饮料的原价是元． 9．将1～11填入下图的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和都等于18． 10．小东和小荣同时从甲地出发到乙地，小东每分钟行50米，小荣每分钟行60米，小荣到达乙地后立即返回，若两人从出发到相遇用了10分钟，则甲、乙两地相距米． 11．如图，从一张长50厘米、宽20厘米的长方形纸片上剪去边长分别是12厘米和4厘米的两个正方形，则剩余部分图形的周长是厘米． 12．甲、乙两个油桶中共有100千克油，将乙桶中的15千克油注入甲桶，此时甲桶中的油是乙桶中的油的4倍．那么，原来甲桶中油比乙桶中的油多
几何图形剪拼例题 1.将下面两个图形分别分成四块相同的图形： 2.将右面图形分成四块相同的图形，要求每一块都包含A 、B 、C 、D ； 3.在俄罗斯方块的游戏中出现的七种图形如下，它们都是由4个单位小方格组成的连通图形。 1）如果只用其中的一种图形拼成面积是 16的正方形，那么可以用的图形有哪几种；2）如果用其中的4种不同的图形拼成一个面积是 16的正方形，那么可以选择哪几种图形；4.如图所示，有一个的正方形，现在要把它分割 8个小正方形， 1）要形成2种面积不同的小正方形，如何分割； 2）要形成3种面积不同的小正方形，如何分割；5.用四块直角三角板（形状如图）拼成一个外沿是正方形，里面有一个正方形孔的图形； 6.右图是一个正方形和一个等腰直角三角形拼成的图形， 现在要把它剪成4块 形状大小均相同的图形，应该如何剪？7.长方形的长和宽各是9厘米和4厘米，把它剪成两块再拼成一个正方形； 8.将右图分成两块，然后拼成一个 56的长方形。请在原图上标明分割线，并画 出长方形的拼合图；9.右图的纸片是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成，请把它分成三部分， 并可以重新拼成一个正方形； D C A A B B C D A D C A B C D B （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7） （1）
几何图形剪拼课后练习 1.将一个任意形状的三角形分成四块相同的图形； 2.把一张长方形纸片剪一刀（不能折叠），分成两部分，使这两部分既能拼成 平行四边形，又能拼成三角形，还能拼成梯形，在下面的图中画一直线表示 剪切，并画出拼法； 3.把一个长24厘米，宽15厘米的长方形剪成形状大小 相同的两块图形，重新拼成一个长20厘米，宽18厘 米的长方形； 4.梯形的下底是上底的2倍，两个底角都是60，将这个梯形分成大小、形状完全相同的4块； 5.将右图分割成相同的两块，然后拼成一个正方形； 6.将一个正方形按要求分成四块图形，并重新形成两个正方形； 1）四块图形相同，两个新正方形面积相同 2）四块图形可以不同，两个新正方形，一个是另一个面积的8倍；
最新小学四年级数学竞赛奥数讲义-例题 一、拓展提优试题 1．定义新运算：a△b＝（a+b）×b，a□b＝a×b+b，如：1△4＝（1+4）×4＝20，1□4＝1×4+4＝8，按从左到右的顺序计算：1△2□3＝．2．观察7＝5×1+2，12＝5×2+2，17＝5×3+2，这里7，12和17被叫做“3个相邻的被5除余2的数”，若有3个相邻的被5除余2的数的和等于336，则其中最小的数是． 3．有一个学生在做计算题时，最后一步应当除以20，但却错误地加上20，因而得到错误的结果是180．请问这道计算题的正确得数应是． 4．有一个数学运算符号“⊙”，使下列算式成立：2⊙4＝8，4⊙6＝14，5⊙3＝13，8⊙7＝23．按此规定，9⊙3＝． 5．空心圆和实心圆排成一行如下图所示： ○●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●… 在前200个圆中有个空心圆． 6．《好少年》上下两册书的页码共用了888个数码，且下册比上册多用8页，下册书有页． 7．如图所示，5个相同的两位数相加得两位数，其中相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，则＝． 8．某个学习小组由男生和女生共8位同学，其中女生比男生多，那么男生的人数可能是． 9．在一个长方形内，任意画一条直线，长方形被分成两部分（如图），如果画三条互不重合的直线，那么长方形至少被分成部分，最多被分成部分． 10．（7分）有一行数：1，1，2，3，5，8，13，21，…，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，问在前2007个数中，有是偶数． 11．（7分）用1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字组成两个不同的四位数（每个数字只用一次）使他们的差最小，那么这个差是． 12．一个三位数A的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍是A，
第一讲等差数列 【课前导引】德国著名数学家高斯年幼时非常聪明,一次数学课上,老师出了一道题:1+2+3+4+…+99+100=? 老师出完题后,全班同学都在埋头苦算,小高斯却很快算出了答案,那你知道高斯算得答案是多少?又是怎么算出来的呢? 什么是等差数列？ 一、在等差数列中，我们称第1个数为第1项，第2个数为第2项，第3个数为第3项，……依次类推 二、我们把等差数列的第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中所有数的个数称为项数，而相邻两项的差则被称为公差。 下面的数列是否是等差数列?如果是,每一列的公差是几?首项和末项分别是多少? (1)1,2,3,4,5,…,99,100 (2)1,3,5,7,9,…,97,99 (3)34,35,37,38,40,41,42……
【例1】有一个数列首项是3，每一项都比前一项大2，那么这个数列的第13项是多少？ 【巩固练习】一个等差数列共有11项，每一项都比前一项少3，并且首项是100，请问：这个数列的末项是多少？ 【例2】有一个数列，首项是2，每一项都比前一项多5，末项是452，那么这个数列一共有多少项？ 【巩固练习】1、5、9、13、17……281，请问这个数列共有多少项？
【例3】一个等差数列的首项是11，第10项是200,这个等差数列的公差等于多少？第19项等于多少？305是第多少项？ 【巩固练习】一个等差数列首项是15，第7项是57，这个等差数列的公差是多少？第20项等于多少？ 【例4】计算下列各题 （1）3+6+9+12+15+18+21+24+27+30 （2）41+37+33+29+25+21+17+13+9+5+1 【巩固练习】计算：6+11+16+21+26+31+36+41+46
第一讲 定义新运算(又名:自定义) 例1:规定一种运算: a△b=3×a＋4×b,例如,2△5=3×2＋4×5=6＋20=26,5△ 2=3×5＋4×2=15＋8=23, ……,根据以上规律计算: ①10△2 ② 2△10 简析: 本题属于“用字母表示数”的学习内容,重点是弄清规定,找出规律. ①含义为:给定两个数a和b,用3乘第一个数a,用4乘第二个数b,并将结果相 加 10△2 2△10 =3×10＋4×2 = 3×2＋4×10 =30＋8 = 6＋40 =38 =46 ②式中的“△”为“关系符号”，不是运算符号，可以是任意的字符，图片，实 物等 ③计算完毕后比较一下:定义新运算中,交换律适用吗? 配套练习: 1.规定一种运算:m□n=4×m－3×n,根据以上规律计算:5□3 2.规定一种运算：a△b=﹙a＋b﹚×﹙a－b﹚，试求： 6△4 例2：对于两个数a和b，规定：a△b=﹙a+3﹚×﹙b+4﹚，试求：①1△2△3 ② 1△﹙2△3﹚ 简析： 本题是例1的发展，重点在于弄清运算顺序。 ①其运算顺序与四则混合运算顺序相同，但要注意，先计算部分是个整体，应加 括号，没算到的部分往下带。 ②应该用发展的、动态的眼光对待a和b. 1△2△3 =[﹙1+3﹚×﹙2+4﹚]△3 ﹙a=1,b=2﹚ =[4×6]△3 =24△3 =﹙24+3﹚×﹙3+4﹚﹙a=24,b=3﹚ =27×7 =189 1△﹙2△3﹚ =1△[﹙2+3﹚×﹙3+4﹚]﹙a=2,b=3﹚ =1△[5×7] =1△35 =﹙1+3﹚×﹙35+4﹚﹙a=1,b=35﹚ =4×39 =156 配套练习: 1.对于两个数a和b,规定a○b=a+5b,试求① 1○2○3 ② 1○﹙2○3﹚注 意:5b表示5×b或b×5 2.对于两个数a和b,规定:a□b=﹙a－2﹚×﹙b÷2﹚.试求:3□﹙5□4﹚ 例3:如果2☆3=2+3+4,5☆2=5+6,4☆5=4+5+6+7+8,......照此规律,计算① 3
第十一讲盈亏问题 【专题导引】 在日常生活中常有这样的问题：一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，物品就有余。盈亏问题就是在已知盈亏的情况下来确定物品总数和参加分配的人数。 解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得差的关系。 盈亏问题的数量关系是： （1）（盈＋亏）÷两次分配差=份数 （大盈－小盈）÷两次分配差=份数 （大亏－小亏）÷两次分配差=份数 （2）每次分的数量×份数＋盈=总数量 每次分的数量×份数－亏=总数量 【典型例题】 【例1】幼儿园中一班的20个小朋友分饼干，如果每人分5块，剩余2块，如果每人分7块，够不够分？ 【试一试】 1、学校图书馆买来一批新书，分给12个班，如果每班分6本，还多8本，如果每班7本呢？够不够分？ 2、阿姨给14个同学分苹果，如果每位同学分2个，还多3个，如果每个同学分3个，够分吗？ 【例2】有一袋糖果，平均分给4个小朋友，刚好分完，平均分给6个小朋友，也正好分完，至少有多少粒糖果？ 【试一试】 1、老师拿了一些图画纸发给学生，如果发给8个人，刚好分完，如果发给9个人，也正好分完，至少要多少张？
2、小琴、小英有相同个数的苹果，小琴每天吃的个数一样，3天吃完；小英每天吃的个数一样，2天吃完，他们每人至少有多少个苹果？ 【例3】一个植树小组植树。如果每人栽5棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。这个植树小组多少人？一共有多少棵树？ 【试一试】 1、幼儿园把一些积木分给小朋友，如果每人分2个，则剩下20个；如果每人分3个，则差40个。幼儿园有多少个小朋友？一共有多少个积木？ 2、某校安排宿舍，如果每间6人，则16人没有床位；如果每间8人，则多出10个床位。问宿舍多少间？学生多少人？ 【例4】学校将一批铅笔奖给三好学生。如果每人奖9支，则缺45支；如果每人奖7支，则缺7支。三好学生有多少人？铅笔有多少支？ 【试一试】 1、将月季花插入一些花瓶中，如果每瓶插8朵，则缺少15朵；如果每瓶改为插6朵，则缺少1朵。求花瓶的只数和月季花的朵数。 2、王老师给美术兴趣小组的同学分发图画纸。如果每人发5张，则少32张；如果每人发3张，则少2张。美术兴趣小组有多少名同学？王老师一共有多少张图画纸？