22.2.2_图象法求一元二次方程的近似根_同步训练(解析版)

2018-2019学年数学人教版九年级上册

22.2.2 图象法求一元二次方程的近似根同步训练

一、选择题

1. ( 2分) 根据下列表格对应值：

x 3.24 3.25 3.26

ax2+bx+c -0.02 0.01 0.03

判断关于x的方程ax2+bx+c=0 的一个解x的范围是（）

A. x＜3.24

B. 3.24＜x＜3.25

C. 3.25＜x＜3.26

D. 3.25＜x＜3.28

【答案】B

【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根

【解析】【解答】由图表可知，ax2+bx+c=0时，3.24＜x＜3.25．故答案为：B．

【分析】根据表中数据得到x=3.24时，ax2+bx+c=-0.02＜0；x=3.25时，ax2+bx+c=0.01＞0，于是可判断x在3.24和3.25之间取某一值时，ax2+bx+c=0，由此得到方程ax2+bx+c=0（x≠0）的一个解x的范围。

2. ( 2分) 已知二次函数的对称轴是直线x=﹣1及部分图像（如图所示），由图像可知关于x的一元二次方程的两个根分别是和（）

A.﹣1.3

B.﹣2.3

C.﹣3.3

D.﹣4.3

【答案】C

【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根

【解析】【解答】根据二次函数的图象和性质进行求解.

由于函数关于对称轴对称，方程一根为1.3可知另一根－1－x2＝1.3－（－1），∴x2＝－3.3.

故答案为：C．

【分析】根据二次函数的图象和性质，结合对称轴x=，代入进行求解。

3. ( 2分) 二次函数的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（）．

A. －1＜x＜3

B. x＜－1

C. x＞3

D. x＜－1或x＞3

【答案】A

【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用

【解析】【解答】由图可知图象与x轴的交点是（-1,0）、（3,0）,当y＜0时，函数图像位于x轴的下方，此时自变量x的取值范围是:－1＜x＜3.故答案为：A

【分析】观察图像可以得出：当y＜0时，函数图像位于x轴的下方，就可写出此时自变量x的取值范围。

4. ( 2分) 如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c>0的解集是（）.

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用

【解析】【解答】由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），

∴图象与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）.

利用图象可知：ax2+bx+c＞0的解集即是y＞0是x的取值范围，

∴-1＜x＜5.

故答案为：A.

【分析】观察函数图像，可得出对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），利用二次函数的对称轴可出抛物线与x轴的另一个交点坐标，要使y＞0，就是观察x轴上方部分的图像，可得出答案。

5. ( 2分) 小明利用二次函数的图象估计方程x2－2x－2＝0的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知，方程x2－2x－2＝0必有一个实数根在( )

A.1.5和2之间

B.2和2.5之间

C.2.5和3之间

D.3和3.5之间

【答案】C

【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根

【解析】【解答】由表格得：2.5＜x＜3时，-0.75＜y＜1，二次函数y=x2－2x－2与x轴必有一个交点在2.5到3之间，所以x2－2x－2＝0必有一个实数根在2.5到3之间.故答案为：C

【分析】观察表中的x、y的对应值，主要观察0在相对应的哪两个y的值之间，那么就可得出近似根就在这两个y对应的x值之间。

6. ( 2分) 根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解()

A.x2＋3x－1＝0

B.x2＋3x＋1＝0

C.3x2＋x－1＝0

D.x2－3x＋1＝（）

【答案】A

【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根

【解析】【解答】要求y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，令y=0，x2＋3x－1=0，解出x写出坐标即可，一元二次方程的解与二次函数和x轴的交点坐标相对应，所以根据抛物线y＝x2＋3x－1与x 轴的交点的坐标，可以求出x2＋3x－1=0的近似解故答案为：A.

【分析】要求y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，设y=0，x2＋3x－1=0，求出x的值，可得出抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点坐标，就可以求出x2＋3x－1=0的近似解。

7. ( 2分) 已知二次函数y＝x2－2x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(－1，0)，则关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的两个实数根是( )

A.x1＝1，x2＝2

B.x1＝1，x2＝3

C.x1＝－1，x2＝2

D.x1＝－1，x2＝3

【答案】D

【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题

【解析】【解答】将(－1，0)代入y＝x2－2x＋m得, ,

解得,

则得方程为:x2－2x-3=0,

解得,

, .

所以D选项是正确的.

故答案为：D.

【分析】将已知点的坐标代入函数解析式，就可求出抛物线的解析式，再根据y=0求出对应的自变量的值，再根据二次函数y＝x2－2x＋m(m为常数)的图象与x轴的两个交点的横坐标就是关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的两个实数根。

8. ( 2分) 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：

①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

【答案】B

【考点】二次函数图象与系数的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的近似根，二次函数y=a （x-h）^2+k的性质

【解析】【解答】∵抛物线的开口向上，

∴a>0，

∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），

∴﹣=﹣2，=﹣9a，

∴b=4a，c=-5a，

∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a，

∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a＞0，故①正确，

5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a＜0，故②错误，

∵抛物线y=ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），

∴若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故③正确，

若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣8，故④错误，

故答案为：B．

【分析】利用抛物线的顶点坐标，代入可得出b=4a，c=-5a，因此函数解析式转化为y=ax2+4ax﹣5a，分别将b=4a，c=-5a代入①②，结合a>0，可对①②作出判断；再由y=0，就可求出抛物线与x轴的两个交点坐标，结合函数图像及x1＜x2，可对③作出判断；若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣8，可对④作出判断，综上所述，可得出答案。

二、填空题

9. ( 1分) 二次函数y＝x2＋ax＋a与x轴的交点分别是A(x1，0)、B(x2，0)，且x1＋x2－x1x2＝－10，则抛物线的顶点坐标是________．

【答案】（- ，- ）

【考点】二次函数图象与系数的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的近似根

【解析】【解答】∵二次函数y=x2+ax+a与x轴的交点分别是A（x1，0）、B（x2，0），

∴x1+x2=-a，x1x2=a，

∴由x1+x2-x1x2=-10，得

-a-a=-10，

解得a=5，

则二次函数的解析式为：y=x2+5x+5=（x+ ）2- ，

∴抛物线的顶点坐标是（- ，- ）．

故答案为：（- ，- ）

【分析】利用根与系数的关系求出x1+x2、x1x2，再代入建立关于a的方程，求出a的值，然后将a的值代入抛物线的解析式，就可求出其顶点坐标。

10. ( 1分) 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是________．

【答案】，

【考点】二次函数与一次函数的综合应用

【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），∴方程组的解为，，

即关于x的方程ax2-bx-c=0的解为x1=-2，x2=1．

所以方程ax2=bx+c的解是x1=-2，x2=1

故答案为x1=-2，x2=1．

【分析】方程ax2=bx+c 的解就是抛物线y=ax2与直线y=bx+c交点横坐标。

11. ( 1分) 已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是________．

x …﹣1 0 1 2 …

y … 0 3 4 3 …

【答案】（3，0）

【考点】二次函数的性质

【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，

∴对称轴x= =1；

点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），

因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．

故答案为：（3，0）．

【分析】观察表格发现抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，根据抛物线的对称性得出其对称轴直线，进而得出点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0）。

12. ( 1分) 若二次函数y＝x2＋3x－c(c为整数)的图象与x轴没有交点，则c的最大值是________. 【答案】－3

【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题

【解析】【解答】因为抛物线y＝x2＋3x－c(c为整数)的图象与x轴没有交点,

所以,

所以,

因为c为整数,

所以c的最大值是-3.

故答案为:-3.

【分析】利用抛物线与x轴没有交点，可得出b2-4ac＜0，求出c的取值范围，再根据c为整数，可求出c的最大值。

13. ( 1分)的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图所示），由图象可知关于x的一元二次方程的两个根分别是x1=1.3和x2=________．

【答案】-3.3

【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根

【解析】【解答】∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标（-1，-3.2）

∴- =-1则- =-2

∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根

∴x1+x2=-

又∵x1=1.3

∴x1+x2=1.3+x2=-2

解得x2=-3.3．

【分析】利用顶点坐标公式及两根之和的公式，可求出方程的另一个根。或利用抛物线的对称性解答。

14. ( 1分) 已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是________

【答案】8

【考点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】∵关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，

∴x1+x2=﹣2k，x1?x2=k2+k+3，

∵△=4k2﹣4（k2+k+3）=﹣4k﹣12≥0，解得k≤﹣3，

∴（x1﹣1）2+（x2﹣1）2

=x12﹣2x1+1+x22﹣2x2+1

=（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）+2

=（﹣2k）2﹣2（k2+k+3）﹣2（﹣2k）+2

=2k2+2k﹣4

=2（k+ ）2﹣

当k=-3时，（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的值最小，最小为8.

故（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是8．

故答案为：8．

【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得，两根之和==-2k，两根之积==，再将所求代数式转化为两根之和与两根之积的形式，代入即可得关于k的代数式，根据非负数的性质即可求解。

15. ( 1分) 若关于x的一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，则抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标为________．

【答案】(1，0)，(5，0)

【考点】二次函数图象的几何变换，二次函数图像与坐标轴的交点问题

【解析】【解答】已知一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，

即抛物线y＝a(x＋m)2－3与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，

∵抛物线y＝a(x＋m)2－3向右平移两个单位可得抛物线y＝a(x＋m－2)2－3，

∴抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标为(-1+2，0)，(3+2，0)，即(1，0)，(5，0).【分析】由一元二次方程a(x＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，可得出抛物线y＝a(x＋m)2－3与x轴的两个交点坐标，再观察两函数解析式，可得出抛物线y＝a(x＋m)2－3向右平移两个单位可得抛物线y＝a(x＋m－2)2－3，就可求出抛物线y＝a(x＋m－2)2－3与x轴的交点坐标。

三、解答题

16. ( 10分) 已知抛物线的对称轴是直线，

（1）求证：；

（2）若关于x的方程，有一个根为4，求方程的另一个根．

【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，

∴- =1，

∴2a+b=0；

（2）解：∵关于x的方程ax2+bx-8=0，有一个根为4，

∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），

∵抛物线的对称轴为x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），

∴方程的另一个根为x=-2．

【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题

【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称轴为直线x==1，即可得证。

（2）由题意可知抛物线y=ax2+bx-8与x轴的一个交点坐标为（4,0），对称轴为x=1，可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，从而可得出方程的另一个根。

17. ( 15分) 抛物线与y轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；

（3）①当x取什么值时，？当x取什么值时，y的值随x的增大而减小？

【答案】（1）解：将点（0，3）代入抛物线y=-x2+（m-1）x+m，

m=3，

∴抛物线的解析式y=-x2+2x+3；

（2）解：令y=0，-x2+2x+3=0，

解得x1=3，x2=-1；

x轴：A（3，0）、B（-1，0）；

y轴：C（0，3）

（3）解：抛物线开口向下，对称轴x=1；

所以①当-1＜x＜3时，y＞0；

②当x≥1时，y的值随x的增大而减小．

【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题，二次函数y=ax^2+bx+c的性质

【解析】【分析】（1）将点（0,3）代入函数解析式求出m的值，就可解答。

（2）要求抛物线与坐标轴的交点坐标，就是求当y-0时或x=0时的自变量的值和对应的函数值，就可得出答案。

（3）①根据抛物线与x轴的交点坐标，可得出y＞0时的x的取值范围；②根据抛物线的对称轴及二次函数的性质可解答。

18. ( 10分) 抛物线经过点、两点．

（1）求抛物线顶点D的坐标；

（2）抛物线与x轴的另一交点为A，求的面积．

【答案】（1）解：由题意，得，

解得，

则y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

则D（1，4）；

（2）解：如图，

由题意，得-x2+2x+3=0，

解得x1=-1，x2=3；

则A（-1，0），

又∵B（3，0）、C（0，3），

∴S△ABC＝×4×3＝6

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与坐标轴的交点问题

【解析】【分析】（1）利用待定系数法将点B、C的坐标分别代入函数解析式，建立关于a、c的二元一次方程组，解方程组，就可求得抛物线的解析式，再将抛物线的解析式转化为顶点式，即可解答。

（2）先由y=0，求出抛物线与x轴的交点A的坐标，再根据点A、B、C的坐标，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积。

19. ( 10分) 已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，﹣）两点．（1）求b，c的值．

（2）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．

【答案】（1）解:把A（0，3），B（﹣4，﹣）分别代入y=﹣x2+bx+c，

得，

解得

（2）解:由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣x2+ x+3，

△=（）2﹣4×（﹣）×3= ＞0，

所以二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴有公共点，

∵﹣x2+ x+3=0的解为：x1=﹣2，x2=8，

∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与坐标轴的交点问题

【解析】【分析】（1）将A,B两点的坐标分别代入二次函数y=﹣x2+bx+c，得出关于b,c的二元一次方程组，求解得出b,c的值，从而得出抛物线的解析式；

（2）首先算出?的值，然后判断出其值大于0，,从而判断出二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点就可求出两交点的坐标。

20. ( 20分) 二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题．

（1）写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；

（2）写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；

（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；

（4）若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

【答案】（1）解：图中可以看出抛物线与x轴交于(1，0)和(3，0)，

∴方程ax2+bx+c=0的两个根为x=1或x=3；

（2）解：不等式ax2+bx+c>0时，通过图中可以看出：当10，

∴不等式ax2+bx+c>0的解集为1

（3）解：图中可以看出对称轴为x=2，

∴当x>2时，y随x的增大而减小；

（4）解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过(1，0)，(2，2)，(3，0)，

∴，

解得：a=?2，b=8，c=?6，

∴?2x2+8x?6=k,移项得?2x2+8x?6?k=0，

△=64?4(?2)(?6?k)>0，

整理得：16?8k>0，

∴k<2时,方程ax2+bx+c=k有2个相等的实数根。

【考点】待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数图像求一元二次方程的近似根，二次函数与不等式（组）的综合应用

【解析】【解答】【分析】（1）观察函数图像，可知抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0)，就可得出方程ax2+bx+c=0的两个根就是抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两交点的横坐标。

（2）观察函数图像，要使ax2＋bx＋c＞0，即y＞0，观察x轴上方的图像，可解答。

（3）利用二次函数的性质，结合对称轴，可得出答案。

（4）利用待定系数法求出抛物线的解析式，就可得出?2x2+8x?6?k=0，再由b2-4ac＞0，求出k的取值范围。

21. ( 10分) 根据下列要求，解答相关问题．

（1）请补全以下求不等式的解集的过程：

①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y= ；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y= 的图象（只画出大致图象即可）；

②求得界点，标示所需：当时，求得方程的解为；并用虚线标示出函数y=

图象中y＜0的部分；

③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式＜0的解集为．

（2）请你利用上面求不等式解集的过程，求不等式-3≥0的解集．

【答案】（1）解：二次函数y=x2-2x的图象如图1所示，

∵二次函数y=x2-2x与x轴交于O（0，0），A（2，0），

∴方程x2-2x=0的解为x=0或2．

由图象可知x2-2x＜0的解集为0＜x＜2．

故答案为x=0或2，0＜x＜2．

（2）解：函数y=x2-2x-3的图象如图2所示，

∵A（-1，0），B（3，0），

∴不等式x2-2x-3≥0的解集，由图象可知，x≥3或x≤-1．

【考点】利用二次函数图像求一元二次方程的近似根，二次函数与不等式（组）的综合应用

【解析】【分析】（1）先利用描点法画出二次函数y=x2-2x的图像，再求出抛物线y=x2-2x与x轴的两交点坐标，观察函数图像，写出x2-2x＜0的解集。

（2）先画出函数y=x2-2x-3的图象，观察函数图像，要使x 2? 2 x -3≥0即y≥0，就是观察x轴上方的图像，根据抛物线与x轴的两交点坐标，写出其解集。

一元二次方程及根的定义

一元二次方程及根的定 义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及 的值. 思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可. 解：将代入原方程，得 即 解方程，得 当时，原方程都可化为 解方程，得. 所以方程的另一个根为4，或-1. 总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口. 举一反三： 【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式 的值. 思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题. 解：因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以.

. 总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3-27x2=0； (2)4(1-x)2-9=0. 解：(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程： (1)；(2). 解：(1)由， 得， ，

， 所以， 故. (2)由， 得， ， ， 所以 故 4.用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3). 解：(1)这里 并且 所以， 所以，. (2)将原方程变形为， 则 ， 所以，

所以. (3)将原方程展开并整理得， 这里， 并且， 所以. 所以. 总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)； (3). 解：(1)将原方程变形为， 提取公因式，得， 因为，所以 所以或， 故 (2)直接提取公因式，得 所以或，(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得

二次函数与一元二次方程同步练习题(含答案)

二次函数与一元二次方程同步练习题(含 答案) 北师大版九年级数学下册课时同步练习-2.8二次函数与一元二次方程（1）附答案 1.求下列二次函数的图象与x轴的交点坐标,并作草图验证. (1)y= x2+x+1; (2)y=4x2-8x+4; (3)y=-3x2-6x-3; (4)y=-3x2-x+4 2.一元二次方程x2+7x+ 9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图象有什么关系? 试把方程的根在图象上表示出. 3.利用二次函数的图象求下列一元二次方程的根. (1)4x2-8x+1=0; (2)x2-2x-5=0; (3)2x2-6x+3=0; (3)x 2-x-1=0. 4.已知二次函数 y=-x2+4x-3,其图象与y轴交于点B ,与x轴交于A, 两点. 求△AB的周长和面积. 5..在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图),若这个男生出手处A点的坐标为(0,2), 铅球路线的最高处B点的坐标为 B(6,5). (1)求这个二次函数的表达式; (2)该男生把铅球推出去多远?(精确到0.01米).

6.如图,已知抛物线y=-x2+bx+与x轴的两个交点分别为A(x1,0),B(x2,0) , 且x1+x2=4, .(1)求抛物线的代数表达式 ; (2) 设抛物线与y轴交于点,求直线B的表达式; (3)求△ AB的面积. 7.试用图象法判断方程x2+2x=- 的根的个数. 答案: 1.(1)没有交点;(2)有一个交点(1,0); (3)有一个交点(-1,0);(4)有两个交点( 1,0),( ,0), 草图略. 2.该方程的根是该函数的图象与直线y=1的交点的横坐标. 3.(1)x1≈1.9,x2≈0.1;(2)x1≈3.4,x2≈-1.4;(3)x1≈2.7,x2≈0.6;(4)x1≈1.6,x2≈-0 .6 4.令x=0,得y=-3,故B点坐标为(0, -3). 解方程-x2+4x-3=0,得x1=1 ,x2=3. 故A、两点的坐标为(1,0),(3,0) . 所以A=3-1=2,AB= ,B= , B=│-3│=3. △AB=AB+ B+A= . S△AB= A•B= ×2×3=3. 5.(1)设y=a(x-6)2+5,则由A(0,2),得2=a(0-6)2+5,得a= . 故y= (x-6)2+5

第2课时一元二次方程的根及近似解

第2课时一元二次方程的根及近似解 【知识与技能】 会进行简单的一元二次方程的试解. 【过程与方法】 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目. 【情感态度】 理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力. 【教学重点】 判定一个数是否是方程的根. 【教学难点】 会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义. 一、情境导入，初步认识 学生活动：请同学独立完成下列问题. 问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？ 设梯子底端距墙为xm，那么， 根据题意，可得方程为x2+82=102. 整理，得x2-36=0. 列表： 问题2：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为xm，则长为（x+2）m.

根据题意，得x（x+2）=120. 整理，得x2+2x-120=0. 列表： 【教学说明】通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围. 二、思考探究，获取新知 提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？ （1）问题1中x=6是x2-36=0的解；问题2中，x=10是x2+2x-120=0老师点评： 的解. （2）如果抛开实际问题，问题1中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解. 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的情况区别，我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根. 回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是-6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也不满足题意. 【教学说明】由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解. 三、运用新知，深化理解 1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4. 分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把它代入等式，看它是否能使等式两边相等即可. 解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根. 2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式

一元二次方程根的分布情况归纳总结

一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00??? -??? ->??f 综 合结论（不讨论 a ） ()00200b a a f ?>???-?? ()0 0200 b a a f ?>???->???>?? ()00

分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0??? -??? ->??k f 综 合结论（不讨论 a ） ()020b k a a f k ?>??? - ?? ()0 20 b k a a f k ?>??? - >???>?? ()0

用因式分解求解一元二次方程同步训练题(含答案)

用因式分解法求解一元二次方程 一、填空题 1、如果两个因式的积是零，那么这两个因式至少有__________等于零；反之，如果两个因式中有__________等于零，那么它们之积是__________. 2、方程x 2－16=0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程___________或___________，分别解得：x 1=_________,x 2=_________. 3、填写解方程3x(x+5)=5(x+5)的过程 解：3x(x+5)_______=0 → (x+5)(_________)=0 → x+5=________或________=0 ∴x 1=__________,x 2=__________ 4、用因式分解法解一元二次方程的关键是 （1）通过移项，将方程右边化为零 （2）将方程左边分解成两个__________次因式之积 （3）分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程 （4）分别解这两个__________，求得方程的解 5、x 2－(p+q)x≠qp=0因式分解为____________. 6、用因式分解法解方程9=x 2－2x+1 （1）移项得__________； （2）方程左边化为两个平方差，右边为零得__________； （3）将方程左边分解成两个一次因式之积得__________； （4）分别解这两个一次方程得x 1=__________,x 2=__________. 7、分解因式：2x 2 +5x -3 = ； 8、用因式分解法解方程x 2 -5x = 6 , 得方程的根为 ； 9、方程2(x +3)2 -5(x +3) = 0的解为 ，最简便的解法是 . 10、 因式分解： ①＝ ②＝ ③＝ ④ ＝ ⑤＝ 11、一个两位数等于它个位数的平方，且个位数比十位数大3，则这个两位数是_________。 12、某药品经两次降价，从原来每箱60元降为每箱48.6元，平均每次降价率为_________。 13、有两个数不等，和17，积比小点数的平方大30，用方程求这两数，设_________，根据题意，列方程得_________。 14、 一矩形面积132cm 2，周长46cm ，则矩形长是_________，宽是_________。 15、连续两个正奇数的平方和等于202，这两个奇数中较小的是_________。 3222m mn n +-4452a a --x xy y 22223--x xy y x y 2222--+-m n n 22222-+-

人教版九年级上册一元二次方程同步训练

一元二次方程 【学习目标】 1.理解一元二次方程及其有关概念； 2.掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数，一次项系数及常数项； 3.了解根的意义． 【前置学习】 一、基础回顾： 1.多项式1232--x x 是 次 项式，其中最高次项是 ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 2. 叫方程，我们学过的方程类型有 ． 3.解下列方程或方程组：①1)1(2-=+x x ②?? ?=+=-4 2y x y x ③211=-x 二、问题引领： 方程0422=+x-x 是以往学过的吗？通过本节课的学习你将认识这种新的方程． 三、自主学习（自主探究）： 请你认真阅读课本引言及32-P 内容，边学边思考下列问题： 1.方程①②③有什么共同特点？ 2.一元二次方程的定义：等号两边都是 ，只含有 个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 （二次）的方程，叫做一元二次方程． 3.一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： （a ≠0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 是二次项， 是二次项系数， 是一次项， 是一次项系数， 是常数项． 4.下面哪些数是方程0652=++x x 的根？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4． 5.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ，即：使一元二次方程等号左右两边相等的 的值． 四、疑难摘要： 【学习探究】 一、合作交流，解决困惑： 1.小组交流：（在小组内说说通过自主学习，你学会了什么？你的疑难与困惑是什么？请同伴帮你解决．） 2.班级展示与教师点拨： 【点拨】

一元二次方程求根公式

一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式

法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，

人教版九年级数学上册 一元二次方程同步练习题含答案【精华版】

人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》同步练习1 带答案 ◆随堂检测 1、判断下列方程，是一元二次方程的有____________. （1）32250x x -+=； （2）21x =； （3）221352245 x x x x --=-+； （4）2 2(1)3(1)x x +=+；（5）2221x x x -=+；（6）20ax bx c ++=. （提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断.） 2、下列方程中不含一次项的是（ ） A ．x x 2532=- B ．2916x x = C ．0)7(=-x x D ．0)5)(5(=-+x x 3、方程23(1)5(2)x x -=+的二次项系数___________；一次项系数__________；常数项_________. 4、1、下列各数是方程21(2)23 x +=解的是（ ） A 、6 B 、2 C 、4 D 、0 5、根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x . （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x . （3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x . ◆典例分析 已知关于x 的方程22 (1)(1)0m x m x m --++=． （1）x 为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）x 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。 分析：本题是含有字母系数的方程问题．根据一元一次方程和一元二次方程的定义，分别进行讨论求解. 解：（1）由题意得，21010m m ?-=?+≠? 时，即1m =时， 方程22 (1)(1)0m x m x m --++=是一元一次方程210x -+=. （2）由题意得，2(1)0m -≠时，即1m ≠±时，方程22(1)(1)0m x m x m --++=是一元二次方程.此方程的二次项系数是2 1m -、一次项系数是(1)m -+、常数项是m . ◆课下作业

二次函数求一元二次方程的近似解

用二次函数求一元二次方程的近似解 在二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 中，令y=0，则为一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax ，即抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的交点的横坐标，就是 相应一元二次方程的实数根．那么怎么用二次函数来估计一元二次方程的解呢？我们先看一个简单的例子 例1．利用二次函数图象求一元二次方程2 530x x -+=的近似解 分析：如图1，首先画出二次函数253y x x =-+的图象，由图象可知方程有两个根一个在0和1之间，一个在4和5之间，下面具体探究一下： 点评：通过例1的整个探究过程什么发现：用二次函数的图象估计一元二次方程： 20ax bx c ++=的根，主要步骤为： （1）准确画出)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图象，其中要先确定抛物线的顶点，再在顶点两侧取相对称的点（至少描五点来连线； （2）确定抛物线与x 轴的交点在一哪两个数之间； （3）列表格，在第（2）步中确定的两个数之间取值，进行估计，通常只精确到十分位即可 下面，我们在来研究比较复杂一点的问题 例2．利用二次函数图象求一元二次方程2 238x x -+-=-的近似解 分析：由于2 23y x x =-+-的函数值为-8时，对应点的横坐标即为一元二次方程 2238x x -+-=-的近似解，故可通过作出函数图象来估计方程的近似解 解：在平面直角坐标系内作出函数2 23y x x =-+-的图象，如图2，又图象可知方程 2238x x -+-=-的根是抛物线223y x x =-+-与直线8y =-的交点，左边的交点横 坐标在-1与-2之间，另一个交点横坐标在3与4之间 图1

一元二次方程根的差别式

典型例题一 例 求证：如果关于x 的方程922+=+m x x 没有实数根，那么，关于y 的方程0522=+-+m my y 一定有两个不相等的实数根. 分析：由已知，可根据一元二次方程的根的判别式证之. 证明 设方程922+=+m x x 即0922=--+m x x 的根的判别式为1?，方程 0522=+-+m my y 的根的判别式为2?，则 . 36)4( 208)25(4. 440)9(42222221-+=-+=--=?+=++=?m m m m m m m ∵方程922+=+m x x 无实数根， 01+∴m ，即036)4(2>-+m . 故方程0522=+-+m my y 有两个不相等的实数根. 说明：上述证明中，判定02>?用到了01

分析：运用根的判别式判定根的情况时，要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号，尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“?”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“?”的符号，从而判定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键. 解：（1）),1(4,2,1-=-==k c k b a )1(414)2(422-??--=-=?∴k k ac b )2(4)44(416 16422 2≥-=+-=+-=k k k k k ∴方程有两个实数根. （2）0≠a ， ∴方程02=+bx ax 是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项，将常数项看作零. ∴2204b a b =?-=?. ∴不论b 取任何实数，2b 均为非负数， 02≥=?b 恒成立. ∴方程有两个实数根. （3）0≠a ， ∴方程02=+c ax 是缺少一次项的不完全的一元二次方程，它的一次项系数0=b . ac a 40402-=?-=?， ∴需要讨论a 、c 的符号，才能确定?的符号. 当0=c 时，0=?，方程有两个相等的实数根； 当a 、c 异号时，0>?，方程有两个不相等的实数根； 当a 、c 同号时，0

人教版九年级上册第二十一章一元二次方程 21.2 解一元二次方程 同步练习(含答案)

解一元二次方程同步练习 一．选择题（共12小题） 1．一元二次方程2（x-2）2+7（x-2）+6=0的解为（） A．x1=-1，x2=1B．x1=4，x2=3.5 C．x1=0，x2=0.5D．无实数解 2．将方程x2+8x+9=0配方后，原方程可变形为（） A．（x+4）2=7B．（x+4）2=25 C．（x+4）2=-9D．（x+8）2=7 3．若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）A．3B．2C．1D．0 4．已知矩形的长和宽是方程x2-7x+8=0的两个实数根，则矩形的对角线的长为（） A ．6B．7C．D． 5．已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程0.5kx2-（k+3）x+6=0的两根，则△ABC的周长为（） A．6.5B．7C．6.5或7D．8 6．等腰三角形三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+k+2=0的两根，则k的值为（） A．30B．34或30C．36或30D．34 7．关于x的一元二次方程x2+（a2-3a）x+a=0的两个实数根互为倒数，则a的值为（）A．-3B．0C．1D．-3 或0 8．定义运算：a*b=2ab，若a、b是方程x2+x-m=0（m＞0）的两个根，则（a+1）*b+2a的

值为（） A．m B．2-2m C．2m-2D．-2m-2 9．若整数a既使得关于x的分式方程有非负数解，又使得关于x的方程x2-x+a+6=0无解，则符合条件的所有a的个数为（） A．1B．2C．3D．4 10．已知m，n（m≠n）满足方程x2-5x-1=0，则m2-mn+5n=（） A．-23B．27C．-25D．25 11．若整数a使得关于x的一元二次方程（a+2）x2+2ax+a-1=0有实数根，且关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数a的个数为（）A．3B．4C．5D．6 12．设关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，记S1=x1+2011x2，S2=x12+2011x22，…，Sn=x1n+2011x2n，则aS2012+bS2011+cS2010的值为（） A．0B．2010C．2011D．2012 二．填空题（共5小题） 13．方程（x-1）（x+2）=0的解是． 14．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）=8．则x2+y2的值为 15．已知a、b是方程x2+2x-5=0的两个实数根，则a2+ab+2a的值为． 16．若关于x的方程x2-4|x|+3-m=0有4个不相等的实数根，则m的取值范围是． 17．若x1，x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根，且x1+x2=1-x1x2，则m的值为．

一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） a

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧 12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n

一元二次方程经典练习题(6套)附带详细答案.doc

练习一 一、选择题： ( 每小题 3分 , 共 24 分) 1. 下列方程中 , 常数项为零的是 ( ) A.x 2+x=1 B.2x 2 -x-12=12 ； C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2 +1)=x+2 2. 下列方程 : ①x 2 =0, ② 1 - 2=0,③2 2 ④3 2 x 2x 3 -8x+ 1=0 x +3x=(1+2x)(2+x), - =0, ⑤ x 2 x x 中 , 一元二次方程的个数是 ( ) A.1 个 B2 个 C.3 个 D.4 个 3. 把方程（ x- 5 ） (x+ 5 ） +(2x-1) 2=0 化为一元二次方程的一般形式是 ( ) A.5x 2-4x-4=0 B.x 2 -5=0 C.5x 2 -2x+1=0 D.5x 2 -4x+6=0 4. 方程 x 2=6x 的根是 ( ) A.x 1 2 B.x 1 2 D.x=0 =0,x =-6 =0,x =6 C.x=6 5. 方 2x 2-3x+1=0 经为 (x+a) 2=b 的形式 , 正确的是 ( ) 2 3 2 1 2 1 A. x 3 16 ; B. 2 C. x 3 ; D. 以上都不对 2 x ; 4 16 4 16 6. 若两个连续整数的积是 56, 则它们的和是 ( ) A.11 B.15 C.-15 D.±15 7. 不解方程判断下列方程中无实数根的是 ( ) A.-x 2 =2x-1 B.4x 2 +4x+ 5 =0; C. 2 x 2 x 3 0 D.(x+2)(x-3)==-5 4 8. 某超市一月份的营业额为 200 万元 , 已知第一季度的总营业额共 1000 万元 , 如果平均每月 增长率为 x, 则由题意列方程应为 ( ) A.200(1+x) 2 B.200+200 ×2x=1000 =1000 C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x) 2 ]=1000 二、填空题 ： ( 每小题 3分,共 24分) ( x 1) 2 5 ________, 它的一次项系数是 9. 方程 3x 化为一元二次方程的一般形式是 2 2 ______. 2 10. 关于 x 的一元二次方程 x +bx+c=0 有实数解的条件是 __________. 11. 用 ______法解方程 3(x-2) 2=2x-4 比较简便 . 12. 如果 2x 2+1 与 4x 2-2x-5 互为相反数 , 则 x 的值为 ________. 13. 如果关于 x 的一元二次方程 2x(kx-4)-x 2 +6=0 没有实数根 , 那么 k 的最小整数值是 __________. 2 14. 如果关于 x 的方程 4mx -mx+1=0 有两个相等实数根 , 那么它的根是 _______.

利用函数的图象求一元二次方程近似根

21.3 二次函数与一元二次方程（第二课时） 实验中学-余志高 一、教材分析： 《利用二次函数的图像解一元二次方程》选自义务教育课程教科书《数学》（沪科版）九年级上册第21章第3节，这节课是在学生学习了二次函数与一元二次方程的关系，知道二次函数的图像与x 轴交点个数的不同对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况下继续经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验及了解一元二次不等式的解集.．这也突出了课标的要求：注重数形结合。 二、教学目标 【知识与技能】 掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的 情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解 集 .经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验． 【过程与方法】 经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系. 利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想． 【情感、态度与价值观】 进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神. 重点难点 【重点】 用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集. 【难点】 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 【教学方法】 学生合作交流学习法 三、教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元 二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就

64二次函数与一元二次方程用二分法求方程的近似解.docx

二次函数与一元二次方程用二分法求方程的近似解 自学评价 1 ?二次函数的零点的概念 一元二次方程a* + /zx + c = O (a H O)的根也称为二次函数y = ax2 + bx + c ( a HO)的零点. 2.二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系 (1) 一元二次方程ax2+bx^-c = O (aHO)有两个不相等的实数根禹，勺。判别式△ >0 O 对应的二次函数y = ax1 -\rbx^-c (aHO)的图象与兀轴有两个交点为(x p0), (兀2,0)O对应的二次函数y = ax2 +bx + c (aHO)有两个不同的零点西，x2； (2)一元二次方程ax2+bx-hc = 0 (Q HO)有两个相等的实数根x, = x2<=>判别式 A = 0 o对应的二次函数y = ax2 +bx + c ( a ^0)的图象与兀轴有唯一的交点为(西，0) O对应的二次函数y = ax2+bx + c (a H0)有两个相同零点x} = x2: (3)—元二次方程祇？+加+ c = 0 (G HO)没有实数根O判别式AvOo对应的二次 函数y = ax2 + + c ( a HO)的图象与x轴没有交点 <=>对应的二次函数y = ax2 +加+ c (a H0)没有零点. 3.推广 ⑴函数的零点的概念 一般地，对于函数y = f(x) (xeD),我们把使/(x) = 0的实数兀叫做函数y = f(x) (XG ￡))的零点. ⑵函数的零点与对应方程的关系 方程/(x) = 0有实数根。函数y =于(兀)的图象与x轴有交点 o函数y =广(兀)有零点. 【精典范例】 例1：求证：一元二次方程2X2+3X-7= 0有两个不相等的实数根. 例2：右图是一个二次函数y = f(x)的图象. (1)写出这个二次函数的零点； (2)写出这个二次函数的解析式； (3)试比较/(-4)/(-1), /(0)/(2)与0的大小关系. 例3：当关于兀的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围： (1)方程兀彳―祇+ /一7 = 0的两个根一个大于2,另一个小于2； (2)方程cvc2+3x + 4a = 0的两根都小于1； 1 若方程2or2-x-l=0在(0,1)内恰有 一解，则d的取值范围是( ) A. a <-l B. a > 1 C. D. 0 < 6Z < 1

一元二次方程根的两个特性及简单运用

一元二次方程根的两个特性及简单运用 我们知道方程的解是由方程的系数（包括常数项）决定的。因此，一元二次方程的根与其系数有着密切的联系。教材中我们探索了一元二次方程的二次项系数为1的情况下的两根之和、两根之积与系数的关系。现在我们接着来探索一般形式下的一元二次方程20(0) ax bx c a ++=≠的两根之和、两根之积与系数的关系。 例1、先阅读，再填空解题： (1)方程：x2-4x-12=0 的根是：x 1=6, x 2 =-2，则x 1 +x 2 =4，x 1 ·x 2 =-12； (2)方程2x2-7x+3=0的根是：x 1= 1 2 , x 2 =3，则x 1 +x 2 = 7 2 ，x 1 ·x 2 = 3 2 ； (3)方程3x2+6x-2=0的根是：x 1= , x 2 = .则x 1 +x 2 = ， x 1·x 2 = ； 根据以上（1）(2)(3)你能否猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0且a、b、c为常数）的两根为x 1、x 2 ，那么x 1 +x 2 、x 1 x 2 与系数a、b、c有 什么关系？请写出来你的猜想并说明理由。 解析：方程3x2+5x-2=0的根是：x 1= 1 3 x 2 =-2。则x 1 +x 2 = 5 3 -，x1·x2= 2 3 -。 能猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数） 的两根为x 1、x 2 ，那么x 1 +x 2 a b - =、x1x2 a c =。理由如下： 根据求根公式可知，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c 为常数）的两根为： a ac b b x 2 4 2 1 - + - =， a ac b b x 2 4 2 2 - - - = 所以x 1+x 2 = a ac b b 2 4 2- + - + a ac b b 2 4 2- - - a b - = x 1x 2 = a ac b b 2 4 2- + - · a ac b b 2 4 2- - - a c = 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，这个方程的两个根与系数的关系是：两根之和，等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商．

21.1 一元二次方程 同步练习题1 含答案

人人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》同步练习1带答 案 ◆随堂检测 1、判断下列方程，是一元二次方程的有____________. （1）32250x x -+=； （2）21x =； （3）221 35224 5x x x x --=-+； （4）22(1)3(1)x x +=+；（5）2221x x x -=+；（6）20ax bx c ++=. （提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断.） 2、下列方程中不含一次项的是（ ） A ．x x 2532=- B ．2916x x = C ．0)7(=-x x D ．0)5)(5(=-+x x 3、方程23(1)5(2)x x -=+的二次项系数___________；一次项系数__________；常数项_________. 4、1、下列各数是方程21(2)23 x +=解的是（ ） A 、6 B 、2 C 、4 D 、0 5、根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x . （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x . （3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x . ◆典例分析 已知关于x 的方程22(1)(1)0m x m x m --++=． （1）x 为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）x 为何值时， 此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。 分析：本题是含有字母系数的方程问题．根据一元一次方程和一元二次方程的定义，分别进行讨论求解.

一元二次方程的根

初中数学竞赛专题选讲(初三.1) 一元二次方程的根 一 、内容提要 1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的. 根公式是：x=a ac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式 ① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是： b 2－4a c ≥0. ② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是： b 2－4a c 是完全平方式?方程有有理数根. ③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根?p 2－4q 是整数的平方数. 3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么 ① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)； ② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=a ac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=a c (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件 整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0?x 1=0 ， a+b+c=0?x 1=1 ， a －b+c=0?x 1=－1. 二、例题 例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1. 求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根. （1990年泉州市初二数学双基赛题） 证明 （用反证法） 设 两个方程都没有两个不相等的实数根， 那么△1≤0和△2≤0. 即?? ???++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b 由①得b ≥ 41，b+1 ≥4 5代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0， 即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的. 既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.

八年级数学一元二次方程同步练习

7.1一元二次方程 一、填空 1．一元二次方程化为一般形式为：，二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：。 2．关于x的方程,当时为一元一次方程；当 时为一元二次方程。 3．已知直角三角形三边长为连续整数，则它的三边长是。 4. ；。 5．直角三角形的两直角边是3︰4，而斜边的长是15㎝，那么这个三角形的面积是。 6．若方程的两个根是和3，则的值分别为。 7．若代数式与的值互为相反数，则的值是。 8．方程与的解相同，则=。 9．当时，关于的方程可用公式法求解。 10．若实数满足，则=。 11．若，则=。 12．已知的值是10，则代数式的值是。 二、选择 1．下列方程中，无论取何值，总是关于x的一元二次方程的是（）（A）（B） （C）（D） 2．若与互为倒数，则实数为（） （A）± （B）±1 （C）± （D）±

3．若是关于的一元二次方程的根，且≠0，则的值为（）（A）（B）1 （C）（D） 4．关于的一元二次方程的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是（） （A）（B）（C）（D） 5．关于的一元二次方程有实数根，则（） （A）＜0 （B）＞0 （C）≥0 （D）≤0 6．已知、是实数，若，则下列说法正确的是（） （A）一定是0 （B）一定是0 （C）或（D）且 7．若方程中，满足和，则方程的根是（） （A）1，0 （B）-1，0 （C）1，-1 （D）无法确定 三、解方程 1.选用合适的方法解下列方程 （1）（2） （3）（4）

四、解答题 1.已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程的一个根，求这个三角形的腰。 2.已知一元二次方程有一个根为零，求的值。