第一章集合
（一）集合的含义与表示
1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.
2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。
（二）集合间的基本关系
1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
2．在具体情境中，了解全集与空集的含义.
（三）集合的基本运算
1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
3．能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算。
根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现。
第1课时 集合的概念
一、集合
1．集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象 就成为一个集合，简称 ．集合中的每一个对象叫做这个集合的 ．
2．集合中的元素属性具有：
(1) 确定性； (2) ； (3) ．
3．集合的表示法常用的有 、 和韦恩图法三种，有限集常用 ，无限集常用 ，图示法常用于表示集合之间的相互关系．
二、元素与集合的关系
4．元素与集合是属于和 的从属关系，若a 是集合A 的元素，记作 ，若a 不是集合B 的元素，记作 ．但是要注意元素与集合是相对而言的．
三、集合与集合的关系
5．集合与集合的关系用符号 表示．
6．子集：若集合A 中 都是集合B 的元素，就说集合A 包含于集合B （或集合B 包含集合A ），记作 ．
7．相等：若集合A 中 都是集合B 的元素，同时集合B 中 都是集合A 的元素，就
说集合A 等于集合B ，记作 ．
8．真子集：如果 就说集合A 是集合B 的真子集，记作 ．
9．若集合A 含有n 个元素，则A 的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个．
10．空集?是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，?是任何集合的 ，?是任何非空集合的 ，解题时不可忽视?．
例1.
已知集合8
|
6A x N N x ??
=∈∈??-?
?，试求集合A 的所有子集.
解：由题意可知6x -是8的正约数，所以 6x -可以是1,2,4,8；相应的x 为
2,4,5，即{}2,4,5A =.
∴A 的所有子集为,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5}{2,4,5}φ.
变式训练1.若a,b ∈R,集合{}1,,0,,,b a b a b a ??
+=????
求b-a 的值.
解：由{}
1,,0,,b a b a b a ??
+=????
可知a≠0，则只能a+b=0，则有以下对应关系：
1a b b a a b +=???=??=??
①或 0
1a b b a b a
?
?+=?=???=? ②
由①得1
,1a b =-??=?
符合题意；②无解.所以b-a=2.
例2. 设集合2{2,3,23}U a a =+-，{|21|,2}A a =-，{5}U C A =，求实数a 的值.
解：此时只可能2235a a +-=，易得2a =或4-。
当2a =时，{2,3}A =符合题意。
当4a =-时，{9,3}A =不符合题意，舍去。
故2a =。
变式训练2：（1）P ＝{x|x 2－2x －3＝0}，S ＝{x|ax ＋2＝0}，S ?P ，求a 取值？
（2）A ＝{－2≤x≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}，B ?A,求m 。
解：（1）a ＝0,S ＝?，??P 成立 a ≠0，S ≠?
，由S ?P ，P ＝{3，－1}
得3a ＋2＝0，a ＝－
23
或－a ＋2＝0，a ＝2； ∴a 值为0或－
23
或2.
（2）B ＝?，即m ＋1>2m －1,m<2 ∴
?
A 成立.
B≠?，由题意得121
21521m m m m +≤-??
-≤+??≥-?
得2≤m≤3
∴m<2或2≤m≤3 即m≤3为取值范围.
注：（1）特殊集合?作用，常易漏掉
例3. 已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m∈R}.
（1）若A 是空集，求m 的取值范围；
（2）若A 中只有一个元素，求m 的值；
（3）若A 中至多只有一个元素，求m 的取值范围.
解： 集合A 是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集.
(1)∵A 是空集，∴方程mx2-2x+3=0无解.
∴Δ=4-12m<0,即m>13
.
（2）∵A 中只有一个元素，
∴方程mx2-2x+3=0只有一个解.
若m=0，方程为-2x+3=0，只有一解x=32
;
若m≠0，则Δ=0，即4-12m=0,m=13
.
∴m=0或m=13
.
(3)A 中至多只有一个元素包含A 中只有一个元素和A 是空集两种含义，根据（1）、（2）的结果，
得m=0或m≥13
.
变式训练3.（1）已知A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}且1∈A，求实数a 的值；
（2）已知M={2，a ，b}，N={2a ，2，b2}且M=N ，求a ，b 的值.
解：（1）由题意知：
a+2=1或(a+1)2=1或a2+3a+3=1，
∴a=-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1，-2, ∴a=0即为所求.
（2）由题意知,22a a b b =??=?或2
012a a b b b a =?=????==??或00a b =??=?或14,12a b ?=????=??
根据元素的互异性得01
a b =??
=?或1
412
a b ?
=????=??即为所求.
例4. 若集合A ＝{2，4，3227a a a --+}，B ＝{1，a ＋1，222a a -+，2
1(38)2
a a -
--、
3
2
37a a a +++ }，且A∩B＝{2，5}，试求实数a 的值．
解:∵А∩В＝{2，5}，∴2∈A 且5∈A，
则3227a a a --+＝5?(a －2)(a －1)(a ＋1)＝0，
∴a＝－1或a ＝1或a ＝2．
当a ＝－1时，B ＝{1，0，5，2，4}，与A∩B＝{2，5}矛盾，∴a≠－1．
当a ＝1时，B ＝{1，2，1，5，12}，与集合中元素互异性矛盾，∴a≠1．
当a ＝2时，B ＝{1，3，2，5，25}，满足A∩B＝{2，5}．故所求a 的值为2．
变式训练4.已知集合A ＝{a ，a ＋d ，a ＋2d}，B ＝{a ，aq ，2
aq }，其中a≠0，若A ＝B ，求q 的值
解：∵A＝B
∴(Ⅰ)??
??
?=+=+2
2aq
d a aq d a 或 (Ⅱ) ??
??
?=+=+aq
d a aq d a 22
由(Ⅰ)得q ＝1，由(Ⅱ)得q ＝1或q ＝－21
．
当q ＝1时，B 中的元素与集合元素的互异性矛盾，
∴q＝－2
1
1．本节的重点是集合的基本概念和表示方法，对集合的认识，关键在于化简给定的集合，确定集合的元素，并真正认识集合中元素的属性，特别要注意代表元素的形式，不要将点集和数集混淆．
2．利用相等集合的定义解题时，特别要注意集合中元素的互异性，对计算的结果要加以检验．
3．注意空集φ的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑到集合为空集的可能性．
4．要注意数学思想方法在解题中的运用，如化归与转化、分类讨论、数形结合的思想方法在解题中的应
用．
第2课时 集合的运算
一、集合的运算 1．交集：由 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的交集，记作A∩B，即A∩B＝ ． 2．并集：由 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的并集，记作A∪B，即A∪B＝ ． 3．补集：集合A 是集合S 的子集，由 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集，记作S C A ，即S C A ＝ ．
二、集合的常用运算性质
1．A∩A＝ ，A∩?＝ ，A∩B= ，B∩A，A∪A＝ ， A∪?＝ ，A∪B＝B∪A
2．U A C A ?＝ ，U A C A ?＝ ，()U C C A = ． 3．()U C A B ?= ，()U C A B ?= ， 4．A∪B＝A ? ， A∩B＝A ?
例1. 设全集U R =，{|M m =方程210mx x --=有实数根}，{|N n =方程2
0x x n -+=
有实数根}，求()U C M N ?.
解：当0m =时，1x =-，即0M ∈； 当0m ≠时，140,m ?=+≥即14
m ≥-
，且0m ≠ ∴14
m ≥-
，
∴1|4U C M m m ??=<-
???
?
而对于N ，140,n ?=-≥即14
n ≤
，∴1|4N n n ?
?=≤
???
?
. ∴1()|4U C M N x x ?
?=<-
???
?
变式训练1.已知集合A=6
|
1,R ,1x x x ?
?
≥∈??+??
B={}
2|20,x x x m --< （1）当m=3时，求()R A C B ?；
（2）若A B {}|14x x =-<<，求实数m 的值. 解： 由
61,1
x ≥+得
50.1
x x -≤+∴-1＜x≤5,∴A={}
|15x x -<≤.
（1）当m=3时，B={}|13x x -<<，则R C B ={}|13x x x ≤-≥或， ∴()R A C B ?={}|35x x ≤≤.
(2)∵A={}{}|15,|14,x x A B x x -<≤=-<< ∴有42-2×4-m=0,解得m=8. 此时B={}|24x x -<<,符合题意，故实数m 的值为8. 例2. 已知{|3}A x a x a =≤≤+,{|1B x x =<-或5}x >. (1)若A B =? ,求a 的取值范围;
(2) 若A B B = ,求a 的取值范围. 解:(1)A B =? , ∴135
a a ≥-??
+≤?，解之得12a -≤≤.
(2) A B B = , ∴A B ?. ∴31a +<-或5a >， 4a <-或5a >
∴若A B =? ,则a 的取值范围是[1,2]-；若A B B ?=,则a 的取值范围是(,4)(5,)-∞-?+∞. 变式训练2：设集合A={}2|320,x x x -+=B {}22|2(1)(5)0.x x a x a =+++-= （1）若A B {}2,=求实数a 的值； （2）若A B=A ，求实数a 的取值范围；
（3）若U=R ，A （U C B ）=A.求实数a 的取值范围. 解:由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A={}1,2. （1）∵A B {}2,=∴2∈B ，代入B 中的方程， 得a 2+4a+3=0,∴a=-1或a=-3;
当a=-1时，B={}{}2|402,2,x x -==-满足条件； 当a=-3时，B={}{}2|4402,x x x -+==满足条件； 综上，a 的值为-1或-3.
（2）对于集合B ，
?
=4（a+1）2-4(a 2
-5)=8(a+3). ∵A B=A ，∴B ?A,
①当?＜0,即a ＜-3时，B=?，满足条件；
②当?=0，即a=-3时，B {}2,=，满足条件；
③当?＞0，即a ＞-3时，B=A={}1,2.才能满足条件， 则由根与系数的关系得
2
122(1)125a a +=-+???=-?即25,27
a a ?
=-
???=?
矛盾； 综上，a 的取值范围是a≤-3.
（3）∵A （U C B ）=A ，∴A ?U C B ，∴A ;B =? ①若B=?，则?＜03-
②若B≠?，则a=-3时，B={}2，A B={}2，不合题意；
a ＞-3，此时需1?B 且2?B ，将2代入B 的方程得a=-1或a=-3（舍去）； 将1代入B 的方程得a 2
+2a-2=01a ?=-± ∴a≠-1且a≠-3且a≠
-1
综上，a 的取值范围是a ＜-3或-3＜a ＜
a ＜-1或-1＜a ＜
或a ＞
. 例3. 已知集合A={}2|(2)10,R ,x x a x x +++=∈B {}R |0x x =∈>，试问是否存在实数a ，使得A B ？?= 若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 解:方法一 假设存在实数a 满足条件A B=?则有
（1）当A≠?时，由A B=?，B {}R |0x x =∈>，知集合A 中的元素为非正数， 设方程x 2+(2+a)x+1=0的两根为x 1,x 2,则由根与系数的关系，得
???
??>=≥<+-=+≥-+=?01;0,0)2(04)2(2
1212x x a a x x a 解得
（2）当A=?时，则有?=(2+a)2-4＜0，解得-4＜a ＜0.
综上（1）、（2），知存在满足条件A B=?的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.
方法二 假设存在实数a 满足条件A B≠?，则方程x 2
+(2+a)x+1=0的两实数根x 1，x 2至少有一个为正， 因为x 1·x 2=1＞0，所以两根x 1,x 2均为正数.
则由根与系数的关系，得212(2)40
,(2)0
a x x a ??=+-≥?+=-+>?解得04, 4.2a a a a ≥≤-?≤-?
<-?或即
又∵集合{}|4a a ≤-的补集为{}|4,a a >-
∴存在满足条件A B=?的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.
变式训练3.设集合A={（x,y ）|y=2x-1,x∈N*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,x∈N*}，问是否存在非零整数a,使A∩B≠?？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由. 解：假设A∩B≠?，则方程组
2
21
y x y ax ax a
=-??=-+?有正整数解，消去y,得ax2-(a+2)x+a+1=0. 由Δ≥0，有（a+2）2-4a(a+1)≥0,解得
3
3
a ≤≤
因a 为非零整数，∴a=±1，
当a=-1时，代入（*）， 解得x=0或x=-1, 而x∈N*.故a≠-1.当a=1时，代入（*）,
解得x=1或x=2，符合题意.故存在a=1,使得A∩B≠?,
此时A∩B={（1，1），（2，3）}.
例4. 已知A ＝{x ｜x2－2ax ＋(4a －3)＝0，x∈R}，又B ＝{x ｜x2－
＋a2＋a ＋2＝0，x∈R}，是否存在实数a ，使得A B ＝??若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由． 解：1 变式训练4.设集合A 为函数2ln(28)y x x =--+的定义域,集合B 为函数11 y x x =++的值域,集合C 为 不等式1()(4)0ax x a - +≤的解集.（1）求A B ；（2）若R C C A ?,求a 的取值范围． 解：（1）解得A=（-4，2）， B=(][),31,-∞-+∞ 。 所以(][)4,31,2A B =-- （2）a 的范围为2 a -≤<0 1．在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解题目中符号语言的含义，善于转化为文字语言． 2．集合的运算可以用韦恩图帮助思考，实数集合的交、并运算可在数轴上表示，注意在运算中运用数形结合思想． 3．对于给出集合是否为空集，集合中的元素个数是否确定，都是常见的讨论点，解题时要有分类讨论的意识. 集合单元测试题 一、选择题 1．设全集U=R ，A={x ∈N︱1≤x ≤10}，B={ x ∈R︱x 2 + x －6=0}，则下图中阴影表示的集合为（ ） A ．{2} B ．{3} C ．{－3，2} D ．{－2，3} 2．当x ∈R ，下列四个集合中是空集的是（ ） A. {x|x 2 -3x+2=0} B. {x|x 2 ＜x} C. {x|x 2-2x+3=0} C. {x|sinx+cosx= 65 } 3．设集合{}25, log (3)A a =+，集合{, }B a b =，若{2}A B = , 则A B 等于（ ） A.{}1,2,5 B.{}1,2,5- C.{}2,5,7 D.{}7,2,5- 4．设集合{ |A y y == ，{ |B x y == ，则下列关系中正确的是（ ） A ．A B = B ．A B ? C ．B A ? D ．[1,)A B ?=+∞ 5．设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为M-P={x|x ∈M 且x ?p},则M-（M-P ）等于（ ） A. P B. M P C. M P D. M 6．已知{} {}2 230,A x x x B x x a =--<=<, 若A ?/B , 则实数a 的取值范围是( ) A. (1,)-+∞ B. [3,)+∞ C. (3,)+∞ D. (,3]-∞ 7.集合M ＝{x ｜x ＝sin 3 πn ，n ∈Z}，N ＝{ x ｜x ＝cos 2 πn ，n ∈Z }，M∩N＝ （ ） A ．}{1,0,1- B ．}{0,1 C ．{0} D ．? 8.已知集合M ＝{x ｜Z k k x ∈+= ,412}，N ＝{x │Z k k x ∈+ = ,2 14 }，则 （ ） A ．M ＝N B ．M N C ．M N D ．M ?N ＝φ 9． 设全集∪＝{x ｜1≤x <9，x ∈N}，则满足{}{}1,3,5,7,81,3,5,7U C B ?=的所有集合B 的个数有 （ ） A ．1个 B ．4个 C ．5个 D ．8个 10．已知集合M ＝{(x ，y )︱y ＝ 2 9x -}，N ＝{(x ，y )︱y ＝x ＋b }，且M∩N＝?，则实数b 应满足的条件 是 （ ） A ．︱b ︱≥23 B ．0＜b ＜2 C ．－3≤b ≤23 D ．b ＞23或b ＜－3 二、填空题 11．设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ?，则实数k 的取值范围是 . 12．设全集U=R ，A=(2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-， 则右图中阴影部分表示的集合为 . 13．已知集合A={}4,3,2,1，那么A 的真子集的个数是 . 14．若集合?? ?? ? ?????∈-??? ??==R x ,121y |y S x ，{}1x ),1x (log y |y T 2->+==，则T S 等于 . 15．满足{} 0,1,2{0,1,2,3,4,5}A ?的集合A 的个数是_______个. 16．已知集合1{| 3}2 P x x =≤≤，函数2 2()log (22)f x ax x =-+的定义域为Q. （1）若12[,),(2,3]23 P Q P Q ==- ，则实数a 的值为 ； （2）若P Q φ= ，则实数a 的取值范围为 . 三、解答题 17．已知函数()f x =A,函数22()lg[(21)]g x x a x a a =-+++的定义域集合是B （1）求集合A 、B （2）若A B=B,求实数a 的取值范围． 18．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=； 若φ=B A C U )(，求m 的值. 19．设集合}4232/1{≤≤=-x x A ，{} 012322<--+-=m m mx x x B . (1)当Z x ∈时，求A 的非空真子集的个数； (2)若B=φ，求m 的取值范围； (3)若B A ?，求m 的取值范围. 20. 对于函数f(x)，若f(x)＝x ，则称x 为f(x)的“不动点”，若x x f f =))((，则称x 为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即x x f x A ==)(|{}，} )]([| {x x f f x B ==. (1) 求证：A ?B (2) 若2 ()1(,)f x ax a R x R =-∈∈，且A B =≠φ，求实数a 的取值范围. 单元测试参考答案 一、选择题 1．答案：A 2．答案：C 3．答案：A 4．提示：{|0}A y y =≥，{|11}B x x x =≥≤-或.答案： D 5．答案：B 6．答案：B 7. 由3 πn 与 2 πn 的终边位置知M ＝{2 3- ，0， 2 3}，N ＝{－1，0，1}，故选C. 8.C 9.D 10.D 11．提示:2121k k -<+, ∴B ≠?,答案：112 k -≤≤ 12．答案：(0,2),(,1)A B ==-∞，图中阴影部分表示的集合为[1,2)U A B = e, 13．答案：15 14. 答案：{|1}y y ≥- 15. 答案：7 16. 答案：32 a =- ；(,4]a ∈-∞- 17. 解：（1）A ＝{}|12x x x ≤->或………… B ＝{}|1x x a x a <>+或…………… （2）由A B ＝B 得A ?B ，因此112 a a >-?? +≤?…………… 所以11a -<≤,所以实数ａ的取值范围是(]1,1-…………… 18. 解：{}2,1A =--，由(),U C A B B A φ=? 得， 当1m =时，{}1B =-，符合B A ?； 当1m ≠时，{}1,B m =--，而B A ?，∴2m -=-，即2m = ∴1m =或2. 19. 解：化简集合A={}52≤≤-x x ，集合B 可写为{}0)12)(1(<--+-=m x m x x B (1){}5,4,3,2,1,0,1,2,--=∴∈A Z x ,即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为 254228 =-（个）. (1)显然只有当m-1=2m+1即m=--2时，B=φ. (2)当B=φ即m=-2时，A B ?=φ； 当B φ≠即2-≠m 时 （ⅰ）当m<-2 时，B=(2m-1,m+1),要A B ? 只要?? ?≤≤- ?≤--≥+62 35 1212m m m ，所以m 的值不存在； （ⅱ）当m>-2 时,B=（m-1,2m+1）,要A B ? 只要?? ?≤≤-?≤+-≥-215 1221m m m . 综合，知m 的取值范围是：m=-2或.21≤≤-m 20.证明(1).若A ＝?，则A ?B 显然成立； 若A≠?，设t∈A，则f(t)＝t ，f(f(t))＝f(t)＝t ，即t∈B，从而 A ?B. 解 (2)：A 中元素是方程f(x)＝x 即x ax =-12 的实根. 由 A≠? ，知 a ＝0 或 ?? ?≥+=?≠0 410a a 即 4 1- ≥a B 中元素是方程 x ax a =--1)1(2 2 即 0122 243=-+--a x x a x a 的实根 由A ?B ，知上方程左边含有一个因式1 2 --x ax ，即方程可化为0 )1)(1(2 22 =+-+--a ax x a x ax 因此，要A ＝B ，即要方程 12 2 =+-+a ax x a ① 要么没有实根，要么实根是方程0 12 =--x ax ②的根. 若①没有实根，则0 )1(42 2 2 <--=?a a a ，由此解得 4 3< a 若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 a ax x a +=2 2 ，代入①有 2ax ＋1＝0. 由此解得a x 21- =，再代入②得 , 012141=-+a a 由此解得 4 3= a . 故 a 的取值范围是 ] 43,41[-
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