第一章：集合与命题基本题型
1.集合及其表示
（1）集合中元素的性质
例1、下列叙述语句能够构成集合的是（ ）
A.近似等于0的实数
B.我校全面发展的同学
C.所有相当大的正实数
D.方程0322
=++x x 的实数解
例2、判断下列各组对象能否构成集合：
（1）满足2>x 且0 （2）数轴上“离原点较近的点”不能构成集合；而“离原点距离等于2的点”能构成集合； （3）实数集R 可表示为{实数集}. 例4、数集},2{2 a a a -中a 的取值范围（R a ∈）是_________________________. （2）集合的表示法 例5、用列举法表示下列集合： （1）{} * (,)5,,x y x y x N y N +=∈∈ （2）{|(1),}n x x n N =-∈ 例6、用描述法表示下列集合： （1）小于500但不小于50的偶数 （2）{1,5,25,125,625,3125} （3）集合{2,6,12,20,30} 例7、用适当的方法表示下列集合： （1）由所有小于20的既是奇数又是质数的数组成的集合 （2）由所有正奇数组成的集合 （3）方程2 10x x -+=的实数解组成的集合 （4）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合 例8、请判别下列集合的异同： （1）2{|56}x y x x =-+表示_____________________________； （2）2{|56}y y x x =-+表示______________________________； （3）2{(,)|56}x y y x x =-+表示_______________________________________； （4）2{(,0)|56}x y x x =-+表示________________________________________； （5）2 {|560}x x x -+=表示________________________________. 例9、集合{(,)|0,}x y y x R ≥∈表示___________________________________________； 集合{(,)|0,,}x y xy x R y R ≥∈∈表示__________________________________________. 例10、设{}0,1,2A =，（1）若集合{}A x x B ∈=，{} A x x C ?=，试用列举法表示集合 B 与集合 C ；（2）记M A ?，设M 中各元素之和为M N ，求各M N 的和. （3）判断元素与集合的关系 例11、（1）0_____{0}；（2）0_____?；（3）π_____R C Q ；（4）e_____Q. 例12、如果1 x= y=3+23-52 π，，集合{} M=m m=a+b 2a b Q ∈，，，那么x ，y 与集合M 的关系为x_____M ，y______M. 例13、{}{}{} A x x 2k k Z B x 2k 1,k Z C x 4k 1,k Z x x ==∈==+∈==+∈，，，，又a A b B ∈ ∈，，则必有（ ） A a b A B a b B C a b C D a b A B C +∈+∈+∈+?、、、、、、中任一个 例14、设集合{|2,,}M x x m n m n Z ==+∈ （1）若t Z ∈，试判断t 是否是集合M 的元素？ （2）若12,x x M ∈，试判断12x x +及12x x 是否属于集合M 。如果属于，请给出证明；若不属于，请给出反例. （4）方程的根集与方程中所包含的函数中参数的关系 例15、已知函数2 ()342f x x x =-+，集合{|()}A x f x x ==，则A =_________. 例16、已知二次函数2 ax bx c ++，集合{|()}A x f x x == （1）当{2}A =时，______a c =； （2）当{1,2}A =时，______a c =. 例17、已知集合2 {|(1)0}A x k x x k =++-=只有一个元素，求实数k 的值. 例18、求满足下列条件的非空集合M 中所有元素之和. （1）2 {|20,}M x x x m x R =-+=∈ （2）2 {|(2)(2)0,}M x x x x m x R =--+=∈ （5） x =1x ±，若干个x x 累加便可以有不同的数值，这些数值便构成不同的集合 ,a b a b + （2）若,,a b c 为非零实数，则代数式为 |||||| a b c a b c ++ 的所有值组成的集合是________. 【习题】 1、已知集合{,,}S a b c =中的三个元素是ABC ?的三边长，那么ABC ?一定不是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 2、由实数,,||x x x -所组成的集合，其元素有________个. 3、用适当的方法表示下列集合，然后说出它是有限集还是无限集. （1）所有小于10的合数所组成的集合； （2）两直线21y x =+和2y x =-的交点组成的集合； （3）所有被3除余1的数所组成的集合； （4）直角坐标系中第一、三象限及第二、四象限的点的坐标所组成的集合是___________________________. 4、用列举法表示集合6 {|,}3A x Z x Z x =∈∈-. 5、设集合{|3,}{|3+1,}{|31,}A x x m m Z B x x m m Z C x x m m Z ==∈==∈==-∈，，，且a A ∈， b B c C ∈∈，，设 d a b c =+-，则有（ ） A.d A ∈ B.d B ∈ C.d C ∈ D.d A B ∈ 6、已知集合22 {2,(1),33}A a a a =+++，且1A ∈，求实数a 的值. 7、已知{}0)1(2=+++=q x p x x A ，{} 02 =--=q px x x B ，当{}2-=A 时，求B . 8、若,,,a b c d 为非零实数，则代数式为|||||||| a b c d a b c d +++ 的所有值组成的集合是__________. 2.集合之间的关系 （1）判断集合与集合之间的关系 例20、非空集合A B C 、、满足关系A B B =，B C B =，则A 与C 的关系是（ ） （A ）A C = （B ）A C ? （C ）A C ? （D ）A C ?≠ 例21、设集合M =},412|{Z k k x x ∈-= ，N =},2 1 4|{Z k k x x ∈+=，则（ ） A.M=N B.M ?≠ N C.M ?≠N D.M N=? 例22、已知集合2{|1,}A x x n n N *==+∈，2{|45,}B x x m m m N *==-+∈，则A 与B 的关系是_____. 例23、确定下列两个集合关系： （1）{|21,}A x x k k Z ==+∈，{|21,}B x x m m Z ==-∈ （2）{|21,}A x x k k N *==+∈，{|21,}B x x m m N *==-∈ （3）{|2,}{|A m m k k N B m m *==∈=，为4的正整数倍数} （4）{|21,}{|41,}A x x n n Z B x x k k Z ==+∈==±∈， 例24、已知{0,1}{|}A B x x A ==?，，用列举法表示集合B ，并写出集合A 与B 的关系. 例25、设集合{|2,}{|610,,}A x x n n Z B x x m p m p Z ==∈==+∈，，则A 与B 的关系是_______. 例26、已知集合{|()0}A x f x x x R =-=∈，与集合{|[()]0}B x f f x x x R =-=∈，，其中()f x 是一个二次项系数为1的二次函数. （1）判断A 与B 的关系；（2）若A 是单元素集合，求证：A B =. （2）求子集个数的问题 例27、集合{1, 2, 3, 4}的非空真子集的个数是 个. 例28、写出满足{}{}1,21,2,3,4,5M ??≠ 的集合M 的个数. 例29、{1,2,3,4}A =，{1,2}B =，则满足A C B C =的集合C 有____个. （3）根据集合间的关系求字母的值或取值范围 例30、已知集合{}12,3,1--=m A ，集合{} 2,3m B =，若A B ?，则实数=m . 例31、①{}00,1? ≠ ，②{}1,00∈，③{}0?∈，④{}0??≠，⑤{}{}1,00?，⑥{}{}00?，其中正确的是 （ ） （A ）①②④⑤ （B ）②③④⑤ （C ）②④⑤ （D ）②④⑤⑥ 例32、已知{|5}{|}A x x x R B x x a x R =≤∈=≤∈，，， （1）若A B =，则实数a =______； （2）若A B ?，则实数a 的取值范围是__________； （3）若A B ?≠ ，则实数a 的取值范围是__________. 例33、设集合{} 06x x x A 2=-+=，{} 01=-=mx x B ，则满足B A 的实数m 的一切值为 ___ . 例34、已知x R y R + ∈∈，，集合2{1,,1}{,1,}2 y A x x x x B y y =++---=-+-，，若A B =，求,x y 的 值. 例35、设集合{} 0232=+-=x x x A ，{} 012 =-+-=a ax x x B ，若A B ?，求a 的值及集合B . 例36、若22{|42}{|320,}A x x B x x ax a x R =-<<=-+=∈，，且B A ?，求实数a 组成的集合C . 例37、已知集合{1,4,}A a =，集合2{|20}B x x ax b =-+=，若,B A B ?≠?，求,a b 的值. 例38、设函数2()(,)f x x px q p q R =++∈，{|(),}A x x f x x R ==∈，{|[()],}B x f f x x x R ==∈. （1）证明：A B ?；（2）当{1,3}A =-时，求B . 【习题】 1、 指出下列各集合之间的关系： （1）2 2 {|210}{|10}A x x x B x x =-+==-=， （2）{1,2,4,8}{|A B x x ==，是8的正约数} 2、设集合12 {|,}{|,}{|,}333 n A x x n Z B x x n n Z C x x n n Z ==∈==±∈==±∈，，，则下列结论中正确的是（ ） A.B C ≠ B. A B ?≠ C.A B C ?=≠ D. A C ?≠ 3、n 元(3)n ≥集合123{,,,,}n A a a a a =的子集中，含有元素1a 的子集有_______个，同时含有元素1a 和 2a 的子集有_______个. 4、已知集合},023{2 R a x ax x A ∈=+-=。（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个 元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围？ 5、设集合2{|10}A x x =-=，集合2{|0}B x x ax b x R =-+=∈，，且B ≠?. （1）若A B ?，求实数a b 、的值； （2）若A C ?，且2{1,21,}C m m =-+，求实数m 的值. 6、当集合S N * ?，且满足命题“如果x S ∈，则8x S -∈”时，回答下列问题： （1）试写出只有一个元素的集合S ； （2）试写出元素个数为2的S 的全部情况； （3）满足上述条件的集合S 总共有多少个？ 7、已知集合{|128,}{|2016,}A x x a b a b Z B y y c d c d Z ==+∈==+∈，，，，试判断集合A 与B 的关系，并证明你的结论. 8、已知集合{|015}A x ax =<+≤，集合1 {|2}2 B x x =-<≤. （1）若A B ?，求实数a 的取值范围；（2）若B A ?，求实数a 的取值范围；（3）A B 、能否相等？若能，求出a 的值，若不能，说明理由. 3.集合的运算 （1）直接求交、并、补集 例39、根据下列给出的集合A 与B ，分别求A B ： （1）2{(,)}A x y y x x R ==∈，，2{(,)|4}B x y y x x R ==-∈，； （2）2{}A y y x x R ==∈，，2{|4}B y y x x R ==-∈，； （3）2{}A x y x x R ==∈，，2{|4}B y y x x R ==-∈，； （4）2{}A y y x x Z ==∈，，2{|4}B y y x x Z ==-∈，. 例40、已知集合},2|{}2,1,0{M a a x x N M ∈===，，则集合N M ?=（ ） A ．{0} B ．{0，1} C ．{1，2} D ．{0，2} 例41、设集合{}1,2,3,4,5,6A =，{} 26B x R x =∈≤≤，那么下列结论正确的是（ ） A. A B A = B. A B B ?≠ C. A B B = D. A B A ?≠ 例42、设集合U={0,1,2,3,4,5}，集合M={0,3,5}，N={1,4,5}，则N C U ∩M=（ ） A ．{5} B ．{0，3} C ．{0，2，3，5} D ．{0，1，3，4，5} 例43、已知集合U ＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，A ＝{3, 4, 5}，B ＝{1, 3, 6}，那么集合{2, 7, 8}是（ ） A ．A ∩B B ．A ∪B C ．B C A C U U D ．B C A C U U 例 44、已知 2 2{(,)| 1},{(,)|0},{(0,0) y A x y B x y x y C x ===-==-，那么()A B C =_____________. 例45、设集合{1,2},{2,3},{|},{|},______A B P x x A Q x x B P Q ??=====≠≠ 则. 例46、设集合2 {|[]2}A x x x =-=和{|||2}B x x =<，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，求A B . （2）已知交、并、补集，求字母值或范围，或求未知的集合及元素个数 例47、若A ＝{2, 4, a 3－2a 2－a ＋7}，B ＝{－4, a ＋3, a 2－2a ＋2, a 3＋a 2＋3a ＋7}，且A ∩B ＝{2, 5}，求实数a 的值，并求出A ∪B . 例48、已知集合{}1,2A a =-，集合{} 1,1B a =--，且A B ?=?，求实数a 的取值范围. 例49、设集合{1,2}A =，则满足{1,2,3}A B =的集合B 个数是（ ） A.1 B.3 C.4 D.8 例50、已知{} 01)2(2=+++=x m x x A ，且?=?+ R A ，求实数m 的取值范围. 例51、设全集{U =不超过5的正整数}，集合2 2{|50}{|120}A x x x q B x x px =-+==++=，，若集 合A B 、是非空集合，且}5,4,3,1{)(=B A C U ，求实数p 和q 的值. 例52、已知集合P 满足{}{}46,4P = ，{}{}1010,8P = ，{}{}212,2P = ，{}12,10,8,6,4,2P ?，则=P . 例53、 已知{} 0122 =++=px x x A ，{} 052=+-=q x x x B ，若{}2=?B A C R ，则q p +的值是什 么？ 例54、已知22 2 {|(23)30}{|( 3)30}A x x a x a B x x a x a a =+-- == +-+-=，，若A B ≠且 A B ≠?，试用列举法表示集合A B . 例55、 已知关于x 的三个方程22224430(1)0220x ax a x a x a x ax a +-+=+-+=+-=，，中至少有一个方程有实根，求a 的取值范围. 例56、设集合{|14}A x x x =<>或，2 {|220}B x x ax a =-++=，若A B =?，求实数a 的取值范 围. （3）数形结合：借助于数轴或文氏图或坐标系内的图像解题 例57、设U 为全集，用集合,,A B C 的交、并、补的符号表示图中的阴影部分. （1）__________________________（2）__________________________（3）__________________________ 例58、已知集合{|211}A x x x =-<<->或，{|}{|2}B x a x b A B x x =≤≤=>-，，{|1A B x =< 3}x ≤，求实数a b 、的值。 例59、已知{|0}{|1}A x x a B x bx =+>=<，，其中,a b 均为实数，且0b ≠。 （1）若{|34}A B x x =<<，求,a b 的值； （2）若1 {|,}A B x x R x b =∈≠，求a b 、之间的关系. 例 60、已知全集{,,,,,,,}U a b c d e f g h =， A B 、都是它的子集，并且 (){,} { ,,}U U U C A B d f C B A c e g C A B a h ===，，，求A B 、. 例61、已知3 {(,)| 1,,},{(,)|2,,}2 y A x y x y R B x y y a x x y R x -==∈==+∈-，且A B =?，则 ______a =. 例62、某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜 爱篮球运动不喜欢乒乓球运动的人数为________. 例63、设集合{|2}A x x a =-≤≤不是空集，2{|23,}{|,} B y y x x A C z z x x A ==+∈==∈，，且B C C =，求实数a 的取值范围. （4）集合中元素的产生是连锁的 ①1, 1a a a -+是函数1()1x f x x -=+以2为周期的循环列；1,1a a a +-是函数1 ()1x f x x +=-以2为周期的循环列； ②11,,1a a a a --是函数1()1f x x =-以3为周期的循环列；11,,1a a a a +--+是函数()1 x f x x =-+以3为周期的循环列； 111a a +-()1x +111a a -+1 x - 以4为周期的循环列. 依据这些循环列来出题。 例64、已知集合A 满足条件：若,1a A a ∈≠，则 1 1A a ∈-. （1）若2A ∈，则集合A 中是否还有其它元素？若没有，说明理由；若有，求出集合A 中的所有元素； （2）集合A 是否有可能是只有一个真子集的集合？如果可能，求出集合A ；如果不能，说明理由. （5）探索存在性的能力型问题 例65、设{|||1}{|31}U R A x x B x x ==>=-<<-，，，试判断是否存在集合C ，同时满足下列三个条件：（1）()U C C A B Z ?； （2）C B ≠?；（3）C 有两个元素. （6）新定义的概念，在这概念下出题 例66、已知数集A 及定义在该数集上的某个运算（记为“*”）。如果对一切,a A b A ∈∈，都有a b A *∈，那么就说集合A 对运算“*”是封闭的. （1）设{|2,,}A x x p q p q Z ==+∈，判断A 对通常的数的乘法是否封闭？ （2）设{|2,,,0}B x x p q p q Z q ==+∈≠，问B 对通常的数的乘法是否封闭？ 例67、定义集合运算：{|(),,}A B z z xy x y x A y B ==+∈∈，设集合{0,1}{2,3}A B ==，，则集合 A B 的所有元素之和为（ ） A.0 B.6 C.12 D.18 （2009年北京文科）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -?且1k A +?，那么k 是A 的一个“孤立元”。给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立 元”的集合共有 个. 例69、对集合A B 、，定义A 和B 的差集为U A B A C B -=，而A B 、的对称差记为 ()()A B A B B A δ=--，若22{|(1)1,03}{|1,13}A y y x x B y y x x ==-+≤≤==+≤≤，， 求A B 、的“对称差”A B δ. 例70、已知集合{|110,}M x x x N =≤≤∈，对它的非空子集A ，可将A 中每个元素k 都乘以(1)k -，再 求和（如{1,3,6}A =，可求得和为3 6 (1)1(1)3(1)62-?+-?+-?=），则对M 的所有非空子集，这些和的总和是________. 例71、（1）设全集{1,2,3,,9}U =，A 与B 是U 的子集，若{1,2,3}A B =，则称(,)A B 为优集，那 么所有的优集有_______个. 例72、设12{,, ,}(,2)n A a a a M n N n *=?∈≥，若1212n n a a a a a a ++ +=， 则称集合A 为集合M 的n 元“好集”. （1）写出实数集R 上的一个二元“好集”； （2）是否存在正整数集N * 的二元“好集”？说明理由； （3）求出正整数集N * 的所有三元“好集”. 【习题】 1、已知集合{|A x x =是锐角三角形}，集合{|B x x =是钝角三角形}，则A B =________________， A B =_________________. 2、已知集合{|3}A x x n n N ==∈，，集合{|6}B x x n n N ==∈，，A B =______，A B =______. 3、已知集合{|1}A x x =≤，集合{|}B x x p =>，若A B =?，则p 的取值范围是___________. 4、设集合M ＝{x | f (x )＝0}，N ＝{x | g (x )＝0}，那么方程f (x )·g (x )＝0的解是（ ） A ．M ∪N B ．M ∩N C ．N D ．M 5、已知全集U N =，集合{|2,}A x x n n N ==∈，{|4,}B x x n n N ==∈，则（ ） A.U A B = B. U U C A B = C. U U A C B = D. U U U C A C B = 6、下列结论中，正确的是（ ） A.若A B ?，则A B B = B.若A C B C =，则A B = C.若A B ?≠，则U A C B =? D.若U A C B U =，则A B ?≠ 7、设集合{|51}{|6}A x x k k N B x x x Q ==+∈=≤∈，，，，则A B =（ ） A.{1,4} B.{1,6} C.{4,6} D.{1,4,6} 8、已知集合{0,1,2,3,4,5}S A S =?，，当x A ∈时，若有1x A -?且1x A +?，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 的四元子集中无“孤立元素”的子集个数是______. 9、设A 和B 是两个非空集合，定义A 和B 的差集为{|,}A B x x A x B -=∈?且，如果 {|12004}{|22005}A x x x N B y y y N **=≤≤∈=≤≤∈，，，，那么____________B A -=. 10、定义集合A B 、的运算A B *为||A B x x A *=∈且}x B ?，试写出含有集合运算符合 *“”、“”、“”，并对任意集合A 和B 都成立的一个等式____________________. 11、在100个学生中，有乒乓球爱好者60人，排球爱好者65人，则两者都爱好的人数最少多少人？最多多少人？ 12、已知集合{}3,22,222+-++=a a a a A ，{} 73,4,3,122+--+-=a a a a a B ，且{}5,2=?B A ，求满足条件的实数a 的值. 13、任意两个正整数m n 、，定义某种运算(m n m n m n m n m n +???=???与奇偶相同) ：(与奇偶不同)，则集合 {(,)|6,}M m n m n m n N *=?=∈，中的元素个数是________. 14、已知集合2 2 {|(3)2(1)0,}{|2(31)20,}A x x m x m m R B x x n x n R =-+++=∈=+++=∈，， （1）若A B A =，求m n 、的值；（2）若A B A =，求m n 、的值. 4.命题的形式与等价关系 （1）真假命题与推出关系的判断 例73、下列语句哪些不是命题，哪些是命题，如果是命题判断真假： （1）个位数是5的自然数能被5整除； （2）凡直角三角形都相似； （3）上课请不要说话； （4）互为补角的两个角不相等； （5）你是高二学生吗? （6）012>+x . 例74、判断以下命题的真假，并说明理由： （2）“若1a ≠或2b ≠，则22 2450a b a b +--+≠”的否命题； （3）“对角互补的四边形外接于一个圆”； （4）“全等三角形两边和其中一边的对角对应相等”的逆命题； （5）若5x y +≤，则2x ≤或3y ≤. 【注】复合命题真假性的判断： “或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”； “且命题”的真假特点是“一假即真，要真全真”. 例75、下列命题中，真命题是______________ （1）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）对角线相等的四边形是矩形； （3）对角线互相平分且垂直的四边形是菱形； （4）对角线互相平分且相等的四边形是菱形. 例76、如果 12O O 、的半径分别为4、5，下列命题中真命题是______________. （1）当121O O =时，12O O 与内切； （2）当125O O =时，12O O 与有两个公共点； （3）当126O O >时，12O O 与必有公共点； （4）当121O O >时， 12O O 与至少有两条公切线. （2）四种命题形式 例77、写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假： （1）两直线平行，同位角相等； （2）全等三角形一定相似. 例78、命题“若ABC ?不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是___________________________________________________. （3）等价命题 例79、命题“与已知直线距离不相等的两点的连线不平行于该直线”的等价命题是_____________________. 例80、设x 表示命题“若A 则B ”。试问下列命题中哪些是彼此等价的？ （3）x 的否命题的逆否命题； （4）x 的逆否命题的逆否命题； （5）x 的逆命题的逆否命题的否命题； （6）x 的否命题的逆命题的否命题. （4）否命题及命题的否定 例81、写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并判断其真假： （1）若2222 0m n a b +++=，则实数,,,m n a b 全为零； （2）,a b N *∈，若ab 可被5整除，则,a b 中至少有一个能被5整除； （3）若2 20x x --≠，则1x ≠-且2x ≠. 【注】复合命题的否定：“P 且Q ”的否定是“P 或Q ”；“P 或Q ”的否定是“P 且Q ”. （5）证明真命题 例82、判断命题“两个奇数的平方差是8的倍数”的真假，并给出证明. 例83、判断命题“如果方程2 210ax x ++=至少有一个负实根，则1a ≤”的真假. 例84、已知a 与b 均为正有理数，且a 与b 都是无理数，证明a +b 也是无理数. 例85、证明：当q 为实数时，方程240x x q -+=与22350x x q ++-=至少有一个有实数根. 例86、四边形ABCD 中，E F 、分别是AD BC 、的中点，且1 ()2 EF AB CD =+，求证：//AB CD . 【习题】 1、下列命题中为真命题的是（ ） A.命题“若x y >，则||x y >”的逆命题 B.命题“若1x >，则2 1x >”的否命题 C.命题“若1x =，则220x x +-=”的否命题 D.命题“若2 0x >，则1x >”的逆否命题 2、下列命题中，真命题的个数是（ ） （1）面积相等的两个三角形全等； （2）在实数集内，负数不能开平方； （3）如果22 0(,)m n m n R +≠∈，那么0mn ≠；（4）一元二次不等式都可化为一元一次不等式组求解 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3、命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（ ） A.所有不能被2整除的整数都是偶数 B.所有能被2整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的整数是偶数 D.存在一个能被2整除的整数不是偶数 4、如果命题“非p 或非q ”是假命题. 给出下列四个结论：（1）命题“p 且q ”是真命题；（2）命题“p 且q ”是假命题；（3）命题“p 或q ”是真命题；（4）命题“p 或q ”是假命题。 其中正确的结论为（ ） A.（1）、（3） B.（2）、（4） C.（2）、（3） D.（1）、（4） 5、给出下列命题： （1）若0k >，则方程2 20x x k +-=有实数根； （2）若8x y +≠，则2x ≠或6y ≠； （3）“矩形的对角线相等”的逆命题； （4）“若0xy =，则,x y 中至少有一个为0”的否命题. 其中真命题的序号是____________. 6、试写出命题“两个有理数的和是有理数”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假. 5.充分条件与必要条件 （1）判断命题是命题的什么条件？ 例87、判断命题α是β的什么条件？ （1）x A B α∈：，x B β∈： （2）x A B α∈：，x A β∈： （3）A α=?：，A B B β=： （4）A B α?≠：，A B A β=： （5）111a a αβ<>：，：； （6）01x x αβ≤<：，：； （7）A B A A B B αβ?=?=：，：； （8）22 x y x y αβ>>：，：； （9）1212120,00,0x x x x x x αβ>>+>?>：，：； （10）231x y x y αβ-≠≠≠：，：或. 例88、如果A 是B 的充分不必要条件，B 是C 的充要条件，D 是C 的必要不充分条件，那么D 是A 的 条件. （2）写出或选出命题的某个条件是什么命题？ 例89、“三个数a b c 、、不全为零”的充要条件是（ ） A. a b c 、、都不是零 B. a b c 、、最多有一个是零 C. a b c 、、中只有一个是零 D. a b c 、、中至少有一个不是零 例90、设U 为全集，A B C 、、为集合U 的子集，且C ≠?，则A B ?≠ 的一个充分非必要条件是（ ） A.A B A = B.U U B A ?≠ 痧 C.()A B A ?≠ D. ()A C B ?≠ 例91、（1）实数b a ,均大于0的充要条件是 ； （2）实数,a b 均大于1的充要条件是_______ ； （3）1x >的充要条件是_________________________； （4）如果βγβα??,，那么γ是α的 条件. 例92、条件甲：方程2 ()(1)10f x x a x =+-+=在区间(0,2)上有两个根；条件乙：2 (1)40a ?=--≥，且(0)0,(2)0f f >>，那么乙是甲的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 集合·典型例题 能力素质 例用符号∈或填空1 ? 1________N ， 0________N ， －3________N ， 0.5N N ，；2 1________Z ， 0________Z ， －3________Z ， 0.5Z Z ，；2 1________Q ， 0________Q ， －3________Q ， 0.5Q Q ，；2 1________R ， 0________R ， －3________R ， 0.5R R ，；2 分析元素在集合内用符号∈，而元素不在集合内时用符号． ? 解∈， ∈，－，，； 1N 0N 3N 0.5N N ???2 1Z 0Z 3Z 0.5Z Z 1Q 0Q 3Q ∈， ∈，－∈，，；∈，∈，－∈，??2 0.5Q Q 1R 0R 3R 0.5R R ∈，； ∈，∈，－∈，∈，； 22?? 说明：要注意符号的规范书写． 例2 (1)用列举法表示不超过10的非负偶数的集合，并用另一种方法表示出来； (2)设集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N}，试用列举法表示集合A ； 分析 (1)中集合含的元素为0、2、4、6、8、10；(2)中集合所含的元素是点(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)． 解 (1){0，2，4，6，8，10｝；用描述法表示为{不超过10的非负偶数}，或|x|x ＝2n ，n ∈N ，n ＜6}． (2)A ＝{(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)}． 说明：注意(2)中集合A 的元素是点的坐标． 集合期末复习题12.26 姓名 班级________________ 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=-的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=}{ 12x x <<，B=}{ x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{ 2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{ 2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈， 且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={} 22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|20x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人， 化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 慧诚教育2017年秋季高中数学讲义 必修一第一章复习 知识点一集合的概念 1．集合 一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素 构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示． 3．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为?. 知识点二 集合与元素的关系 1．属于 如果a 是集合A 的元素，就说a ________集合A ，记作a ________A . 2．不属于 如果a 不是集合A 中的元素，就说a ________集合A ，记作a ________A . 知识点三 集合的特性及分类 1．集合元素的特性 ________、________、________. 2．集合的分类 (1)有限集：含有________元素的集合． (2)无限集：含有________元素的集合． 3．常用数集及符号表示 知识点四 1．列举法 把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 用集合所含元素的 ________表示集合的方法称为描述法． 知识点五 集合与集合的关系 1．子集与真子集 2.子集的性质 (1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________． (3)如果A?B，B?C，则________． (4)如果A?B，B?C，则________． 3．集合相等 4.集合相等的性质 如果A?B，B?A，则A＝B；反之，________________________. 知识点六集合的运算 1．交集 第一章 集合与命题 一．集合： 1． 概念及符号的使用.：集合、元素，属于，自然数集，整数集，有理数集，实数集， 有限集、无限集；空集，列举法、描述法、子集，包含（包含于），图示法，文氏图，真子集，真包含（真包含于），、交集，并集，全集，补集。 2． ∈?，的比较 ：元素与集合间关系用,∈?；集合与集合间关系用??，类； 4． 关于子集的等价关系：U A B A B A A B B A B U ??=?=?= C 5． 集合的运算性质： ① A B =B A ，A B =B A ② ()A B C =()A B C ， ()A B C =()A B C ③ ()U C A B =U U C A C B , ()U U U C A B C A C B = ④ A A A = A A A = A ?=? A A ?= 6．有限集的元素个数 有限集A 的元素的个数记为card( A)，规定 card(φ) =0. 基本公式： （1）设有限集合A, card(A)=n,则 (ⅰ)A 的子集个数为n 2； (ⅱ)A 的真子集个数为12-n ； (ⅲ)A 的非空子集个数为12-n ；(ⅳ)A 的非空真子集个数为22-n . （2）设有限集合A 、B 、C ，card(B)=m, card(A)=n ， m 选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2|20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A= }{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈，{}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U= {}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 集合与命题测试 姓名___________ 学号_________ 一．填空题(40分) 1.设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}b a b a b a +=，则b a -=______ 2.满足条件{1,2,3}?≠M ?≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是________ 3.设集合}3|{2x y y M -==，}12|{2-==x y y N ，则=?N M . 4.设全集U=R ，{}1≥=x x M ，{}50<≤=x x N ,R x ∈ , 则（C U M ）∪（C U N ）=__________ 5.设A={x 0152=+-∈px x Z },B={x 052=+-∈q x x Z },若A ?B={2,3,5},则=+q p ______ 6.集合A={R x x kx x ∈=+-,01682}中只有一个元素，则实数k 的值为_________ 7.已知集合A ＝{|}x x a <，B ＝{|12}x x <<，且R B C A R =?)(，则实数a 的取值范围是__________ 8.设P 和Q 是两个集合，定义集合Q P -={}Q x P x x ?∈且,|，如果??????<-=02x x x P ，{}12<-=x x Q ，R x ∈，那么Q P -等于_________ 9.如果不等式1<-a x 成立的充分不必要条件是21＜x ＜2 3，则实数a 的取值范围是_________ 10.下列5个命题，其中正确命题的序号为_________ ①a ∈A ?a ∈A ∪B ②A ?B ?A ∪B ＝B ③a ∈B ?a ∈A ∩B ④A ∪B ＝B ?A ∩B ＝A ⑤A ∪B ＝B ∪C ?A ＝C 二．选择题（20分） 11.设U 为全集，P 、Q 为非空集合，且P Q U .下面结论中不正确的是（ ） A.( U P )∪Q ＝U B.( U P )∩Q ＝? C.P ∪Q ＝Q D.P ∩(U Q )＝ ? 12.已知集合{}{}{}2,,21,,41,A x x k k Z B x x k k Z C x x k k Z ==∈==+∈==+∈又,a A b B ∈∈，则有（ ） A.()a b A +∈ B. ()a b B +∈ C. ()a b C +∈ D. (),,a b A B C +∈中任一个 13.“xy ＞0”是“|x ＋y |＝|x |＋|y |”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 集合 【知识清单】 1.性质：确定性、互易性、无序性. 2.元素和集合的关系：属于“∈”、不属于“?”. 3.集合和集合的关系：子集（包含于“?”）、真子集（真包含于“≠ ?”）. 4.集合子集个数=n 2；真子集个数=12-n . 5.交集：{}B x A x x B A ∈∈=且| 并集：{}B x A x x B A ∈∈=或| 补集：{}A x U x x A C U ?∈=且| 6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集. 题型一、集合概念 解决此类型题要注意以下两点： ①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性； ②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集. 【No.1 定义&性质】 1.下列命题中正确的个数是（ ） ①方程022=++-y x 的解集为{}2,2- ②集合{} R x x y y ∈-=,1|2 与{}R x x y y ∈-=,1|的公共元素所组成的集合是{}1,0 ③集合{}01|<-x x 与集合{}R a a x x ∈>,|没有公共元素 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：①中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集不是x 的值所构 成的集合，而是x 和y 的值的集合，也就是一个点. 答案：A 详解：在①中方程022=++-y x 等价于? ??=+=-020 2y x ，即???-==22y x 。因此解集应为 (){}2,2-，错误； 在②中，由于集合{} R x x y y ∈-=,1|2的元素是y ，所以当R x ∈时，112 -≥-=x y .同 理，{}R x x y y ∈-=,1|中R y ∈，错误； 在③中，集合{}01|<-x x 即1 集合与命题 一、填空题：（每小题4分，共32分） 1．若{}{}4,3,2,1,2,1==B A ，则满足A ≠?M ≠?B 的集合M 的个数是________个． 2．已知集合{}t M ,3,1=，{} 12+-=t t P ，若M P M =?，则t =_ _ 3．设全集U=Z ，集合},43|{Z x x x x A ∈≥-<=或，则C U A=_ _ 4、设集合{|12}A x x =≤≤，{|}B x x a =≤，若A B ?，则实数a 的取值范围是 2≥a 。 4．已知：2 ()f x x ax b =++，{}{}|()22A x f x x ===，则实数a = b = ． 5．命题“若0x y +>，则00x y >>且”的否命题 ，所写命题是__ __命题。（填“真”或“假”） 6． 若b a >，则 b a 11<成立的充要条件是____________________________________. 7．若集合M={x| x 2+x-6=0}，N={x| kx+1=0}，且N ?M ，则k 的可能值组成的集合为 8．集合{}{}12,<≤-=≤=x x B a x x A ，若B A ≠?φ， 则实数a 的取值范围是__________ 7、设关于的不等式032)14(2>-+-+m x m x 的解集为，且，则实数的取值范围是 5 4-≤m 。 9．集合A 、B ，定义{}B x A x x B A ?∈=-且,|，()()A B B A B A --=* 叫做集合的对称差。若集合(){}2y|y x-11,03A x ==+≤≤，{} 2|1,13B y y x x ==+≤≤，则B A *= _ 二、选择题：（每小题5分，共20分） 9．若x ∈R ，则x>1的一个必要不充分条件是（ ） A ．x>1 B.x>0 C ．x>2 D ．x≥2 10．给出以下四个命题： ①“若x ＋y =0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若1-≤q ，则02=++q x x 有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．其中真命题是 ( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．③④ 11．设全集},91|{N x x x U ∈<≤=，则满足{ }8,7,5,3,1∩}7,5,3,1{=B C U 的所有集合B 的个数有（ ） A ．1个 B ．4个 C ．5个 D ．8个 12．设{}2|560,A x x x x R =--=∈ {}2|60,B x mx x x R =-+=∈ 且B B A = x A A A ?∈2,0m 1。集合得含义及其表示 (一)集合元素得互异性 1、已知,则集合中元素x所应满足得条件为 变式:已知集合,若,则实数得值为_______ 2。中三个元素可以构成一个三角形得三边长,那么此三角形可能就是 ①直角三角形②锐角三角形③钝角三角形④等腰三角形 (二)集合得表示方法 １. 用列举法表示下列集合 (1) ____＿__＿_____＿＿＿＿＿＿＿______ 变式:已知a,ｂ,c为非零实数,则得值组成得集合为__＿ (2) ＿＿＿_ 变式1: 变式２: (3)集合用列举法表示集合B (4)已知集合Ｍ=,则集合M中得元素为 变式:已知集合Ｍ=,则集合M中得元素为 2。用描述法表示下列集合 (1)直角坐标系中坐标轴上得点＿＿_＿_＿＿_＿__＿__＿＿___＿_____＿__＿__ 变式:直角坐标平面中一、三象限角平分线上得点_________＿__＿_ (2)能被３整除得整数_______＿___________＿_＿_、 3.已知集合,, (1)用列举法写出集合;(2)研究集合之间得包含或属于关系 4。命题(1) ;(２);(3);(4)表述正确得就是、 5、使用与与数集符号来替代下列自然语言: (1)“255就是正整数” (２)“2得平方根不就是有理数” (３)“3、1416就是正有理数” (4)“-1就是整数” (5)“不就是实数” 6、用列举法表示下列集合: (1)不超过3０得素数(２)五边形得对角线 (3)左右对称得大写英文字母(4)60得正约数 7。用描述法表示:若平面上所有得点组成集合, (1)平面上以为圆心,5为半径得圆上所有点得集合为____＿＿_＿_ (2)说明下列集合得几何意义:; 8。当满足什么条件时,集合就是有限集？无限集？空集？ 9、元素0、空集、、三者得区别? 10. 请用描述法写出一些集合,使它满足: (i)集合为单元素集,即中只含有一个元素; (ii)集合只含有两个元素; (ｉiｉ)集合为空集 11.试用集合概念分析命题:先有鸡还就是先有鸡蛋？ 解释:表述问题时把有关集合得元素说清楚,大有好处。先有鸡还就是先有鸡蛋？让我们运用集合概念来分析它。设地球上古往今来得鸡组成一个集合,孵出了最早得鸡得蛋算不算鸡蛋呢？这就是关键问题。设所有得鸡蛋组成集合,要确定得元素,就得立个标准,说定什么就是鸡蛋,一种定义方法就是:鸡生得蛋才叫鸡蛋;另一种定义方法就是:孵出了鸡得蛋与鸡生得蛋都叫鸡蛋。如果选择前一种定义,问题得答案只能就是先有鸡;选择后一种定义,答案当然就是先有鸡蛋。至于如何选择,不就是数学得任务,那就是生物学家得事。 (三)空集得性质 1.若?｛x｜ｘ2≤ａ,a∈R｝,则实数ａ得取值范围就是_______＿ ２、已知ａ就是实数,若集合｛x| ax＝1｝就是任何集合得子集,则a得值就是_______.0? [课题]第一章集合与简易逻辑测试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合A={x|x≤}，a=3，则( ) A.a A B.a A C.{a}∈A D.{a} A 2.集合M={x|x=3k-2，k∈Z}，Q={y|y=3l+1，l∈Z}，S={z|z=6m+1，m∈Z}之间的关系是( ) A.S Q M B.S=Q M C.S Q=M D.S Q=M 3.若A={1，3，x}，B={x2，1}，且A∪B=A，则这样x的不同取值有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.符合条件{a}P{a，b，c}的集合P的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 5.若A={x|x2-4x+3＜0}，B={x|x2-6x+8＜0}，C={x|2x2-9x+a＜0}，(A∩B)C，则a的取值范围是( ) A.a≤10 B.a≥9 C.a≤9 D.9≤a≤10 6.若a＞0，使不等式|x-4|+|3-x|＜a在R上的解非空，则a的值必为( ) A.0＜a＜1 B.0＜a≤1 C.a＞1 D.a≥1 7.集合A={x|x2-5x+4≤0}，B={x|x2-5x+6≥0}，则A∩B= ( ) A.{x|1≤x≤2，或3≤x≤4} B.{x|1≤x≤2，且3≤x≤4} C.{1，2，3，4} D.{x|1≤x≤4或2≤x≤3} 8.如果方程x2+(m-3)x+m的两根都是正数，则m的取值范围是( ) A.0＜m≤3 B.m≥9或m≤1 C.0＜m≤1 D.m＞9 9.由下列各组命题构成“P或Q”，“P且Q”，“非P”形式的复合命题中，“P或Q”为真命题，“P且Q”为假命题，“非P”为真命题的是( ) 集合经典例题讲解 集合元素的“三性”及其应用 集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易出错． 例1 已知集合Ａ＝｛a ，a ＋b ，a ＋2b ｝，Ｂ＝｛a ，a q ，a 2q ｝， 其中a 0≠，Ａ＝Ｂ，求q 的值． 例2 设Ａ＝｛ｘ∣2 x ＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和． 例3 已知集合 =A {2，3,2a +4a +2}， B ＝{0,7, 2 a +4a -2,2-a }，且A B={3,7},求a 值． 分析： 集合易错题分析 1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？ 3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ 1、忽略φ的存在： 例题1、已知A={x|121m x m +≤≤-}，B={x|25x -≤≤}，若A ?B ，求实数m 的取值范围． 2、分不清四种集合：{}()x y f x =、{}()y y f x =、{},)()x y y f x =（、{}()()x g x f x ≥的区别. 例题2、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数 为…………………………………………………………………………（ ） （A ） 1 （B ）0 （C ）1或0 （D ） 1或2 3、搞不清楚是否能取得边界值： 例题3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m 或x>1＋m}且B ?A ，求m 的范围. 例4、已知集合 {}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2，那么Q P 等于 （ ） A.（0,2）,(1,1) B.{(0,2),(1,1)} C. {1,2} D.{}2≤y y 集合与方程 例1、已知 {}φ=∈=+++=+R A R x x p x x A ,,01)2(2，求实数p 的取值范 围。 例2、已知集合 (){}(){}20,01,02,2≤≤=+-==+-+=x y x y x B y mx x y x A 和， 如果φ≠B A ,求实数a 的取值范围。 例3、已知集合()(){} 30)1()1(,,123,2=-+-=??????+=--=y a x a y x B a x y y x A ，若 φ=B A ，求实数a 的值。 第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合 第一部分 三年高考荟萃 2010年高考题 一、选择题 1.（2010浙江理）（1）设P=｛x ︱x <4｝,Q=｛x ︱2 x <4｝，则 （A ）p Q ? （B ）Q P ? （C ）R p Q C ? （D ）R Q P C ? 答案 B 【解析】{} 22＜＜x x Q -=，可知B 正确，本题主要考察了集合的基 本运算，属容易题 2.（2010陕西文）1.集合A ={x －1≤x ≤2}，B ＝｛x x ＜1｝,则A ∩B =（ ） (A){x x ＜1} （B ）{x －1≤x ≤2} (C) {x －1≤x ≤1} (D) {x －1≤x ＜1} 答案 D 【解析】本题考查集合的基本运算由交集定义 得{x －1≤x ≤2}∩｛x x ＜1｝={x －1≤x ＜1} 3.（2010辽宁文）（1）已知集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，则U C A = （A ）{}1,3 （B ）{}3,7,9 （C ）{}3,5,9 （D ）{}3,9 答案 D 【解析】选D. 在集合U 中，去掉1,5,7，剩下的元素构成.U C A 4.（2010辽宁理）1.已知A ，B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B={3},u eB ∩A={9},则A= （A ）{1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9} 答案 D 【命题立意】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于Venn 图解决集合问题的能力。 【解析】因为A ∩B={3}，所以3∈A ，又因为u eB ∩A={9}，所以9∈A ，所以选D 。本题也可以用Venn 图的方法帮助理解。 5.（2010全国卷2文） （A ）{}1,4 （B ）{}1,5 （C ）{}2,4 （D ）{}2,5 答案C 解析：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ A={1,3}。B={3,5}，∴ {1,3,5}A B =，∴(){2,4}U C A B =故选 C . 6.（2010江西理）2.若集合{} A=|1x x x R ≤∈，，{} 2B=|y y x x R =∈，，则A B ?=（ ） A. {}|11x x -≤≤ B. {}|0x x ≥ C. {}|01x x ≤≤ D. ? 答案 C 【解析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算。常见的解法为计算出集合A 、B ； {|11}A x x =-≤≤，{|0}B y y =≥,解得A B={x|01}x ≤≤。在应试中可采用特值检 验完成。 7.（2010安徽文）(1)若A={}|10x x +>，B={}|30x x -<，则A B = (A)(-1，+∞) (B)(-∞，3) (C)(-1，3) (D)(1，3) 答案 C 【解析】(1,),(,3)A B =+∞=-∞，(1,3)A B =-，故选C. 【方法总结】先求集合A 、B ，然后求交集，可以直接得结论，也可以借助数轴得交集. 8.（2010浙江文）（1）设2 {|1},{|4},P x x Q x x =<=<则P Q = (A){|12}x x -<< (B){|31}x x -<<- 精心整理 集合经典例题讲解 集合元素的“三性”及其应用 集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易出错． 例1 已知集合Ａ＝｛a ，a ＋b ，a ＋2b ｝，Ｂ＝｛a ，a q ，a 2q ｝，其中a 0≠，Ａ＝Ｂ，求q 的值． 例2 设Ａ＝｛ｘ∣2 x ＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和． 例3 已知集合=A {2，3,2a +4a +2}，B ＝{0,7,2a +4a -2,2-a }，且A B={3,7},求a 值． 分析： 集合易错题分析 1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？ 3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ 1、忽略φ的存在： 例题1、已知A={x|121m x m +≤≤-}，B={x|25x -≤≤}，若A ?B ，求实数m 的取值范围． 2、分不清四种集合： {}()x y f x =、{}()y y f x =、{},)()x y y f x =（、{}()()x g x f x ≥的区别. 例题2、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数为…………………………………………………………………………（） （A ）1（B ）0（C ）1或0（D ）1或2 3、搞不清楚是否能取得边界值： 例题3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m 或x>1＋m}且B ?A ，求m 的范围. 例4、已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2，那么Q P 等于（） A.（0,2）,(1,1)B.{(0,2),(1,1)}C.{1,2}D. {}2≤y y 集合与方程 例1、已知{}φ=∈=+++=+R A R x x p x x A ,,01)2(2，求实数p 的取值范围。 例2、已知集合(){}(){}20,01,02,2≤≤=+-==+-+=x y x y x B y mx x y x A 和，如果φ≠B A ,求 实数a 的取值范围。 例3、已知集合()(){} 30)1()1(,,123,2=-+-=??????+=--=y a x a y x B a x y y x A ，若φ=B A ，求实数a 的值。 集合学习中的错误种种 数学是一门严谨的学科，在集合学习中，由于对概念理解不清或考虑问题不全面等，稍不留心就会不知不觉地产生错误，本文归纳集合学习中的种种错误，认期帮助同学们避免此类错误的再次发生． 一、混淆集合中元素的形成 例 集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则A B = 忽视空集的特殊性 1．命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为 A．a+b不是偶数，则a、b不都是偶数B．a+b不是偶数，则a、b都不是偶数 C．a、b不都是偶数，则a+b不是偶数D．a、b都不是偶数，则a+b不是偶数 2．把下列命题改写成“若p则q”的形式： （1）对顶角相等；（2）不等式两边加上同一个数，不等号方向不变． 3．把下列命题改写成“若p则q”的形式： （1）两个整数和为整数；（2）两个无理数相乘，它们的积也是无理数． 4．下列命题中，正确的是 ①“若x2+y2=0，则x，y全是0”的否命题②“全等三角形是相似三角形”的否命题③“若m＞1，则mx2－2（m+1）x+（m－3）＞0的解集为R”的逆命题④若“a+5是无理数，则a是无理数”的逆否命题A．①②③ B．①④C．②③④D．①③④ 5．用反证法证明：“在同圆中，如果两条弦不等，那么它们的弦心距也不等．” 6．若x、y∈R+，且x+y＞2，求证： y x + 1 ＜2与 x y + 1 ＜2中，至少有一个成立． 参考答案 1．A 2．（1）若两角为对顶角，则它们相等；（2）若在不等式两边加上同一个数，则不等式方向不变．3．（1）若两个数为整数，则它们的和也为整数．（2）若两个无理数相乘，则它们的积也是无理数．4．B 5．证明：假设在同圆中，两条弦不等而它们的弦心距相等， 即AB≠CD，OE=OF则Rt△OAE、Rt△OCF中，OA=OC，OE=OF， ∴AE=CF，即AB=CD与已知矛盾，所以假设不成立，原命题成立． 6．证明：假设都不成立，即 y x + 1 ≥2， x y + 1 ≥2成立 ∵x，y∈R+，∴1+x≥2y，1+y≥2x，∴2+x+y≥2x+2y ∴x+y≤2与已知x+y＞2矛盾，∴假设不成立，∴原结论成立． 一、选择题（每小题2分，共12分） 1．命题“内错角相等，则两直线平行”的否命题为 A．两直线平行，内错角相等B．两直线不平行，则内错角不相等 C．内错角不相等，则两直线不平行D．内错角不相等，则两直线平行 2．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是A．逆命题、否命题、逆否命题都为真B．逆命题为真，否命题、逆否命题为假 C．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D．逆命题、否命题为假，逆否命题为真 3．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题 A．一定是真命题B．一定是假命题C．不一定是真命题D．真假无法确定 《集合》常考题型 题型一、集合元素的意义+互异性 例1.1.设集合 ｛0｝ 例1.2.已知A ＝{2，4，a 3－2a 2－a ＋7}，B ＝{1，a ＋3，a 2－2a ＋2，a 3＋a 2＋3a ＋7}，且A ∩B ＝{2，5}，则A ∪B =____________________________ 解：∵A∩B ＝{2，5}，∴5∈A. ∴a 3－2a 2－a ＋7＝5解得a ＝±1或a ＝2. ①若a ＝－1，则B ＝{1，2，5，4}，则A∩B ＝{2，4，5}，与已知矛盾，舍去． ②若a ＝1，则B ＝{1，4，1，12}不成立，舍去． ③若a ＝2，则B ＝{1，5，2，25}符合题意．则A ∪B ＝{1，2，4，5，25}． 题型二、空集的特殊性 例2.1.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-，且B A ， 则实数m 的取值范围为_____________ 例2.2.已知集合{}R x x ax x A ∈=++=，012，{}0≥=x x B ，且φ=B A I ， 求实数a 的取值范围。 解：①当0a =时，{|10,}{1}A x x x R =+=∈=-，此时{|0}A x x ≥=ΦI ； ②当0a ≠时，{|0}A x x ≥=ΦQ I ，A ∴=Φ或关于x 的方程2 10ax x ++=的根均为负数. （1）当A =Φ时，关于x 的方程210ax x ++=无实数根， 140a ?=-<，所以14a > . （2）当关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数时， 12121401010a x x a x x a ???=-≥??+=-?? 140a a ?≤?????>?104a <≤. 综上所述，实数a 的取值范围为{0}a a ≥. {}{}2|22,|,12,A x x B y y x x A B =-≤==--≤≤=I 则 第一章集合 1．1 集合与集合的表示方法 一、选择题 1．下列各组对象 ①方程x2+2x+1=0的解；②比较小的正整数全体； ③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体； ⑤2的近似值的全体． 其中能构成集合的组数有( B ) 1 3 4 A．2组B．3组C．4组D．5组 2．设集合M＝{大于0小于1的有理数}， N＝{小于10的正整数}， P＝{定圆C的内接三角形}， Q＝{所有能被7整除的数}， 其中无限集是( B ) A．M、N、P B．M、P、Q C．N、P、Q D．M、N、Q 3．下列命题中正确的是( C ) A．{x｜x2＋2＝0}在实数范围内无意义 B．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合 C．{4，5}与{5，4}表示相同的集合 D．{4，5}与{5，4}表示不同的集合 4．直角坐标平面内，集合M＝{(x，y)｜xy≥0，x∈R，y∈R}的元素所对应的点是() A．第一象限内的点B．第三象限内的点 C．第一或第三象限内的点D．非第二、第四象限内的点 5．已知M＝{m｜m＝2k，k∈Z}，X＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，Y＝{y｜y＝4k＋1，k∈Z}，则( D ) A．x＋y∈M B．x＋y∈X C．x＋y∈Y D．x＋y?M 6．下列各选项中的M与P表示同一个集合的是() A．M＝{x∈R｜x2＋0.01＝0}，P＝{x｜x2＝0} B．M＝{(x，y)｜y＝x2＋1，x∈R}，P＝{(x，y)｜x＝y2＋1，x∈R} C．M＝{y｜y＝t2＋1，t∈R}，P＝{t｜t＝(y－1)2＋1，y∈R} D．M＝{x｜x＝2k，k∈Z}，P＝{x｜x＝4k＋2，k∈Z} 6．C解析：在选项A中，M＝φ，P＝{0}，是不同的集合； 在选项B中，有M＝{(x，y)｜y＝x2＋1≥1，x∈R}，P＝{(x，y)｜x＝y2＋1≥1，y∈R}，是不同的集合，在选项C中，y＝t2＋1≥1，t＝(y－1)2＋1≥1，则M＝{y｜y≥1}，P＝{t｜t ≥1}，它们都是由不小于1的全体实数组成的数集，只是用不同的字母代表元素，因此，M 和P是同一个集合，在选项D中，M是由…，0，2，4，6，8，10，…组成的集合，P是由…，2，6，10，14，…组成的集合，因此，M和P是两个不同的集合．答案：C． 二、填空题 7．由实数x，－x，｜x｜所组成的集合，其元素最多有______个． 8．集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是______． 9．对于集合A＝{2，4，6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是______． 高一数学必修1各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合总结：元素的互异性是参考点，常常在求出值的时候必须代回集合察看是否满足该集合中元素是否有重复现象，从而决定值的取舍。 元素与集合之间的关系：属于-- 不属于--常有集合 N Z R Q 加星号或者+号表示对应集合的正的集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c ……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内 表示集合的方法。{x ∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn 图:通常元素是很具体的值的时候，或者在考察抽象集合 之间的关系的时候，我们常常考虑用venn 图来表示。 4、集合的分类： (1)有限集 含有有限个元素的集合(2)无限集 含有无限个元素的集合 (3)空集 不含任何元素的集合，空集在集合这个章节中非常 重要，特别是在集合之间的关系的题中经常出现，很容易考虑掉空集。例：{x|x 2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是 B A ?同一集合。 反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A B ? /或B A ? /2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x 2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A ②真子集:如果A ?B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C ④ 如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B 高一数学单元测验（一） 2006.10. （满分100分，90分钟完成） （本试卷允许使用计算器） 班级________姓名_______________学号________成绩________ 一、选择题：请选择你认为最正确的答案（每小题有且只有一个），写在括号内。 1、 全集U ={x ∣|x |<3，x ∈Z }，A ={0，1，2}，B ={-1，2}，则A ∩U B C = ( ) (A) {1} (B) {0，1} (C) {2} (D) {0，1，2} 2、 设集合M ={n ∣2n ∈Z }，P ={n ∣4 n ∈Z }，则M ∩P 等于 ( ) (A) Z (B) M (C) P (D) ? 3、 设A ，B ，U 均为非空集合，且满足A ?B ?U ，则下列各式中错误的是( ) (A) U A C ∪B =U (B) U A C ∪U B C =U (C) A ∩U B C =? (D) U A C ∩U B C =U B C 4、 “x >5”的一个充分非必要条件是 ( ) (A) x >6 (B) x >3 (C) x <0 (D) x ≠100 5、 原命题“若A ∪B =B ，则A ∩B =A ”与其逆命题、否命题、逆否命题总共4个命题 中，真命题的个数是 ( ) (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 4个 6、 设A 、B 是两个集合，对于B A ?，下列说法正确的是 ( ) (A) 存在0x B ∈，使0x A ? (B) A B ?一定不成立 (C) A x ∈0是B x ∈0的充分条件 (D) B 不可能为空集 7、 设A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充要条件，C 是D 的充分不必要条件， 则D 是A 的 ( ) (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 既不充分又不必要条件 (D) 不能确定 8、 已知集合A ={x ∣x =4n ，n ∈Z }，B ={x ∣x =4n +1，n ∈Z }，C ={x ∣x =4n -1，n ∈Z }， 且a ∈A ，b ∈B ，c ∈C ，若d =a -b -c ，则 ( ) (A) d ∈A (B) d ∈B (C) d ∈C (D) d ∈R ()A B C C集合典型例题
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