,考试作弊将带来严重后果！
华南理工大学期末考试（A 卷）
《 2007线性代数 》试卷
20分） （1） 设A 是n m ?矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =无解的充分必要条件
是：
（2） 已知可逆矩阵P 使得1cos sin sin cos P AP θ
θθθ-??=
?-??
，则12007
P A P -= （3） 若向量组α=（0，4，t ），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩为2，则t= （4） 若A 为2n 阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 则*A =
（5） 设A 为n 阶方阵，12,,,n λλλ??????是A 的n 个特征根，则1n
i i E A λ=-∑ =
选择题（共20分） （1） 将矩阵n m A ?的第i 列乘C 加到第j 列相当于对A ：
A ，乘一个m 阶初等矩阵，
B ，右乘一个m 阶初等矩阵
C ， 左乘一个n 阶初等矩阵，
D ，右乘一个n 阶初等矩阵
（2） 若A 为m ×n 矩阵，B 是m 维 非零列向量，()min{,}r A r m n =<。集合
{:,}n M X AX B X R ==∈则
A ，M 是m 维向量空间，
B ， M 是n-r 维向量空间
C ，M 是m-r 维向量空间，
D ， A ，B ，C 都不对
（3）若n 阶方阵A ，B 满足，22A B = ，则以下命题哪一个成立 A ， A B =±， B ， ()()r A r B =
C ， det det A B =±，
D ， ()()r A B r A B n ++-≤
（4）若A 是n 阶正交矩阵，则以下命题那一个成立： A ，矩阵1A -为正交矩阵， B ，矩阵 -1A -为正交矩阵 C ，矩阵*A 为正交矩阵， D ，矩阵 -*A 为正交矩阵
（5）4n 阶行列式
111
110100
-???---???-??????-???的值为：
A ，1，
B ，-1
C ， n
D ，-n
三、解下列各题（共30分）
1．求向量513β?? ?=- ? ???，在基1231110,1,1101ααα?????? ? ? ?
=== ? ? ? ? ? ???????
下的坐标。
2．设1020200,
001A AB A B -?? ?
==- ? ???
，求矩阵1B --A
3．计算行列式1
3
3
5
19
92512727125
181
81
625
--
4.计算矩阵13
4
9
2
66310396933
94120A -?? ?
----
?
= ?---- ?
-??
列向量组生成的空间的一个基。
5. 设120201012...
...
...
.........n n n a b b b b a b b A b b a b b b b a ??
? ?
?=
?
? ???
计算det A
四、证明题（10分）
设12,,,r ξξξL 是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系， η不是线性方程组0AX =的一个解，求证ηηξηξηξ,,,,21+++r Λ线性无关。
五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵
22
123122313(,,)42f x x x x x x x x x =++-
六、（8分）a 取何值时，方程组
1231231
232325106
x x x a x x x a x x x +-=??
-+=??+-=? 有无数多个解并求通解
七、（4分）设矩阵A
，B ，A +B 都是可逆矩阵，证明矩阵11A B --+也是可逆矩阵。
《2007年线性代数A 》参考答案
一 填空题 每个四分
(0) rankA (1) cos 2007sin 2007sin 2007cos 2007θθθθ?? ?-?? (2) (3) 1± (4) 0 二 选择题 (1) D (2) D (3) C (4) 都对 (5) A 三 解答题 (1) 设向量β在基123,,ααα下的坐标为123(,,)T x x x ，则 112323(,,)x x x αααβ?? ? = ? ??? ??? ??=+-=+=++3 1531 32321x x x x x x x （4分） ??? ??-===326 3 21x x x （6分） (2) ?? ? ? ? ??=????? ??????? ??=+==+∴=+=+∴-=------100042024200012021100002020)()()(1 11111E A A B B E A A B A E A A B E A B A AB 则Θ（2分） （6分） (3) 13824023 811 9 480238101 901115)96(310 423951 1 1063 2242620847801202424020126 5331 -=-? -=--??-=-???=-- （6分） （4） 1351340 91340 90023800 238006924 00005008122700 000()3 (1,2,3,3),(4,6,6,4),(9,10,3,0)T T T A rank A ααα--???? ? ? -- ? ?→→ ? ? - ? ? --???? ∴==--=--=--一个基（4分） （6分） （5） 01212101 10220 1 000000 00000000 00 ()() 1 n i n n i i n n n i i a b a b b b b a b b b a b b a a b a b b a a b a b b a a b a b n a a b i i i a b b a b ==-? ? -?? ? - ? ?-- ? ?- ?=--= ?- ? ? ? ? ? ?--?? ?-? ? =+-=∑-∑∏ -L L L L L L L L L L L L L L 原式（6分） 四 证明： 1231122112212123,,,,,()(),()0(1)3 [()(),()]040,()05 r r r r r r r k k k k k k k k k A A k k k k AX k k k k k A ξηξηξηηξηξηξηηξξξηη+++++++=-----+++++++=-----=++++=-----------------L L L L 反证：假设它们线性相关，则存在一组不全为零的数使得用矩阵对上式作用得 又，，为方程的一个基础解故 不123112212311221212300 061 070010 r r r r r r r r AX A k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ηξξξηξξξξξξ=≠++++=------------------+++++++=--------∴++=∴====----------------L L L 是的解故所以由（）得（）又 ，，线性无关 五、A=021210101-?? ? ? ?-?? , (2分) |A E λ- |=221210(1)(5)0101λλ λλλλ---=---=-- 11,2 λλ±== （5分） P=0? （7分） 21231(,,)f x x x y = + 1222y +12 -2 3y （8分） 六，证明 112112112 ()31240 025400221311510615 106400651121 1200063400653232400650 0063a a a A B a r r a r r a a a a r r a r r a a a ---?????? ? ? ? =-+- ? ? ? ? ? ?----?????? --??? ? +-?-- ? ? ---???u u u u u u r u u u u u u u r u u u u u u r u u u u u u u u r 方程组的增广矩阵 232()24()2 6306 20123 2441 11128rank A rank A B a x x x a x x x c x c ? ? ----??? =----------------=∴-=------------------+-=??=? -=-??=??? =+-----------------------?? =??Q 如果方程有无穷多个解则当时原方程有无数个解，且原方程等价于 七 11111111111 1 1111,,()2,,()A B A B A B A E EB A BB A AB A B A B A B A B A B A B A B ----------------++=+=+=+---∴∴+∴+Q 都是可逆矩阵 有可逆 也可逆-----------------3也是可逆矩阵 是可逆矩阵------------------4 ,考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学期末考试（B 卷） 《 2007线性代数 》试卷 20分） （1） 设A 是n m ?矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有唯一解的充分必要 条件是： （2） 已知可逆矩阵P 使得1cos sin sin cos P AP θ θθθ-??= ?-?? ，则120072007 ()P A A P --+= （3） 若向量组α=（0，4，t ），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩r 不为3，则 r= （4） 若A 为2n+1阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 则*A = （5） 设A 为n 阶方阵，12,,,n λλλ??????是A 的n 个特征根，则221n i i E A λ=-∑ = 二、 选择题（共20分） （1） 将矩阵n m A ?的第i 列乘c 相当于对A ： A ，左乘一个m 阶初等矩阵， B ，右乘一个m 阶初等矩阵 C ， 左乘一个n 阶初等矩阵， D ，右乘一个n 阶初等矩阵 （2） 若A 为m ×n 矩阵，()min{,}r A r m n =<。集合{:'0,}m M X X A X R ==∈则 A ，M 是m 维向量空间， B ， M 是n-r 维向量空间 C ，M 是m-r 维向量空间， D ， A ，B ，C 都不对 （3）若n 阶方阵A ，B 满足，224A B = ，则以下命题哪一个成立 A ， 2A B =±， B ， ()()r A r B = C ， det 2det A B =±， D ， 都不对 （4）若A 是n 阶初等矩阵，则以下命题那一个成立： A ，矩阵1A -为初等矩阵， B ，矩阵 -1A -为初等矩阵 C ，矩阵*A 为初等矩阵， D ，矩阵 -*A 为初等矩阵 （5）4n+2阶行列式 111 110100 -???---???-??????-???的值为： A ，1， B ，-1 C ， n D ，-n 三、解下列各题（共30分） 1．求向量013β?? ?=- ? ???，在基1231110,1,1101ααα?????? ? ? ? === ? ? ? ? ? ??????? 下的坐标。 2．设1020200, 2001A AB A B -?? ? ==+ ? ??? ，求矩阵1B --A 3．计算行列式1 13 3 5 119 92513727125 191 81 625 -- 4.计算矩阵13 4 9 266310396930 0233A -?? ? ---- ? = ? ---- ? --?? 列向量组生成的空间的一个基。 5. 设120201012...... ... .........n n n a b b b b a b b A b b a b b b b a ?? ? ? ?= ? ? ??? 计算det A 四、证明题（10分） 设12,,,r ξξξL 是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系， η不是线性方程组0AX =的一个解，求证1 2,,,,r ξξξηL 线性无关。 五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵 222 12311223(,,)2f x x x x x x x x =+++ 六、（8分）a 取何值时，方程组无解 1231231 232325106 x x x a x x x a x x x +-=?? -+=??+-=? 七、（4分）设矩阵A ，B ，A +B 都是可逆矩阵，证明矩阵11A B --+也是可逆矩阵。 《2007年线性代数B 》参考答案 一 填空题 每个四分 （1） rankA=rank(A|B)=n （2）2cos 200700 2cos 2007θ θ?? ??? （3）r=2 （4） 1 （5）0 二 选择题 (1) D (2) C (3) D (4) A (5) B 三 解答题 (1) 设向量β在基123,,ααα下的坐标为123(,,)T x x x ，则 112323(,,)x x x αααβ?? ? = ? ??? 1232313013 x x x x x x x ++=?? +=-??+=? （4分） 123 132x x x =?? =-??=? （6分） (2) 111111 ()()0 2012 042 0()2 0021024000 10 20 2AB A B A E B A A E A B A A E B B A A E ------=-∴+=+=∴+=?????? ??? ?=+== ??? ? ??? ?? ????? Q 则（2分） 1420020400240200040002001001B A -?????? ? ? ? -=-= ? ? ? ? ? ??????? （6分） (3) 13824023 811 9 480238101 901115)96(310 423951 1 1063 2242620847801202424020126 5331-=-? -=--??-=-???=-- （6分） （4） 135134 9134 90023800 23800692400 005008122700000()3 (1,2,3,3),(4,6,6,4),(9,10,3,0)T T T A rank A ααα--???? ? ? -- ? ?→ → ? ? - ? ? --????∴==--=--=--一个基（4分） （6分） （5） 01212101 10220 1 000000 00000000 00 ()() 1 n i n n i i n n n i i a b a b b b b a b b b a b b a a b a b b a a b a b b a a b a b n a a b i i i a b b a b ==-? ? -?? ? - ? ?-- ? ?- ?=--= ?- ? ? ? ? ? ?--?? ?-? ? =+-=∑-∑∏ -L L L L L L L L L L L L L L 原式（6分） 四 证明： 1231122112212,,,,,,0(1)3 (,)040,05 00 06r r r r r r k k k k k k k k k A A k k k k AX kA AX A k ξξξηξξξηξξξηηη++++=-----++++=-----==-----------------=≠=------------------L L L L 反证：假设它们线性相关，则存在一组不全为零的数使得用矩阵对上式作用得 又，，为方程的一个基础解故不是的解 故所以 由11221122121231 070010r r r r r r k k k k k k k k k k k ξξξηξξξξξξ+++=--------∴++=∴====----------------L L L （）得又 ，，线性无关 五、A=1111001?? ? ? ???, (2分) |A E λ- |=110110(1)(2)0001λλλλλλ--=--=- 1,0,2λλλ=== （5分） P=00100? ? ??? （7分） 21231(,,)f x x x y =+22 3y （8分） 六，证明 11211 2112 ()31240 025400221311510615 106400651121 1200063400653232400650 0063a a a A B a r r a r r a a a a r r a r r a a a ---?????? ? ? ? =-+- ? ? ? ? ? ?----?????? --??? ? +-?-- ? ? ---???u u u u u u r u u u u u u u r u u u u u u r u u u u u u u u r 方程组的增广矩阵 232()24()2 6306 20123 2441 11128rank A rank A B a x x x a x x x c x c ? ? ----??? =----------------=∴-=------------------+-=??=? -=-??=??? =+-----------------------?? =??Q 如果方程有无穷多个解则当时原方程有无数个解，且原方程等价于 七 11111111111 1 1111,,()2,,()A B A B A B A E EB A BB A AB A B A B A B A B A B A B A B ----------------++=+=+=+---∴∴+∴+Q 都是可逆矩阵 有可逆 也可逆-----------------3也是可逆矩阵 是可逆矩阵------------------4
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