线面、面面关系的判定与性质
一、线面关系的转换网络图
1﹒线线平行：
（1）平行公理:平行于同一直线的两直线平行（线线平行的传递性）﹒
（4）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么
这条直线和交线平行（线面平行→线线平行）﹒
（6）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行
→线线平行）﹒
（12）线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行﹒
2﹒线线垂直：
（9）线面垂直的性质：一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线（线面垂直→线线垂直）其它判定方法：利用平面几何中证明线线垂直的方法（如勾股定理，等腰直角三角形底边上的高，正方形（菱形）的对角线等）﹒
3﹒线面平行：
（2）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面
平行（线线平行→线面平行）﹒
（5）面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（面面平行→线
面平行）﹒
4﹒线面垂直：
（7）线面垂直的判定定理：如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面（线线
垂直→线面垂直）﹒
（11）线面垂直的判定定理推论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个
平面﹒
（14）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面﹒
（10）面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个
平面（面面垂直→则线面垂直）﹒
5﹒面面平行：
（4）面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行（线面
平行→面面平行）﹒
（13）定理：垂直于同一条直线的两个平面平行﹒ 6﹒面面垂直：
（8）面面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，另一个平面过这条线，则这两个平面垂直
（面面垂直→则线面垂直）﹒
7.直线与平面所成的角
（1）定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
这个角的范围为]90,0[00.
（2）斜线与平面成角计算一般步骤： ①找过斜线上一点与平面垂直的直线；
②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把这个角放在三角形中计算.
注：斜线PA 与平面α所成的角为PAB ∠，其中α平面⊥PB . 二、典型例题
例1：三棱锥ABC P -中，ABC PA 平面⊥， 0
90=∠BAC ，证明：PAC BA 平面⊥.
（判定定理、定义）
变式1：三棱锥ABC P -中，PA AC ⊥，ABC ?满足0
90=∠BAC ， AC PA =，D 是边PC 的中点，
证明：DAB PC 平面⊥.
（判定定理、定义、等腰三角形的高）
C
B A P
C
D
A
P B
P
A
B
α
变式2：三棱锥ABC P -中，ABC PA 平面⊥，4===AB AC PA ，22=BD ，AB PC ⊥，D 是
边PC 的中点，证明：PAC BD 平面⊥. （判定定理、定义、勾股定理）
变式3：三棱锥ABC P -中， PA AC ⊥，满足24BC PC PB PA ====，D 是边PC 的中点，
ABD PAD 平面平面⊥.证明：PAC BD 平面⊥.
（判定定理、定义、面面垂直性质定理）
例2：【信宜市2015届高三10月统测】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱
ABCD PD 底面⊥,DC PD =,E 是PC 的中点，作PB EF ⊥,交PB 于点F .
（1）证明：EDB PA 平面//；（2）若2==DC PD ，求三棱锥BDE A -的体积； （3）证明：EFD PB 平面⊥.
C
B
A
P
D
C
D
A
P
B
P
A
B
C
D
E
F
三、巩固训练、能力提升
1.【2014高考北京卷 节选】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，
12AA AC ==，E 、F 分别为11AC 、BC 的中点.求证：平面
ABE ⊥平面11B BCC .
2.【2014高考江苏卷 节选】如图在三棱锥-P ABC 中，,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知
,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.证明：平面BDE ⊥平面ABC .
3.【2013年高考北京 节选】如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面
PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求证:
（1）PA ⊥底面ABCD ；（2）平面BEF ⊥平面PCD .
4.【肇庆市2015届高中毕业班第一次统一检测】如图，已知P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，AB =2，C 是⊙O 上一点，且AC =BC =P A ，E 是PC 的中点，F 是PB 的中点. （1）求证：EF //平面ABC ；（2）求证：EF ⊥平面P AC ； （3）求三棱锥B —P AC 的体积.
5.【广东2015届高三第一次六校联考】直角梯形ABCD 中AB ∥ CD ,CD AB 2
1
=
，BC AB ⊥，平面ABCD ⊥平面BCE ，BCE ?为等边三角形，F M ,分别是BC BE ,的中点，DC DN 4
1
=
. （1）证明：EF ⊥AD ；（2）证明：MN ∥ 平面ADE ； （3）若1,2AB BC ==，求几何体ABCDE 的体积.
P
A
B
6.【广州六中2015届9月高三第二次月考】如图，在三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥底面ABC ，且
ABC ?为正三角形，16AA AB ==，D 为AC 的中点．
（1）求证：直线1AB ∥平面D BC 1；（2）求证：平面D BC 1⊥平面
；
（3）求三棱锥D BC C 1-的体积．
7.【广州市荔湾区2015届高三11月调研测试】如图所示，已知PD 垂直以AB 为直径的圆O 所在平面， 点D 在线段AB 上，点C 为圆O 上一点，且 （1）求证：PA ⊥CD ；
（2）求点B 到平面PAC 的距离．
1
A
D 1
C 1
B 1
A 1
F E
D
C
B
A
8.【韶关市2015届高三模拟底考试】如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面是正方形，1AB =，
12AA =，线段11B D 上有两个点E ，F .
（1）证明：11AC B D ⊥；（2）证明：EF ABCD 平面∥； （3）若E ,F 是线段11B D 上的点，且1
2
EF =，求三棱锥ABF E -的体积.
9.【2015届中山七校联考】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点,M 是PD 的中点,2,60AB BAD =∠=. （1）求证：//OM 平面PAB ； （2）平面PBD ⊥平面PAC ； （3）当四棱锥ABCD P -的体积等于3时,求PB 的长.
F E
乙
D
B
A
10.【2014高考浙江卷】如图，四棱锥BCDE A -中，平面ABC ⊥平面BCDE ,90CDE BED ∠=∠=?，
2AB CD ==，1DE BE ==
，AC =（1）证明：AC ⊥平面BCDE ；
（2）求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值.
11.【深圳市2015届高三年级第一次五校联考】如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知
45,90,105,o o o A C ADC ∠=∠=∠=AB BD =，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平
面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点． （1）求证：DC ⊥平面ABC ；
（2）设CD a =，求三棱锥A －BFE 的体积．
A
D E
B
C
线面、面面平行的判定与性质定理 知识梳理 线面平行判定定理________________________符号： 性质定理________________________符号： 面面平行判定定理________________________符号： 性质定理________________________符号： 1、在正方体 1 1 1 1 D C B A ABCD-中，E、F分别为BC、1 1 D C的中点。 求证：EF∥平面D D BB 1 1 。 2、在正方形 1 1 1 1 D C B A ABCD-中，P、Q分别为 1 AD、BD的中点。 证明：PQ∥平面 1 1 D DCC； 3、正方体中 1 1 1 1 D C B A ABCD-中，M，N，E，F分别是棱 1 1 B A， 1 1 D A， 1 1 C B， 1 1 D C的中点。 求证：平面AMN∥平面EFDB。 4、已知三棱柱 1 1 1 C B A ABC-中，D为线段 1 1 C A中点。 求证： 1 BC∥平面D AB 1 5、四棱锥P-ABCD中，E、F分别在PA、BD上，且有PE：EA=BF：FD，证明：EF//平面PBC。 6.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ. 求证：PQ∥平面BCE. 7．如图所示，正方体ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中，侧面对角线AB 1 ，BC 1 上分别有两点E，F，且B 1 E=C 1 F. 求证：EF∥平面ABCD. 8、如图,E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面α过EH分别
线面平行的判定定理和性质定理 教学目的： 1.掌握空间直线和平面的位置关系； 2.直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定掌握理实现“线线”“线面”平行的转化 教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系 通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础 前面3节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是这三小节的重点 教学过程： 一、复习引入： 1 空间两直线的位置关系 （1）相交；（2）平行；（3）异面 2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：//,////a b b c a c ?． 3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法 a b 1A A 6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：,,,A B l B l ααα?∈???AB 与l 是异面直线
7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：2 , 0(π 8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥． 9．求异面直线所成的角的方法： （1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 10．两条异面直线的公垂线、距离 和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线 在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度， 叫做两条异面直线间的距离． 两条异面直线的公垂线有且只有一条 二、讲解新课： 1．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类． a α?，a A α=，//a α． a α a α 2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 推理模式：,,////l m l m l ααα???． 证明：假设直线l 不平行与平面α， ∵l α?，∴l P α=， 若P m ∈，则和//l m 矛盾， 若P m ?，则l 和m 成异面直线，也和//l m 矛盾，
教学目的： 1.掌握空间直线和平面的位置关系； 2.直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定掌握理实现“线线”“线面 ”平行的转化 教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系 通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础 前面3节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是这三小节的重点 教学过程： 一、复习引入： 1 空间两直线的位置关系 （1）相交；（2）平行；（3）异面 2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：//,////a b b c a c ?． 3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法 a b 1A A 6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：,,,A B l B l ααα?∈???AB 与l 是异面直线
7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：2 , 0(π 8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥． 9．求异面直线所成的角的方法： （1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 10．两条异面直线的公垂线、距离 和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线 在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度， 叫做两条异面直线间的距离． 两条异面直线的公垂线有且只有一条 二、讲解新课： 1．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类． a α?，a A α=，//a α． a α a α 2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 推理模式：,,////l m l m l ααα???． 证明：假设直线l 不平行与平面α， ∵l α?，∴l P α=， 若P m ∈，则和//l m 矛盾， 若P m ?，则l 和m 成异面直线，也和//l m 矛盾，
空间点线面的位置关系精编考题 1．平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两个点都在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 ,,A B l A B α∈? ?∈? l α?? 2．平面的基本性质公理2（确定平面的依据） 经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 3．平面的基本性质公理2的推论 （1）经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面 （2）经过两条相交直线，有且只有一个平面 （3）经过两条平行直线，有且只有一个平面 4．平面的基本性质公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线 A A αβ∈??∈?? l A l αβ=∈I 5．异面直线的定义与判定 （1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交也不平行 （2）判定：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线 典例1如图长方体中，(1)说出以下各对线段的位置关系? ①EC 和BH 是 直线；②BD 和FH 是 直线； ③BH 和DC 是 直线 (2)与棱AB 所在直线异面的棱共有 条? （3）长方体的棱中共有多少对异面直线？ 例2：如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知E 、F 分别是AB 、BC 的中点． （1）求证：EF 1C 1C 1C 空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．1或4 D 2. 直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ） A ．一条直线不相交 B ．两条直线不相交 C ．任意一条直线不相交 D ．无数条直线不相交 3. 若b a //，且a 与平面α相交，那么直线b 与平面α的位置关系是（ ） A ．必相交 B ．有可能平行 C ．相交或平行 D ．相交或在平面内 G F H E B C D A A 1
2.2.1 直线与平面平行的判定及性质教学设计 一、教材分析 直线与平面问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。 二、教学目标 1、知识与技能 （1）通过直观感知、操作确认，理解直线与平面平行的判定定理并能进行简单应用。 （2）进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想像能力。 2、过程与方法 （1）启发式：以实物（门、书、景色）为媒体，启发、诱思学生逐步经历定理的直观感知过程。 （2）指导学生进行合情推理。对于立体几何的学习，学生已初步入门，让学生自己主动地去获取知识、发现问题、教师予以指导，帮助学生合情推理、澄清概念、加深认识、正确运用。 3、情感态度与价值观 （1）让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。 （2）在培养学生逻辑思维能力的同时，养成学生办事认真仔细的习惯及合情推理的探究精神。 三、教学的重点与难点 教学重点：直线和平面平行的判定定理的发现及其应用。 教学难点：从生活经验归纳发现直线和平面平行的判定定理。 四、教学过程 （一）引入新课 1、内容回顾，老师带领学生复习直线与平面的已学内容。 直线与平面有两个公共点——直线在平面内(直线上所有的 点都在这个平面内） 直线与平面只有一个公共点——直线与平面相交 直线与平面没有公共点——直线与平面平行
直线与平面平行 2、直观感知 老师提问学生：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗？ 学生举例：例举日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。 门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行(由学生到教室门前作演示)，然后教师用多媒体动画演示。 （二）新授内容 1、如何判定直线与平面平行： 如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，那 么这条直线和这个平面平行。 老师给学生讲解例题： 例1：求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于 经过另外两边的平面。 已知：如图空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的 中点。求证：EF∥平面BCD AE＝EB ?EF∥BD AF＝FD EF ?平面BCD ?EF∥平面BCD BD ?平面BCD 2．直线和平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和
线面、面面关系的判定与性质 一、线面关系的转换网络图 1﹒线线平行： （1）平行公理:平行于同一直线的两直线平行（线线平行的传递性）﹒ （4）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 这条直线和交线平行（线面平行→线线平行）﹒ （6）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行 →线线平行）﹒ （12）线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行﹒ 2﹒线线垂直： （9）线面垂直的性质：一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线（线面垂直→线线垂直）其它判定方法：利用平面几何中证明线线垂直的方法（如勾股定理，等腰直角三角形底边上的高，正方形（菱形）的对角线等）﹒ 3﹒线面平行： （2）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面 平行（线线平行→线面平行）﹒ （5）面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（面面平行→线 面平行）﹒ 4﹒线面垂直： （7）线面垂直的判定定理：如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面（线线 垂直→线面垂直）﹒ （11）线面垂直的判定定理推论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个 平面﹒ （14）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面﹒
（10）面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个 平面（面面垂直→则线面垂直）﹒ 5﹒面面平行： （4）面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行（线面 平行→面面平行）﹒ （13）定理：垂直于同一条直线的两个平面平行﹒ 6﹒面面垂直： （8）面面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，另一个平面过这条线，则这两个平面垂直 （面面垂直→则线面垂直）﹒ 7.直线与平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 这个角的范围为]90,0[0 . （2）斜线与平面成角计算一般步骤： ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把这个角放在三角形中计算. 注：斜线PA 与平面α所成的角为PAB ∠，其中α平面⊥PB . 二、典型例题 例1：三棱锥ABC P -中，ABC PA 平面⊥， 0 90=∠BAC ，证明：PAC BA 平面⊥. （判定定理、定义） 变式1：三棱锥ABC P -中，PA AC ⊥，ABC ?满足0 90=∠BAC ， AC PA =，D 是边PC 的中点， 证明：DAB PC 平面⊥. （判定定理、定义、等腰三角形的高） C B A P C D A P B P A B α
《线面平行判定定理及性质定理的应用》学案 例1.（13山东）如图所示，在三棱锥P-ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA=BP=BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ=2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH 。 （Ⅰ）求证：AB//GH ； （Ⅱ）求二面角D-GH-E 的余弦值 例2. （13安徽）如图，圆锥顶点为p 。底面圆心为o ，其母线与底面所成的角为22.5°。 AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°， （Ⅰ）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （Ⅱ）求cos COD ∠。 练习： 1．如图，在四棱锥ABCD P -中，PA=PB ，底面ABCD 是菱形，且0 60=∠ABC ，点M 是AB 的中点，点E 在棱PD 上，满足DE=2PE ，求证：EMC //面PB 。 A P E B C D
2．如图，四棱锥ABCD E -，ABCD 为直角梯形，ABE 为直角三角形， EB EA BC CD AB BC AB CD AB ⊥==⊥,22,,//。问：线段EA 上是否存在点F ，使FBD //面EC ，若存在，求出 EA EF 的值；若不存在，说明理由。 3．如图，五面体4AB 111=-中，B BCC A ，底面ABC 是正三角形，AB=2.四边形1 1B BCC 是矩形。问：D 在AC 上运动，当D 在何处时，有11BDC //AB 面，并说明理由。 4．(12福建改编)如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，E 为CD 中点。 问：在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面AE B 1？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由。 A B C D E B C D 1 C 1 B
2.2 线面平行、面面平行的判定 例题解读: 例1.如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点，M 为SC 的中点. 求证：SA ∥平面MDB. 例2.正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB ，M 、N 在对角线 求证：//MN 平面BCE 例3.已知ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP∥GH、 例4. 如图，在空间四边形ABCD 中，P 、Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心.求证：PQ ∥平面ACD.
例5.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO? 巩固练习： 1.若α//l ，α∈A ，则下列说法正确的是（ ） A.过A 在平面α内可作无数条直线与l 平行 B.过A 在平面α内仅可作一条直线与l 平行 C.过A 在平面α内可作两条直线与l 平行 D.与A 的位置有关 2.若直线a∥直线b ，且a∥平面α，则b 与a 的位置关系是（ ） A 、一定平行 B 、不平行 C 、平行或相交 D 、平行或在平面内 3. 如图在四面体中，若直线EF 和GH 相交，则它们的交点一定（ ）. A.在直线DB 上B.在直线AB 上 C.在直线CB 上 D.都不对 4.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线( A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．不确定 5.已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ?α；④α⊥β；⑤α∥β.为使m ∥β，应选择下面四个选项中的( ) A ．①④ B．①⑤C．②⑤ D．③⑤ 6.若直线l 与平面α的一条平行线平行，则l 和α的位置关系是 () A.α?l B.α//l C.αα//l l 或? D.相交和αl 7若直线a 在平面α内，直线a,b 是异面直线，则直线b 和α平面的位置关系是 ( ) A ．相交 B.平行 C.相交或平行 D.相交且垂直 8.若直线l 上有两点P 、Q 到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是( ) A.平行 B.相交C.平行或相交 D.平行、相交或在平面α内 9.下列命题正确的个数是( ) (1)若直线l 上有无数个点不在α内，则l ∥α (2)若直线l 与平面α平行，l 与平面α内的任意一直线平行 (3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行 (4)若一直线a 和平面α内一直线b 平行，则a ∥α A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.2.1 直线与平面平行的判定 ：知识要点 直线与平面平行的判断方法有两种 1 根据定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行 . （ 一般用反证法． ） 2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平 面平行. （符号表示为： a ,b ,a//b a// . 图形如图所示） . 二：例题 判定定理证明：已知： a α， b α，且 a ∥b 求证： a∥α 例 1 ：求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另 外两边所在的平面。 已知：如图空间四边形 ABCD 中，E 、F 分 别是 AB 、 求证： EF ∥平面 BCD 证明： 例 2: 正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为 DD 1的中点，试判断 BD 1与平面 AEC 的位置 关系，说明理由 a A F 点 B C1 C B
三练习： 1. 判断下列说法是否正确，并说明理由． ○1 平面 外的一条直线 a 与平面 内的无数条直线平行则直线 a 和平面 平行； ○2平面 外的两条平行直线 a,b ，若 a// ，则b// ； ○3 直线a 和平面 平行，则直线 a 平行于平面 内任意一条直线； ○ 4 直线 a 和平面 平行，则平面 中必定存在直线与直线 a 平行． A. l 1 ∥α B. l 2 α C. l 2 ∥α或l 2 α D. l 2 与α相交 3．以下说法（其中 a ，b 表示直线， 表示平面） ①若 a ∥b ， b ，则 a ∥ ②若 a ∥ ，b ∥ ，则 a ∥b ③若 a ∥b ， b ∥ ，则 a ∥ ④若 a ∥ ，b ，则 a ∥b 其中正确说法的个数是（ ） . A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 4.已知a ，b 是两条相交直线， a ∥ ，则 b 与 的位置关系是（ ）. A. b ∥ B. b 与 相交 C. b α D. b ∥ 或 b 与 相交 5. 如果平面 外有两点 A 、B ，它们到平面 的距离都是 a ，则直线 AB 和平面 的 位置关系一定是（ ） . A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. AB 6．平面 与△ ABC 的两边 AB 、 AC 分别交于 D 、E ，且 AD ∶DB=AE ∶EC ，求证： BC ∥平面 . 7．P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， E 为PB 的中点， O 为 AC ， BD 的交点. （1）求证：EO ‖平面PCD ； （2）图中EO 还与哪个平 面平行？ 8. 在正方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1中， E 、F 分别为棱 BC 、C 1D 1的中点. 求证： EF ∥平面 BB 1D 1D 2. 已知直线 l 1、l 2 , 平面α, l 1 ∥l 2 , l 1∥α 那么 l 2 与平面 α 的关系是（ ）.
线面、面面平行的判定与性质 基础巩固强化 1.(文)(2011·北京海淀期中)已知平面α∩β＝l，m是α内不同于l的直线，那么 下列命题中错误 ．．的是( ) A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥β C．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β [答案]D [解析]A符合直线与平面平行的性质定理；B符合直线与平面平行的判定定理；C符合直线与平面垂直的性质；对于D，只有α⊥β时，才能成立． (理)(2011·泰安模拟)设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列命题中正确的是( ) A．若m∥α，m∥n，则n∥α B．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β D．若α∥β，m∥α，n∥m，n?β，则n∥β [答案]D [解析]A选项不正确，n还有可能在平面α内，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β内，选项D正确．
2．(文)(2011·邯郸期末)设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是( ) A．若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，则α∥β B．若m∥α，m∥n，则n∥α C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β [答案]D [解析]选项A中的直线m，n可能不相交；选项B中直线n可能在平面α内；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面． (理)(2011·浙江省温州市测试)已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．α∥β，m?α，n?β?m∥n B．l⊥β，α⊥β?l∥α C．m⊥α，m⊥n?n∥α D．α∥β，l⊥α?l⊥β [答案]D [解析]对于选项A，m，n平行或异面；对于选项B，可能出现l?α这种情形；对于
高中数学必修二学案(034) 班级_________姓名_________组别_____ 编写人 朱永 审核人 赵春梅 线面平行的判定定理与性质定理练习 1．下列命题正确的是 ( ) A 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行 B 一直线与平面平行，则平面内有且只有一个直线与已知直线平行 C 一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行 D 一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面 2．若直线l 与平面α的一条平行线平行，则l 和α的位置关系是( ) A α?l B α//l C αα//l l 或? D 相交和αl 3．若直线a 在平面α内，直线a,b 是异面直线，则直线b 和α平面的位置关系是 ( ) A ．相交 B 。平行 C 。相交或平行 D 。相交且垂直 4．下列各命题： （1） 经过两条平行直线中一条直线的平面必平行于另一条直线； （2） 若一条直线平行于两相交平面，则这条直线和交线平行； （3） 空间四边形中三条边的中点所确定平面和这个空间四边形的两条对角线都平 行。 其中假命题的个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 5．E 、F 、G 分别是四面体ABCD 的棱BC 、CD 、DA 的中点，则此四面体中与过E 、F 、G 的截面平行的棱的条数是( ) A ．0 B 1 C 2 D3 6．直线与平面平行的充要条件是 ( ) A ．直线与平面内的一条直线平行 B 。直线与平面内的两条直线不相交 C ．直线与平面内的任一直线都不相交 D 。直线与平行内的无数条直线平行 7．若直线上有两点P 、Q 到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是 ( ) A 平行 B 相交 C 平行或相交 D 或平行、或相交、或在内 8．a,b 为两异面直线，下列结论正确的是 ( ) A 过不在a,b 上的任何一点，可作一个平面与a,b 都平行 B 过不在a,b 上的任一点，可作一直线与a,b 都相交 C 过不在a,b 上任一点，可作一直线与a,b 都平行 D 过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行 9．判断下列命题是否正确： (1)过平面外一点可作无数条直线与这个平面平行 ( ) (2)若直线α?l ，则l 不可能与α内无数条直线相交 ( ) (3)若直线l 与平面α不平行，则l 与α内任一直线都不平行 ( ) (4)经过两条平行线中一条直线的平面平行于另一条直线 ( ) (5)若平面α内有一条直线和直线l 异面，则α?l ( ) 【本课小结】 从知识上学到________________________________________ 从方法上学到________________________________________ 还有哪些疑惑________________________________________ 下节目标解读____________________________________________ 包铁一中引导行三线教学法
高一数学直线与平面平行的判定和性质教案 教学目标 （一）本节知识点 直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定定理，直线与平面平行的性质定理。 （二）课时安排 在学习了前面关于平面、空间直线等立体几何中的基础概念之后接触到的立体几何中的又一研究重点直线与平面的位置关系，所以本节内容处于一个承上启下的位置。安排用三个课时来完成。 （三）本堂课教学目标 1．教学知识目标 进一步熟悉掌握空间直线和平面的位置关系。理解并掌握直线与平面平行的判定定理及直线与平面平行的性质定理。 2．能力训练：掌握由“线线平行”证得“线面平行”和“线面平行”证得“线线平行”的数学证明思想。进一步熟悉反证法；进一步培养学生的观察能力、空间想象力和类比、转化能力，提高学生的逻辑推理能力。 3．德育渗透：培养学生的认真、仔细、严谨的学习态度。建立“实践――理论――再实践”的科学研究方法。 （四）教学重点、难点 重点：直线与平面平行的判定和性质定理。 难点：灵活的运用数学证明思想。 （五）教学方法：启发式、引导式、找错教学。多注重观察和分析，理论联系实际。 （六）教具：模型、尺、多媒体设备 二、教学过程 （一）内容回顾 师：在上节课我们介绍了直线与平面的位置关系，有几种？可将图形给以什么作为划分的标准？出引导作答生：三种，以直线与平面的公共点个数为划分标准，分别是 直线与平面有两个公共点——直线在平面内(直线上所有的点都在这个平面内） 直线与平面只有一个公共点——直线与平面相交 直线与平面平行 注：我们也将直线与平面相交和平行统称为直线在平面外 （二）新授内容 1．如何判定直线与平面平行 师：请同学回忆，我们昨天是受用了什么方法证明直线与平面平行？有直线在平面外能不能说明直线与平面平行？ ①生：借助定义，用反证法说明直线与平面没有公共点（证明直线在平面外不能说明直线与平面平行） ②直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 已知：a?α，b?α，且a∥b 从学生的直观感
直线、平面平行的判定及其 性质总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
线线平行→线面平行：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。【判定】 线面平行→线线平行：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。【性质】 线面平行→面面平行：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。【判定】 面面平行→线线平行：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。【性质】 线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。【线面垂直定义】 线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。【判定】线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。【性质】
线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。【判定】 面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。【性质】 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上。 公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上。 公理三：三个不共线的点确定一个平面。 推论一：直线及直线外一点确定一个平面。 推论二：两相交直线确定一个平面。 推论三：两平行直线确定一个平面。 公理四：和同一条直线平行的直线平行。（平行线的传递性）
线面、面面平行的判定与性质 一、线线、线面、面面平行间的相互转化 （1）平行公理:平行于同一直线的两直线平行（线线平行的传递性） （2）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这 个平面平行（线线平行→线面平行） （3）面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行 （线面平行→面面平行） （4）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线和交线平行（线面平行→线线平行） （5）面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（面面平 行→线面平行） （6）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面 面平行→线线平行） 三、证明线线平行的方法： （1）线线平行的传递性； （2）三角形中位线； （3）平行四边形对边平行； （4）三角形中对应边成比例； （5）线面平行的性质定理. 三、典型例题 例：已知四棱锥ABCD P ,E 是PD 的中点.证明：ACE PB 面// E P D B A C
变式1：已知四棱锥ABCD P -,E 是AD 的中点，F 是PB 的中点.证明：ACE PB 面//. 变式2：已知四棱锥ABCD P -,BC EF //,EFHG 平面与ABCD 平面相交于HG ， PB HI //,证明:PBC IG 面//. 四、巩固训练 1.三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 边的中点.求证：1AC ∥平面1CDB . P D B A C E F E P D B A C F G H I B A C A 1 B 1 C 1 D
直线与平面平行的判定和性质
（二）新授内容 1．如何判定直线与平面平行 在平面外能不能说明直线与平面平行？ 不能说明直线与平面平行） ②直线与平面平行的判定定理 面平行。 已知：a?α，b?α，且a∥ 求证：a∥α 师：你们会采用什么方法证明定理？ 证明：∵ a∥b∴经过a,b确定一个平面β ∵a?α，b?α∴α与β是两个不同的平面。∵b?α，且b?β∴α∩β 假设a与α有公共点P，则P∈α∩β＝ 点P是a、b的公共点这与a∥b矛盾，∴a∥α例1：求证：空间四边形相邻两边中点的连线，已知：如图空间四边形ABCD中，E、F分别是面BCD 证明：连结BD AE＝EB ?EF∥BD AF＝FD EF ?平面BCD ?EF∥平面 BD ?平面BCD 评析：要证EF∥平面BCD，关键是在平面BCD 证明线面平行的问题转化为证明直线的平行2．直线和平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行， 这条直线和交线平行。 已知：a∥α，a?β,α∩β＝b（如右图） 求证：a∥b
证明：α∩β＝b ?b ?a a ?β a ∥α ? a ∩b=φ ?a ∥ b b ?β 评析：证明用到了“同一平面的两直线没有公共点，则它们平行” 例2、如图，平面α、β、γ两两相交，a 、b 、c 为三条交线，且a ∥b ，那么a 与c 、b 与c 有什么关系？为什么？ 师：猜a 与c 什么关系？生：平行 师：已知a ∥b 能得出什么结论，怎样又可征得a ∥c 解：依题可知：α∩γ=a,β∩γ=b,α∩β借助多媒体将 ∵a ?α,b ?α,且a ∥b ∴b ∥α 图形多角度展 又∵b ? β, α∩ β=C ∴b ∥示，便于观察 又∵a ∥b, ∴a ∥c 师：b ∥α,过b 且与α相交的平面有多少个？这些交线的位置关系如何？ 多媒体展示过 生：有无数条交线，且它们相互平行。 程 注： ①性质定理也可概括为由“线面平行”证得“线线平行” ②过b 且与α相交的平面有无数个，这些平面与α的交线也有无数条，且这些交线都互相平行 3．练习 ①能保证直线a 与平面α平行的条件是（ A ） A.a ?α,b ?α,a ∥b B .b ?α,a ∥b C. b ?α,c ∥α,a ∥b,a ∥c D. b ?α,A ∈a,B ∈a,C ∈b ,D ∈b 且AC ＝BD ②下列命题正确的是（ D F ） A. 平行于同一平面的两条直线平行 B. 若直线a ∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a 平行 C. 若直线a ∥α,则平面α内任一条直线都与a 平行 D. 若直线a ∥α,则平面α内有无数条直线与a 平行 E. 如果a 、b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面 F. 如果直线a 、b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α,b ?α，那么b ∥α ③若两直线a 与b 相交，且a 平行于平面α，则b 与α的位置关系是 平行或相交 ④如图，空间四边形ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一矩形。 （1）求证：CD ∥平面EFGH ； （2）求异面直线AB 、CD 所成的角
线面、面面平行的判定、性质定理 1、已知：b αβ=I ，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是（ ） Ａ．a b // Ｂ．a b ⊥ Ｃ．a ，b 相交但不垂直 Ｄ．a ，b 异面 2、已知：b αβ=I ，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是（ ）． Ａ．a b // Ｂ．a b ⊥ Ｃ．a 、b 相交但不垂直 Ｄ．a 、b 异面 3、过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a ，b ，c ，…，则这些交线的位置关系为（ ） Ａ．都平行 Ｂ．都相交且一定交于同一点 Ｃ．都相交但不一定交于同一点 Ｄ．都平行或都交于同一点 4、a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结 论成立的是（ ） Ａ．过A 且平行于a 和b 的平面可能不存在 Ｂ．过A 有且只有一个平面平行于a 和b Ｃ．过A 至少有一个平面平行于a 和b Ｄ．过A 有无数个平面平行于a 和b 5、如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ． 6、如图，正方形ABCD 的边长为13，平面ABCD 外一点P 到正方形各顶点的距离都是13，M ，N 分别是PA ，DB 上的点，且58PM MA BN ND ==∶∶∶． （1）求证：直线MN //平面PBC ； （2）求线段MN 的长． 7、如图，已知P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点， 求证：PD //平面MAC ． 8、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ， 11C D 的中点，求证：EF //平面11BB D D ． 9、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，试作出过AC 且与直线1D B 平行的截面，并说明理由． 10、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面 1A BD //平面11CD B ． 11、如图，M 、N 、P 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD 上的点，且AM MB CN NB CP PD ==∶∶∶． 求证：（１）AC //平面MNP ，BD //平面MNP ； （２）平面MNP 与平面ACD 的交线AC //． 12、如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点． 求证：MN //平面PAD ． 13、如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E 、F 分别是PA 、BD 上的点且::PE EA BF FD =，求证：EF //平面PBC ． A C 1 C A 1 C 1 C A 1 C 1C A D
线面平行的判定与性质练习 一、基本内容 1.线面平行的判定 2.线面平行的性质 二、练习题 题型一：概念性习题 1．下列命题正确的是 （ ） A 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行 B 一直线与平面平行，则平面内有且只有一个直线与已知直线平行 C 一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行 D 一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面 2．若直线l 与平面α的一条平行线平行，则l 和α的位置关系是 ( ) A. α?l B.α//l C.αα//l l 或? D.相交和αl 3．若直线a 在平面α内，直线a,b 是异面直线，则直线b 和α平面的位置关系是 ( ) A ．相交 B.平行 C.相交或平行 D.相交且垂直
4．下列各命题中假命题的个数为 ( ) （1） 经过两条平行直线中一条直线的平面必平行于另一条直线； （2） 若一条直线平行于两相交平面，则这条直线和交线平行； （3） 空间四边形中三条边的中点所确定平面和这个空间四边形的两条对角线都平行。 A 0 B 1 C 2 D 3 5．若直线上有两点P 、Q 到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是 ( ) A 平行 B 相交 C 平行或相交 D 或平行、或相交、或在内 6．a,b 为两异面直线，下列结论正确的是 ( ) A 过不在a,b 上的任何一点，可作一个平面与a,b 都平行 B 过不在a,b 上的任一点，可作一直线与a,b 都相交 C 过不在a,b 上任一点，可作一直线与a,b 都平行 D 过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行 7．判断下列命题是否正确： (1)过平面外一点可作无数条直线与这个平面平行 ( ) (2)若直线α?l ，则l 不可能与α内无数条直线相交 ( ) (3)若直线l 与平面α不平行，则l 与α内任一直线都不平行 ( ) (4)经过两条平行线中一条直线的平面平行于另一条直线 ( ) (5)若平面α内有一条直线和直线l 异面，则α?l ( ) 题型二：证明题 8．P 为平行四边形ABCD 外一点，E 是PA 的中点，O 是AC 和BD 的交点，求证：OE//平面 PBC 。 9．求证：如果一条直线和两相交平面都平行，那么这条直线就和它们的交线平行。 10.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是 1A B 、1A C 的中点，求证： EF ∥平面ABC ；
线面、面面平行的判定与性质（教师版） 知识回顾 1．线面平行的判定 （1）直线与平面平行的定义：直线与平面无公共点． （2）直线与平面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 用符号表示为：a ?α，b ?α，且a ∥b ?a ∥α． 2．线面平行的性质 直线与平面平行的性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 符号语言描述： ? ??? ?a ∥α a ?ββ∩α＝ b ?a ∥b ． 3. 面面平行的判定 （1）平面α与平面β平行的定义：两平面无公共点． （2）直线与平面平行的判定定理： 下面的命题在“________”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题(m ，n 为直线，α，β为平面)，则此条件应为m ，n 相交． ? ????m ?α n ?α m ∥βn ∥β ?α∥β 4．面面平行的性质 平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号表示为： ? ??? ?α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b ?a ∥b ． 题型讲解 题型一 利用三角形中位线证明线面平行 例1、如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点，M 为SC 的中点.
求证：SA∥平面MDB. 答案:证明：连结AC交BD于N，因为ABCD是平行四边形，所以N是AC的中点.又因为M是SC的中点，所以MN∥SA.因为MN平面MDB，所以SA∥平面MDB. 例2、如图,已知点M、N是正方体ABCD-A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心， 求证：MN∥平面PB1C. 答案证明：如图，连结AC， 则P为AC的中点，连结AB1， ∵M、N分别是A1A与A1B1的中点， ∴MN∥AB1. 又∵平面PB1C，平面PB1C，故MN∥面PB1C. 例3、如图所示，P是?ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD． 求证：EF∥平面PBC．