数学建模期末考试2013A试题与答案
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华南农业大学期末考试试卷（A 卷）
2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟
学号 姓名 年级专业
一、(满分12分)
一人摆渡希望用一条船将一只狼，一只羊，一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎
样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、
羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当
i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。
(1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分）
解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分）
(2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分）
(3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分）
(4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。
2
或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。 （12分）
1、 二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型：
（1） 假设肌肉的强度和其横截面的面
积成比例。6分
（2） 假定体重中有一部分是与成年人
的尺寸无关，请给出一个改进模型。6分
解：设体重w （千克）与举重成绩y （千克） （1） 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成
比例，所以 y ∝I ∝S
设h 为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S ∝ h 2
再体重正比于身高的三次方，则w ∝ h 3
为：
（6分） （2）a,
装
订
线
1
1
记i=1，2，…，9表示9门课程的编号。设1=i
x 表示第i 门课程选修，0=i
x 表示第i 门课程不选, 建立数学规划模型
(1) 写出问题的目标函数(4分)
(2) 每人至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课,如何表示此约束条件? (5分)
(3) 某些课程有先修课要求, 如何表示此约束条件? (5分)
解 (1)
9
1
min i i Z x ==∑
(4分)
(2) 1
2
3
4
5
2x x x x x ++++≥
3
5
6
8
9
3
x x x x x ++++≥
(9分)
46792
x x x x +++≥
(3)
2
313,x x x x ≤≤
2
4
7
x x ≤
5
1
5
2
,x x x x ≤≤ 6
7
x x ≤
9
1
9
2
,x x x x ≤≤
8
5
x x ≤ (14分)
四、(满分10分)
雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞
系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的量纲[μ]=1
1
L MT -- 1，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.
解：设v ,ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为
[v ]=LM 0T -1，
[ρ]=L -3MT 0
， [μ]=1
1
L MT --
[g ]=LM 0T -2,其中L ，M ，T 是基本量纲. (3分)
量纲矩阵为
A=
)
()()()()()()(210101101131g v T M L μρ??????????-----
齐次线性方程组Ay=0 ，即
3
???
??==+=+0
2y -y - y -0
y y 0y y -3y -y 431
324321
的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)
(7分)
由量纲PI 定理 得 g v μρπ1
3
--=. 3
ρμλg v =∴，
其中λ是无量纲常数. (10分)
五、(满分12分)设某种群t 时刻的数量为()x t ,初始数量为0x ,
(1) 写出种群数量的指数增长模型并求解; (2) 设容许的资源环境最大数量为N , 写出种群数量的阻滞增长模型(logistic), 并求其平衡点.
解 (1) x rx = (3分)
0()rx
x t x e =
(6分)
(2) ()(1)x
x t rx N
=-
(9
分)
(1)0,x
rx N
-
= 平衡点为0x = 和x N = (12
分)
六、（满分10分）设在一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又
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长着茂盛的植物。爬行动物以哺乳动物为食，哺乳动物又依赖植物生存，假设食肉爬行动物和哺乳动物独自生存时服从Logistic 变化规律，植物独自生存时其数量增长服从指数增长规律。现有研究发现，当哺乳动物吃食植物后，植物能释放某些化学物质对吃食的哺乳动物产生一定的毒害作用。通过适当的假设，建立这三者间的关系模型.
解：设植物、哺乳动物和食肉爬行动物的数量分别为x 1(t), x 2(t), x 3(t)
假设单位数量的植物所释放的化学物质对吃食植物后的哺乳动物的毒害作用率为k ， （3分）
111122222213
23333323()
[()]()
x x r x x x x r k x x K x
x x r x K λλμλ??
=-??=--+--??
?=--+??
（10分）
七、（满分15分））经过一番打探及亲身体验，你准备从三种车型（记为a,b,c)中选出一种购买，选择的标准主要有价格，耗油量大小，舒适程度和外表美观。经反复思考比较，构造了它们之间的成对比较矩阵
已知其最大特征值近似为4.1983.
另外，下列矩阵分别是三种车型关于价格、耗油量、舒适度、及你对它们外表的喜欢程度的成对比较阵： 其中矩阵1234,,,C C C C 的元素是分别是a,b,c 三种车型对于四种标准的优越性的比较尺度. 假定这些成对比较阵（包括A ）都通过了一致性检验，且已知1234,,,C C C C 的最大特征值与对应的归一化特征向量（见下表）：
13781/31551/71/5131/81/51/31A ??????=??
??
??1351/3141/51/41C ????=??????3舒适度411/535171/31/71C ????=??????外表11/51/251721/71C ????=??????2耗油量11
231/2121/31/21C ????=??
????
价格
5
(1) 根据上述矩阵将四项标准在你心目中的比重由重到轻的顺序排出(5分)；
(2) 分别确定哪种车最便宜、最省油、最舒适、最漂亮(5分)； (3) 确定你对这三种车型的喜欢程度（用百分比表示）(5分)；
解： 记4个准则价格，耗油量大小，舒适程度和外表美观分别为C1，C2，C3，C4，则
12:3C C =即12C C 比的影响稍强 23:5C C =即23C C 比的影响强
34:3C C =即34C C 比的影响稍强
所以四项标准在心目中的比重由重到轻的顺序为：
价格、耗油量大小、适合程序、外观美观 (5分) (2)
考虑比较阵C1
122a =表明车型a 的价格优越性高于车型b ，即车型a
比车型b 便宜
232a =表明车型b 的价格优越性高于车型c ，即车型b
比车型c 便宜
所以最便宜的车型为a. (7分) 同理可得
最省油的车型为b ； (8分) 最舒适的车型为a ； (9分) 最漂亮的车型为b 。 (10分) (3)
车型a 的组合权重
6
（0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）·(0.5396，0.1056，0.6267，0.1884)T =0.41 车型b 的组合权重 （0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）·(0.2970，0.7445，0.2797，0.7306)T =0.44 车型c 的组合权重 （0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）·(0.1634，0.1499，0.0936，0.0810)T =0.15 (13分)
车型a ，b ，c 的喜欢程度分别为41%，44%，15% （15分）
八、（满分15分）A,B,C 三个厂家都生产某产品， 2009年它们在某地区的市场占有率2009年分别为： A 厂家:40%, B 厂家:40%, C 厂家: 20%。已知在每年各个厂家之间的市场占有率转移的基本情况是：A 厂家的客户有60%继续用该厂家的产品，20%转为B 厂家，20%转为C 厂家；B 厂家的客户有80%继续用该厂家的产品，10%转为A 厂家，10%转为C 厂家；C 厂家的客户有50%继续用该厂家的产品，10%转为A 厂家，40%转为B 厂家。
（1）预测2010年哪个厂家的市场占有率最大。（6分）
（2）经过很长时间以后，哪个厂家的市场占有率最大？（6分） 解：状态转移概率矩阵为：
0.60.20.20.10.80.10.10.40.5P ??
??=??
???? （2分） (0)(0.4,0.4,0.2)a = （4分）
0.60.20.2(1)(0)(0.4,0.4,0.2)0.10.80.1(0.30.480.22)0.10.40.5a a P ??
??===??
???? （6分）
2010年B 厂家市场占有率最大 。 （8分） (2)
设稳态概率123(,,)w w w w =，
则,wp w =1231230.60.20.2(,,)0.10.80.1(,,)0.10.40.5w w w w w w ??
??=??
????
（10分） 又因为
1231w w w ++= (12分）
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联立解得(0.2,0.6,0.2)w （14分） B 厂家市场占有率最大.
（15分）
二、简答题（每小题满分8分，共24分） 1．模型的分类
答：按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模
型两类， 形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等； 抽象模型：思维模型、符号模型，数学模型等。 2．数学建模的基本步骤 答：（1）建模准备：数学建模是一项创新活动，它所面临的课题是人们在生产和科研中为了使认识和实践进一步发展必须解决的问题。建模准备就是要了解问题的实际背景，明确建模的目的，掌握对象的各种信息，弄清实际对象的特征，情况明才能方法对；
（2）建模假设：根据实际对象的的特征和建模的目的，在掌握必要资料的基础上，对原型进行抽象、简化，把那些反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象出来，简化掉那些非本质的因素，使之摆脱原型的具体复杂形态，形成对建模有用的信息资源和前提条件，并且用精确的语言作出假设，是建模过程关键的一步。有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则；
（3）建模建立：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻画实际问题的数学模型；
（4）模型求解：构造数学模型之后，再根据已知条件和数据分析模型的特征
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和结构特点，设计或选择求解模型的数学方法和算法，这其中包括解方程、画图形、证明定理、逻辑运算以及稳定性讨论，特别是编写计算机程序或运用预算法相适应的软件包，并借助计算机完成对模型的求解； （5）模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行变量之间的依赖关系分析，，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等。通过分析，如果不符合要求，就修改或增减建模假设条件，重新建模，直到符合要求；通过分析如果符合要求，还可以对模型进行评价、预测、优化等；
（6）模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中对模
型进行检验，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适用性，看它是否符合客观实际，若不符合，就修改或增减假设条件，重新建模，循环往复，不断完善，直到获得满意结果。目前计算机技术已为我们进行模型分析、模型检验提供了先进的手段，充分利用这一手段，可以节约大量的时间、人力和物力；
（7）模型应用：模型应用是数学建模的宗旨，也是对模型的最客观、最公正的检验。因此，一个成功的数学模型，必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用。 3．数学模型的作用
答：数学建模的教学及竞赛是实施素质教育的有效途径，它既增强了学生的数学应用意识，又提高了大学生运用数学知识和计算机技术分析和解决实际问题的能力。开展数学建模教学与竞赛对大学生能力的培养是全面的。这表现在创新精神和创新能力的培养，查阅文献资料、分析综合、抽象概括能力的培养，应用能力的培养，运用数学工具和计算机以及实践能力的培养等方面。
数学建模有利于培养学生创新精神和创造能力。数学建模的问题具有一定的开放性，没有一定的规矩可循，没有事先设定的标准答案或答案不是唯一的，具有较大的灵活性。因此需要突破传统的思维模式，面对复杂问题发挥学生的创新精神和创造力、想象力、洞察力以及解决问题的逻辑推理和量化分析能力，善于从实际问题提供的原形中抓住其数学本质，建立新颖的数学模型。
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数学建模有利于培养学生双向翻译能力。它要求学生运用学过的数学知识，把实际问题翻译成数学模型，又将数学模型的结果用浅显易懂的语言翻译出来。
数学建模有利于培养学生获取文献资料信息的能力。在信息社会中，信息和知识以前所未有的速度传播和扩散，这就要求学生具有良好的获取文献资料信息的能力，以便适应现代社会技术创新和知识更新的需要。数学建模问题有强烈实际背景，涉及到不同的学科领域，问题错综复杂。这就促使学生围绕实际问题广泛查阅资料，获取自己有用的材料，这大大锻炼和提高了学生自觉使用资料的能力。
数学建模有利于培养学生利用计算机及相应软件的能力。数学建模需
要对复杂的实际问题和繁琐的数据进行处理。目前计算机和相应的各种软件包，不仅能够节省时间，得到直观形象的结果，有利于深入讨论，而且能够促使学生养成自觉应用最新科技成果的良好习惯。许多很好的计算软件为求解模型或仿真模型提供了便利的平台。数学建模对提高学生使用计算机的能力是极其重要的。
数学建模有利于锻炼学生的毅力、意志。它能增强学生克服困难的信心、
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决心和勇气，同时培养学生团结合作精神和交流、表达的能力，提高组织协调能力，培养其人文素质，丰富学生的知识结构。
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