高考理科数学全国1卷
（2019一卷理）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为3
2
的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．
（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；
（2）若3AP PB =u u u r u u u r ，求|AB |．
解：设直线()()11223
:,,,,2
l y x t A x y B x y =
+． （1）由题设得3,04F ??
???
，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．
由2323y x t y x
?
=+???=?，可得22
912(1)40x t x t +-+=，则12
12(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --
=，得7
8
t =-． 所以l 的方程为37
28
y x =
-． （2）由3AP PB =u u u r u u u r
可得123y y =-． 由232
3y x t y x
?=+???=?，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得121
3,3
x x ==
．
故||3
AB =．
（2018一卷理）设椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1.
由已知可得，点A 的坐标为或(1,.
所以AM 的方程为2y x =-
2
y x =-（2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=?.
当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.
当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，
则12x x < MA MB x x y y k k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得 121212(23()42)(2) MA MB x x x x k k x x k k k -+++= --. 将(1)y k x =-代入2 212 x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=. 所以，21221222422 ,2121 x x x k k k x k -+==++. 则31313222 44128423()4021 k k k k k k k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠. （2017一卷理）已知椭圆C ：22 22=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1， 2），P 4（1，2 ）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程； （2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 解： （1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由2 2221113 4a b a b +>+知，C 不经过点P1，所以点P2在C 上. 因此2 221 11314b a b ?=????+=??，解得2 2 41a b ?=??=??. 故C 的方程为2 21 4x y +=. （2）设直线P2A 与直线P2B 的斜率分别为k1，k2， 如果l 与x 轴垂直，设l ：x=t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t ，），（t ， ）. 则121 k k +-=-，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2 21 4x y +=得 222(41)8440k x kmx m +++-= 由题设可知 22 =16(41)0k m ?-+>. 设A （x1，y1），B （x2，y2），则x1+x2=2 841km k -+，x1x2=22 4441m k -+. 而12121211 y y k k x x --+= + 1212 11kx m kx m x x +-+-=+ 121212 2(1)() kx x m x x x x +-+= . 由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=. 即222448(21)(1)0 4141m km k m k k --+?+-?=++. 解得 12m k +=- . 当且仅当1m >-时，0?>，欲使l ： 12m y x m +=- +，即1 1(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-） （2016一卷理）设圆2 2 2150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程； （II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】（I ）13 42 2=+y x （0≠y ） ；（II ）)38,12[ 【解析】 试题分析：（I ）利用椭圆定义求方程；（II ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。 试题解析：（I ）因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠， 所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+. 又圆A 的标准方程为16)1(2 2=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为： 13 42 2=+y x （0≠y ）. （II ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，),(11y x M ，),(22y x N . 由?????=+-=134 )1(2 2y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k . 则3482221+=+k k x x ，3412 42221+-=k k x x . 所以3 4) 1(12||1||22212 ++=-+=k k x x k MN . 过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1-- =x k y ，A 到m 的距离为1 22+k ，所以 13 44)1 2 (42||222 22 ++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 3 41 112||||212++== k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 当l 与x 轴垂直时，其方程为1=x ，3||=MN ，8||=PQ ，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 高考理科数学全国二卷 （2019二卷理）已知点A (?2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为? 12 .记M 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连 结QE 并延长交C 于点G . （i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值. 解：（1）由题设得 1 222 y y x x ?=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点． （2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>． 由22142 y kx x y =?? ?+ =?? 得x =． 记u = ，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --． 于是直线QG 的斜率为 2k ，方程为()2 k y x u =-． 由22 (),2142 k y x u x y ? =-????+=??得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=．① 设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得32 2G uk y k =+． 从而直线PG 的斜率为3 22 2 12(32)2uk uk k u k k u k -+=-+-+． 所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形． （ii ）由（i ）得||2PQ = ||PG =PQG 的面积 2 22 218() 18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k ++===++++‖． 设t =k + 1 k ，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2 812t S t = +在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为 169 ． 因此，△PQG 面积的最大值为 169 ． （2018二卷理）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程； （2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->. 设1221(,),(,)A y x y x B ， 由2 (1), 4y k x y x =-?? =?得2222 (24)0k x k x k -++=. 2 16160k ?=+>，故1222 24 k x k x ++=. 所以122244 ||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=. 由题设知22 44 8k k +=，解得1k =-（舍去），1k =. 因此l 的方程为1y x =-. （2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则 0022 0005, (1)(1)16.2 y x y x x =-+???-++= +??解得003,2x y =??=?或0011,6.x y =??=-? 因此所求圆的方程为2 2 (3)(2)16x y -+-=或2 2 (11)(6)144x y -++=. （2017二卷理）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2 212 x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r . (1) 求点P 的轨迹方程； (2) 设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ?=u u u r u u u r .证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的 左焦点F . 解： （1）设P （x,y ）,M （x 0,y 0）,设N （x 0,0）, ()()00,,0,=-=NP x x y NM y u u u r u u u u r 由= NP u u u r u u u r 得00=,= x x y y 因为M （x 0,y 0）在C 上，所以22 122 +=x y 因此点P 的轨迹方程为222+=x y （2）由题意知F （-1,0）.设Q （-3，t ）,P(m,n),则 ()()3,1,,33t =-=---=+-OQ ,PF m n OQ PF m tn u u u r u u u r u u u r u u u r g ， ()(),3,==---OP m,n PQ m,t n u u u r u u u r 由1=OP PQ u u u r u u u r g 得22-31-+-=m m tn n ，又由（1）知22+=2m n ，故 3+3m-tn=0 所以0=OQ PF u u u r u u u r g ，即⊥OQ PF u u u r u u u r 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. （2016二卷理）已知椭圆E :22 13 x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA. （I ）当t =4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. 解析：（I ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22 143 x y +=，()2,0A -. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为 4 π .因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127 y =. 因此AMN ?的面积11212144 227749 =?? ?= . （II ）由题意3t >，0k > ，() A . 将直 线 AM 的方 程 (y k x =+代入 22 13 x y t +=得 ( )2 2 222330tk x x t k t +++-=. 由(2 2 12 3t k x tk ?= + 得)212 33tk x tk -=+ ，故 1AM x =+= 由题设，直线 AN 的方程为(1 y x k =-+ ，故同理可得AN ==， 由2AM AN =得22 233k tk k t =++，即()()32321k t k k - =-. 当k = 因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()2 3233 2132022 k k k k k k k -+-+-=<--， 即32 02k k -<-.由此得3 2020k k ->??- k k - ->?2k <<. 因此k 的取值范围是) 2. 高考数学理科全国三卷 （2019三卷理）21.已知曲线2:2x C y =，D 为直线1 2 y =-上的动点.过D 作C 的两条切线, 切点分别是A ,B , （1）证明：直线AB 过定点; （2）若以5(0,)2 E 为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积. 答案： 见解析； 解答： （1）当点D 在1(0,)2-时，设过D 的直线方程为01 2 y k x =- ，与曲线C 联立化简得 20210x k x -+=，由于直线与曲线相切，则有20440k ?=-=，解得01k =±， 并求得,A B 坐标分别为11(1,),(1,)22-，所以 直线AB 的方程为1 2 y =； 当点D 横坐标不为0时，设直线AB 的方程为y kx m =+（0k ≠），由已知可得直线 AB 不过坐标原点即0m ≠，联立直线AB 方程与曲线C 的方程可得，22 y kx m x y =+?? ?=??， 消y 并化简得2220x kx m --=，∵有两个交点∴2480k m ?=+>， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据韦达定理有， 122x x k +=，122x x m =-， 由已知可得曲线C 为抛物线等价于函数2 ()2 x f x =的图像， 则有()f x x '=，则抛物线在11(,)A x y 上的切线方程为111()y y x x x -=-①， 同理，抛物线在22(,)B x y 上的切线方程为222()y y x x x -=-②， 联立①，②并消去x 可得 12 2112 y y y y x x x x ---=-， 由已知可得两条切线的交点在直线1 2 y =- 上，则有 221221 12 112222x x x x x x ---- -=-， 化简得， 12212112 (1)() 2x x x x x x x x --=-，∵0k ≠，∴12x x ≠， 即 1212112x x x x -=，即为2114m m --=-，解得12m =，经检验1 2 m =满足条件， 所以直线AB 的方程为12y kx =+ 过定点1 (0,)2， 综上所述，直线AB 过定点1 (0,)2 得证. （2）由（1）得直线AB 的方程为12 y kx =+， 当0k =时，即直线AB 方程为12y = ，此时点D 的坐标为1(0,)2 -， 以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切于1 (0,)2 F 恰为AB 中点， 此时11 23322 ADBE S AB ED =?=??=； 当0k ≠时，直线AB 方程与曲线方程联立化简得2210x kx --=， 122x x k +=，121x x =-，21221y y k +=+， 则AB 中点坐标为21 (,)2 H k k +， 由已知可得EH AB ⊥，即2152210 EH k k k k k +- ?=? =--， 解得，1k =±， 由对称性不妨取1k =，则直线方程为12 y x =+， 求得D 的坐标为1(1,)2 -，4AB =， E 到直线AB 距离1d = =D 到直线AB 距离2d == 则1211 22 ADBE S AB d AB d = ?+?=， 综上所述，四边形ADBE 的面积为3 或（2018三卷理）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 143 x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：1 2 k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r ．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差． 解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则2222 12121,14343 y x y x +=+=. 两式相减，并由 12 2 1y x y k x -=-得 1122 043 y x y k x +++?=. 由题设知 12121,22 x y x y m ++==，于是 3 4k m =- .① 由题设得302m << ，故1 2 k <-. （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则 331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=. 由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<. 又点P 在C 上，所以34m =，从而3 (1,)2P -，3||2 FP =u u u r . 于是 1||22 x FA ===-u u u r . 同理2||22 x FB =-u u u r . 所以121 ||||4()32 FA FB x x +=-+=u u u r u u u r . 故2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ，即||,||,||FA FP FB u u u r u u u r u u u r 成等差数列. 设该数列的公差为d ，则 1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=u u u r u u u r .② 将3 4 m = 代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+ ，代入C 的方程，并整理得2 171404 x x -+=. 故121212,28 x x x x +== ，代入②解得||28d =. 所以该数列的公差为28 或28 -. （2017三卷理）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆． （1）证明：坐标原点O 在圆M 上； （2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程． 解： （1）设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my =+ 由222x my y x =+??=?可得2 12240则4y my ,y y --==- 又()2 22 12121212==故= 224 y y y y x ,x ,x x =4 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4 ==-14 y y x x g 所以OA ⊥OB 故坐标原点O 在圆M 上. （2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m + 故圆心M 的坐标为( )2 +2，m m ，圆M 的半径 r = 由于圆M 过点P （4，-2），因此0AP BP =u u u r u u u r g ,故()()()()121244220x x y y --+++= 即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由（1）可得1212=-4，=4y y x x ， 所以2 210m m --=，解得11或2 m m ==- . 当m=1时，直线l 的方程为x-y-2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M ，圆M 的方程为()()2 2 3110x y -+-= 当12m =- 时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91， -42?? ??? ，圆M 的半径为 ，圆M 的方程为2 2 9185++4216x y ? ???-= ? ?? ??? （2016三卷理）已知抛物线C ：2 2y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点． （I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ P ； （II ）若PQF ?的面积是ABF ?的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 由题设1 (,0)2 F .设12:,:l y a l y b ==，则0ab ≠，且 22111(,0),(,),(,),(,),(,)222222 a b a b A B b P a Q b R +---. 记过,A B 两点的直线为l ，则l 的方程为2()0x a b y ab -++=. .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故10ab +=. 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则1222 11a b a b ab k b k a a ab a a ---=====-=+-， 所以AR FQ P . ......5分 （Ⅱ）设l 与x 轴的交点为1(,0)D x ， 则1111 ,2222 ABF PQF a b S b a FD b a x S ??-= -=--=. 由题设可得111 222 a b b a x ---=，所以10x =（舍去），11x =. 设满足条件的AB 的中点为(,)E x y . 当AB 与x 轴不垂直时，由AB DE k k =可得2(1)1 y x a b x =≠+-. 而 2 a b y +=，所以21(1)y x x =-≠. 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为2 1y x =-. ....12分
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