A
(a)
O
(a)
第10章 动能定理及其应用
10－1 计算图示各系统的动能：
1．质量为m ，半径为r 的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时，若已知圆盘上A 、B 两点的速度方向如图示，B 点的速度为
v B ，θ = 45o（图a ）。
2．
图示质量为m 1的均质杆OA ，一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v （图b ）。
3
．质量为m 的均质细圆环半径为R ，其上固结一个质量也为m 的质点A 。细圆环在水平面上
作纯滚动，图示瞬时角速度为ω（图c ）。
解：
1．2
22222163)2(2121)2(212121B B B C C C mv r v mr v m J mv T =?+=+=
ω 2．2
22122222214321)(21212121v m v m r v r m v m v m T +=?++=
3．2
2222222)2(2
12121ωωωωmR R m mR mR T =++=
10－2 图示滑块A 重力为1W ，可在滑道内滑动，与滑块A 用铰链连接的是重力为2W 、长为l 的匀质杆AB 。现已知道滑块沿滑道的速度为1v ，杆AB 的角速度为1ω。当杆与铅垂线的夹角为?时，试求系统的动能。
解：图（a ）
B A T T T +=
)2
1
21(21222211ωC C J v g W v g W ++=
21
221121212211122]cos 22)2
[(22ω?ωω??+?++++=l g
W l l v l v l g W v g W
]c o s 3
1
)[(2111221222121?ωωv l W l W v W W g +++=
10－3 重力为P F 、半径为r 的齿轮II 与半径为r R 3=的固定内齿轮I 相啮合。齿轮II 通过匀质的曲柄OC 带动而运动。曲柄的重力为Q F ，角速度为ω，齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能。
解：
C OC T T T +=
2
222)21(212121C
C C C OC O r m v m J ωω++= 22P 2P 22Q )2(41)2(21])2(31[21r r r g F r g F r g F ωωω++= )92(3P Q 22F F g
r +=ω
习题10－2图
习题10－3图
B
(a)
习题10－1图
(b)
(c)
10－4 图示一重物A 质量为m 1，当其下降时，借一无重且不可伸长的绳索使滚子C 沿水平轨道滚动而不滑动。绳索跨过一不计质量的定滑轮D 并绕在滑轮B 上。滑轮B 的半径为R ，与半径为r 的滚子C 固结，两者总质量为m 2，其对O 轴的回转半径为ρ。试求重物A 的加速度。
解： 将滚子C 、滑轮D 、物块A 所组成的刚体系统作为研究对象，系统具有理
设系统在物块下降任意距离s 时的动能
动能：2
2221212121C C C A J v m v m T ω++=
其中r R v A C -=ω，r
R r
v r v A C C -==ω，
22ρm J C =
22
22212
2222221])
([21])(1)([21A A v r R r m m v r R m r R r m m T -++=-+-+=ρρ 力作的功：gs m W 1=
应用动能定理：gs m v r R r m m A 12
2
2221])([21=-++ρ
将上式对时间求导数：s g m a v r R r m m A A 12
2
221])
([=-++ρ 求得物块的加速度为：)
()()(222212
1ρ++--=r m r R m r R g m a A
10－5 图示机构中，均质杆AB 长为l ，质量为2m ，两端分别与质量均为m 的滑块铰接，两光滑直槽相互垂直。设弹簧刚度为k ，且当θ = 0?时，弹簧为原长。若机构在θ = 60?时无初速开始运动，试求当杆AB 处于水平位置时的角速度和角加速度。
解：应用动能定理建立系统的运动与主动力之间的关系。
动能：2
222
12121AB
O B A J mv mv T ω++=
其中：AB A l v θωsin =；AB B l v θωcos =；223
1
ml J O =
2
222226
53121AB
AB AB ml ml ml T ωωω=+= 外力的功：])cos ()60cos [(2
)sin 60(sin 2
2)sin 60(sin 22θθθl l l l k l mg mgl W --?-+-?+-?=
T = W ；2
265AB ml ω])cos 1(4
1[2)sin 23(222θθ--+-=l k mgl （1）
当0=θ时：8
32kl
mgl W +=
2265AB ml ω832kl mgl +=；ml
kl mg m k g l AB 203324203536+=+=ω 对式（1）求导：AB AB ml αω23
5θθθθ
θ sin )cos 1(22
cos 22---=l k mgl ； 其中：AB ωθ=- ；当0=θ时：l
g AB
56=α 习题10－4图
习题10－5图
习题10－6图
10－6 图a 与图b 分别为圆盘与圆环，二者质量均为m ，半径均为r ，均置于距地面为h 的斜面上，斜面倾角为θ，盘与环都从时间0=t 开始，在斜面上作纯滚动。分析圆盘与圆环哪一个先到达地面？
解：对图（a ）应用动能定理：
θsin 4321mgs mv C =；求导后有θsin 3
2
1g a C = 设圆盘与圆环到达地面时质心走过距离d ，则2
1121t a d C =；θ
sin 3211g d a d t C =
= 对图（b ）应用动能定理：θsin 2
2mgs
mv C =；求导后有θsin 2
1
2g a C = 2222
1t a d C =
；θ
sin 422
2g d
a d
t C ==
因为t 1 < t 2，所以圆盘（a ）先到达地面。
10－7 两匀质杆AC 和BC 质量均为m ，长度均为l ，在C 点由光滑铰链相连接，A 、B 端放置在光滑水平面上，如图所示。杆系在铅垂面内的图示位置由静止开始运动，试求铰链C 落到地面时的速度。
解：设铰链C 刚与地面相碰时速度C v v =。根据运动学分析A '点及B '点分别为C A ''及C B ''杆的速度瞬心，如图（a ）
ωω===''l v
l v C C A
ωω===''l
v l v C C B 动能定理：
0231
212222-??=??ωml h mg
23
1
mv mgh =
gh v 3=
10－8 质量为15kg 的细杆可绕轴转动，杆端A 连接刚度系数为k =50N/m 的弹簧。弹簧另一端固结于B 点，弹簧原长1.5m 。试求杆从水平位置以初角速度0ω=0.1rad/s 落到图示位置时的角速度。
解：2021)31(21ωml T =， 222)3
1
(21ωml T = ])5.112()5.12[(2
232212---+?
=k
mg W )733(2
3
-+=
k mg 1212W T T =-
习题10－7图
习题10－8图
ωω
(a)
习题10－9图
习题10－10图
(a) )733(2
3)(612022-+=-k mg ml ωω 2
2
)
733(633ωω+-+=
ml
k mg 93.1215)
733(5068.915332
=?-?+??=
rad/s
10－9 在图示机构中，已知：均质圆盘的质量为m 、半径为r ，可沿水平面作纯滚动。刚性系数为k 的弹簧一端固定于B ，另一端与圆盘中心O 相连。运动开始时，弹簧处于原长，此时圆盘角速度为ω，试求：（1）圆盘向右运动到达最右位置时，弹簧的伸长量；（2）圆盘到达最右位置时的角加速度α及圆
盘与水平面间的摩擦力。
解：（1）设圆盘到达最右位置时，弹簧的伸长量为δ，则22143ωmr T =
；02=T ；2122
1
δk W -= 1212W T T =-；=-2243ωmr 221δk -；ωδr k
m
23=
（2）如图（a ）：r F J O A =α；Fr J O =α
ωα222323r k m k mr =；m
k
32ω
α= A F mr =α21；6
km r F A ω=
10－10 在图示机构中，鼓轮B 质量为m ，内、外半径分别为r 和R ，对转轴O 的回转半径为ρ
，其上绕有细绳，一端吊一质量为m 的物块A ，另一端与质量为M 、半径为r 的均质圆轮C 相
连，斜面倾角为?，绳的倾斜段与斜面平行。试求：（1）鼓轮的角加速度α；（2）斜面的摩擦力及连接物块A 的绳子的张力（表示为α的函数）。
解：（1）应用动能定理：T = W
2
2222
1212121C
C C O O A J Mv J mv T ωω+++=
其中：O A R v ω=；O C r v ω=；O C ωω=；2ρm J O =；22
1Mr J C =2
2222)2
1(21O
Mr Mr m mR T ωρ+++= 设物块A 上升距离s A 时：A C mgs Mgs W -=?sin
对动能定理的表达式求导：
A C O O mgv Mgv Mr R m -=+
+?αωρsin ]2
3
)([222 2
223)(2)sin (2Mr
R m mR Mr g C O ++-=
==ρ?ααα （2）如图（a ）：Fr
J C =α；αMr F 2
1=
如图（b ）：
mg F ma -=T ；)(T αR g m F +=
（a ）
（a ）
（b ）
习题10－12图
(a)
10－11 匀质圆盘的质量为1m 、半径为r ，圆盘与处于水平位置的弹簧一端铰接且可绕固定轴O 转动，以起吊重物A ，如图所示。若重物A 的质量为2m ；弹簧刚度系数为k 。试求系统的固有频率。
解：设弹簧上OB 位于铅垂位置时为原长，则动能
22122))(21(2121r v
r m v m T +=212)4
121(v m m +=
222
2222)(2s r
kd
gs m d r s k gs m W -=-=
W T =
22222
122)4121(s r kd gs m v m m -=+
t d d ：v s r
kd g m va m m )()21(22
212-=+
s r kd g m a m m 22
212)21(-=+
g m s r
kd s m m 222
12)21(=++ 1
221222
2
1)2(m m g
m s m m r kd s +=++ )
2(21222
2n
m m r kd +=ω
2
1n 22m m k
r
d +=
ω
10－12 图示圆盘质量为m 、半径为r ，在中心处与两根水平放置的弹簧固结，且在平面上作无滑动滚动。弹簧刚度系数均为0k 。试求系统作微振动的固有频率。
解：设静止时弹簧的原长，则
动能20220))(21
(2121r
v mr mv T +=2043mv =
弹力功：22
2x k
W ??-=
22
43kx mv -= t d d
： 0022
3kxv a mv -= 022
3
0=+kx x mv 034=+x m k x
m
k 34n =
ω
10－13 测量机器功率的功率计，由胶带ACDB 和一杠杆BOF 组成，如图所示。胶带具有铅垂的两段AC 和DB ，并套住受试验机器和滑轮E 的下半部，杠杆则以刀口搁在支点O 上，借升高或降低支点Ｏ，可以变更胶带的拉力，同时变更胶带与滑轮间的摩擦力。在Ｆ处挂一重锤Ｐ，杠杆BF 即可处于水平平衡位置。若用来平衡胶带拉力的重锤的质量m =3kg ，Ｌ＝500mm ，试求发动机的转速n =240r/min 时发动机的功率。
解：设发动机的角速度为ω。则
π860
240π260π2=?==n ω（rad/s ）
习题10－11图
习题10－13图
(b)
又 const =ω，发动机作等速转动。 滑轮E 的角加速度0=α。 滑轮E 受力分析如图（a ）。 由 ∑=0E M
得 0)(21=--R T T M
R T T M )(21-= （1） 取杠杆为研究对象，受力如图（b ）。 由 0=∑O M 得
0)(21='-'-R T T mgl
R T T mgl )(21'-'= （2） 且 11T T ='，22T T =' （3） 综合（1）、（2）、（3）可得：
mgl M =
∴ 发动机的功率
π
850.08.93???===ωωmgl M P
=0.369(kW)
10－14 在图示机构中，物体A 质量为m 1，放在光滑水平面上。均质圆盘C 、B 质量均为m ，半径均为R ，物块D 质量为m 2。不计绳的质量，设绳与滑轮之间无相对滑动，绳的AE 段与水平面平行，系统由静止开始释放。试求物体D 的加速度以及BC 段绳的张力。
解：（1）设物块D 下降距离s 时，速度为v D ，则系统动能为：
2
122222
12121)(21A B B C C D v m J J v m m T ++++=
ωω 其中：R v D C =
ω；R v
D B 2=ω；D A v v 2=；22
1mR J J B C == 2
21212)427(21)4221(21D D v m m m v m m m m m T ++=++++=
重力的功为：gs m m W )(2+=； 应用动能定理W T =并求导：
D D a v m m m )42
7
(21++D gv m m )(2+= 2
12287)(2m m m g
m m a D +++=
（2）如图（a ），应用相对速度瞬心的动量矩定理：
R F gR m m R a J BC D O
2)(2-+=；其中：22223
R m mR J O += ?+-+=)2143()(2122m m g m m F BC 2
12287)(2m m m g m m +++
)
287(2))(23()287)((2122212m m m g m m m m g m m m m m ++++-+++=
2112287)2)((2m
m m g
m m m m ++++=
10－15 图示机构中，物块A 、B 质量均为m ，均质圆盘C 、D 质量均为2m ，半径均为R 。C 轮
铰接于长为3
R 的无重悬臂梁CK 上，D 为动滑轮，绳与轮之间无相对滑动。系统由静止开始运动，
习题10－14图
（a ）
F BC
F T
习题
10－15图
习题10－16图
C
O
α
(a)
试求（1）物块A 上升的加速度；（2）HE 段绳的张力；（3）固定端K 处的约束力。
解：（1）设物块A 上升距离s 时，速度为v A ，则系统动能为：
22
222
12121)2(21A C C D D D mv J J v m m T ++++=
ωω 其中：R v A C =ω；R
v
A D 2=ω；2A D v v =；2mR J J D C ==
22
2
3)424(21A A mv v m m m m m T =++++=
重力的功为：mgs mgs s g m m W 2
1
2)2(=-+=；
应用动能定理W T =并求导：A A A mgv a mv 213=；g a A 61
=
（2）如图（a ），应用动量矩定理：R mg F R
a
J HE A C )(-=
其中：2
22222
1mR mR mR J C =+=
mg mg ma F A HE 3
4
2=+=
应用动量定理：H E C A F mg F ma --=3；mg F C 5.4=
（3）如图（b ），应用平衡方程：0=Kx F
∑=0y
F ；0='-C
Ky
F F ；mg F Ky
5.4=
∑=0)(F K M ；03=?'-R F M C K ；mgR M K
5.13=
10－16 两个相同的滑轮，视为匀质圆盘，质量均为m ，半径均为R ，用绳缠绕连接，如图所示。如
系统由静止开始运动，试求动滑轮质心C 的速度v 与下降距离h 的关系，并确定AB 段绳子的张力。
解：1、先对O 、C 轮分别用动量矩定理和相对质心动量矩定理：
对O 轮：R F J O O T =α （1）
对C 轮：R F J C C T
'=α （2） C O J J =， T
T F F '= 由（1）、（2）： ααα==C O
ωωω==C O （3）
2、再对整体用动能定理
1212W T T =- mgh mv J J C C C O O =++2222
12121ωω （4） r e v v v +=C （动系为绳AB ）
ωωωR R R v v v C O C 2r e =+=+= （5）
（3）、（5）代入（4）得：
mgh mR =222
5
ω （6） gh
R
gh R
1051
521==
ω （6）式两边对t 求导：
C mgv mR =ωα25
（a ）
HE
a （
b ）
F C ′
（5）代入，得：R
g 52=
α （5）式对t 求导，得：5
42g R a C ==α 轮心、质心运动定理：T F mg ma C -=
绳中张力：mg F 5
1T
=
C (a-2) D R (a-3) (b-1) D R 第1篇 工程静力学基础 第1章 受力分析概述 1－1 图a 、b 所示，Ox 1y 1与Ox 2y 2分别为正交与斜交坐标系。试将同一力F 分别对两坐标系进行分解和投影，并比较分力与力的投影。 习题1－1图 解：（a ）图（c ）：11 s i n c o s j i F ααF F += 分力：11 cos i F αF x = ， 11 s i n j F αF y = 投影：αcos 1F F x = ， αs i n 1F F y = 讨论：?= 90°时，投影与分力的模相等；分力是矢量，投影是代数量。 （b ）图（d ）： 分力：22)cot sin cos (i F ?ααF F x -= ，22sin sin j F ? α F y = 投影：αcos 2F F x = ， )cos(2α?-=F F y 讨论：?≠90°时，投影与分量的模不等。 1－2 试画出图a 和b 习题1－2图 比较：图（a-1）与图（b-1）不同，因两者之F R D 值大小也不同。 （c ） 2 2 x （d ）
1－3 试画出图示各物体的受力图。 习题1－3图 B 或(a-2) B (a-1) (b-1) F (c-1) 或(b-2) (e-1)
F (a) 1－ 4 图a 所示为三角架结构。荷载F 1作用在铰B 上。杆AB 不计自重，杆BC 自重为W 。试画出b 、c 、d 所示的隔离体的受力图，并加以讨论。 习题1－4 图 1－ 5 图示刚性构件ABC 由销钉A 和拉杆D 支撑，在构件C 点作用有一水平力F 。试问如果将力F 沿其作用线移至D 或E （如图示），是否会改为销钉A 的受力状况。 解：由受力图1－5a ，1－ 5b 和1－5c 分析可知，F 从C 移至E ，A 端受力不变，这是因为力F 在自身刚体ABC 上滑移；而F 从C 移至D ，则A 端受力改变，因为HG 与ABC 为不同的刚体。 1 (f-1) 'A (f-2) 1 O (f-3) F F'F 1 (d-2) F y B 21 (c-1) F A B 1 B F Dx y (b-2) 1 (b-3) F y B 2 A A B 1 B F 习题1－5图
C v ? A B C r v 1 v 1 v 1 ω?(a) C C ωC v ωO (a) 第10章 动能定理及其应用 10－1 计算图示各系统的动能： 1．质量为m ，半径为r 的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时，若已知圆盘上A 、B 两点的速度方向如图示，B 点的速度为v B ，= 45o（图a ）。 2．图示质量为m 1的均质杆OA ，一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v （图b ）。 3．质量为m 的均质细圆环半径为R ，其上固结一个质量也为m 的质点A 。细圆环在水平面上作 纯滚动，图示瞬时角速度为 （图c ）。 解： 1．2 22222163)2(2121)2(212121B B B C C C mv r v mr v m J mv T =?+=+= ω 2．2 22122222214321)(21212121v m v m r v r m v m v m T +=?++= 3．2 2222222)2(2 12121ωωωωmR R m mR mR T =++= 10－2 图示滑块A 重力为1W ，可在滑道内滑动，与滑块A 用铰链连接的是重力为2W 、长为l 的匀质杆AB 。现已知道滑块沿滑道的速度为1v ，杆AB 的角速度为1ω。当杆与铅垂线的夹角为?时，试求系统的动能。 解：图（a ） B A T T T += )2 121(21222211ωC C J v g W v g W ++= 21 221121212211122]cos 22)2 [(22ω?ωω??+?++++=l g W l l v l v l g W v g W ]cos 3 1 )[(2111221222121?ωωv l W l W v W W g +++= 10－3 重力为P F 、半径为r 的齿轮II 与半径为r R 3=的固定内齿轮I 相啮合。齿轮II 通过匀质的曲柄OC 带动而运动。曲柄的重力为Q F ，角速度为ω，齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能。 解： C OC T T T += 2222)21(212121C C C C OC O r m v m J ωω++= 22P 2P 22Q )2(41)2(21])2(31[21r r r g F r g F r g F ωωω++= 习题10－2图 习题10－3图 B v A C θ (a) v O ω A 习题10－1图 (b) (c) A
2-3 圆盘绕杆AB 以角速度rad/s 转动，AB 杆及框架则绕铅垂轴以角速度 100=?10=ωrad/s 转动。已知mm ，当140=R °=90θ，rad/s ，时，试求圆盘上两相互垂直半径端点C 点及D 点的速度和加速度。 5.2=θ 0=θ 解：圆盘的运动是由三个定轴转动组成的复合运动，且三个轴交于O 点。取O 点为基点，建立动坐标系Oxyz ，Oxyz 绕铅垂轴以角速度ω转动，则牵连角速度e ω=?ωk 。圆盘相对于动坐标系的运动是由框架绕Ox 轴的转动和圆盘绕Oy 轴的转动组成，则圆盘的相对角速度为： r θ =?+?ωi j 所以圆盘的绝对角速度为： r θω′=?+??e ω=ω+ωi j k C 点及 D 点的矢径分别为： 0.140.5()C m =?+r i j 0.50.14()D m =+r j k 由公式可得C 点及D 点的速度： =×v ωr 5 1.412.75(/)C C m s ′=×=++v ωr i j k 190.35 1.25(/)D D m s ′=×=+?v ωr i j k 下面来求加速度。首先求圆盘相对于动系的相对角加速度ε，在动系中，我们可以步将 框架绕Ox 轴的转动看作牵连运动，牵连加速度为r 1e θ=?ωi 1r ，牵连角加速度为ε；将圆盘绕Oy 轴的转动看作相对运动，相对角速度为1e = θ =?j 0ωθ ，相对角加速度为。则根据角加速度合成公式并由此时1r 0==ε? e e r r =+×+εεωωε= 可得： 211250(/)r e r rad s θ =×=?×?=?εωωi j k 接下来求圆盘的绝对角加速度，再次利用角加速度合成公式，并由0e =ε可得： 2100025250(/)e r r rad s ′=×+=+?εωωεi j k 利用公式a 可得C 点及D 点的加速度 ： (=×+××εr ωωr )
F DB CB DB F ' 习题3－3图 第3章 静力学平衡问题 3－1 图示两种正方形结构所受荷载F 均已知。试求其中1，2，3各杆受力。 解：图（a ）：045cos 23=-?F F F F 2 2 3= （拉） F 1 = F 3（拉） 045cos 232=?-F F F 2 = F （受压） 图（b ）：033='=F F F 1 = 0 F 2 = F （受拉） 3－2 图示为一绳索拔桩装置。绳索的E 、C 两点拴在架子上，点B 与拴在桩A 上的绳索AB 连接，在点D 加一铅垂向下的力F ，AB 可视为铅垂，DB 可视为水平。已知α= 0.1rad.，力F = 800N 。试求绳AB 中产生的拔桩力（当α很小时，tan α≈α）。 解：0=∑y F ，F F ED =αsin αs i n F F ED = 0=∑x F ，DB ED F F =αcos F F F DB 10tan == α 由图（a ）计算结果，可推出图（b ）中：F AB = 10F DB = 100F = 80 kN 。 3－3 起重机由固定塔AC 与活动桁架BC 组成，绞车D 和E 分别控制桁架BC 和重物W 的运动。桁架BC 用铰链连接于点C ，并由钢索AB 维持其平衡。重物W = 40kN 悬挂在链索上，链索绕过点B 的滑轮，并沿直线BC 引向绞盘。长度AC = BC ，不计桁架重量和滑轮摩擦。试用角?=∠ACB 的函数来表示钢索AB 的张力F AB 以及桁架上沿直线BC 的压力F BC 。 (b-1) 习题3－1图 (a-1) (a-2) '3 (b-2) 习题3－2图 F
第6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 22 1t α?= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += （4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂 线的夹角 表示杆的角速度。 解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时， 轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。 解：R v R v A A ==ω R v R v B B 22==ω B A ωω2= 6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度＝12 rad/s ，＝30，＝60，BC ＝270mm 。试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。 习题6-1图 A B C v 0 h 习题6－2图 P AB v C A B C v o h 习题6－2解图 习题6-3解图 习题6-3图 v A = v v B = v
6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解：?c o s )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 22 1t α?= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += （4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。 解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 h v AC v AP v AB θθω2 000cos cos === 6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。 解：R v R v A A == ω R v R v B B 22==ω B A ωω2= 6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30?，?＝60?，BC ＝270mm 。试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。 习题6-1图 习题6－2图 习题6－2解图 习题6-3解图 习题6-3图 v A = v v B = v ωA ωB
习 题 12–1 一刚度系数为k 的弹簧，放在倾角为θ的斜面上。弹簧的上端固定，下端与质量为m 的物块A 相连，图12-23所示为其平衡位置。如使重物A 从平衡位置向下沿斜面移动了距离s ，不计摩擦力，试求作用于重物A 上所有力的功的总和。 图12-23 ))((2 sin 2st 2 st s k s mg W +-+ ?=δδθ 2st 2 sin s k s k mgs --=δθ 22 s k -= 12–2 如图12-24所示，在半径为r 的卷筒上，作用一力偶矩M=a ?+b ?2 ，其中?为转角，a 和b 为常数。卷筒上的绳索拉动水平面上的重物B 。设重物B 的质量为m ，它与水平面之间的滑动摩擦因数为μ。不计绳索质量。当卷筒转过两圈时，试求作用于系统上所有力的功的总和。 图12-24 3 22π40 π3 64π8d )+ (d b a b a M W M + ===? ????? mgr r mg W F π4π4μμ-=?-= )3π16π6π(3 4 π4π364π8232mgr b a mgr b a W μμ-+=-+=∑ 12–3 均质杆OA 长l ，质量为m ，绕着球形铰链O 的铅垂轴以匀角速度ω转动，如图12-25所示。如杆与铅垂轴的夹角为θ，
试求杆的动能。 图12-25 x x l m x x l m v m E d )sin 2()sin )(d (21)(d 21d 2222k θωθω=== θωθω2220222k sin 6 1 d )sin 2(ml x x l m E l ?== 12–4 质量为m 1的滑块A 沿水平面以速度v 移动，质量为 m 2的物块B 沿滑块A 以相对速度u 滑下，如图12-26所示。试求 系统的动能。 图12-26 ])30sin ()30cos [(2 1 2 122221k ?++?+=u v u m v m E )30cos 2(212 122221?+++=uv v u m v m )3(2 1 2122221uv v u m v m +++= 12–5 如图12-27所示，滑块A 质量为m 1，在滑道内滑动，其上铰接一均质直杆AB ，杆AB 长为l ，质量为m 2。当AB 杆与铅垂线的夹角为?时，滑块A 的速度为A v ，杆AB 的角速度为ω。试求在该瞬时系统的动能。 图12-27 AB A E E E k k k += 22222221)12 1(21])sin 2()cos 2[(2121ω?ω?ωl m l l v m v m A A ++++= )12 1cos 41(212122222 221ω?ωωl lv l v m v m A A A ++++= )cos 3 1(2121222 221?ωωA A A lv l v m v m +++= 12–6 椭圆规尺在水平面内由曲柄带动，设曲柄和椭圆规
清华大学2004至2005年理论力学本科期末考试试卷 考试课程：理论力学 2004 年 1 月 班级姓名学号成绩 一、填空题（ 20 分，每小题 5 分） 1. 平面内运动的组合摆，由杆OA、弹簧及小球m组成(如图 1 示)。此系统的自由度数是 3 。 2. 质量为m1的杆OA 以匀角速度ω绕O 轴转动，其A 端用铰链与质量为 m、半径为r的均质小圆盘相连，小圆盘在半径为的固定2 圆盘的圆周表面作纯滚动，如图 2 所示。系统对O 轴的动量矩的大小为 系统的动能为。
3. 图 3 所示半径为R 的圆环在力偶矩为M 的力偶作用下以角速度ω匀速转动，质量为m的小环可在圆环上自由滑动。系统为理想、完整、非定常、双面约束系统，自由度数为 1 。 4．均质细杆AB 长L，质量为m，与铅锤轴固结成角α = 30°，并以匀角速度ω转动，如图 4 所示。惯性力系的合力的大小等于 。
二、判断题(每题 2 分，共 20 分):请在每道题前面的括号内画×或√ ( √ )1. 在定常约束下质系的一组无穷小真实位移就是虚位移。( √ )2. 任意力系都可以用三个力等效代替。 ( × )3. 首尾相接构成封闭三角形的三个力构成平衡力系。 ( √ )4. 速度投影定理既适用于作平面运动的刚体，也适用于作一般运动的刚体。 ( √ )5. 如果一个两自由度系统的第二类拉格朗日方程存在两个独立的第一积分， 则其中至少有一个是广义动量积分。 ( × )6. 如果刚体的角速度不为零，在刚体或其延拓部分上一定存在速度等于零的点。 ( × )7. 作定轴转动的刚体的动量矩向量一定沿着转动轴方向。( √ )8. 刚体只受力偶作用时，其质心的运动不变。 ( × )9. 如果系统存在广义能量积分，不一定机械能守恒；而如果
习题9－2图 习题20-3图 Ox F Oy F g m g m 2D d α 习题20-3解图 第9章 动量矩定理及其应用 9－1 计算下列情形下系统的动量矩。 1. 圆盘以ω的角速度绕O 轴转动，质量为m 的小球M 可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时小球以相对于圆盘的速度v r 运动到OM = s 处（图a ）；求小球对O 点的动量矩。 2. 图示质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮心为A ，质心为C ，且AC = e ；轮子半径为R ，对轮心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅垂线上（图b ）。（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩；（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩。 解：1、2 s m L O ω=（逆） 2、（1） )1()(R e mv e v m mv p A A C + =+==ω R v me J R e R mv J e R mv L A A A C C B ) () ()(2 2 -++=++=ω （2）)(e v m mv p A C ω+== ωωωω)()()())(()(2meR J v e R m me J e R e v m J e R mv L A A A A C C B +++=-+++=++= 9－2 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O 轴转动，其大、小半径分别为R 、r ，对O 轴的转动惯量为J O ；物块A 、B 的质量分别为m A 和m B ；试求系统对O 轴的动量矩。 解： ω)(2 2r m R m J L B A O O ++= 9－3 图示匀质细杆OA 和EC 的质量分别为50kg 和100kg ，并在点A 焊成一体。若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时，杆的角加速度及铰链O 处的约束力。不计铰链摩擦。 解：令m = m OA = 50 kg ，则m EC = 2m 质心D 位置：（设l = 1 m) m 6565= = =l OD d 刚体作定轴转动，初瞬时ω=0 l m g l m g J O ?+? =22 α 2 2 2 2 32)2(212 131ml ml l m ml J O =+??+ = 即mgl ml 2 532= α 2 r a d /s 17.865== g l α g l a D 36256 5t = ?= α 由质心运动定理： Oy D F mg a m -=?33t 44912 1136 2533== -=mg g m mg F Oy N （↑） =ω，0n =D a ， 0=Ox F (a) v (b) 习题9－1图
解：如图（a ），应用虚位移原理： F 1 ?術 F 2 ? 8r 2 = 0 书鹵 / 、 8r 1 8r 2 tan P 如图（b ）： 8 廿y ； 8 厂乔 8r i 能的任意角度B 下处于平衡时，求 M 1和M 2之间的关系 第12章 虚位移原理及其应用 12-1图示结构由8根无重杆铰接成三个相同的菱形。 试求平衡时, 解：应用解析法，如图(a )，设0D = y A = 2l sin v ； y^ 61 sin v S y A =21 cos ：心； 溉=61 COST 心 应用虚位移原理： F 2 S y B - R ? S y A =0 6F 2 —2R =0 ; F i =3F 2 习题12-1图 F 2之值。已知：AC = BC 12-2图示的平面机构中, D 点作用一水平力F t ，求保持机构平衡时主动力 =EC = DE = FC = DF = l 。 解：应用解析法，如图所示： y A =lcos ) ； x D =3lsin v S y A - -l sin^ 心；S x D =3I COS ^ & 应用虚 位移原理： —F 2 ? S y A - F I 8x^0 F 2sin J - 3F t cos ^ - 0 ； F 2 = 3F t cot^ 12-3图示楔形机构处于平衡状态，尖劈角为 小关系 习题12-3 B 和3不计楔块自重与摩擦。求竖向力 F 1与F 2的大 F i F 2| (a ) (b) F i 8i - F 2 12-4图示摇杆机构位于水平面上，已知 OO i = OA 。机构上受到力偶矩 M 1和M 2的作用。机构在可
第12章 虚位移原理及其应用 12－1 图示结构由8根无重杆铰接成三个相同的菱形。试求平衡时，主动力F 1与F 2的大小关系。 解：应用解析法，如图（a ），设OD = l θsin 2l y A =；θsin 6l y B = θθδcos 2δl y A =；θθδcos 6δl y B = 应用虚位移原理：0δδ12=?-?A B y F y F 02612=-F F ；213F F = 12－2图示的平面机构中，D 点作用一水平力F 1，求保持机构平衡时主动力F 2之值。已知：AC = BC = EC = DE = FC = DF = l 。 解：应用解析法，如图所示： θcos l y A =；θsin 3l x D = θθδsin δl y A -=；θθδcos 3δ l x D = 应用虚位移原理：0δδ12=?-?-D A x F y F 0cos 3sin 12=-θθF F ；θcot 312F F = 12－3 图示楔形机构处于平衡状态，尖劈角为θ和β，不计楔块自重与摩擦。求竖向力F 1与F 2的大小关系。 解：如图（a ），应用虚位移原理：0δδ2211=?+?r F r F 如图（b ）： β θtan δδtan δ2 a 1r r r ==；12 δ tan tan δr r θ β = 0δtan tan δ1211=? -?r θβF r F ；θ β tan tan 21?=F F 12－4 图示摇杆机构位于水平面上，已知OO 1 = OA 。机构上受到力偶矩M 1和M 2的作用。机构在可能的任意角度θ下处于平衡时，求M 1和M 2之间的关系。 习题12-1图 （a ） 习题12-2解图 习题12－3 （a ） r a （b ）
清华大学理论力学试题专用纸 考试类型：期中考试 考试时间：2006年11月12日 班级：__________ 姓名：__________ 学号：_________ 成绩：________ 一．判断下列说法是否正确，并简要说明理由（共5题，15分） 1. 速度投影定理给出的刚体上两点速度间的关系只适用于作平面运动的刚体。 2. 圆轮沿曲线轨道作纯滚动，只要轮心作匀速运动，则轮缘上任意一点的加速度的方向均指向轮心。 3. 在复合运动问题中，相对加速度是相对速度对时间的绝对导数。 4. 虚位移是假想的、极微小的位移，它与时间、主动力以及运动的初条件无关。 5. 气象卫星在北半球上空拍摄到的旋风的旋转方向为顺时针方向。 二．填空题（共3题，25分） 1. (5分) 图1所示滑道连杆机构由连杆BC 、滑块A 和曲柄OA 组成。已知BO = OA = 0.1 m ，滑道连杆BC 绕轴B 按10rad t ?=的规律转动。滑块A 的速度为 ，加速度为 。 2. (5分) 点P 沿空间曲线运动，某瞬时其速度43(m/s)=+v i j ，加 速度的大小为210m/s ，两者之间的夹角为030。该瞬时点的轨迹在密切面内的曲率半径为 ，P 点的切线加速度为 。 3. (15分) 图2所示曲柄压榨机构，已知OA = r ，BD = DC = ED = l ，∠OAB = 90°，α = 30°。 记OA 杆的转动虚位移为δ?，则A r δ= ，B r δ= ，C r δ= ， D r δ= ，并请在图中标出它们的方向。 图1
三、计算题（25分） 在图3所示机构中，连杆AB 以 2.5rad/s ω=的匀角速度转动，杆BD 可沿与杆EF 固连的套筒滑动。求在图示位置时杆EF 的角速度和角加速度。 四、计算题（20分）图4所示起重机左侧履带较右侧履 带快，使机身在圆弧形轨道上前进。如已知起重机机臂的根部A 点在半径为15 m 的圆弧上 以速度v = 2 m/s 运动，机臂仰角arcsin 0.6θ=，角速度4rad/s θ=? ，角加速度20.5rad/s θ= ，机臂长AB = 30 m 。试求： 1. 机臂的绝对角速度和角加速度。 2. 机臂端点B 的速度和加速度。 五、计算题（15分） 图5中OA 杆以等角速度0ω绕O 轴转动，半径为r 的滚轮在OA 杆上作纯滚动， 已知1O B =，图示瞬时O 、B 在同一水平线上，1O B 在铅垂位置，30AOB ∠=°，求在此瞬时1O B 杆的角速度与角加速度以及滚轮的角速度与角加速度 提示：依次采用点的复合运动理论和刚体复合运动理论。 δ? 图2 B n 图5 图4
(a) A (a) O 第10章 动能定理及其应用 10－1 计算图示各系统的动能： 1．质量为m ，半径为r 的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时，若已知圆盘上 A 、 B 两点的速度方向如图示，B 点的速度为v B ，θ = 45o（图 a ）。 2．图示质量为m 1的均质杆OA ，一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v （图b ）。 3．质量为m 的均质细圆环半径为R ，其上固结一个质量也为m 的质点A 。细圆环在水平面上 作纯滚动，图示瞬时角速度为ω（图c ）。 解： 1．2 22222163)2(2121)2(212121B B B C C C mv r v mr v m J mv T =?+=+= ω 2．2 22122222214321)(21212121v m v m r v r m v m v m T +=?++= 3．2 2222222)2(2 12121ωωωωmR R m mR mR T =++= 10－2 图示滑块A 重力为1W ，可在滑道内滑动，与滑块A 用铰链连接的是重力为2W 、长为l 的匀质杆AB 。现已知道滑块沿滑道的速度为1v ，杆AB 的角速度为1ω。当杆与铅垂线的夹角为?时，试求系统的动能。 解：图（a ） B A T T T += )2121(21222211ωC C J v g W v g W ++= 21 221121212211122]cos 22)2 [(22ω?ωω??+?++++=l g W l l v l v l g W v g W ]cos 3 1 )[(2111221222121?ωωv l W l W v W W g +++= 10－3 重力为P F 、半径为r 的齿轮II 与半径为r R 3=的固定内齿轮I 相啮合。齿轮II 通过匀质的曲柄OC 带动而运动。曲柄的重力为Q F ，角速度为ω，齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能。 解： C OC T T T += 2222)21(212121C C C C OC O r m v m J ωω++= 22P 2P 22Q )2(41)2(21])2(31[21r r r g F r g F r g F ωωω++= 习题10－2图 习题10－3图 B (a) 习题10－1图 (b) (c)
A (a) O (a) 第10章 动能定理及其应用 10－1 计算图示各系统的动能： 1．质量为m ，半径为r 的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时，若已知圆盘上A 、B 两点的速度方向如图示，B 点的速度为 v B ，θ = 45o（图a ）。 2． 图示质量为m 1的均质杆OA ，一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v （图b ）。 3 ．质量为m 的均质细圆环半径为R ，其上固结一个质量也为m 的质点A 。细圆环在水平面上 作纯滚动，图示瞬时角速度为ω（图c ）。 解： 1．2 22222163)2(2121)2(212121B B B C C C mv r v mr v m J mv T =?+=+= ω 2．2 22122222214321)(21212121v m v m r v r m v m v m T +=?++= 3．2 2222222)2(2 12121ωωωωmR R m mR mR T =++= 10－2 图示滑块A 重力为1W ，可在滑道内滑动，与滑块A 用铰链连接的是重力为2W 、长为l 的匀质杆AB 。现已知道滑块沿滑道的速度为1v ，杆AB 的角速度为1ω。当杆与铅垂线的夹角为?时，试求系统的动能。 解：图（a ） B A T T T += )2 1 21(21222211ωC C J v g W v g W ++= 21 221121212211122]cos 22)2 [(22ω?ωω??+?++++=l g W l l v l v l g W v g W ]c o s 3 1 )[(2111221222121?ωωv l W l W v W W g +++= 10－3 重力为P F 、半径为r 的齿轮II 与半径为r R 3=的固定内齿轮I 相啮合。齿轮II 通过匀质的曲柄OC 带动而运动。曲柄的重力为Q F ，角速度为ω，齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能。 解： C OC T T T += 2 222)21(212121C C C C OC O r m v m J ωω++= 22P 2P 22Q )2(41)2(21])2(31[21r r r g F r g F r g F ωωω++= )92(3P Q 22F F g r +=ω 习题10－2图 习题10－3图 B (a) 习题10－1图 (b) (c)
第8章 动量定理及其应用 8－1 计算下列图示情况下系统的动量。 (1) 已知OA ＝AB ＝l ，θ＝45°，ω为常量，均质连杆AB 的质量为m ，而曲柄OA 和滑块B 的质量不计（图a ）。 (2) 质量均为m 的均质细杆AB 、BC 和均质圆盘CD 用铰链联结在一起并支承如图。已知AB = BC = CD = 2R ，图示瞬时A 、B 、C 处于同一水平直线位置，而CD 铅直，AB 杆以角速度ω转动（图b ）。 (3) 图示小球M 质量为m 1，固结在长为l 、质量为m 2的均质细杆OM 上，杆的一 端O 铰接在不计质量且以速度v 运动的小车上，杆OM 以角速度ω绕O 轴转动（图c ）。 解：（1）p = mv C = ωm l 2 5 ，方向同C v （解图（a ） ）； （2）p = mv C 1 + mv C 2 = mv B = 2Rm ω，方向同B v ，垂直AC （解图（b ））； （3）j i p )60sin 2 60sin ()]60cos 2()60cos ([2121?+?+?-+?-=ωωωωl m l m l v m l v m j i 4 23]42)[(212121m m l l m m v m m +++- +=ωω（解图（c ））。 8－2 图示机构中，已知均质杆AB 质量为m ，长为l ；均质杆BC 质量为4m ，长为2l 。图示瞬时AB 杆的角速度为ω，求此时系统的动量。 解：杆BC 瞬时平移，其速度为v B ω ωωm l m l l m p p p BC AB 29 42=+=+= 方向同v B 。 习题8-1解图 (a) (b) (c) 习题8-1图 v (a) (b) (c) C 习题8－2解图
2-37 OA 杆以等角速度绕轴转动，半径为0ωO r 的滚轮在OA 杆上作纯滚动，已知 r 3B O 1=，图示瞬时、O B 在同一水平线上，O 在铅垂位置，B 1°=∠30AOB ，求在此 瞬时（1）O 杆的角速度与角加速度；（2）滚轮的角速度与角加速度；（3）滚轮上B 1P 点的速度与加速度。 B n B n B τ 解：建立如图所示的动系Ox 。由于滚轮在OA 杆上作纯滚动，在动系上看，滚轮上的P 点与在杆OA 上相应点的相对速度为0。从而， 11y 0101P OP r ω==νj j （1） 以点B 为基点分析P 点运动，得到： B 1+P B r ω=ννi （2） 又： 111112B O B B O B O B O B r r ωω==ντi 11j （3） 将（1），（3）代入（2），得到： 110111112O B O B B r r r ωω=+r j i j i 得到： 1 02O B ωω=(逆时针 ) 03ωω=?B （顺时针 ） （4） B 点加速度为： 11111 2 211111332222B O B O B O B O B O B O B O B O B r r r r εωεωω=+=+?+a τn i 1 21j i j （5） 利用加速度合成公式，得到P 点加速度： P e r c =++a a a a 其中：201e r =a i 0c =，a ，1r r a =a j 从而： 2 011P r a =+i r a j （6）
以B 点为基点分析P 点加速度为： a a （7） 2 1P B B B r r ωε=++j 1i （5），（6）代入（7）得到： 111 122011111132O B O B O B B B r r r r r εωε=++i i j j j 2 r i （8） 将（4）代入（8）得到： 1 2 03 O B ε= （逆时针）， 0ε=B （9） 答：（1）， 021ωω=B O （ 2 03 321ε= B O 0= 轮ε（2）， 03ωω=轮 （3）103j ωr p = v ，() 112 0163j i a +?=ωr p