专题复习证明线段相等角相等的基本方法(一)
一、教学目标：
知识与技能：使学生掌握根据角和线段位置关系如在一个三角形中或在两个三角形中，利用等边对等角、或三角形全等证明角相等线段相等的基本方法.
过程与方法：使学生在根据角或边的位置关系确定证明角相等或线段等的方法过程中，体验证明角相等线段相等的基本方法，在交流的过程中感受和丰富学生的学习经验；培养学生推理论证能力.
情感态度与价值观：激活学生原有的知识与经验，使每个学生按照自己的习惯进行提取、存储信息，形成不同的认知结构，优化学生的思维品质，获得不同的发展.
二、教学重点：
掌握根据角和线段位置关系确定证明角相等线段相等的基本方法.
教学难点：
分析图形的形状特征，识别角或线段的位置关系，确定证明方法.
三、教学用具：三角板、学案等
四、教学过程：
（一）引入：
相等的线段和角是构成特殊几何图形的主要元素，也是识别特殊图形的主要依据；运用三角形全等证明线段相等角相等，常出现在中考15题左右的位置，是北京市中考必考内容；运用全等三角形的知识寻求经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系，常与特殊图形结合，出现在综合题中.
（二）例题：
例1已知：如图1，△ABC中，AB=AC，BC为最大边，点D、E分别在BC、AC上，BD=CE，F为BA延长线上一点，BF=CD.求证：∠DEF=∠DFE .
分析：要证在一个三角形中的两角相等，考虑用等腰三角形的性质（等边对等角）来证；因要证的两条相等的边在两个三角形中，故利用三角形全等来证线段相等．
证明：∵AB=AC∴∠B=∠C．
在△BDF 和△CED 中，
点拨：抓住图形的特征（两角在一个图形中）常用等边对等角证明，这是证两角相等的常用方
法．
例2 已知：如图1，在△ABC 中，∠ACB=90 ，
CD AB ⊥于点D,点E 在 AC 上，CE=BC,过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证AB=FC . 分析：观察AB 与FC 在图形中的位置，发现这两条线段分别位于两个三角形中，考虑用三角形全等来证明．准备三角形全等的条件时，已知一对角一对边对应相等，还需证另一对对应角相等；已知条件有直角，故利用同角的余角相等来证.
证明：∵FE AC ⊥于点90E ACB ∠=，°，
∴90FEC ACB ∠=∠=°， 易证A F ∠=∠． ∴ABC △≌FCE △. ∴AB FC =．
点拨：根据图形特征，要证明相等的两边分别在两个三角形中，常利用证明两边所在的两个三角形全等来
证．在证明两角相等时，利用了同角的余角相等证明，也可用等角的余角相等来证，但较复杂．
例3 两个大小不同的等腰直角三角板如图1-1所示放置，图1-2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．求证：∠ABE=∠ACD ．
分析：图1-2是由两个大小不同的等腰直角三角板构成的旋转图形，分别从一个等腰三角形取一条腰，夹角为等角加同角，就
,,,...
BD CE B C BF CD BDF CED DF ED DEF DFE =??
∠=∠??=?
∴???∴=∴∠=∠
C
图
1
图1-2
图1-1
（如图1)
（如图2）
A
C
B
（如图3
）
C
可构成边角边对应相等的ABE △与ACD △全等，从而可证全等三角形的对应角相等．
证明：ABC △与AED △均为等腰直角三角形,
AB AC ∴=，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠= ．
易证BAE CAD ∠=∠.
ABE ACD ∴△≌△．
∴∠ABE=∠ACD ．
点拨：由有公共顶点的两个等腰直角三角形构成的几何图形，当分别从一个等腰三角形中取一腰时，可构成边角边全等三角形；证夹角相等时常用等角加同角的和相等．
此题可以拓展，将等腰直角三角形换成等边三角形、顶角相等的等腰三角形、正方形等．
例4点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作ABE ?和BCF ?，连接AF ，CE ．取AF 、CE 的中点M 、N ，连接BM ，BN ， MN ．
（1）如图1，若ABE ?和FBC ?是等腰直角三角形，且090=∠=∠FBC ABE ，则MBN ? 是 三角形．
（2）如图1-2，在ABE ?和BCF ?中，若BA=BE,BC=BF,且
α=∠=∠FBC ABE ，则MBN ?是 三角形，且=∠MBN .
（3）如图1-3，若将（2）中的ABE ?绕点B 旋转一定角度，其他条件不变，那么（2）中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.
分析：（1）判断三角形形状时，三角形一般是特殊三角形，由已知易知
BN EC AF BM ===
2
1
21，又可证得∠MBN=90°，所以△MBN 为等腰直角三角形．
（2）图形中是两个等腰三角形以公共顶点为中心旋转而成，则一个等腰三角形取一腰，构成两个边角边全等三角形． 解：（1）等腰直角 （2）等腰 α （3）结论仍然成立
证明：如图1-3，易证
△ABF ≌△EBC.
∴AF=CE ，∠AFB=∠ECB. ∵M,N 分别是AF 、CE 的中点, ∴FM=CN. ∴△MFB ≌△NCB.
∴BM=BN. ∠MBF=∠NBC.
∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=α.
点拨：在图形形状发生变化时，抓住影响结论的主要条件是否变化，如果没有变，则结论不变；如主要条件变，则结论变．
在证明此类问题时，图形变化后的证明思想或证明方法，常可由特殊（变化前）的证法类比得到．
（三）练习：
1． 如图1，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°；（2）P A =PQ ．
2．如图1，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的
A
C B
D
P
Q
图1
边CE 上，连接BE 、DG ．(1)求证：BE ＝DG ；(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．
3.如图1，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O.求证：(1) △ABC ≌△AED ；(2) OB ＝OE .
4. 如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC 相交于Q .当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与PB 之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想
5．如图1-1，在ABC △中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一点，连结
AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．
（1）如果AB AC =，90BAC = ∠，①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图1-2，线段CF BD 、所在直线的位置关系为 __________ ，线段
CF BD 、的数量关系为 ；②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图
1-3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果AB AC ≠，BAC ∠是锐角，点D 在线段BC 上，当ACB ∠满足什么条件时，CF BC ⊥（点
C F 、不重合），并说明理由．
E
图1
Q P
D
C
B A
图1
（四）总结：
通过本节课的学习，使学生在对例题、习题分析、证明、总结反思的过程中，体验根据线段和角的位置关系证明角等和线段相等的方法，即当两角或两边在一个三角形中时，利用等边对等角或等角对等边，当两角或两边在两个三角形中时证明他们所在的两个三角形全等；体验由有公共顶点的两个等腰直角三角形构成的几何图形，当分别从一个等腰三角形中取一腰时，可构成边角边全等三角形．
通过练习拓展，将等腰直角三角形换成等边三角形、顶角相等的等腰三角形、正方形等，结论仍然成立．
老师在用时可将例习题变为学案使用，也可根据自己的习惯和学生情况增减习题使用．教案设计程序简单，易于使用者直接使用或改变．
欢迎提宝贵意见！谢谢！ （五）反思：
本节课例习题编排按照由易到难、有简单到复杂的顺序，符合学生的认知规律，学生通过课上的体验、总结、交流再通过练习进行巩固，希望达到教学目标． 附练习参考答案：
1． 证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴ ∠ABC =∠BCD =90°．
∵ △PBC 和△QCD 是等边三角形，
∴ ∠PBC =∠PCB =∠QCD =60°， ∴ ∠PBA =∠ABC －∠PBC =30°，
∠PCD = ∠BCD －∠PCB =30°．
∴ ∠PCQ =∠QCD －∠PCD =30°． ∴ ∠PBA =∠PCQ =30°．
图1-2 C
A
C
B
D
P
Q
图1
F E
D
C
B A
图1-1
（2） ∵ AB =DC =QC ，∠PBA =∠PCQ ，PB =PC ， ∴ △P AB ≌△PQC ，
∴ P A =PQ ．
2．（1）证明：如图1，∵正方形ABCD 和正方形ECGF , 90BC CD CE CG BCE DCG ∴==∠=∠=，，°． 在BCE △和DCG △中，
BC CD
BCE DCG CE CG =??
∠=∠??=?
(SAS)BCE DCG ∴
△≌△． B E D G ∴=．
（2）存在．BCE △绕点C 顺时针旋转90°得到DCG △（或将DCG △逆时针旋转90°得到BCE △）
3．证明： (1) 如图1，∵∠BAD ＝∠EAC ， ∴∠BAC=∠EAD ．
在△ABC 和△AED 中
AB AE BAC EAD AC AD =??
∠=∠??=?
∴△ABC ≌△AED(SAS) ．
(2)由(1)知∠ABC=∠AED ．
∵AB=AE ，
∴∠ABE=∠AEB ．
∴∠OBE=∠OEB ．
∴OB=OE ．
4．解： PQ =PB
证明： 过P 点作MN ∥BC 分别交AB 、DC 于点M 、N 在正方形ABCD 中，AC 为对角线， ∴AM =PM ． 又∵AB =MN ，
图1
E
图1
N M
Q P
D
A
∴MB=PN ． ∵∠BPQ =900 ，
∴∠BPM ＋∠NPQ =900 ． 又∵∠MBP ＋∠BPM =900 ， ∴∠MBP = ∠N PQ ． ∴Rt △MBP ≌Rt △NPQ, ． ∴PB =PQ ． 5．（1）①垂直，相等；
②如图1-2，当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．
由正方形ADEF 得 AD ＝AF ，∠DAF ＝90o．
∵∠BAC ＝90o，∴∠DAF ＝∠BAC ， ∴∠DAB ＝∠F AC ， 又AB ＝AC ，∴△DAB ≌△F AC ， ∴CF ＝BD ， ∠ACF ＝∠ABD ． ∵∠BAC ＝90o， AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝45o，∴∠ACF ＝45o， ∴∠BCF ＝∠ACB +∠ACF ＝90o． 即 CF ⊥BD .
（2）如图1-2，当∠ACB ＝45o时，CF ⊥BD ．
理由：过点A 作AG ⊥AC 交CB 或CB 的延长线于点G ，
则∠GAC ＝90o，
∵∠ACB ＝45°,∠AGC ＝90°—∠ACB ＝45°， ∴∠ACB ＝∠AGC ，∴AC ＝AG ，
∵点D 在线段BC 上，∴点D 在线段GC 上， 由（1）①可知CF ⊥BD .
G
B
D
E
F
A
图
1-2
v1.0可编辑可修改 专题复习证明线段相等角相等的基本方法( 一) 一、教学目标： 知识与技能：使学生掌握根据角和线段位置关系如在一个三角形中或在两个 三角形中，利用等边对等角、或三角形全等证明角相等线段相等的基本方法. 过程与方法：使学生在根据角或边的位置关系确定证明角相等或线段等的方法 过程中，体验证明角相等线段相等的基本方法，在交流的过程中感受和丰富学生 的学习经验；培养学生推理论证能力 . 情感态度与价值观：激活学生原有的知识与经验，使每个学生按照自己的习 惯进行提取、存储信息，形成不同的认知结构，优化学生的思维品质，获得不同的 发展 . 二、教学重点： 掌握根据角和线段位置关系确定证明角相等线段相等的基本方法. 教学难点： 分析图形的形状特征，识别角或线段的位置关系，确定证明方法. 三、教学用具：三角板、学案等 四、教学过程： （一）引入： 相等的线段和角是构成特殊几何图形的主要元素，也是识别特殊图形的主要 依据；运用三角形全等证明线段相等角相等，常出现在中考 15 题左右的位置，是 北京市中考必考内容；运用全等三角形的知识寻求经过图形变换后得到的图形 与原图形对应元素间的关系，常与特殊图形结合，出现在综合题中. （二）例题： 例 1 已知：如图 1，△ ABC中， AB=AC，BC为最大边，点 D、 E 分别在 BC、AC上， BD=CE，F 为 BA延长线上一点， BF=CD. 求证：∠ DEF=∠ DFE . 分析：要证在一个三角形中的两角相等，考虑用等腰三角形的性质（等边对
v1.0可编辑可修改 段相等． 证明：∵ AB=AC∴∠ B=∠C． 在△ BDF和△ CED中， BD CE, B C,图 1 BF CD , BDF CED. DF ED.点拨：抓住图形的特征（两角在一个图形中） DEF DFE . 常用等边对等角证明，这是证两角相等的常用方法． 例 2 已知：如图 1，在△ ABC中，∠ ACB=90， CD AB 于点 D, 点 E 在 AC 上， CE=BC,过 E 点作 AC的垂线，交 CD的延长线于点 F ．求证 AB=FC. 分析：观察 AB与 FC在图形中的位置，发现这两条线段分别位于两个三角形中，考虑用三角形全等来证明．准备三角形全等的条件时，已知一对角一对边对应相等，还需证另一对对应角相等；已知条件有直角，故利用同角的余角相等来证. 证明：∵ FE ⊥ AC 于点 E，ACB90°，∴FECACB 90°， 易证A F ． ∴ △ ABC ≌ △ FCE . ∴AB FC ． 点拨：根据图形特征，要证明相等的两边分别在两 F D B A C E 图1 个三角形中，常利用证明两边所在的两个三角形全等来证．在证明两角相等时， 利用了同角的余角相等证明，也可用等角的余角相等来证，但较复杂．例 3 两个大小不同的等腰直角三角板如图1-1 所示放置，图1-2 是由它抽象出的几何图形， B，C，E 在同一条直线D 上，连结 DC ．求证：∠ ABE=∠ ACD．
G F E C D B A G N M F E D C B A 利用相似三角形证明线段相等 【例7】已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD EF ∥，AC 的延长线交EF 于G 。求证：EG GF =。 证明：证明两线段相等的一种方法是构造比例关系：x y a b =，①若x y =，则a b =；②若a b =，则x y =；③若y b =，则x a = 过C 点作MN ∥EF ，我们先来证明MC=CN ，利用△BEF 和△DEF 形成的A 字型平行线比例关系得： MC BM DN CN EF BE DF EF === ，由此得MC=CN ， 再利用△A EG 和△A GFF 形成的A 字型平行线比例关系得： MC AM AN CN EG AE AF GF === ，故EG GF =得证 关键词：A 字型平行线比例关系 构造比例 关系证线段相等 预备知识：在做下一题之前，先证明一条角平分线定理： 在ABC ?中，AD 是BAC ∠的角平分线，则DB AB DC AC = 【例8】在ABC ?中，90C ∠=?，A ∠的平分线AE 交BA 边上的高线CH 于D ，过D ，引AB 的平行线交BC 于F 。求证：BF EC =。 分析：本题的基本思路与上题相同。由角平分线定理得： EC AC EB AB = 和 DH AH DC AC =，而根据射影定理有2AC AH AB =，即AH AC AC AB = 故EC DH EB DC =利用合比定理得：EC DH CB CH = 另一方面，根据平行线比例关系得： BF DH CB CH =；故BF EC = 关键词：角平分线定理 平行线比例关系 射影定理 构造比例关系证线段相等 习题 如图，在ABC ?中，90A ∠=?，分别以AB AC 、为边向形外作正方形ABDE ACFG 、， 设CD 交AB 于N ，BF 交AC 于M ，求证：AM AN =。 17. （本题10分） 如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，B 为切点，OC 平行于弦AD ，连接CD 。过点D 作DE ⊥AB 于E ，交AC 于点P,求证： （1）CD 是⊙O 的切线；（2）点P 平分线段DE H F E D C B A
如何做几何证明题 知识归纳总结： 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 一. 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
二. 证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。 例3. 如图3所示，设BP、CQ是的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。求证：KH∥BC 例4. 已知：如图4所示，AB＝AC，。 求证：FD⊥ED 三. 证明一线段和的问题 （一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法） 例5. 已知：如图6所示在中，，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、
初中几何证明常用方法 归纳 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
几何证明常用方法归纳 一、证明线段相等的常用办法 1、同一个三角形中，利用等角对等边：先证明某两个角相等。 2、不同的三角形中，利用两个三角形全等：A找到两个合适的目标三角形B确定已有几个 条件C还要增加什么条件。 3、通过平移或旋转或者折叠得到的线段相等。 4、线段垂直平分线性质：线段垂直平分线的一点到线段两个端点的距离相等。 5、角平分线的性质：角平分线上的一点到角两边的距离相等。 6、线段的和差。 二、求线段的长度的常用办法 1、利用线段的和差。 2、利用等量代换：先求其他线段的长度，再证明所求线段与已求的线段相等。 3、勾股定理。 三、证明角相等的常用办法 1、同（等）角的余(补)角相等。 2、两直线平行，内错角（同位角）相等。 3、角的和差 4、同一个三角形中，利用等边对等角：先证明某两条边相等。 5、不同的三角形中，利用两个三角形全等：A找到两个合适的目标三角形B确定已有几个 条件C还要增加什么条件。 四、求角的度数的常用方法 1、利用角的和差。 2、利用等量代换：先求其他角的长度，再证明所求角与已求的角相等。 3、三角形内角和定理。 五、证明直角三角形的常用方法 1、证明有一个角是直角。（从角） 2、有两个角互余。（从角） 3、勾股定理逆定理。（从边） 4、30度角所对的边是另一边的一半。 5、三角形一边上的中线等于这边的一半 六、证明等腰三角形的常用方法 1、证明有两边相等。（从边） 2、证明有两角相等。（从角） 七、证明等边三角形的常用方法 1、三边相等。 2、三角相等。 3、有一角是60度的等腰三角形。 八、证明角平分线的常用方法 1、两个角相等（定义）。 2、等就在：到角两边的距离相等的点在角平行线上。 九、证明线段垂直平分线的常用方法 1、把某条线段平分，并与它垂直。
证明线段相等的方法 （一）常用轨迹中： ①两平行线间的距离处处相等。 ②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等。 ③角平分线上任一点到角两边的距离相等。 ④若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也相等(图1）。 （二）三角形中： ①同一三角形中，等角对等边。（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等） ②任意三角形的外心到三顶点的距离相等。 ③任意三角形的内心到三边的距离相等。 ④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。 ⑤直角三角形中，斜边的中点到直角顶点的距离相等。 ⑥有一角为60°的等腰三角形是等边三角形。 ⑦过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边(图2）。 ⑧同底或等底的三角形，若面积相等，则高也相等。同高或等高的三角形，若面积相等，则底也相等(图3）。 （三）四边形中： ①平行四边形对边相等，对角线相互平分。 ②矩形对角线相等，且其的交点到四顶点的距离相等。 ③菱形中四边相等。 ④等腰梯形两腰相等、两对角线相等。 ⑤过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰(图4）。 （四）正多边形中： ①正多边形的各边相等。且边长a n= 2Rsin (180°/ n) ②正多边形的中心到各顶点的距离(外接圆半径R )相等、各边的距离(边心距r n) 相等。 且r n= Rcos (180°/ n) （五）圆中： ①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等。 ②同圆或等圆中，等弦所对的弦心距相等，等弦心距所对的弦相等。 ③任意圆中，任一弦总被与它垂直的半径或直径平分。 ④自圆外一点所作圆的两切线长相等。 ⑤两相交或外切或外离圆的二公切线的长相等；两外离圆的二内公切线的长也相等。 ⑥两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分（图5）。 ⑦两外切圆的一条外公切线与内公切线的交点到三切点的距离相等（图6）。 ⑧两同心圆中，内圆的任一切线夹在外圆内的弦总相等且都被切点平分（图7）。 （六）全等形中：
2021年中考数学热点专题复习：证明线段相等的一些常见方法 证明线段相等，是初中阶段学生学习几何后经常遇到的一类问题，是学生学习几何的常见入门题，也是学生后继学习的基础. 问题 如图1，在四边形ABCD 中，105ACB BAD ∠=∠=?，45ABC ABD ∠=∠=?，求证：CD AB = 方法1 如图2，过点C 作CE AB ⊥于点E ，再过点A 作AF CD ⊥于点F . 则可证ACE ACF ??? 于是有CE CF AF AE ==，. 45ABC ABD ∠=∠=? CE CF AF AE ∴==， 得AB CD = 方法2 如图3，过C 点作AB 的平行线交AD 于M 点，则由条件，易得 30ACM BAC DCM ∠=∠=∠=?， 75AMC CAM ∠=∠=? AC CM ∴= ABC CDM ∴???，于是有AB CD = 方法3 如图4，过点A 作CD 的垂线交BC 的延长线于E 点. 10545ACB ABC ∠=?∠=?， 30BAC ∴∠=? 10545BAD ADC ∠=?∠=?， 7560DAC ACD ∴∠=?∠=?， 30CAE ∴∠=? 75AEC ACE AE AC ∴∠=∠=?=， 故由ABE CDA ???，得AB CD =
方法4 如图5，过A 作AE DC ⊥于点E ，并延长到点N ，使AN AB =，连CN ， 则有ABC ANC ??? 45N D ∴∠=∠=? DE AE EN EC ∴==， DC AN AB ∴== 方法5 如图6，过点C 作CH AB ⊥于点H ，并延长到点G ，使CG CD =，连AG , 则有ADC AGC ??? 45G D ∴∠=∠=? AH HG GH BH ∴==， DC CG AB ∴== 实际上，方法4和方法5都是利用了对称的思想，分别以AC 所在直线为对称轴. 方法6 如图7，过C 点作DC 的垂线交DA 的延长线于P 点.则有 PAC BCA ??? 得AB CP CD ==
证明线段相等的一些常见方法 证明线段相等，是初中阶段学生学习几何后经常遇到的一类问题，是学生学习几何的常见入门题，也是学生后继学习的基础.本文以一道题为例，介绍证明线段相等的常见方法. 问题如图1，在四边形ABCD 中，105ACB BAD ∠=∠=?，45ABC ABD ∠=∠=?，求证：CD AB = 方法1如图2，过点C 作CE AB ⊥于点E ，再过点A 作AF CD ⊥于点F . 则可证ACE ACF ???于是有CE CF AF AE ==，. 45ABC ABD ∠=∠=? CE CF AF AE ∴==，得AB CD =方法2如图3，过C 点作AB 的平行线交AD 于M 点，则由条件，易得 30ACM BAC DCM ∠=∠=∠=?， 75AMC CAM ∠=∠=? AC CM ∴=ABC CDM ∴???，于是有AB CD =方法3如图4，过点A 作CD 的垂线交BC 的延长线于E 点. 10545ACB ABC ∠=?∠=? ，30BAC ∴∠=? 10545BAD ADC ∠=?∠=? ，7560DAC ACD ∴∠=?∠=? ，30CAE ∴∠=?75AEC ACE AE AC ∴∠=∠=?=，故由ABE CDA ???，得AB CD =
方法4如图5，过A 作AE DC ⊥于点E ，并延长到点N ，使AN AB =，连CN ，则有ABC ANC ???45N D ∴∠=∠=? DE AE EN EC ∴==，DC AN AB ∴== 方法5如图6，过点C 作CH AB ⊥于点H ，并延长到点G ，使CG CD =，连AG ,则有ADC AGC ???45G D ∴∠=∠=? AH HG GH BH ∴==，DC CG AB ∴==实际上，方法4和方法5都是利用了对称的思想，分别以AC 所在直线为对称轴.方法6如图7，过C 点作DC 的垂线交DA 的延长线于P 点.则有 PAC BCA ???得AB CP CD ==
证明三角形全等找角相等的方法 1、利用平行直线性质 两直线平行的性质定理：1. 两直线平行，同位角相等 2. 两直线平行，内错角相等 例1.如图所示，直线AD 、BE 相交于点C ，AC=DC ，BC=EC. 求证：AB=DE 已知：如图所示，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AD ＝BC ，AE ＝BF ，CE ＝DF ，试说明：（1）DF ∥CE ；（2）DE ＝CF ． A B C D E F 1 2 2、巧用公共角 要点：在证两三角形全等时首先看两个三角形是不是有公共交点，如果有公共交点，在看他们是否存在公共角 例1.如图所示，D 在AB 上，E 在AC 上，AB=AC, ∠B=∠C. 求证：AD=AE 10. 已知：如图,AD ＝AE,AB ＝AC,BD 、CE 相交于O. 求证：OD ＝OE ．
三、利用等边对等角 要点：注意相等的两条边一定要在同一个三角形内才能利用等边对等角 例1.在△ABC 中，AB=AC ，AD 是三角形的中线. 求证：△ABD ≌△ACD 四、利用对顶角相等 例1、已知：四边形ABCD 中, AC 、BD 交于O 点, AO=OC , BA ⊥AC , DC ⊥AC ．垂 足分别为A , C ． 求证：AD=BC 已知：如图，在AB 、AC 上各取一点，E 、D ，使AE=AD ，连结BD ，CE ，BD 与CE 交于O ，连结AO ，∠1=∠2， 求证：∠B=∠C 五、利用等量代换关系找出角相等 （1）=A B ∠+∠+公共角公共角，则可以得出=A B ∠∠ 例1. 已知：如图13－4，AE=AC ， AD=AB ，∠EAC=∠DAB ， 求证：△EAD ≌△CAB ． 已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE. 求证 :BD=CE A C B E D 图13－4
平面几何中线段相等的证明几种方法 平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。 一、利用全等三角形的性质证明线段相等 这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。 ［例1］如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE是等边三角形。求证：AE=BD。 证明∵△ACB和△BCE都是等边三角形 ∴∠ACD=60°，∠BCE=60°，∠DCE=60° ∴∠ACE=∠ACD＋∠DCE=120° ∠BCD=∠BCE＋∠DCE=120° ∴AC=CD，CE=CB ∴△ACE≌△DCB（SAS） ∴AE=DB ［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。 证明：过点E作EG//AF交BC于点G ∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD
∵AB=AC ∴∠B=∠ACB，∠B=∠FGB，BE=GE ∵BE=CF，∴GE=CF 在△EGD和△FCD中， ∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，GE=CF ∴△EGD≌△FCD（AAS）∴ED=FD 二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等 如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。 ［例1］如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。 求证：AF=EF。 证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG。 ∵AD=GD，∠ADC=∠GDB，CD=BD ∴△ADC≌△GDB ∴AC=GB，∠FAE=∠BGE ∵BE=AC ∴BE=BG，∠BGE=∠BEG ∴∠FAE=∠BGE=∠BEG=∠AEF ∴AE=EF ［例2］如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。
证明线段相等的技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
证明线段相等的技巧 要证明两条线段相等，一般的思路是从结论入手，结合已知分析，主要看要证明的两条线段分布的位置怎样，无外乎有三种情况： （1）要证明的两条线段分别在两个三角形中；（2）要证明的两条线段在同一个三角形中；（3）要证明的两条线段在同一条直线上或其它情况。 一、如果要证明的两条线段分别在两个三角形中 一般的思路是利用两条线段所在的两个三角形全等。 例1 已知：如图1，B、C、E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，连结AE、DB，求证：AE=DB。 二、如果要证明的两条线段在同一三角形中 一般的思路是利用等角对等边。 例2 已知：如图2，△ABC中AB=AC，D为BC上一点，过D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延长线于F，求证：AE=AF。 三、如果要证明的线段在同一直线上或其它情况 一般的思路是作辅助线构成全等三角形或利用面积法来证明。
例3 已知：如图3，△ABC中AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD=EC，连结DE交BC于F，求证：DF=EF。 例4 已知：如图5，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、CD上一点，且BE=BF，AG⊥BF于F，CH⊥BE于H，求证：AG=CH。 分析：从结论入手，要证线段AG=CH就看线段AG、CH是否在同一 三角形中的两条边或两个三角形中的两条边，这里的AG、CH虽然 在两个三角形中，但显然不全等，作辅助线构成全等三角形也无法 作，由于BE=BF要证明的线段AG、CH恰是这两边上的高，这时就 应该想到面积法，作辅助线构成两个等底等高的三角形或平行四边 形，很显然结合已知条件可知构成平行四边形，延长AD到S使 DS=AE，连结CS。延长ACD到R使DR=CF，连结AR证明略。
徐老师模型数学20170727 证明两角相等的方法 百汇学校徐国纲 一、相交线、平行线 1、对顶角相等； 2、同角或等角的余角（或补角）相等； 3、两直线平行，同位角相等、内错角相等； 4、两边分别对应平行（或垂直）的两角相等或互补； 5、凡直角都相等； 6、角的平分线分得的两个角相等； 二、三角形 7、等腰三角形的两个底角相等； 8、三线合一：等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角； 9、三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和； 10、全等三角形的对应角相等； 11、相似三角形的对应角相等； 12、角平分性质定理的逆定理：到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上； 三、四边形 13、平行四边形的对角相等； 14、菱形的每一条对角线平分一组对角； 15、等腰梯形在同一底上的两个角相等； 四、圆 16、同弧或等弧（或两条相等的弦）所对的圆心角相等； 17、同弧或等弧所对的圆周角相等； 18、圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 19、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角； 20、三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角； 21、弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角； 22、从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角； 五、三角函数 23、如果两个锐角的同名三角函数值相等，则这两个锐角相等； 六、等式性质 24、等量代换：若∠1=∠2，且∠2=∠3，则∠1=∠3； 25、等式性质：等量加等量，其和（或差）相等：若∠1=∠2，则∠1+∠3=∠2+∠3或∠1-∠3=∠2-∠3. 第1 页共1 页
证明线段比例式或等积式的方法 （一）比例的性质定理： （二）平行线中的比例线段： ①平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得对应线段成比例（图1、2）。 ②平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例（图 3、4）。 ③平行于三角形的一边，且与其他两边（或两边的延长线）相交的直线所截得的三角 形的三边与原三角形的三边对应成比例（图3、4）。 （三）三角形中比例线段： ①相似三角形中一切对应线段（对应边、对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长…）的比都相等，等于相似比。 ②相似三角形中一切对应面积的比都相等，等于相似比的平方。 ③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（图5）。 ④射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项（图5）。 直角三角形上任一直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项（图5）。 ⑤正弦定理：三角形中，每一边与对角的正弦的比相等（图6）。即/sinA=b/sinB=c/sinC ⑥余弦定理：三角形中，任一边的平方等于另两边的平方和减去这两边及其夹角余弦乘积
的二倍（图6）。 如a2 = b2+c2 - 2 b·c·cosA （四）圆中的比例线段： 圆幂定理： ①相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等（图7）。 （推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半为它分直径所成两线段的比例中项。图8） ②切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长为这点到割线与圆交点的两线段长的比例中项（图9）。 ③割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两线段长的积相等（图10）。 （五）比例线段的运算： ①借助等比或等线段代换。 ②运用比例的性质定理推导。 ③用代数或三角方法进行计算。
证明两角相等的方法 黄冈中学初三数学备课组【重点解读】 证明两角相等是中考命题中常见的一种题型，此类证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在中考有限的两个小时中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。在教学中总结了一些定理（或常见结论）以及几种处理方法，仅供参考。 【相关定理或常见结论】 1、相交线、平行线： （1）对顶角相等； （2）等角的余角（或补角）相等； （3）两直线平行，同位角相等、内错角相等； （4）凡直角都相等； （5）角的平分线分得的两个角相等. 2、三角形 （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）； （3）三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和 （4）全等三角形的对应角相等； （5）相似三角形的对应角相等. 3、四边形 （1）平行四边形的对角相等； （2）菱形的每一条对角线平分一组对角； （3）等腰梯形在同一底上的两个角相等. 4、圆 （1）在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. ，圆心角相等.
（3）圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. （4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角. （5）三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角. （6）正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角. （7）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角； 5、利用等量代换、等式性质 证明两角相等. 6、利用三角函数计算出角的度数相等 【典题精析】 （一） 利用全等相关知识证明角相等 例1 已知：如图，CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，BE 与CD 交于点O ，且BD CE =． 求证：AO 平分BAC ∠． 分析：要证AO 平分BAC ∠，因为CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，所以只要证明OD=OE ；若能证明若能证△OBD ≌△OCE 即可，因为可证 ∠ODB=∠OEC=90°,∠BOD=∠COE ，而BD=CE ，故问题得到解决． 证明：∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ∴∠ODB=∠OEC=90° 在△O BD 和△OCE 中 ∠ODB=∠OEC ∠BOD=∠COE BD=CE ∴△OBD ≌△OCE ∴OD=OE ∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ∴AO 平分BAC ∠． 说明：本例的证明运用了对顶角相等，角的平分线性质的逆定理 例2 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是梯形内一点，ED ⊥AD ，BE=DC ，∠ECB=45 o ． 求证：∠EBC ＝∠EDC 分析：要证明∠EBC ＝∠EDC ，容易想到证全等，而图中没有全等的三角形，如果
初中阶段证明线段相等的方法 （一）常用轨迹中： ①两平行线间的距离处处相等. ②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等. ③角平分线上任一点到角两边的距离相等. ④若一组平行线在一条直线上截得的线段相等,则在其它直线上截得的线段也相等(图1）. （二）三角形中： ①同一三角形中,等角对等边.（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等） ②任意三角形的外心到三顶点的距离相等. ③任意三角形的内心到三边的距离相等. ④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边. ⑤直角三角形中,斜边的中线等于斜边一半. ⑥有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形. ⑦过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边(图2）. ⑧同底或等底的三角形,若面积相等,则高也相等.同高或等高的三角形,若面积相等,则底也相等(图3）. （三）四边形中： ①平行四边形对边相等,对角线相互平分.
②矩形对角线相等,且其的交点到四顶点的距离相等. ③菱形中四边相等. ④等腰梯形两腰相等、两对角线相等. ⑤过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰(图4）. （四）正多边形中： ①正多边形的各边相等.且边长an = 2Rsin (180°/ n) ②正多边形的中心到各顶点的距离(外接圆半径R )相等、各边的距离(边心距rn ) 相等. 且rn = Rcos (180°/ n) （五）圆中： ①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等. ②同圆或等圆中,等弦所对的弦心距相等,等弦心距所对的弦相等. ③任意圆中,任一弦总被与它垂直的半径或直径平分. ④自圆外一点所作圆的两切线长相等. ⑤两相交或外切或外离圆的二公切线的长相等；两外离圆的二内公切线的长也相等. ⑥两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分（图5）. ⑦两外切圆的一条外公切线与内公切线的交点到三切点的距离相等（图6）. ⑧两同心圆中,内圆的任一切线夹在外圆内的弦总相等且都
《专题复习：证明角相等的方法》导学案 学习目标 1、系统归纳已经学习过的结论是“角相等”的几何定理； 2、能够初步应用这些定理证明角相等； 3、养成执果索因的习惯，提高分析、解决问题的能力。 学习重、难点熟悉几何定理的文字、符号表述，依据问题的条件恰当选择证明方法。 问题引入证明两角相等是中考命题中常见的一种题型，此类证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在中考有限的两个小时中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。 一、自主学习： 归纳已经学习过的结论是“角相等”的几何定理(能结合图形用符号语言表述) （1）对顶角； （2）角的余角（或补角）相等； （3）两直线平行，相等、内错角； （4）凡直角都； （5）角的平分线分得的两个角； （6）等腰三角形的两个底角 (简称 ) （7）等腰三角形底边上的高（或中线）顶角（三线合一）； （8）三角形外角和定理：三角形外角等于的内角之和； （9）全等三角形的对应角； 二、典例精析
1、利用平行线的判定与性质证明角相等 例1、如右图在△ABC 中，EF ⊥AB ，CD ⊥AB ，G 在AC 边上并且∠GDC=∠EFB ， 求证：∠AGD=∠ACB 注：如果要证相等的两角是两条直线被第三条直线所截得的同位角或内错角，可考虑用此方法。 2、利用“等(同)角的补角相等”证明角相等 例2、如右图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，求证：∠A=∠C 3、利用“等(同)角的余角相等”证明角相等 例3、如右图，在锐角△ABC 中，BD 、CE 是它的两条高，求证：∠ABD=∠ACE 变式：若果∠A 是钝角，其它条件不变，仍然有∠ABD=∠ACE 为什么 4、利用全等△性质证明角相等 例4、 已知：如图，AC 和BD 相交于点O ，DC AB =，DB AC =。 求证：C B ∠=∠。
如何证明线段相等或成倍数关系 一 【典型例题】 （一）线段相等：证明线段相等的方法很多，主要有三角形全等、等腰三角形的判定、线段垂直平分线定理、角平分线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。另外证明线段相等还有一类题型，就是证明两条线段的和或差等于某一条线段，此种类型往往采用截长补短的方法进行证明。在例题讲解中，会出现此种类型的题目，请同学们注意。下面，我们就分析几个例题，希望能通过讲解，使同学逐步掌握证明线段相同的方法。 例1. 已知：四边形ABCD 中，AD ＝BC ，AC ＝BD 。 求证：OA ＝OB 2. △ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，且BD ＝CE ，DE 交 BC 于F 。 求证：DF ＝ EF 例 3. 已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上 的点，且AE ＝CF 。 求证：DE ＝BF 例5. 已知：在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于E ，若AB ＝8，DE ＝3，求BE 两点间的距离。
6. 在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠ACB ＝2∠B ，求证：AB ＝AC ＋CD 。 （二）线段倍、倍或、倍的关系：24121 4 这部分证明中常用到的定理有： （1）直角三角形中，30°的角对的直角边等于斜边的一半。 （2）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 （3）中位线定理。 下面就以几个例子来说明如何使用这三个定理解决线段倍数关系的证明。 例1. 已知：在△ABC 中，M 是BC 的中点，CE ⊥AB ，BF ⊥AC 。 求证：EM ＝FM 例2. 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD 是AB 边上的高。 求证：BD AB 14 例3. 已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，EF 是△ABC 的中位线，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，连接CD 。
利用相似三角形证明线段相等 【例7】已知，如图，四边形 ABCD ，两组对边延长后交于 E 、F ,对角线BD II EF , AC 的 延长线交EF 于 G 。求证： 预备知识：在做下一题之前，先证明一条 角平分线定理： 在ABC 中，AD 是BAC 的角平分线，贝U _DB DC AC 【例8】在 ABC 中，C 90 , A 的平分线AE 交BA 边上的高线CH 于D ，过D ，引AB 的 平行线交 BC 于F 。求证：BF EC 。 分析：本题的基本思路与上题相同。由角平分线定理得： EC EB AC 和 AB DH AH ，而根据射影定理有 AC 2 AH gAB ，即 AH AC DC AC AC AB 故EC DH 利用合比定理得： EC DH EB DC CB CH 另一方面，根据平行线比例关系得： BF DH . 故BF EC CB CH 关键词 :角平分线定理 平行线比例关系 射影定理 构造比例关系证线段相等 习题 如图，在 ABC 中，A 90，分别以AB 、AC 为边向形外作正方形 ABDE 、ACFG ，设CD 交AB 于N , BF 交 AC 于M ，求证：AM AN 。 17.(本题10分) 如图，已知 AB 是O O 的直径，BC 是O O 的切线，B 为切点，0C 平行于弦 AD ,连接 CD 过点D 作DEI AB 于E ,交AC 于点P,求证： (1) CD 是O O 的切线；(2 )点P 平分线段DE EG GF 。 证明：证明两线段相等的一种方法是构造比例关系: --，①若x y ，则a b ;②若a b , a b 则x y ;③若y b ，则x a 过C 点作MIN/ EF ,我们先来证明 MC=CN 利用△ BEF 和厶DEF 形成的A MC 弛竺空，由此得MC =CN EF BE DF EF A 字型平行线比例关系得： 字型平行线比例关系得: 再利用△ A EG 和厶A GFF 形成的 MC AM AN CN ，故EG AE AF GF A 字型平行线比例关系 EG 关键词: GF 得证 构造比例关系证线段相等
线段的和差倍分问题的证明 一、运用定理法 即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点. 求证：DM = 2 1AB 对应练习 1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ?的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 2 1 = ． 2、如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，?=∠90BAC ，BE 平分ABC ∠，交AC 于D ，BE CE ⊥于E 点，求证：BD CE 2 1 =． 3、如图所示，在ABC ?中，BC AB 2 1 = ，D 是BC 的中点，M 是BD 的中点．求证：AC=2AM ． 4、已知：如图所示，D 是ABC ?的边BC 上一点，且CD=AB ，BAD BDA ∠=∠，AE 是ABD ?的中线．求证：AC=2AE ． Q A D P C B E M A D B A B E D C A
5、已知：如图所示，锐角ABC ?中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ． 二、割补线段法 这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。下面请看一个例子。 例2、P 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点，AQ 平分∠PAD . 求证：AP =BP +DQ . 例3、 如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AE 是经过点A 的一条直线，交BC 于F ，且B 、C 在AE 在的异侧，BD ⊥AE 于D ，求证：DB =DE +CE 。 对应练习 1、如图所示，已知ABC ?中，?=∠60A ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ．求证：BE+CD=BC ． A D E B C A O E B C D
专题复习证明线段相等角相等的基本方法(一) 一、教学目标： 知识与技能：使学生掌握根据角和线段位置关系如在一个三角形中或在两个三角形中，利用等边对等角、或三角形全等证明角相等线段相等的基本方法. 过程与方法：使学生在根据角或边的位置关系确定证明角相等或线段等的方法过程中，体验证明角相等线段相等的基本方法，在交流的过程中感受和丰富学生的学习经验；培养学生推理论证能力. 情感态度与价值观：激活学生原有的知识与经验，使每个学生按照自己的习惯进行提取、存储信息，形成不同的认知结构，优化学生的思维品质，获得不同的发展. 二、教学重点： 掌握根据角和线段位置关系确定证明角相等线段相等的基本方法. 教学难点： 分析图形的形状特征，识别角或线段的位置关系，确定证明方法. 三、教学用具：三角板、学案等 四、教学过程： （一）引入： 相等的线段和角是构成特殊几何图形的主要元素，也是识别特殊图形的主要依据；运用三角形全等证明线段相等角相等，常出现在中考15题左右的位置，是北京市中考必考内容；运用全等三角形的知识寻求经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系，常与特殊图形结合，出现在综合题中. （二）例题： 例1已知：如图1，△ABC中，AB=AC，BC为最大边，点D、 E分别在BC、AC上，BD=CE，F为BA延长线上一点，BF=CD.求证：∠DEF=∠DFE . 分析：要证在一个三角形中的两角相等，考虑用等腰三角形的性质（等边对等角）来证；因要证的两条相等的边在两个三角形中，故利用三角形全等来证线段相等． 证明：∵AB=AC∴∠B=∠C． 图1
在△BDF 和△CED 中， 点拨：抓住图形的特征（两角在一个图形中）常用等边对等角证明，这是证两角相等的常用方 法． 例2 已知：如图1，在△ABC 中，∠ACB=，于点D,点E 在 AC 上，CE=BC,过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证AB=FC. 分析：观察AB 与FC 在图形中的位置，发现这两条线段分别位于两个三角形中，考虑用三角形全等来证明．准备三角形全等的条件时，已知一对角一对边对应相等，还需证另一对对应角相等；已知条件有直角，故利用同角的余角相等来证. 证明：∵于点， ∴， 易证． ∴. ∴． 点拨：根据图形特征，要证明相等的两边分别在两个三角形中，常利用证明两边所在的两个三角形全等来 证．在证明两角相等时，利用了同角的余角相等证明，也可用等角的余角相等来证，但较复杂． 例3 两个大小不同的等腰直角三角板如图1-1所示放置，图1-2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．求证：∠ABE=∠ACD ． 分析：图1-2是由两个大小不同的等腰直角三角板构成的旋转图形，分别从一个等腰三角形取一条腰，夹角为等角加同角，就 ,,,... BD CE B C BF CD BDF CED DF ED DEF DFE =?? ∠=∠??=? ∴???∴=∴∠=∠图1 图1-2 图1-1
一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。 12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 二、证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 8.相似三角形的对应角相等。 9.圆的内接四边形的外角等于内对角。 10.等于同一角的两个角相等。 三、证明两条直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。 10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。 11.利用半圆上的圆周角是直角。 四、证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。