1
第七章 质点动力学 习题解答
7-1 质量为40 g 的小球M 以初速度v =8 j (m/s)从点A (0, 0, 0.3m)抛出后，受到沿i 方向恒定的电磁力作用，其大小F = 0.8 kN ，如图所示。求小球M 到达xy 平面点B 时，点B 的坐标和小球的速度。
解：取小球M 为研究对象，小球所受到的主动力为 k i F mg F R -=
由质点运动微分方程R F m =r ，写出投影式
F x m = ，0=y
m ，mg z m -= 初始条件为
00
0====t t y x ，3.00==t z ；
000====t t z x
，v y t ==0 解得质点的速度方程为
t m
F
x
= ，v y = ，gt z -= 质点的运动方程为 22t m F x =
，vt y =，3.02
2+-=t g
z 当0=z 时，小球到达xy 平面，由
03.02
2
=+-=t g z 解得s 247.01=t ，于是小球到达xy 平面时的各速度分量为
m/s 7.494811
===t m
F
x
t t ，m/s 81===v y t t ，m/s 425.211-=-==gt z t t . 各坐标为
m 2.61222
11
==
=t m F x t t ，m 979.111
===vt y t t ，
m 137.23.02
211
-=+-==t g
z t
t .
7-2 图示A ，B 两物体的质量分别为m A 和m B ，二者用一细绳连
接，此绳跨过一定滑轮，滑轮半径为r 。运动开始时，两物体的高度差为h ，且m A > m B ，不计滑轮质量。求由静止释放后，两物体达到相同高度时所需的时间。
解：分别取A 和B 物体为研究对象，受力图如图示，列出动力学方程
TA A A A F W x m -= ， TB B B B F W x m -= ， 式中g m W A A =，g m W B B =，根据题意，有
TB TA F F =，B A x x -=，B A x
x -= 初始条件
00==t A x ，h x t B ==0，00==t A x
，00==t B x . 解以上初值问题，得
题7-2图
题7-2受力图
2
g m m m m x
B
A B A A +-= ， ()22gt m m m m x B A B
A A +-=
g m m m m x B A B A B +--= ， ()
h gt m m m m x B A B
A B ++--=22
令B A x x =，即
()()h gt m m m m gt m m m m B A B
A B A B A ++--=+-2222
解得当两物体达到相同高度时 ()()g
m m h m m t B A B A -+=...
7-3 质量为m 的质点M 受到引力F = -k 2m r 的作用，其中k 为常量，运动开始时，质点M
在轴x 上，OM 0 = b ，初速度v 0与轴x 的夹角为β，如图所示。试求质点M 的运动方程。 解：取质点M 为对象，列出质点运动微分方程：
F =r m ，
投影式为
x k x 2-= ，y k y
2-= 初始条件：b x t ==0，00==t y ；
βcos 00v x
t == ，βsin 00v y t == . 解上述初值问题，得质点M 的运动方程
kt b kt k v x cos sin cos 0+=β，kt k
v
y sin sin 0β=.
7-4 图示套管A 的质量为m ，受绳子牵引沿铅直杆向上滑动。绳子的另一端绕过离杆距离
为l 的滑轮B 而缠在鼓轮上，当鼓轮转动时，其边缘上各点的速度大小为v 0。如果滑轮尺寸略去不计，试求绳子的拉力与距离x 之间的关系。
解：取套管A 为研究对象，受力图如图示，先进行运动学分析. 将 22x l AB += 对时间求导，得 ()
022d d v x
l x
x AB t -=+=
解出
02
2v x
x l x +-= ，
再对时间求导，并将上式代入，得
320
2x
v l x -=
. 在铅锤方向列出动力学方程 mg F x
l l ma T -+=
2
2
题7-3图
题7-4图
题7-2受力图
m g
3
其中x a
-=，于是绳子的拉力T F 与距离x 之间的关系为 l x l x v l g m F T 22320
2+???
? ??+=.
7-5 铅垂发射的火箭由一雷达跟踪，如图所示。当r = 10 000 m ，θ = 60?，rad/s 02.0=θ
，且2rad/s 002.0=θ
时，火箭的质量为5 000 kg 。求此时的喷射反推力F 。 解：以火箭为研究对象，设坐标系如图示， ?s i n r y =，const cos ==?r x ， 将上式对时间求导后，解得火箭的速度
??
c o s
r y =
再次对时间求导，并将上式代入，解得火箭的加速度
r y ?
????22cos cos sin 2 +=
在y 方向列写动力学方程，
mg F y m -=
， 喷射反推力F 为
()g y
m F += 将数据代入，求得此时的喷射反推力
kN 56.387=F .
7-6 质量皆为m 的两物块A ，B 以无重杆光滑铰接，置于光滑的水平及铅垂面上，如图所
示。当自由释放时，求此瞬时杆AB 所受的力。
解：1）取物块A 为研究对象，AB 杆为二力杆BA AB F F =，受力图如图示，列出动力学方程
A A A
B A a m F g m =-?sin ， （a ） 2）取物块B 为研究对象，
B B BA a m F =?cos ， (b)
3）运动学分析 ??s i n ,
c o s l y l x A B ==
对时间求二次导数，得
????c o s ,
s i n l y l x A B =-=；
()()
????????sin cos cos sin 22 -=+-=l y l x
A B ，
在初瞬时，0=?
，初加速度为 ??cos l a A =， ??sin l a B
-= (c) 由（a ）、(b) 、(c)三式解得 ()
g m m m m F B A B A AB ?
??
2
2sin cos 22sin --
=
题7-5图
题7-6受力图
题7-6图
4
据题意，B A m m =，初瞬时
120=?，杆AB 所受的力为 mg F AB 2
3
=.
7-7 质量为m 的小球以水平速度v 0射入静水之中。如水对小球的阻力F 与小球速度v 的
方向相反，且与速度的大小成正比，即F = -μv ，μ为阻尼系数。忽略水对小球的浮力，试分析小球在重力和阻力作用下的运动。 解：取小球为研究对象，列出动力学方程 g F r m m += ， 投影式为
x x m μ-=，mg y y m +-= μ 初始条件：
000====t t y x ，0,000====t t y v x
. 解上述初值问题，得小球在重力和阻力作用下的运动方程为
???? ??-=-t m e m v x μμ10，???
? ??--=-t m e g m t m g y μ
μμ122.
7-8 滑块M 的质量为m ，在半径为R 的固定光滑圆环上滑动。圆环位于铅垂平面内。滑
块M 上系有一弹性绳，它穿过圆环的点O 固定于A 。已知当滑块在点O 时，绳的张力为零。弹性绳每伸长1 (cm)需力c (N)。开始时滑块在圆环的顶端点B ，处在不稳定平衡状态，当它受到微小扰动时，沿圆环滑下，?为绳的OM 部分与水平线的夹角，如图所示。试求滑块M 的下滑速度v 与?角的关系以及圆环的约束力。
解：取滑块M 为研究对象，受力图如图示，列出切线和法线方向的动力学方程，
??2s i n c o s T t mg F ma --=， （a ）
??2c o s s i n T N 2
mg F F R
v m -+-=, (b) 式中，? R a 2t =，?sin 2T cR F =.初始条件为 2
0π
?==t ，00==t ? . 解此初值问题. 关系利用?
???d d =，积分式（a ）
()??
+=?
π?
????2
d 2s i n d 2mg cR mR ，
??
?
??+±=g m cR R 1cos ??
， 得滑块M 的下滑速度v 与?角的关系
??
? ??+==g m cR R R v ??cos 22 ，
（与τ方向相反）
.
题7-7图
滑块受力图
题7-8图
5
从（b ）式解得圆环的约束力
()???2c o s c o s 4s i n 222
N mg cR mg cR F -+-=.
7-9 作用有简谐激振力F ，并带有阻尼元件的弹簧质量系统如图所示。设质点的质量为m
= 350 kg ，弹簧的刚度为k = 20 kN/m ，简谐激振力振幅的大小H = 100 N ，激振频率f = 2.5 Hz ,阻尼元件的阻尼系数c = 1600 N·s/m ，试求系统受迫振动的振幅，受迫振动相位滞后激振力相位角和受迫振动的方程。
解：选取平衡位置为坐标原点，x 轴垂直向下，i 为单位向量，
弹性恢复力 i F x k k -=，
粘性阻尼力 i F x
c c -=， 简谐激振力 i t H F ωsin = 质点运动微分方程的为
t H kx x c x
m ωsin 2=++ 化作标准形式
t h x x n x n ωωsin 22
=++
其中 m c n 2=，m k n =2
ω，m
H h =，f πω2=，
振幅为 ()
2
22
22
4ω
ω
ω
n h
b n
+-=
受迫振动相位滞后激振力相位角?的正切为
2
22t a n ω
ωω
?-=n n 代入数据，得 mm 90.1=b ,rad 50.0-=?. 受迫振动的方程为 ()mm 50.071.15sin 90.1-=t x
7-10质量为m 的质点在水平面的上空受斥力的作用而处于悬浮状态，斥
力的大小与质点到这平面的距离成反比，比例系数为λ。求质点在平衡位置附近作竖向微振动的运动微分方程。
解：以质量为m 的质点为研究对象，以斥力为零的水平面为坐标原点，斥力为x
F λ
=
，受力图如图示，运动微分方程为
mg x
x m -=λ
.
7-11 在图示振动系统中，已知：重物A 的质量m = 1 kg ，
两串联弹簧的刚度系数分别为k 1 =12 N/cm, k 2 = 4 N/cm ，θ = 30?
，斜面摩擦不计，在弹簧没有变形时将重物A 无初速地释放，同时B 端以
ξ = 1.5sin(10t) cm 沿斜面运动。试求重物A
的运动方程。
解：取重物
A 为研究对象，串联弹簧的等效刚度系数k 满足
习题7-9
质点受力图
题7-11
6
2
1111k k k += 解得N/cm 3=k ， g F F
m e
建立与B 固结的动坐标系y x B ''-，坐标原点选在A 的相对经平衡位置。牵连惯性力为
()N 10sin 15.0e
t m m F =-=ξ
， 列出相对运动动力学方程
()()x k t m mg x
m '+-+='st 10sin 15.030sin δ ， 即
()x t x '-='30010sin 15.0 ， 通解为
()()
()m
10sin 105.7310cos 310sin 4t t B t A x -?++='根据初始条件：0,000='='==t t x
x ，解得重物A 的相对运动方程
()()mm 10sin 75.03.17sin 43.0t t x +='.
7-12 倾角为θ的楔块A 的质量为m A ，静止地置于光滑的
水平面上，物块B 的质量为m B ，放在楔块A 的光滑斜面上，如图所示。当无初速地释放物块B 后，求楔块A 与物块B 之间相互作用力的大小。
解：1）取楔块A 为研究对象，列出水平方向的动力学方程
?s i n e N A F a m '=
2）取物块B 为研究对象，物块B 作合成运动，以楔块A 为动系。列出动力学方程
()??s i n c o s e r N B F a a m =-，
??c o s s i n r N B B F g m a m -=，
联立上面三式，并注意到N N
F F ='，解得 ()
g m m m a B A B ??
2
e s i n 22s i n +=
， ()g m m m m a B A B A ?
?
2
r s i n s i n ++=， 楔块A 与物块B 之间相互作用力的大小为 ?
?2
s i n c o s
B A B A N m m g m m F +=.
7-13 质量为m 的小环M 套在弯成y = f (x )形状的光滑金属丝
上，金属丝通过坐标原点并绕竖直轴Oy 以等角速度ω转动，如图所示。如果要使小环在金属丝的任何位置都能处于相对平衡状态，试求金属丝的形状以及平衡时金属丝对小环的作用力。
解：以小环M 为对象，光滑金属丝为动系，设k j,i,为沿动系坐标轴的单位向量，则
滑块受力图
题7-12图
物块A 和B 的受力图
题7-13图
7
相对速度： j i y x
v +=r ，牵连加速度：i a 2e ωx -=， 因相对平衡时0r =v ，所以科氏加速度0c =a .， 牵连惯性力：e e a F m -=，科氏惯性力：0c =F . 列出相对平衡方程
0e =+-N mg F j F ，
向切线，即速度方向投影， ()0r e =?+-v F j F N mg ，
导出
02
=-x x y
g ω， 积分上式得金属丝的形状为：
222
1
x y ω=.
从而
j i j F F mg x m mg N +=+-=2e ω， 平衡时金属丝对小环的作用力大小为
()
22
2g x m F N +=ω.
7-14 质量为2?106 kg 的列车以54 km/h 的速度由南向北行
驶。试求列车行驶到北纬40?时，列车对铁轨的侧压力。 解：列车对铁轨的侧压力等于科氏惯性力.
以列车为研究对象，地球为动参考系，建立图示动坐标系z y x m '''-，沿动系坐标轴的单位基矢量为k j,i,，则列车相对速度和地球转动的角速度为等于
m/s 15km/s 54r j j v ==，
()k j ω??ωsin cos +=，rad/s 1027.75
-?=ω，
科氏加速度为 i v ωa ?ωsin 22r r v c -=?=， 科氏惯性力为 i a F ?ωsin 2r c e v m m =-=， 代入数据，得列车对铁轨的侧压力 kN 80.2e =F
。
小环受力图
题7-14图
大学物理第2章质点动力学习题解答 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第2章 质点动力学习题解答 2-17 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ?)133(?)16(22+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。 解：∵j i dt r d a ?6?12/22+== , j i a m F ?12?24+== 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。 F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为： '34265.0/?===arctg F arctgF x y α 2-18 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为： j t b i t a r ?sin ?cos ωω+= ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。 证明：∵r j t b i t a dt r d a 2222)?sin ?cos (/ωωωω-=+-== r m a m F 2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。 2-19在图示的装置中两物体的质量各为m 1,m 2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。 解：以地为参考系，隔离m 1,m 2，受力及运动情况如图示，其中：f 1=μN 1=μm 1g ， f 2=μN 2=μ(N 1+m 2g)=μ(m 1+m 2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律： ②①a m T g m m g m F a m g m T 221111)(=-+--=-μμμ ①+②可求得：g m m g m F a μμ-+-= 2 112 将a 代入①中，可求得：2 111) 2(m m g m F m T +-= μ f 1 N 1 m 1T a F N 2 m 2 T a N 1 f 1 f 2
习 题 二 2-1 质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。 [解] 设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力 f = - kv (1) 由牛顿第二定律 t v m ma f d d == 即 t v m kv d d ==- 所以 t m k v v d d -= 对等式两边积分 ??-=t v v t m k v v 0 d d 0 得 t m k v v -=0ln 因此 t m k e v v -=0 (2) 由牛顿第二定律 x v mv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即 x v mv kv d d =- 所以 v x m k d d =- 对上式两边积分 ??=-00 0d d v s v x m k 得到 0v s m k -=- 即 k mv s 0 = 2-2 质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为 [证明] 任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 即 t v m ma kv F mg d d ==-- 整理得 m t kv F mg v d d =--
对上式两边积分 ? ?=--t v m t kv F mg v 00 d d 得 m kt F mg kv F mg -=---ln 即 ??? ? ??--= -m kt e k F mg v 1 2-3 跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。 [解] 设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。 此时 2 T kv mg = 即 k mg v = T 有牛顿第二定律 t v m kv mg d d 2=- 整理得 m t kv mg v d d 2= - 对上式两边积分 mgk m t kv mg v t v 21d d 00 2??=- 得 m t v k mg v k mg = +-ln 整理得 T 22221 111v e e k mg e e v kg m t kg m t kg m t kg m t +-=+-= 2-4 一人造地球卫星质量m =1327kg ，在离地面61085.1?=h m 的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求：(1)卫星所受向心力f 的大小；(2)卫星的速率v ；(3)卫星的转动周期T 。 [解] 卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力 由上面两式得() () () N 1082.710 85.110 63781063788.9132732 63 2 32 e 2 e ?=?+??? ?=+=h R R mg f (2) 由牛顿第二定律 h R v m f +=e 2
《动力学I 》第一章 运动学部分习题参考解答 1－3 解： 运动方程：θtan l y =，其中kt =θ。 将运动方程对时间求导并将0 30=θ代入得 34cos cos 22lk lk l y v ====θ θθ 938cos sin 22 3 2lk lk y a =-==θ θ 1－6 证明：质点做曲线运动,所以n t a a a +=, 设质点的速度为v ,由图可知: a a v v y n cos ==θ，所以: y v v a a n = 将c v y =，ρ 2 n v a = 代入上式可得 ρ c v a 3 = 证毕 1－7 证明：因为n 2 a v =ρ，v a a v a ?==θsin n 所以：v a ?= 3 v ρ 证毕 1－10 解：设初始时,绳索AB 的长度为L ,时刻t 时的长度 为s ,则有关系式： t v L s 0-=，并且 222x l s += 将上面两式对时间求导得： 0v s -= ，x x s s 22= 由此解得：x sv x -= （a ） (a)式可写成：s v x x 0-= ，将该式对时间求导得： 2 02 v v s x x x =-=+ (b) 将(a)式代入(b)式可得：32 20220x l v x x v x a x -=-== （负号说明滑块A 的加速度向上） 1－11 解：设B 点是绳子AB 与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以R v B ω=，由于绳子始终处 于拉直状态，因此绳子上A 、B 两点的速度在 A 、B 两点连线上的投影相等，即： θcos A B v v = （a ） 因为 x R x 2 2cos -= θ （b ） 将上式代入（a ）式得到A 点速度的大小为： 2 2 R x x R v A -=ω （c ） 由于x v A -=，（c ）式可写成：Rx R x x ω=--22 ，将该式两边平方可得： 222222)(x R R x x ω=- 将上式两边对时间求导可得： x x R x x R x x x 2232222)(2ω=-- 将上式消去x 2后，可求得：2 22 42) (R x x R x --=ω 由上式可知滑块A 的加速度方向向左，其大小为 2 22 42) (R x x R a A -=ω 1－13 解：动点：套筒A ； 动系：OA 杆； 定系：机座； 运动分析： 绝对运动：直线运动； 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。 根据速度合成定理 r e a v v v += 有：e a cos v v =?，因为AB 杆平动，所以v v =a ， o v o v a v e v r v x o v x o t
作业05（质点动力学3） 1..21t t >。 2. 人造地球卫星绕地球做椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A 和B ，用L 和K E 分别表示卫星对地心的角动量及动能，则应有[ ]。 A ． K B KA B A E E L L >>, B. KB KA B A E E L L >=, C. KB KA B A E E L L <=, D. KB KA B A E E L L <<, 答：［B ］ 解：人造地球卫星绕地球做椭圆轨道运动时，它们之间的引力沿着径向，因此角动量守恒 B A L L = 同时，由角动量的定义 B B A A v r v r = 由于B A r r <，所以B A v v > 因此 KB B A KA E mv mv E =>=222 121 3. 体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦滑轮绳子两端。忽略滑轮和绳子的质量。当它们由同一高度向上爬时，相对于绳子，甲的速率是乙的两倍，则到达顶点的情况是 [ ]。 A ． 甲先到达 B. 乙先到达 C. 同时到达 答：［C ］ 解：由于此二人受到的力相同，质量相同，则加速度就相同。同时到达。 4. 一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动，有一力)(0j y i x F F +=作用在质点上，该质点从坐标原点运动到)2,0(R 位置的过程中，此力F 对它做的功为_____。 答： 2 02R F A = 解：如图首先进行坐标变换，即将坐标原点移到圆周轨道的圆心/o 处，实际上，就是将x 轴平移R 。在新的坐标系中，圆周轨道θ角处（矢径r ），质点受到的力为 ] )1(sin [cos ])([)(0//00j i R F j R y i x F j y i x F F ++=++=+=θθ 在新的坐标系中，矢径为 j R i R r θθsin cos += θθθRd j i r d )cos sin ( +-= 元功表示为 θ θθθθθθd R F Rd j i j i R F r d F dA cos )cos sin (])1(sin [cos 200=+-?++=?= 所以，质点从坐标原点运动到)2,0(R 位置的过程中，F 对它做的功为 2022 /2/02cos R F d R F dA A ===??-θθππ 5. 一个半径为R 的水平圆盘以恒定角速度ω作匀速转动，一质量为m 的人要从圆盘边缘走到圆盘中心处，圆盘对他做的功为_______。
第七章 质点动力学 习题解答 7-1 质量为40 g 的小球M 以初速度v =8 j (m/s)从点A (0, 0, 0.3m)抛出后，受到沿i 方向恒定的电磁力作用，其大小F = kN ，如图所示。求小球M 到达xy 平面点B 时，点B 的坐标和小球的速度。 解：取小球M 为研究对象，小球所受到的主动力为 k i F mg F R -= 由质点运动微分方程R F m =r ，写出投影式 F x m = ，0=y m ，mg z m -= 初始条件为 000====t t y x ，3.00==t z ； 000====t t z x ，v y t ==0 解得质点的速度方程为 t m F x = ，v y = ，gt z -= 质点的运动方程为 22t m F x = ，vt y =，3.02 2+-=t g z 当0=z 时，小球到达xy 平面，由 03.02 2 =+- =t g z 解得s 247.01=t ，于是小球到达xy 平面时的各速度分量为 m/s 7.494811===t m F x t t ，m/s 81===v y t t ，m/s 425.211 -=-==gt z t t . 各坐标为 m 2.61222 11 == =t m F x t t ，m 979.111 ===vt y t t ， m 137.23.02 211 -=+-==t g z t t . 7-2 图示A ，B 两物体的质量分别为m A 和m B ，二者用一细绳连接，此绳跨过一定滑轮，滑轮半径为r 。运动开始时，两物体的高度差为 h ，且m A > m B ，不计滑轮质量。求由静止释放后，两物体达到相同高 度时所需的时间。 解：分别取A 和B 物体为研究对象，受力图如图示，列出动力学方程 TA A A A F W x m -= ， TB B B B F W x m -= ， 式中g m W A A =，g m W B B =，根据题意，有 TB TA F F =，B A x x -=，B A x x -= 初始条件 00==t A x ，h x t B ==0，00==t A x ，00==t B x . 解以上初值问题，得 题7-2图
习题二 2-1 质量为m得子弹以速率水平射入沙土中,设子弹所受阻力与速度反向,大小与速度成正比,比例系数为k,忽略子弹得重力,求:(1)子弹射入沙土后,速度大小随时间得变化关系; (2)子弹射入沙土得最大深度。 [解] 设任意时刻子弹得速度为v,子弹进入沙土得最大深度为s,由题意知,子弹所受得阻力f= - kv (1) 由牛顿第二定律 即 所以 对等式两边积分 得 因此 (2) 由牛顿第二定律 即 所以 对上式两边积分 得到 即 2-2 质量为m得小球,在水中受到得浮力为F,当它从静止开始沉降时,受到水得粘滞阻力为f＝kv(k为常数)。若从沉降开始计时,试证明小球在水中竖直沉降得速率v与时间得关系为 [证明] 任意时刻t小球得受力如图所示,取向下为y轴得正方向,开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 即 整理得 对上式两边积分 得 即 2-3 跳伞运动员与装备得质量共为m,从伞塔上跳出后立即张伞,受空气得阻力与速率得平方成正比,即。求跳伞员得运动速率v随时间t变化得规律与极限速率。 [解] 设运动员在任一时刻得速率为v,极限速率为,当运动员受得空气阻力等于运动员及装备得重力时,速率达到极限。 此时 即 有牛顿第二定律 整理得 对上式两边积分 得 整理得 2-4 一人造地球卫星质量m=1327kg,在离地面m得高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求:(1)卫星所受向心力f得大小;(2)卫星得速率v;(3)卫星得转动周期T。 [解] 卫星所受得向心力即就是卫星与地球之间得引力
由上面两式得()() () N 1082.71085.110 63781063788.9132732 6 3 2 32 e 2 e ?=?+??? ?=+=h R R mg f (2) 由牛顿第二定律 ()() s m 1096.61327 1085.11063781082.736 33e ?=?+???=+= m h R f v (3) 卫星得运转周期 ()() 2h3min50s s 1043.710 96.61085.1106378223 3 63e =?=??+?=+=ππv h R T 2-5 试求赤道上方得地球同步卫星距地面得高度。 [解] 设同步卫距地面高度为h ,距地心为R +h ,则 所以 代入第一式中 解得 2-6 两个质量都就是m 得星球,保持在同一圆形轨道上运行,轨道圆心位置上及轨道附近都没有其它星球。已知轨道半径为R ,求:(1)每个星球所受到得合力;(2)每个星球得运行周期。 [解] 因为两个星球在同一轨道上作圆周运动,因此,她们受到得合力必须指向圆形轨道得圆心,又因星球不受其她星球得作用,因此,只有这两个星球间得万有引力提供向心力。所以两个星球必须分布在直径得两个端点上,且其运行得速度周期均相同 (1)每个星球所受得合力 (2) 设运动周期为T 联立上述三式得 所以,每个星球得运行周期 2-7 2-8 2-9 一根线密度为得均匀柔软链条,上端被人用手提住,下端恰好碰到桌面。现将手突然松开,链条下落,设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上,求链条下落距离s 时对桌面得瞬时作用力。 [解] 链条对桌面得作用力由两部分构成:一就是已下落得s 段对桌面得压力,另一部分就是正在下落得段对桌面得冲力,桌面对段得作用力为。显然 时刻,下落桌面部分长s 。设再经过,有落在桌面上。取下落得段链条为研究对象,它在时
第三篇 动力学 一、选择题（每题2分，共20分） 1．在铅直面内的一块圆板上刻有三道直槽AO ，BO ，CO ，三个质量相等的小球M 1，M 2，M 3在重力作用下自静止开始同时从A ，B ，C 三点分别沿各槽运动，不计摩擦，则________到达O 点。 （A ）M 1小球先； （B ）M 2小球先； （C ）M 3小球先； （D ）三球同时。 题1 题2 题3 2．质量分别为m 1=m ，m 2=2m 的两个小球M 1，M 2用长为L 而重量不计的刚杆相连。现将M 1置于光滑水平面上，且M 1M 2与水平面成?60角。则当无初速释放，M 2球落地时，M 1球移动的水平距离为____________。 （A ）3L ； （B ）4L ； （C ）6L ； （D ）0。 3．质量为m ，长为b 的匀质杆OA ，以匀角速度ω绕O 轴转动。图示位置时，杆的动量及对O 轴的动量矩的大小为________。 （A ）2 ωmb p =，122ωmb L O =； （B ）0=p ，122ωmb L O =； （C ）2ωmb p =，22ωmb L O =； （D ）2 ωmb p =，32ωmb L O =。 4．在_____情况下，跨过滑轮的绳子两边张力相等，即F 1=F 2（不计轴承处摩擦）。 （A ）滑轮保持静止或以匀速转动或滑轮质量不计； （B ）滑轮保持静止或滑轮质量沿轮缘均匀分布； （C ）滑轮保持静止或滑轮质量均匀分布； （D ）滑轮质量均匀分布。 题4 题5 5．均质杆长L ，重P ，均质圆盘直径D =L ，亦重P ，均放置在铅垂平面内，并可绕O 轴转动。初始时杆轴线和圆盘直径均处于水平位置，而后无初速释放，则在达到图示位置瞬时，杆的角速度ω1________圆盘的角速度ω2。 （A ）大于； （B ）小于； （C ）等于； （D ）小于或等于。
第二章质点动力学单元测验题 一、选择题 1.如图，物体A和B的质量分别为2kg和1kg，用跨过定滑轮的细线相连，静 止叠放在倾角为θ=30°的斜面上，各接触面的静摩擦系数均为μ=0.2，现有一沿斜面向下的力F作用在物体A上，则F至少为多大才能使两物体运动. A.3.4N; B.5.9N; C.13.4N; D.14.7N 答案：A 解：设沿斜面方向向下为正方向。A、B静止时，受力平衡。 A在平行于斜面方向：F m g sin T f f 0 A12 B在平行于斜面方向：1sin0 f m g T B 静摩擦力的极值条件：f1m g cos， B f m m g 2(B A)cos 联立可得使两物体运动的最小力F min满足： F min (m B m A)g sin (3m B m A )g cos=3.6N 2.一质量为m的汽艇在湖水中以速率v0直线运动，当关闭发动机后，受水的阻力为f=-kv，则速度随时间的变化关系为 A.v k t =v e m; B. v= -t k t v e m 0; C. v=v + k m t ; D. v=v - k m t 答案：B 解：以关闭发动机时刻汽艇所在的位置为原点和计时零点，以v0方向为正方向建立坐标系. 牛顿第二定律： dv ma m kv dt 整理： d v v k m dt
积分得：v= - v e k t m 3.质量分别为m和m（ 12m m）的两个人，分别拉住跨在定滑轮（忽略质量）21 上的轻绳两边往上爬。开始时两人至定滑轮的距离都是h.质量为m的人经过t 1 秒爬到滑轮处时，质量为m的人与滑轮的距离为 2 m m1m-m1 1; C.1(h gt2)2h gt 1 2 A.0; B.h+; D.(+) m m2m2 222 答案：D 解：如图建立坐标系，选竖直向下为正方向。设人与绳之间的静摩擦力为f，当 质量为m的人经过t秒爬到滑轮处时，质量为m的人与滑轮的距离为h'，对二者12 分别列动力学方程。 对m： 1 f m g m a m 11m1 1 dv m 1 dt 对m： 2 f m g m a m 22m2 2 dv m 2 dt 将上两式对t求积分，可得： fdt m gt m v m 11m1 1dy m 1 dt fdt m gt m v m 22m2 2dy m 2 dt 再将上两式对t求积分，可得： 1 fdt m gt 0m h 22 11 2 1 fdt m gt m h m h 22 222 2
第一章静力学公理与受力分析(1) 一．是非题 1、加减平衡力系公理不但适用于刚体，还适用于变形体。（） 2、作用于刚体上三个力的作用线汇交于一点，该刚体必处于平衡状态。（） 3、刚体是真实物体的一种抽象化的力学模型，在自然界中并不存在。（） 4、凡是受两个力作用的刚体都是二力构件。（） 5、力是滑移矢量，力沿其作用线滑移不会改变对物体的作用效果。（）二．选择题 1、在下述公理、法则、原理中，只适于刚体的有（） ①二力平衡公理②力的平行四边形法则 ③加减平衡力系公理④力的可传性原理⑤作用与反作用公理 三．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。整体受力图可在原图上画。 )a(球A )b(杆AB d(杆AB、CD、整体 )c(杆AB、CD、整体)
精选文库 -- - 2 - )e (杆AC 、CB 、整体 )f (杆AC 、CD 、整体 四．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。多杆件的整体受力图可在原图上画。 )a (球A 、球B 、整体 )b (杆BC 、杆AC 、整体
精选文库 -- - 3 - 第一章 静力学公理与受力分析（2） 一．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑 接触。整体受力图可在原图上画。 W A D B C E Original Figure A D B C E W W F Ax F Ay F B FBD of the entire frame )a (杆AB 、BC 、整体 )b (杆AB 、BC 、轮E 、整体 )c (杆AB 、CD 、整体 )d (杆BC 带铰、杆AC 、整体
2 v v e =1 v v =AB r v v =0 45 45 v r =N B C .第七章 点的合成运动习题解 [习题7-1] 汽车A 以h km v /401=沿直线道路行驶，汽车B 以h km v /2402=沿另一叉道行驶。求在B 车上观察到的Ａ车的速度。 解： 动点：A 车。 动系：固连于B 车的坐标系。 静系：固连地面的坐标系。 绝对运动：动点A 相对于地面的运动。 相对运动：动点A 相对于B 车的运动。 牵连运动：在动系中，动点与动系的重合点， 即牵连点相对于静系（地面）的运动。当Ａ、 Ｂ两车相遇时，即它们之间的距离趋近于０时， Ａ、Ｂ相重合，Ｂ车相对于地面的速度就是 牵连速度。2v v e =。由速度合成定理得： → → → +=r e v v v 。用作图法求得： h km v v AB r /40== （↑） 故，Ｂ车上的人观察到Ａ车的速度为h km v v AB r /40==，方向如图所示。 [习题7-2] 由西向东流的河，宽1000m ，流速为0.5m/s ，小船自南岸某点出发渡至北岸，设小船相对于水流的划速为1m/s 。问：（1）若划速保持与河岸垂直，船在北岸的何处靠岸？渡河时间需多久？（2）若欲使船在北岸上正对出发点处靠岸，划船时应取什么方向？渡河时间需多久？ 解：（１） 动点：船。 动系：固连在流水上。 静系：固连在岸上。 绝对运动：岸上的人看到的船的运动。 相对运动：船上的有看到的船的运动。 牵连运动：与船相重合的水体的运动。 绝对速度：未知待求，如图所示的v 。 相对速度：s m v r /1=，方向如图所示。 牵连速度：s m v e /5.0=，方向如图所示。 由速度合成定理得： → → → +=r e v v v
本篇接着阐述理论力学动力学中的核心观念。阐述的方式依旧是回答几个问题。 问题1：动力学的基本问题是什么？ 答案：虽然书上有关于动力学问题的许多说法，但是就实际应用而言，对于我们机械专业而言，我们所遇到的最常见的动力学问题是，在一个机构上的原动件受到了力（偶），我们要得到机构上各构件的速度和加速度。或者已知了速度和加速度，要反推这个力（偶）是多少。 下图就是这样一个例子。在OA杆上施加一个驱动力偶，各个杆件都有重力，我们要计算此时各约束处的约束力的大小，还需要计算CD杆的速度和加速度。 该问题中，力与运动交织在一起，这就是机构的动力学问题，也是机械中经常遇到的问题。 问题2：如何求解动力学问题？ 答案： 解决动力徐问题的方法很多。我们只要谈两种方法：第一种是通用解法，第二种是动静法（达朗伯原理）。 通用解法，是指面对一个动力学问题，我们总是有一套很程序化的思路来求解它，这套思路中，我们会使用刚体平面运动的微分方程。使用这种方法，我们几乎不用思考，就可以列出所有的方程，解决所有的未知数。例如，对上面这个问题，如果它已知M，要求CD杆的加速度。则使用通用解法，我们可以同时求出AB杆，BE,CD杆的加速度，也可以求出A,B,C,D,E 处所有的约束力。使用通用解法，我们几乎不用关注题目要求什么，而总是可以求出所有的未知数。 动静法，是说把这个动力学问题从形式上变成静力学问题，然后再借用静力学的求解方法来计算所需要的未知数。动静法之所以能够把动力学问题变成静力学问题，是因为它把加速度变成了惯性力，然后对于系统中的每一个构件，形成了一个力系平衡的问题。而我们之所以使用动静法，是因为对于静力学问题，我们有很多解题技巧，例如取整体为对象，或者取某几个构件一起为对象，或者对任何一个点取力矩，这些优越性，都是刚体平面运动微分方程所不具备的。 问题3：如何使用通用解法求解动力学问题？
第2章质点动力学习题解答 2-1 如图所示，电梯作加速度大小为a 运动。物体质量为m ，弹簧的弹性系数为k ，?求图示三种情况下物体所受的电梯支持力（图a 、b ）及电梯所受的弹簧对其拉力（图c ）。 解：（a ）ma mg N =- )(a g m N += （b ）ma N mg =- )(a g m N -= （c ）ma mg F =- )(a g m F += 2-2 如图所示，质量为10kg 物体，?所受拉力为变力2132+=t F （SI ） ，0=t 时物体静止。该物体与地面的静摩擦系数为20.0=s μ，滑动摩擦系数为10.0=μ，取10=g m/s 2， 求1=t s 时，物体的速度和加速度。 解：最大静摩擦力 )(20max N mg f s ==μ max f F >，0=t 时物体开始运动。 ma mg F =-μ，1.13.02+=-= t m mg F a μ 1=t s 时，)/(4.12s m a = dt dv a = ，adt dv =，??+=t v dt t dv 02 01.13.0 t t v 1.11.03+= 1=t s 时，)/(2.1s m v =
2-3 一质点质量为2.0kg ，在O x y 平面内运动， ?其所受合力j t i t F 232+=（SI ） ，0=t 时，速度j v 20=（SI ），位矢i r 20=。求：（1）1=t s 时，质点加速度的大小及方向；（2） 1=t s 时质点的速度和位矢。 解：j t i t m F a +== 22 3 22 3 t a x =，00=x v ，20=x ?? =t v x dt t dv x 020 23，2 3 t v x = ???==t x t x dt t dt v dx 03 202，284+=t x t a y =，20=y v ，00=y ? ? =t v y tdt dv y 02 ，22 2 +=t v y ???+==t y t y dt t dt v dy 02 00)22(，t t y 263+= （1）1=t s 时，)/(2 32 s m j i a += （2）j t i t v )22(22 3++= ，1=t s 时，j i v 2521+= j t t i t r )26 ()28(34 +++=，1=t s 时，j i r 613817+= 2-4 质量为m 的子弹以速度0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：（1）子弹射入沙土后，速度随时间变化的关系；（2）子弹射入沙土的最大深度。
第七章点的合成运动习题解析［习题7-1］汽车A以V i 40km/h沿直线道路行驶，汽车B以V2 4O.._2km/h沿另一叉道行驶。 求在B车上观察到的A车的速度。 解： 动点：A车。 动系：固连于B车的坐标系。 静系：固连地面的坐标系。 绝对运动：动点A相对于地面的运动。 相对运动：动点A相对于B车的运动。 牵连运动：在动系中，动点与动系的重合点，即牵连点相对于静系（地面）的运动。当A、 E两车相遇时，即它们之间的距离趋近于0时， A、E相重合，E车相对于地面的速度就是 牵连速度。V e V2。由速度合成定理得： V V e V r。用作图法求得： v r V AB 40km/ h （f） 故，E车上的人观察到A车的速度为V r V AB ［习题7-2］由西向东流的河， 相对于水流的划速为1m/s。问：（1）若划速保持与河岸垂直，船在北岸的何处靠岸？渡河时间需多久？（2）若欲使船在北岸上正对出发点处靠岸，划船时应取什么方 向？渡河时间需多久？解：（1） 动点：船。 动系：固连在流水上。 静系：固连在岸上。 绝对运动：岸上的人看到的船的运动。相对运动：船上的有看到的船的运动。牵连运动：与船相重合的水体的运动。绝对速度：未知待求，如图所示的V。 相对速度：V r1m/s，方向如图所示。牵连速度：V e 0.5m/s，方向如图所示。由速度合成定理得： V V e V r 40km/h，方向如图所示。 宽1000m,流速为0.5m/s ,小船自南岸某点出发渡至北岸，设小船 V r
v .. V V -： 0.52 12 1.118(m/s) arcta n 土 V e 1 arcta n —— 0.5 AC 1000 1000 500( m),即，船将在北岸下流5 0 0 tan 2 n 处靠岸。如图所示，A 为出 渡河所花的时间： t 1 1000m 1000(s) 16 分 40 秒 1m/ s 发点，E 为靠岸点。 (2) ? V e . 0.5 arcs in arcs in v r 1 v . v ； v ； 12 0.52 即船头对准方向为北偏西 300 渡河所花的时间： t 2 1000 m 1155( s) 19 分 15秒 0.866m/ s 300 0.866(m/s) ［习题7-3］播种机以匀速率 w 1m/s 直线前进。种子脱离输种管时具有相对于输种管的速度 v ； 2m/s 。求此时种子相对于地面的速度，及落至地面上的位置与离开输种管时的位置之间 水平距离。 解： 动点：种子。 动系：固连于输种管的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：种子相对于地面的速度，未知待求。 相对速度：v r v 2 2m/ s 牵连速度：v e v 1 1m/s v v e 5 v 12 22 2 1 2cos120° 2.65(m/s) 63.435°
习题二 2-1质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系；(2)子弹射入沙土的最大深度。 [解]设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力f =-kv (1)由牛顿第二定律t v m ma f d d == 即t v m kv d d ==- 所以t m k v v d d -= 对等式两边积分 ??-=t v v t m k v v 0d d 0 得t m k v v -=0ln 因此t m k e v v -=0 (2)由牛顿第二定律x v mv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即x v mv kv d d =- 所以v x m k d d =- 对上式两边积分??=- 000d d v s v x m k 得到0v s m k -=- 即k mv s 0 = 2-2质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为 [证明]任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正方向， 开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 即t v m ma kv F mg d d ==-- 整理得 m t kv F mg v d d =--
对上式两边积分 ? ?=--t v m t kv F mg v 00 d d 得m kt F mg kv F mg -=---ln 即??? ? ??--= -m kt e k F mg v 1 2-3跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。 [解]设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。 此时2 T kv mg = 即k mg v = T 有牛顿第二定律t v m kv mg d d 2=- 整理得 m t kv mg v d d 2= - 对上式两边积分 mgk m t kv mg v t v 21d d 00 2??=- 得m t v k mg v k mg = +-ln 整理得T 22221 111v e e k mg e e v kg m t kg m t kg m t kg m t +-=+-= 2-4一人造地球卫星质量m =1327kg ，在离地面61085.1?=h m 的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求：(1)卫星所受向心力f 的大小；(2)卫星的速率v ；(3)卫星的转动周期T 。 [解]卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力 由上面两式得()() () N 1082.71085.110 63781063788.9132732 6 3 2 32 e 2 e ?=?+??? ?=+=h R R mg f
质点动力学的基本方程 知识总结 1.牛顿三定律适用于惯性参考系。 质点具有惯性，以其质量度量； 作用于质点的力与其加速度成比例； 作用与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个物体上。 2.质点动力学的基本方程。 质点动力学的基本方程为，应用时取投影形式。 3.质点动力学可分为两类基本问题。 质点动力学可分为两类基本问题： （1）. 已知质点的运动，求作用于质点的力； （2）. 已知作用于质点的力，求质点的运动。 求解第一类问题，需先求得质点的加速度；求解第二类问题，一般是积分的过程。质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关，这两类的综合问题称为混合问题。 动量定理 知识点总结 1.牛顿三定律适用于惯性参考系。 质点具有惯性，以其质量度量； 作用于质点的力与其加速度成比例； 作用与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个物体上。 2.质点动力学的基本方程。 质点动力学的基本方程为，应用时取投影形式。 3.质点动力学可分为两类基本问题。 质点动力学可分为两类基本问题： （1）. 已知质点的运动，求作用于质点的力； （2）. 已知作用于质点的力，求质点的运动。
求解第一类问题，需先求得质点的加速度；求解第二类问题，一般是积分的过程。质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关，这两类的综合问题称为混合问题。 常见问题 问题一在动力学中质心意义重大。质点系动量，它只取决于质点系质量及质心速度。 问题二质心加速度取决于外力主失，而与各力作用点无关，这一点需特别注意。 动量矩定理 知识点总结 1.动量矩。 质点对点O 的动量矩是矢量。 质点系对点O 的动量矩是矢量。 若z 轴通过点O ，则质点系对于z 轴的动量矩为 。 若 C 为质点系的质心，对任一点O 有。 2.动量矩定理。 对于定点O 和定轴z 有 若 C 为质心，C z 轴通过质心，有
第2章 质点动力学 2-1. 如附图所示，质量均为m 的两木块A 、B 分别固定在弹簧的两端，竖直的放在水平的支持面C 上。若突然撤去支持面C ，问在撤去支持面瞬间，木块A 和B 的加速度为多大？ 解：在撤去支持面之前，A 受重力和弹簧压力平衡， F mg =弹，B 受支持面压力向上为2mg ，与重力和弹簧压 力平衡，撤去支持面后，弹簧压力不变，则 A ：平衡，0A a =； B ：不平衡，22B F mg a g =?=合。 2-2 判断下列说法是否正确？说明理由。 （1） 质点做圆周运动时收到的作用力中，指向圆心的力便是向心力，不指向圆心的力不 是向心力。 （2） 质点做圆周运动时，所受的合外力一定指向圆心。 解：（1）不正确。不指向圆心的力的分量可为向心力。 （2）不正确。合外力为切向和法向的合成，而圆心力只是法向分量。 2-3 如附图所示，一根绳子悬挂着的物体在水平面内做匀速圆周运动（称为圆锥摆），有人在重力的方向上求合力，写出cos 0T G θ-=。另有沿绳子拉力T 的方向求合力，写出cos 0T G θ-=。显然两者不能同时成立，指出哪一个式子是错误的 ，为什么？ 解：cos 0T G θ-=正确，因物体在竖直方向上受力平 衡，物体速度竖直分量为0，只在水平面内运动。 cos 0T G θ-=不正确， 因沿T 方向，物体运动有分量，必须考虑其中的一部分提供向心力。应为： 2cos sin T G m r θωθ-=?。 2-4 已知一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到 指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比，即2k f x =-，k 为比例常数。设质点在x A =时的速度为零，求4A x = 处的速度的大小。 解：由牛顿第二定律：F ma =，dv F m dt =。寻求v 与x 的关系，换元： 2k dv dx dv m m v x dx dt dx -=?=?，
第二章 质点动力学 2－1一物体从一倾角为30的斜面底部以初速v 0=10m·s 1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v =7m·s 1,求该物体与斜面间的摩擦系数。 解：物体与斜面间的摩擦力f ＝uN ＝umgcos30 物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得 22011 2(1) 22 mv mv f s -=-? 物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得 201 0sin 302 mv f s mgh f s mgs -=-?-=-?- 20 (2) (31) s g u ∴= - 把式（2）代入式（1）得， () 22 2 20 0.198 3u v v = + 2－2如本题图，一质量为m 的小球最初位于光滑圆形凹槽的A 点，然后沿圆弧ADCB 下滑，试求小球在C 点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。 解：小球在运动的过程中受到重力G 和轨道对它的支持力T .取
如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得 2 2 sin (1) cos (2) t n dv F mg m dt v F T mg m R αα=-==-= 由,,1ds rd rd v dt dt dt v αα = ==得代入式（）， A 并根据小球从点运动到点C 始末条件进行积分有， 90 2 n (sin )2cos 2cos /m cos 3cos '3cos ,e v vdv rg d v gr v g r r v mg mg r mg α αα αωααα α=-===+==-=-? ?得则小球在点C 的角速度为 ＝由式（2）得 T 由此可得小球对园轨道得作用力为T T 方向与反向 2－3如本题图，一倾角为 的斜面置于光滑桌面上，斜面上放 一质量为m 的木块，两者间摩擦系数为，为使木块相对斜面静止， 求斜面的加速度a 应满足的条件。 解：如图所示
第二次作业 质点动力学 一、选择题 1. B,D ； 2. B,D ； 3. D ； 4. C ； 5. C ； 6.B ； 7.A ； 8.C ； 9.A ； 10.B 。 二、填空题 ⒈ 22t m B t m A + ； 3262t m B t m A + 。 ⒉ 22x A -ω ； )2s i n (πω+ t A ⒊ l m 221ω ； 53.3 。 ⒋ 234x x +； 64； 8； 16 。 ⒌ 10J 。 ⒍ 0.5s ； 24040t t - ； 10 ； 1000 。 ⒎ j m i m υυ+ ； m g r - ； υ m r ? 。 ⒏ R G m M 6 ； R GmM 3- 。 9. 39.929.8x b x a F -= 三、问答题 1. 答： 保守力：作功只与始末位置有关，而与运动路径无关的力称为保守力。 保守力作功的特点： （1）保守力作功与路经无关，只与始末位置有关，且p E A ?-=保。 （2）若物体在保守力场中沿闭合回路运动一周，则保守力作功为零，即0=??L d l F 。 2. 答：适用范围为 （1）牛顿运动定律中的物体是指质点； （2）牛顿运动定律适用于惯性系； （3）牛顿运动定律适用于低速领域的宏观物体。 四、计算题 1. 解：以箭为研究对象，建立如图坐标，则0=t 时，m 600.-=-=h y ，00=v 。 t m mg ky F d d υ=--=' y m t y y m mg ky d d d d d d υυυ=?=-- ??=+--υ υυ006.0d d )(m y mg ky 2216.018.0υm mg k = -
第二章 质点动力学习题答案 2-1一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向 与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道. 解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v 方向为X 轴，平行 斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1. 图2-1 X 方向： 0=x F t v x 0= ① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v 2 sin 2 1t g y α= 由①、②式消去t ，得 2 2 sin 21x g v y ?= α 2-2 质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为f KV =，K 为 常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m ⑵受力分析：m 受两个力，重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律： 合力：f P F += a m f P =+ y 分量：dt dV m KV mg =-- dt KV mg mdV -=+? 即 dt m KV mg dV 1- =+ ? ? - = +t v v dt m KV mg dV 10
dt m KV mg KV mg K 1ln 10 - =++ )(0KV mg e KV mg t m K +?=+- mg K e KV mg K V t m K 1)(10- += ?- ① 0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为 )1ln(ln 00 0mg KV K m mg KV mg K m t + = += ② ∵ dt dy V = ∴ Vdt dy = dt mg K e KV mg K Vdt dy t t m K t y ? ?? ?? ????-+= = -0 1)(1 mgt K e KV mg K m y t m K 11)(02 -??????-+- =- 021()1K t m m mg KV e mgt K K -+--??=???? ③ 0t t = 时，max y y =， )1ln(11)(0)1ln(02 max 0mg KV K m mg K e KV mg K m y mg KV K m m K +?- ??? ?????-+= +?- )1ln(11)(0 2 2 002 mg KV g K m mg KV mg KV mg K m +-?? ??? ? ?????? +-+= )1ln() (02 20 002 mg KV g K m KV mg KV KV mg K m + - ++= )1ln(02 20mg KV g K m K mV + - = 2-3 一条质量为m ，长为l 的匀质链条，放在一光滑的水平桌面，链子的一端由极小的一 段长度被推出桌子边缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌面时的速度.