线性代数部分
第一章 行列式
一、单项选择题
1．=0
001001001001000( ).
(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
2. =0
001100000100100( ).
(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 3．若
a a a a a =22
2112
11，则
=21
11
2212ka a ka a ( ).
(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-
4． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为
x ,1,5,2-, 则=x ( ).
(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2
5. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组???
??=++=++=++0
00321
321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( )
(A)1- (B)2- (C)3- (D)0
6．设行列式
n
a a a a =22
2112
11
，
m a a a a =21
2311
13
，则行列式
23
2221131211--a a a a a a 等于（）
A. m n -
B.)(-n m +
C. n m +
D.n m -
二、填空题
1. 行列式
=0
100111010100
111.
2．行列式010...0002...
0.........
00
0 (10)
0 0
n n =
-.
3．如果M a a a a a a a a a D ==333231
232221
131211
，则=---=32
32
3331
2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .
4．行列式=
--+---+---1
1
1
1
111111111111x x x x .
5．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为
.
6．齐次线性方程组???
??=+-=+=++0
0202321
2
1321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.
7．若齐次线性方程组???
?
?=+--=+=++0
230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.
三、计算题
2．y x y
x x y x y y x y x
+++；
3．解方程
00
11
01110111
0=x x x
x ；
6. 111...1311...1112...
1
...
......
111...(1)b b n b
----
7. 1111
122
2123111...1..................n
b a a a b b a a b b b a ； 8．121212
12
3
.....................n n
n x a a a a x a a a a x a a a a x
;
四、证明题
1．设1=abcd ，证明：
01
111111111112
22
22
222=++++
d
d
d
d c c c c b b b b a a a a .
2．3
3
3
222
11123
333322
22211
111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a x
b a -=++++++.
3．))()()()()()((1111
4
4
4
4
2222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.
第二章 矩阵
一、单项选择题
1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。 (a)
2
2A
A =(b)
)
)((22B A B A B A +-=- (c)
AB A A B A -=-2)(
(d)T T T B A AB =)( 2.设方阵A 、B 、C 满足AB=AC,当A 满足( )时，B=C 。
(a) AB =BA (b) 0≠A (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B 、C 可逆 3.若A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则=kA ( )。 (a) A k (b)
A k (c) A k n (d)
A k n
4.设A 为n 阶方阵，且0=A ，则( )。
(a) A 中两行(列)对应元素成比例 (b) A 中任意一行为其它行的线性组合 (c) A 中至少有一行元素全为零 (d) A 中必有一行为其它行的线性组合 5.设A 为n 阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,则( )。 (a) (a) 1*-=A A (b) A A =* (c) 1
*+=n A
A (d) 1
*-=n A
A
6. 设A ，B 为n 阶方矩阵,22B A =,则下列各式成立的是( )。
(a) B A = (b) B A -= (c) B A = (d) 2
2
B A = 7.设A 为n 阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（ ）。 （a ）T A A 22= (b) 112)2(--=A A
(c) 111])[(])[(---=T T T A A (d) T T T T A A ])[(])[(11--=
8.已知???
?
?
??=113022131A ，则（ ）。
（a ）A A T = (b) *1A A =-
（c ）????? ??=????? ??113202311010100001A （d ）???
?
? ??=????? ??113202311010100001A
9.设I C B A ,,,为同阶方阵，I 为单位矩阵，若I ABC =，则（ ）。
（a ）I ACB = （b ）I CAB = （c ）I CBA = （d ）I BAC = 10.n 阶矩阵A 可逆的充要条件是( )。 (a) A 的每个行向量都是非零向量 (b) A 中任意两个行向量都不成比例
(c) A 的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示
(d)对任何n 维非零向量X ，均有0≠AX 11. 设矩阵
A=（1，2），B=???? ??4321，C
???? ??=654321则下列矩阵运算中有意义的是（ ）
A ．AC
B B ．AB
C C ．BAC
D ．CBA 12.设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（D ）
A ．???? ??
B A 可逆，且其逆为??
?? ?
?--11B A
B ．
???? ??B A 不可逆 C ．???? ??B A 可逆，且其逆为??
?? ??--11A B
D ．???? ?
?B A 可逆，且其逆为???? ?
?--11
B A
13.已知向量T
T )0,3,4,1(23,)1,2,2,1(2--=β+α---=β+α，则β+α=（A ）
A ．T
)1,1,2,0(-- B.
T
)1,1,0,2(-- C ．
T
)0,2,1,1(-- D ．
T
)1,5,6,2(---
14.设A 和B 为n 阶方阵，下列说法正确的是（C ）
A. 若AB AC =，则B C =
B. 若0AB =，则0A =或0B =
C. 若0AB =，则0A =或0B =
D. 若0A E -=，则A E =6、设两事件A
二、填空题
1.设A 为n 阶方阵,I 为n 阶单位阵,且I A =2,则行列式=A _______
2.行列式=---000
c b c a b
a
_______ 3.设A 为5阶方阵，*A 是其伴随矩阵，且3=A ，则=*A _______
4.设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵*A 的秩为_______ 三、计算题
1.解下列矩阵方程(X 为未知矩阵).
1) 223221103212102X ???? ? ?-= ? ? ? ?--???? ； 2) 0101320100211100110X ????
?? ? ?
=- ? ? ?-?
? ? ????? ； 3) 2AX A X =+,其中423110123A ??
?
= ?
?-??；
2.设A 为n 阶对称阵,且20A =,求A .
3.设11201A ??
= ???,23423A ??=
???,30000A ??= ???,41201A ??= ???,求123
4A A A A ??
???
.
4.设211011101,121110110A B ????
? ?== ? ?
? ?????
,求非奇异矩阵C ,使T
A C BC =. 四、证明题
1. 设A 、B 均为n 阶非奇异阵,求证AB 可逆.
2. 设0k A =(k 为整数), 求证I A -可逆.
4. 设n 阶方阵A 与B 中有一个是非奇异的,求证矩阵AB 相似于BA .
5. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.
第三章 向量
一、单项选择题
1. 321,,ααα， 21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式
m =1321βααα,n =2321ααβα,则行列式
)(
21321=+ββααα
n m a +)( n m b -)( n m c +-)( n m d --)(
2. 设A 为n 阶方阵，且0=A ,则（ ）。
成比例中两行（列）对应元素A a )( 线性组合中任意一行为其它行的A )b ( 零中至少有一行元素全为A c )( 线性组合中必有一行为其它行的A )d (
3. 设A 为n 阶方阵，n r A r <=)(，则在A 的n 个行向量中（ ）。
个行向量线性无关
必有r a )(
个行向量线性无关任意r )b (
性无关组个行向量都构成极大线任意r c )(
个行向量线性表示其它任意一个行向量都能被r )d (
4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是（ ）
n r A r a <=)()( n A b 的列秩为)(
零向量的每一个行向量都是非）（A c 的伴随矩阵存在）（A d
5. n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分条件是( )
)(a 12,,...,s ααα都不是零向量
)(b 12,,...,s ααα中任一向量均不能由其它向量线性表示 )(c 12,,...,s ααα中任意两个向量都不成比例 )(d 12,,...,s ααα中有一个部分组线性无关
二、填空题
1. 若T )1,1,1(1=α，T )3,2,1(2=α，T t ),3,1(3=α线性相关，则t=▁▁▁▁。
2. n 维零向量一定线性▁▁▁▁关。
3. 向量α线性无关的充要条件是▁▁▁▁。
4. 若321,,ααα线性相关，则12,,...,s ααα)3(>s 线性▁▁▁▁关。
5. n 维单位向量组一定线性▁▁▁▁。
三、计算题
1. 设T )1,1,1(1λα+=，T )1,1,1(2λα+=，T )1,1,1(3λα+=，
T
),,0(2λλβ=，问
（1）λ为何值时，β能由321,,ααα唯一地线性表示？
（2）λ为何值时，β能由321,,ααα线性表示，但表达式不唯一？ （3）λ为何值时，β不能由321,,ααα线性表示？
2. 设T )3,2,0,1(1=α，T )5,3,1,1(2=α，T a )1,2,1,1(3+=α，
T a )8,4,2,1(4+=α，T b )5,3,1,1(+=β问：
（1）b a ,为何值时，β不能表示为4321,,,αααα的线性组合？ （2）b a ,为何值时，β能唯一地表示为4321,,,αααα的线性组合？
3. 求向量组T )4,0,1,1(1-=α，T )6,5,1,2(2=α，T )2,5,2,1(3=α，
T )0,2,1,1(4--=α，T )14,7,0,3(5=α的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。 四、证明题
1. 设2131222112,3,ααβααβααβ-=-=+=，试证321,,βββ线性相关。
2. 设12,,...,n ααα线性无关，证明12231,,...,n αααααα+++在n 为奇数时线性无关；在n 为偶数时线性相关。
第四章 线性方程组
一、单项选择题
1．设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵的秩为r ，则0AX =有非零解的充
分必要条件是（ ）
(A) r n = (B) r n <
(C) r n ≥ (D) r n >
2．设A 是m n ?矩阵，则线性方程组AX b =有无穷解的充要条件是（ ）
(A) ()r A m < (B) ()r A n < (C) ()()r Ab r A m =< (D) ()()r Ab r A n =<
3．设A 是m n ?矩阵，非齐次线性方程组AX b =的导出组为0AX =，若m n <，则（ ）
(A) AX b =必有无穷多解 (B) AX b =必有唯一解 (C) 0AX =必有非零解 (D) 0AX =必有唯一解
4．方程组1232332422(2)(3)(4)(1)
x x x x x x λλλλ+-=?
?
+=??-=----?
无解的充分条件是λ=（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
5．方程组12323331224(1)(3))(1))
x x x x x x x λλλλλλ++=-?
?-=-?
?=-?
?-=---?有唯一解的充分条件是λ=（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
二、填空题
1. 设A 为100阶矩阵，且对任意100维的非零列向量X ，均有0AX ≠，则A 的秩为 .
2. 线性方程组12312123
20200kx x x x kx x x x ++=??
+=??-+=?仅有零解的充分必要条件是 .
3. 设12,,
s X X X 和1122s s c X c X c X +++均为非齐次线性方程组AX b =的解（12,,
s c c c 为常数），则12s c c c ++
+= .
4. 若线性方程组AX b =的导出组与0(())BX r B r ==有相同的基础解系，则
()r A = .
5. 若线性方程组m n A X b ?=的系数矩阵的秩为m ，则其增广矩阵的秩为 .
三、计算题
1. 已知12
3,,ααα是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系，问12233,,αααααα+++是否是该方程组的一个基础解系？为什么？
2. 设543310
12263211311111A -?????
?=??
-????，1
20
1
056001121001
2320B --??
??-??=??
-?
?
--??
，已知B 的行向量都是线性方程组0AX =的解，试问B 的四个行向量能否构成该方程组的基础解系？为什么？
3. 设四元齐次线性方程组为 （Ι）：12240
0x x x x +=??-=?
1）求（Ι）的一个基础解系
2）如果12(0,1,1,0)(1,2,2,1)T T k k +-是某齐次线性方程组（II ）的通解，问方程组（Ι）和（II ）是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若无，说明理由。
第五章 特征值与特征向量
一、单项选择题
1. 设001010100A ?? ?
= ? ???
,则A 的特征值是( )。
(a) -1,1,1 (b) 0,1,1 (c) -1,1,2 (d) 1,1,2
2. 设110101011A ?? ?
= ? ???
,则A 的特征值是( )。
(a) 0,1,1 (b) 1,1,2 (c) -1,1,2 (d) -1,1,1 3. 设A 为n 阶方阵, 2A I =,则( )。
(a) ||1A = (b) A 的特征根都是1 (c) ()r A n = (d) A 一定是对称阵 4. 若12,x x 分别是方阵A 的两个不同的特征值对应的特征向量,则1122k x k x +也是A 的特征向量的充分条件是( )。
(a) 1200k k ==且 (b) 1200k k ≠≠且 (c) 120k k = (d) 1200k k ≠=且 5. 若n 阶方阵,A B 的特征值相同,则( )。
(a) A B = (b) ||||A B = (c) A 与B 相似 (d) A 与B 合同
二、填空题
1. n 阶零矩阵的全部特征值为_______。
2. 设A 为n 阶方阵，且I A =2，则A 的全部特征值为_______。
3. 设A 为n 阶方阵，且0=m A (m 是自然数)，则A 的特征值为_______。
4. 若A A =2，则A 的全部特征值为_______。
5. 若方阵A 与I 4相似，则=A _______。
三、计算题
1. 若n 阶方阵A 的每一行元素之和都等于a ,试求A 的一个特征值及该特征值对应的一个特征向量.
2. 求非奇异矩阵P ,使1P AP -为对角阵.
1) 2112A ??= ??? 2) 112131201A -??
?
=-- ? ?
--??
四、证明题
1. 设A 是非奇异阵, λ是A 的任一特征根,求证1
λ
是1A -的一个特征根,并且A 关于λ的特征向量也是1A -关于
1
λ
的特征向量. 2. 设2A E =,求证A 的特征根只能是1±.
3. 设n 阶方阵A 与B 中有一个是非奇异的,求证矩阵AB 相似于BA .
4. 证明:相似矩阵具有相同的特征值.
5. 设n 阶矩阵A E ≠，如果()()r A E r A E n ++-=，证明：-1是A 的特征值。
6. 设A B ，证明k k A B 。
7. 设12,αα是n 阶矩阵A 分别属于12,λλ的特征向量，且12λλ≠，证明12αα+不
是A 的特征向量。
概率论部分
一、填空：（每题3分，共15分）
1． 假设,A B 是两独立的事件，()0.7,()0.3P A B P A ?==，则()P B =_________。 2． 设A ，B 是两事件，(|)1/4,()1/3P A B P B ==，则()P AB =__________。 3． 若二维随机变量(X,Y)满足()()()E XY E X E Y =，则X Y 与________。 4． 随机变量~(0,1),23,~X N Y X Y =+则_________。 5． 设总体)1,0(~N X ,1210,,
,X X X 是来自总体X 的样本，则X 服从_________分布。
二、选择：（每题3分，共15分）
1． 如果（）成立，则事件,A B 互为对立事件
....()()1A AB B AB C AB A B D P A P B =Φ=Ω=Φ?=Ω+=且
2． 若X 的概率密度为02
()4240x
x f x x
x ≤≤??
=-≤≤???
其它
，则{3}P X ≤=（） .3/2A .5/2B .7/2C .4D
3． 设随机变量),(~p n B X ，则方差var()X =（）
.A np .(1)B n p - 2.C np .(1)D np p -
4． 下列结论正确的是（）
A .X 与Y 相互独立，则X 与Y 不相关
B .X 与Y 不独立，则X 与Y 相关
C .X 与Y 不相关，则X 与Y 相互独立
D .X 与Y 相关，则X 与Y 相互独立
5． 设n X X X ,,,21 为来自正态总体2
~(,)X N μσ的一个样本，其中μ已知，2
σ未知，
则下面不是统计量的是（） ()A 1X ()
B 2
2
1
()n
i i X μσ=-∑
()C 2
11()n i i X n μ=-∑ ()D 21
1()1n i i X X n =--∑ 三、计算：（共70分）
1．（15分）甲乙两袋，甲袋中有两白球一个黑球，乙袋中有一个白球两个黑球。先从甲袋中取一球放到乙袋中，再从乙袋中取一球，
（1）求从乙袋中取出的是白球的概率；
（2）已发现从乙袋中取出的是白球，问从甲袋中取出放入乙袋中的球为白球的概率。
2．（10分）设随机变量X 的密度函数为2,02
()0,cx x f x ?<<=??其它
，
试求：(1)常数c ；(2){11}P X -<<。
3.（10分）设随机变量X 的密度函数为2,01;
()0,
x x f x <
?其他，，求 2X Y =的概率密度；
4．（10分）一袋中装有5只球，编码为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以X 表示取
出的3只球中的最小号码，求随机变量X 的分布律与数学期望.
5.（15分）设随机变量(X,Y)的概率密度为 6,01
(,)0,x y x f x y <<
?其它
（1）试求关于X 及Y 的边缘概率密度；（2）判断X 与Y 是否相互独立，并说明理由.
6．（10分）总体X 的概率密度函数为2
20(),00
x x f x θ
θθ?<
=>???其它
是未知参数，
求未知参数θ的矩估计量，并验证未知参数θ的矩估计量是θ的有偏还是无偏估计量。
线性代数部分参考答案
第一章 行列式
一、单项选择题
1． ( C ).2. ( C ).3．(B).4 ( C ).5. ( A )6.（C ）
二．填空题
1.0;
2.!)1(1n n --;
3.M 3-;
4.4x ;
5.2-;
6.3,2-≠k ;
7.7=k 三．计算题 1. )(233y x +-； 2. 1,0,2-=x ;
3 (2)(1)...((2))b b n b -+---;
4 ∏=--n
k k k
n
a b
1
)()
1(;
5 ∏∑==-+n
k k n k k a x a x 1
1
)()(;
第二章参考答案
一：1. a ；2. b ；3.c ；4.d ； 5.d ； 6.d ； 7.d ； 8.c ；9.b ； 10.d.11.B 12.
（D ）13.A ）14.（C ）
二．1. 1或-1；2. 0； 5. 81；6. 0；
三、1.1）、?????
??---016213010；2）、?
???
??
?
??-02
13
212
1
； 3）
、?????
??------9122692683. 2. 0； 3.????
??? ?
?---10002100121001
21； 4.?????
??100001010；
第三章向量参考答案
一、 单项选择
1.b
2.d
3.a
4.b
5.b 二、填空题
1. 5
2.相关
3. 0≠α
4.相关 三、解答题
1. 解：设332211αααβx x x ++=
则对应方程组为???
??=+++=+++=+++2
321
321321)1()1(0)1(λλλλλx x x x x x x x x
其系数行列式)3(11
1
1111112+=+++=λλλ
λλ
A
（1）当3,0-≠≠λλ时，0≠A ，方程组有唯一解，所以β可由3,21,ααα唯一地线性表示;
（2）当0=λ时，方程组的增广阵 ????? ??=011101110111A ???
?
? ??→000000000111，
31)()(<==A r A r ，方程组有无穷多解，所以β可由3,21,ααα线性表示，
但表示式不唯一;
（3）当3-=λ时，方程组的增广阵
????? ??----=921131210112A ???
?
?
??-----→18000123303121，)()(A r A r ≠，方程组无解，
所以β不能由3,21,ααα线性表示。 2.解:以βαααα,,,,4321为列构造矩阵
????
??? ?
?+++58153342321211011
1
1
1a b a →???????
?
??--
+-
b a a 4100
0041100121
1
0111112
（1）时，且当01≠±=b a β不能表示为4321,,,αααα的线性组合； （2）任意时，当b a ,1±≠β能唯一地表示为4321,,,αααα的线性组合。
3.解：=),,,,(54321ααααα???????
?
?---1402647255001211
31
1
21
???
?
??
?
??--→
000
011000
10110
20101
421,,ααα为一个极大无关组，且31240αααα=-++, 42152αααα-+=
四、证明题
1.证：∵0)2(4)(33121=--+ββββ
∴0435321=++-βββ ∴321,,βββ线性相关
2.证：设0)()()(1322211=++++++ααααααn n k k k
则0)()()(122111=+++++-n n n n k k k k k k ααα ∵n ααα,,,21 线性无关
∴???????=+=+=+-0
001211n n n k k k k k k
其系数行列式1100001000001100001110001 =???=-++为偶数为奇数
n n n ,0,2)1(11
∴当n 为奇数时，n k k k ,,,21 只能为零，n ααα,,,21 线性无关； 当n 为偶数时，n k k k ,,,21 可以不全为零，n ααα,,,21 线性相关。
参考答案
一、单项选择题 1.B 2.D 3.C 4.B 5.A
二、填空题
1.100
2.23k k ≠-≠且
3.1
4.r
5.m
三、计算题 1. 是 2. 不能
3. 1）12(0,0,1,0),(1,1,0,1)T T v v ==- 2）(1,1,1,1)()T k k -其中为任意非零常数
第五章 参考答案
一、单项选择题
1.a
2.c
3.c
4.d
5.b 二、填空题
1.0
2.1,-1
3.0
4.0,1
5.4I
三、计算题 1.,(1,1,
,1)T a
2.(1)1111-?? ??? (2)113211122-??
?
- ?
?
?? 四. 证明题 (略)
概率论部分
一、填空（每题3分共15分）
1. 4/7；
2. 1/12 ；
3. 不相关；
4. ~(3,4)Y N ；
5. (0,1/10)N 二、选择（每题3分共15分）
1．C ； 2. C ； 3. D ； 4. A ； 5. B 三、计算 1． （15分）
解：设12{}{}A A ==第一次从甲袋中摸的是黑球第一次从甲袋中摸的是白球
{}B =从乙袋中摸的是白球
（1） 由全概率公式
11221212()(|)()(|)()
3121
2
(),(),(|)(|)334
4
P B P B A P A P B A P A P A P A P B A P B A =+===
=
分
所以P(B)=1/12+4/12=5/12 (3)
分 (2)
要
求
2
(
|)
P A B ，由贝叶斯公式
分分25
4
51232425)()()|()|(222 =??==
B P A P A B P B A P
2. (10)分解：(1)由()1f x dx +∞
-∞=?
，得220813cx dx c ==?，所以3
8
c =， ……4分 (2)11231010311
{11}()888
P X f x dx x dx x --<<====??，……6分 3．（10分）解：（1） 2
Y X =分别在(,0)-∞∞和（0,+）单调，所以
''
(|(|||,01
()0,
,X X Y f f y f y ?+<
??其他． ……4分，
5分
01,01y ?
+=<
=???
其他０， ……6分，
或利用分布函数法：
2(){}{}{{0Y F y P Y y P X y P X P X =≤=≤=≤≤=<≤……4分
2
0,01xdx x y y ===<<，……4分
1,01
()()0,Y Y y f y F y <
?其他
……2分 4. （10分）解：X ＝1，2，3 ………2分
22
343335556311
{1},{2},{3}101010
C C P X P X P X C C C ========= ，
X 3 4 5
p 6/10 3/10 1/10
………6分
631
()123101010
E X =?
+?+? =1.5… 12分
5．（15分）解： （1）()(,)X f x f x y dy ∞
-∞
=
?
06,010
,x xdy x ?<
0,x x ?<<=??其它 ………6分
()(,)Y f y f x y dx ∞
-∞
=?
16,010
,y xdx y ?<
=????其它23(1),01
0,y y ?-<<=??其它 ………6分
（2）X 与Y 不相互独立，因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠ ………3分 6．（10分）解：（1）
20
22()3x
EX xf x dx x
dx θ
θ
θ+∞
-∞
===?
?，···3分，X =θ32
···2分，__
^
3,2X θ=所以···2分
由于__^
33
22
E E X E X θθ===, 所以θ的矩估计量为无偏估计。···············3分
线性代数课后习题答案 习题一 1.2.3（答案略） 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数 故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= （奇数） ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ （正号） （2）∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- （负号） 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- （2）()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- （3）原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8（答案略） 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- （2）按第一列展开： 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L
《线性代数》教学中若干难点的探讨- 摘要：在《线性代数》的教学过程中，有很多抽象的概念学生很难理解，比如线性相关、线性无关，极大线性无关组、向量组的秩等等。本文从笔者个人的教学实际出发，浅谈教学过程中的若干个教学难点，化抽象为具体，帮助学生理解并掌握这些难点，以提高学生对《线性代数》的学习兴趣。 关键词：线性相关；线性无关；极大线性无关组；向量组的秩 《线性代数》是高等学校理、工、经、管类各专业的一门重要基础课程。通过对本课程的学习，学生可以获得线性代数的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后继课程的学习和进一步知识的获得奠定必要的数学基础。通过各个教学环节的学习，可以逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及自学能力，并具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析和解决问题的能力。另外，通过《线性代数》的学习，还可以培养学生的综合素质和提高学生的创新意识。因此，只有熟练掌握这门课程，才能较好地运用到各个专业中。由于该课程内容抽象，教学课时短，这无疑对教师的教学和学生的学习造成了极大的困扰。本文从笔者个人的教学实际出发，浅谈教学过程中的若干个教学难点，帮助学生理解并掌握这些难点，以提高学生对《线性代数》的学习兴趣。 一、线性相关性与线性无关性 线性方程组理论是线性代数的基本内容之一，而向量组的线性相关性和线性无关性又是解线性方程组的基础。教材第三章线性方程组开门见山，直接给出了线性相关及线性无关的定义。
线性相关是指一个向量组α1，α2，…，αs，如果存在一组不全为零的数λ1，λ2，…，λs，使得λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，则称该向量组α1，α2，…，αs线性相关。如果不存在这样一组不全为零的数，则称该向量组α1，α2，…，αs线性无关。单纯地称某向量组线性相关或线性无关，对于学生来说是比较抽象的，他们对这一定义总是感觉很模糊，很难理解，如何才能更好地更形象地理解这一定义呢？如果在教学中，把这块知识与解析几何联系起来，用几何知来解释什么是线性相关或线性无关，那么学生肯定更容易接受。例如，对于定义中λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0，可以理解为b=（λ1，λ2，…，λs）这样的一个行向量。如果向量组有两个列向量构成，即α1，α2，则b=（λ1，λ2），λ1α1+λ2α2=0。若λ1≠0，则经过变换可以得到α1=■，这说明α1和α2共线。对于有三个向量构成的向量组，λ1α1+λ2α2+λ3α3=0，b=（λ1，λ2，λ3），若λ1≠0，经变换得到α1=■+■，这说明α1，α2，α3三个向量共面。 对于两个向量，线性相关指两向量平行（或者说是共线），此时只是在线上的关系，仅仅是一维，线性无关指两向量相交，确定了一个二维平面。线性无关提供了另一种维度，使得向量所在空间增加了一维。对于三个向量，线性相关指三向量共面，研究的是二维平面，而线性无关指三向量不共面，使得向量所在空间增加了一维，即三个向量若线性无关，那么它们不共面，存在于三维立体空间中。四个向量，五个向量，…，研究方法类似。结合几何知识，通过几何图像可以更直观地呈现出新的概念，学生更易于接受，而且还有助于提高学生对《线性代数》的学习兴趣。 二、极大线性无关组及向量组的秩
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 诚信应考 ,考试作弊将带来严重后果！ 线性代数期末考试试卷及答案 号 位 座 注意事项： 1. 考前请将密封线内填写清楚； 线 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上 )； 3．考试形式：开（闭）卷； 4. 本试卷共五大题，满分100 分，考试时间 120 分钟。 题号一二三四五总分 业得分 专 评卷人 ) 一、单项选择题（每小题 2 分，共 40 分）。 题 封 答1．设矩阵A为2 2矩 阵, B 为2 3矩阵 , C为3 2矩阵，则下列矩阵运算无意义的是 院 不 内 【】学 线 封 密 A. BAC B. ABC C. BCA D. CAB ( 2.设 n 阶方阵 A 满足 A2＋ E =0，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则必有【】 A. 矩阵 A 不是实矩阵 B. A=-E C. A=E D. det(A)=1 3.设 A 为 n 阶方阵，且行列式det(A)= 1 ,则 det(-2A)= 【】 n C. －2n A. －2 D. 1 B. －2 号密 4.设 A 为 3 阶方阵，且行列式det(A)=0 ，则在 A 的行向量组中【】学 A.必存在一个行向量为零向量 B.必存在两个行向量，其对应分量成比例 C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合 D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合 5．设向量组a1,a2, a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】名A．a1 a2 , a2 a3 , a3 a1 B. a1, a2 ,2a1 3a2 姓
C. a 2 ,2a 3 ,2a 2 a 3 D. a 1－ a 3 , a 2 ,a 1 6.向量组 (I): a 1 , ,a m (m 3) 线性无关的充分必要条件是 【 】 A.(I)中任意一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表出 B.(I)中存在一个向量 ,它不能由其余 m-1 个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关 D.存在不全为零的常数 k 1 , , k m , 使 k 1 a 1 k m a m 0 7．设 a 为 m n 矩阵，则 n 元齐次线性方程组 Ax 0存在非零解的充分必要条件是 【 】 A ． A 的行向量组线性相关 B. A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 a 1x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 0 8.设 a i 、 b i 均为非零常数（ i =1， 2， 3），且齐次线性方程组 b 2 x 2 b 3 x 3 b 1 x 1 的基础解系含 2 个解向量，则必有 【 】 a 1 a 2 B. a 1 a 2 a 1 a 2 a 3 a 1 a 3 0 A. b 1 b 2 0C. b 2 b 3 D. b 2 b 3 b 1 b 1 b 2 9.方程组 2x 1 x 2 x 3 1 x 1 2x 2 x 3 1 有解的充分必要的条件是 【 】 3 x 1 3x 2 2 x 3 a 1 A. a=-3 B. a=-2 C. a=3 D. a=1 10. 设η 1，η2，η3 是齐次线性方程组Ax = 0 的一个基础解系， 则下列向量组中也为该方程 组的一个基础解系的是 【 】 A. 可由 η 1， η2， η3 线性表示的向量组 B. 与 η1， η2 ， η3 等秩的向量组 C.η 1－η2， η2－ η3， η3－ η1 D. η 1， η1-η3， η1-η 2-η 3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为 0 ，则 【 】 A. 方程组有无穷多解 B. 方程组可能无解， 也可能有无穷多解 C. 方程组有唯一解或无穷多解 D. 方程组无解 阶方阵 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 A 有 n 个 【 】 A.互不相同的特征值 B.互不相同的特征向量 C.线性无关的特征向量 D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间 R n 的子空间的是 【 】 n A. {( a 1 , a 2 , ,a n ) | a 1a 2 0} B. {( a 1 , a 2 , , a n ) | a i 0} C. {( a 1, a 2 , , a n ) | a i z,i 1,2, , n} D. {( a 1 , a 2 , i n 1 1} , a n ) | a i 1 0 i 1 14.若 2 阶方阵 A 相似于矩阵 B - 3 ,E 为 2 阶单位矩阵 ,则方阵 E –A 必相似于矩阵 2
线性代数部分 第一章 行列式 一、单项选择题 1．=0 001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 2. =0 001100000100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 3．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 4． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 5. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 6．设行列式 n a a a a =22 2112 11 ， m a a a a =21 2311 13 ，则行列式 23 2221131211--a a a a a a 等于（） A. m n - B.)(-n m + C. n m + D.n m -
二、填空题 1. 行列式=0 100111010100111. 2．行列式010...0002... 0......... 00 0 (10) 0 0 n n = -. 3．如果M a a a a a a a a a D ==333231 232221 131211 ，则=---=32 32 3331 2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D . 4．行列式= --+---+---1 1 1 1 111111111111x x x x . 5．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为 . 6．齐次线性方程组??? ??=+-=+=++0 0202321 2 1321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是. 7．若齐次线性方程组??? ? ?=+--=+=++0 230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =. 三、计算题 2． y x y x x y x y y x y x +++；
习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ； 解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --
自考《线性代数》重难点解析 2011-02-17 11:09:49 | 作者: min | 来源: 考试大 | 查看: 第一章行列式 一、重点 1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。 2、掌握：行列式的基本性质及推论。 3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。 二、难点 行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。 三、重要公式 1、若A为n阶方阵，则│kA│= kn│A│ 2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│。│B│ 3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1 若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-1 4、若A为n阶方阵，λi（i=1，2，…，n）是A的特征值，│A│＝∏λi 四、题型及解题思路 1、有关行列式概念与性质的命题 2、行列式的计算（方法）
1）利用定义 2）按某行（列）展开使行列式降阶 3）利用行列式的性质 ①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。 ②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。 ③逐次行（列）相加减，化简行列式。 ④把行列式拆成几个行列式的和差。 4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式 5）数学归纳法，多用于证明 3、运用克莱姆法则求解线性方程组 若D =│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即 x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D 其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。 注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。 4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题 1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解） 2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法
《线性代数》期终试卷1 （ 2学时） 本试卷共七大题 一、填空题(本大题共7个小题，满分25分)： 1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为, , , 的属于的特征向量是 , 则的属于的两个线性无关的特征向量是 ()； 2.(4分)设阶矩阵的特征值为,,,, 其中是的伴随 矩阵, 则的行列式()； 3.(4分)设, , 则 ()； 4.(4分)已知维列向量组所生成的向量空间为,则的维数dim()； 5.(3分)二次型经过正交变换可化为 标准型,则()；
6.(3分)行列式中的系数是()； 7.(3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的个 解向量, 其中, , 则该方程组的通解是 ()。 二、计算行列 式： (满分10分) 三、设, , 求。 (满分10分) 四、取何值时, 线性方程组无解或有解？有解时求出所有解（用向量形式表示）。
(满分15分) 五、设向量组线性无关, 问: 常数满足什么条件时, 向量组 , , 也线性无关。 (满分10分) 六、已知二次型， (1)写出二次型的矩阵表达式； (2)求一个正交变换，把化为标准形, 并写该标准型； (3)是什么类型的二次曲面? (满分15分) 七、证明题（本大题共2个小题，满分15分）： 1．(7分)设向量组线性无关, 向量能由线性表示, 向量 不能由线性表示 . 证明: 向量组也线性无关。 2. (8分)设是矩阵, 是矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组 必有非零解。
《线性代数》期终试卷2 （ 2学时） 本试卷共八大题 一、是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打√，错误的在括号内打×；每小题2 分，满分20 分）： 1. 若阶方阵的秩，则其伴随阵 。（） 2.若矩阵和矩阵满足，则 。（） 3.实对称阵与对角阵相似：，这里必须是正交 阵。（） 4.初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本 身。（） 5.若阶方阵满足，则对任意维列向量，均有 。（）
第一章行列式·1.1 二阶与三阶行列式 1.(单选题) 计算？A．; B．; C．; D．. 参考答案：A 2.(单选题) 行列式？A．3; B．4; C．5; D．6. 参考答案：B 3.(单选题) 计算行列式. A．12； B．18； C．24； D．26. 参考答案：B 4.(单选题) 计算行列式？A．2； B．3； C．0； D．.
第一章行列式·1.2 全排列及其逆序数 1.(单选题) 计算行列式？ A．2； B．3； C．； D．. 参考答案：C 2.(单选题) 计算行列式？ A．2； B．3； C．0； D．. 参考答案：D 第一章行列式·1.3 阶行列式的定义 1.(单选题) 利用行列式定义，计算n阶行列式：=? A．; B．;
C．; D．. 参考答案：C 2.(单选题) 计算行列式展开式中，的系数。A．1, 4; B．1，-4; C．-1，4; D．-1，-4. 参考答案：B 第一章行列式·1.4 行列式的性质 1.(单选题) 计算行列式=？ A．-8; B．-7; C．-6; D．-5. 参考答案：B 2.(单选题) 计算行列式=？ A．130 ; B．140; C．150; D．160. 参考答案：D 3.(单选题) 四阶行列式的值等于多少？ A．；
B．； C．； D．. 参考答案：D 4.(单选题) 行列式=？ A．； B．； C．； D．. 参考答案：B 5.(单选题) 已知，则？A．6m； B．-6m； C．12m； D．-12m. 参考答案：A 一章行列式·1.5 行列式按行（列）展开 1.(单选题) 设＝，则? A．15|A|; B．16|A|; C．17|A|; D．18|A|. 参考答案：D
线性代数易错及重点知识点 翔翔总结，不晓得大家看得懂不 3 24712432的余子式是327134722412，而不是23271 上三角和下三角行列式都是a1a2a3.....an=A 反三角行列式为A*（-1）^n(n-1)/2 行列式的一行的代数余子式分别乘以另一行元素，值为零。 正反三角行列式如果不记得公式了，可以通过上下换行的形式变成正三角行列式。 克莱姆法则D=222112 11a a a a ,D1=22 2121a b a b D2=22211211a a a a x1=D1/D 同理x2=D2/D 范德蒙法则：行列式的值=(x n -x n-1)(x n -x n-2)……(x n -x 1)(x n-1-x n-2……)(x 2-x 1) 若一个线性方程组有非零解，则它的行列式式值等于零。 行列式中行叫c ，列叫r 写行列式变换过程中要在等号上写变换方法，如c2-c3.不然老师看不懂步骤，无法给分 化三角行列式先化第一列，在化第二列，按顺序来化，这样才不会出现问题。 n 维向量分横向量和列向量。 写向量时一定要记得在上面加箭头 任意一个n 维向量都能由n 个n 维单位向量线性表示 如果b1=k1a1+k2a2+k3a3,线性表示不一定要求k1,k2,k3不全为零。 如果一个向量a 线性相关，则a=0 由一个非零向量构成的向量组一定线性无关。即a ≠0则a 这个向量组线性无关。 含有零向量的向量组一定线性相关 例a1=（1，1）a2=（2，3）求这两个向量组是否线性相关 解：k1a1+k2a2=0 k1(1,1)+k2(2,3)=0 K1+2k2=0 k1+3k2=0 3 121≠0所以k 全是零解，所以线性无关 a3=a1+a2,则a1,a2,a3线性相关 一个向量组中的一个向量可由其他向量线性表示，那么这个向量组线性相关，能线性表示不一定要k 不全为零，但是线性相关一定要不全为零 两个向量线性相关除非他们对应分量成比例。 如果一个向量组一部分向量线性相关，则，整个向量组线性相关。 一个向量组线性无关，那么它的一部分也线性无关 向量组线性相关，减少其中几维一样线性相关，向量组线性无关，增加几维向量一样无关。 应用：要证线性相关，则增加维，如果增加后相关，则原向量组相关。 要证线性无关，则减少维，如果减少后无关，则原向量组无关。 要证线性相关，则增加向量个数，如果增加后相关，则原向量组相关。 要证线性无关，则减少向量个数，如果减少后无关，则原向量组无关。 向量个数大于维数一定线性相关 一个向量组的每个最大线性无关组中的向量个数一定相等 向量空间：线性无关组ab ……n 若a+b ……n 属于v Ramada a 属于v 则v 为向量空间v 的维数就是向量组的秩，a b ……n 称为空间的基
线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.
自考《线性代数》重难点解析与全真练习 第一章行列式 一、重点 1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。 2、掌握：行列式的基本性质及推论。 3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。 二、难点行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。 三、重要公式 1若A为n阶方阵，则|kA| = kn | A I 2、若A、B均为n阶方阵,AB丨=| A |。丨B丨 3、若A为n阶方阵，则|A* | = | A | n-1 若A为n阶可逆阵，则|A-1 | = | A | -1 4、若A为n阶方阵，入i （i=1 , 2,…，n）是A的特征值，| A | =口入i 四、题型及解题思路 1 、有关行列式概念与性质的命题 2、行列式的计算（方法） 1 ）利用定义 2）按某行（列）展开使行列式降阶 3）利用行列式的性质 ①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。 ②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。 ③逐次行（列）相加减，化简行列式。 ④把行列式拆成几个行列式的和差。 4）递推法,适用于规律性强且零元素较多的行列式 5）数学归纳法,多用于证明 3、运用克莱姆法则求解线性方程组 若D = | A |丰0,则Ax=b有解，即 x1=D1/D, x2= D2/D ,…, xn= Dn/D 其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。 注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。 4、运用系数行列式A 判别方程组解的问题 1）当| A | = 0时，齐次方程组Ax= 0有非零解；非齐次方程组解,也可 能有无穷多解） 2）当| A |丰0时，齐次方程组Ax= 0仅有零解；非齐次方程组克莱姆法则求出。 、重点 1 、理解：矩阵的定义、性质, 几种特殊的矩阵（零矩阵,上（下）对角矩阵,逆矩阵,正交矩阵,伴随矩阵,分块矩阵） 2、掌握： 1）矩阵的各种运算及运算规律 2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法Ax= b 不是解（可能无Ax= b 有解,此解可由三角矩阵,对称矩阵,
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
1.行列式？ B．4 2.用行列式的定义计算行列式中展开式，的系数。 B．1，-4 3.设矩阵，求=？ B．0 4.齐次线性方程组有非零解，则=？（） C．1 5.设，，求=？（） D． 6.设，求=？（） D． 7.初等变换下求下列矩阵的秩，的秩为？（） C．2 1.求齐次线性方程组的基础解系为（） A． 2.袋中装有4个黑球和1个白球，每次从袋中随机的摸出一个球，并换入一个黑球，继续进行，求第三次摸到黑球的概率是（） D．
3.设A，B为随机事件，，，，=?( ) A． 4.设随机变量X的分布列中含有一个未知常数C，已知X的分布列为 ，则C=?( ) B． 5. 44．，且，则=？（） B．-3 一．问答题 1．叙述三阶行列式的定义。 1.三阶行列式的定义:对于三元线性方程组使用加减消元法.得到 2．非齐次线性方程组的解的结构是什么？ 2.非齐次线性方程组的解的结构:有三种情况,无解.有唯一解.有无穷个解 3．什么叫随机试验？什么叫事件？ 3.一般而言，试验是指为了察看某事的结果或某物的性能而从事的某种活动。一个试验具有可重复性、可观察性和不确定性这3个特别就称这样的试验是一个随机试验。每次试验的每一个结果称为基本事件。由
基本事件复合而成的事件称为随机事件（简称事件）。 4．试写出随机变量X的分布函数的定义。 4.设X是随机变量，对任意市属x，事件｛X
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0
（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： 多练习方能成大财 （1）?? ??????? ???711 00251020214214； （2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12； （3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）?? ??? ???????---d c b a 100 110011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?---
线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式： 证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；
3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系： 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则， 其中 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.
线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ） 。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
1、设总体，是总容量为2的样本，为未知参数，下列 样本函数不是统计量的是（） D. 2、三个方程四个未知量的线性方程组满足如下条件（）时一定有解. C. 3、与的相关系数，表示与（） B. 不线性相关 4、，且与相互独立， 则（） A. 5、设连续随机变量X的分布函数为其概率密 度，则 （） B. 6、某人打靶的命中率为0.8，现独立地射击5次，那么5次中有2次命中的概率 为（） D.
7、 B. 8、设相互独立，且则下列结论正确的是（） D. 9、 D. 1 10、假设检验中，一般情况下（） C. 即可能犯第一类错误，也可能犯第二类错误 11、若随机变量的方差存在，由切比雪夫不等式可 得（） A. 12、若方程组仅有零解，则（） C. 13、设总体的分布中带有未知参数，为样 本，
和是参 数的两个无偏估计，若对任 意的样本容量，若为比有效的估计量，则必有 （） B. 14、设总体未知，关于两个正态总体均 值的假设检验为，则检验统计量为（） C. 15、若总体为正态分布，方差未知，检验，对抽 取样本 ,则拒绝域仅与（）有关 D. 显著水平，样本容量 16、（）时，则方程组有无穷多解 C.3 17、设是阶正定矩阵，则是（） C. 可逆矩阵 18、在相同的条件下，相互独立地进行5次射击，每次射中的概率为0.6，则击中目标的次数的概率分布为（） A. 二项分布 19、 B. 下三角 20、设是来自正态总体的样本,已知统计 量是方差的无偏估计量,则常数等于
（） D. 4 21、设，且未知，对均值作区间估计，置信度为95%置信区间是（） A. 22、设总体服从参数的分布，即 0 1 为的样本，记为样本均值， 则=（） 错误:【@】 23、已知向量则下列说法正确的是（） D. 该向量组为正交向量组 24、随机变量服从正态分布，则（） C. 25、设，则（） A. A和B不相容 26、 B.
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0