课时跟踪检测（二） 两个计数原理的综合应用
层级一 学业水平达标
1．由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为( )
A ．15
B ．12
C ．10
D ．5
解析：选D 分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有2个；第三类组成3位整数，其中偶数有2个．由分类加法计数原理知共有偶数5个．
2．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有( )
A ．4种
B ．5种
C ．6种
D ．12种
解析：选C 若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法．
3．若三角形的三边长均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b ，c ，且满足b ≤4≤c ，则这样的三角形有( )
A ．10个
B ．14个
C ．15个
D ．21个
解析：选A 当b ＝1时，c ＝4；当b ＝2时，c ＝4,5；当b ＝3时，c ＝4,5,6；当b ＝4时，c ＝4,5,6,7.故共有10个这样的三角形．选A ．
4．已知集合M ＝{1，－2,3}，N ＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为( )
A ．18
B ．16
C ．14
D ．10
解析：选C 分两类：一是以集合M 中的元素为横坐标，以集合N 中的元素为纵坐标有3×2＝6个不同的点，二是以集合N 中的元素为横坐标，以集合M 中的元素为纵坐标有4×2＝8个不同的点，故由分类加法计数原理得共有6＋8＝14个不同的点．
5．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )
A ．24对
B ．30对
C ．48对
D ．60对
解析：选C 与正方体的一个面上的一条对角线成60°角的对角线有8条，故共有8
对．正方体的12条面对角线共有12×8＝96(对)，且每对均重复计算了一次，故共有962
＝
48(对)．
6.如图所示为一电路图，则从A 到B 共有 条不同的单
支线路可通电．
解析：按上、中、下三条线路可分为三类：从上线路中有3条，
中线路中有1条，下线路中有2×2=4(条)．根据分类加法计数原理，共有3+1+4=8(条)．
答案：8
7．将4种蔬菜种植在如图所示的5块试验田里，每块试验田种植一种蔬菜，相邻试验田不能种植同一种蔬菜，不同的种法有________种．(种植品种可以不全)
由分步乘法计数原理共有4×3×3×3×3＝324(种).
答案：324
8.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成______组．
解析：分两类：第一类，由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30组不同的结果；同理，第二类也有30组不同的结果，共可得到30＋30＝60组.
答案：60
9．某高中毕业生填报志愿时，了解到甲、乙两所大学有自己感兴趣的专业，具体情况如下：
如果这名同学只能选择一所大学的一个专业，那么他的专业选择共有多少种？
解：由图表可知，分两类，第一类：甲所大学有5个专业，共有5种专业选择方法； 第二类：乙所大学有3个专业，共有3种专业选择方法．
由分类加法计数原理知，这名同学可能的专业选择有N ＝5＋3＝8(种)．
10．若直线方程Ax ＋By ＝0中的A ，B 可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的
数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？
解：分两类完成．
第1类，当A或B中有一个为0时，表示的直线为x＝0或y＝0，共2条．
第2类，当A，B不为0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成．
第1步，确定A的值，有4种不同的方法；
第2步，确定B的值，有3种不同的方法．
由分步乘法计数原理知，共可确定4×3＝12条直线．
由分类加法计数原理知，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14条．
层级二应试能力达标
1．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，至多5个，则不同的分法共有( ) A．4种B．5种
C．6种 D．7种
解析：选A 分类考虑，若最少一堆是1个，由至多5个知另两堆分别为4个、5个，只有一种分法；若最少一堆是2个，则由3＋5＝4＋4知有2种分法；若最少一堆是3个，则另两堆为3个、4个共1种分法，故共有分法1＋2＋1＝4种．
2．要把3张不同的电影票分给10个人，每人最多一张，则有不同的分法种数是( ) A．2 160 B．720
C．240 D．120
解析：选B 可分三步：
第一步，任取一张电影票分给一人，有10种不同分法；
第二步，从剩下的两张中任取一张，由于一人已得电影票，不能再参与，故有9种不同分法．
第三步，前面两人已得电影票，不再参与，因而剩余最后一张有8种不同分法．所以不同的分法种数是10×9×8＝720(种)．
3．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻，这样的四位数有( )
A．36个 B．18个
C．9个 D．6个
解析：选B 分三步完成，第一步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第二步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上，有3种方法；第三步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法．故有3×3×2＝18个不同的四位数．
4.用4D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有( )
A．12种 B．24种
C．48种 D．72种
解析：选D 先涂C，有4种涂法，涂D有3种涂法，涂A有3种涂法，涂B有2种涂法．由分步乘法计数原理，共有4×3×3×2＝72(种)涂法．
5．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成________个不同的对数值．
解析：要确定一个对数值，确定它的底数和真数即可，分两步完成：
第1步，从这8个数中任取1个作为对数的底数，有8种不同取法；
第2步，从剩下的7个数中任取1个作为对数的真数，有7种不同取法．
根据分步乘法计数原理，可以组成8×7＝56个对数值．
在上述56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，所以满足条件的对数值共有56－4＝52个．
答案：52
6.如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要
求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂
色方法共有________种．
解析：先涂A，D，E三个点，共有4×3×2＝24种涂法，然后再按B，
C，F的顺序涂色，分为两类：一类是B与E或D同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8种涂法；另一类是B与E或D不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3种涂法．所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264种．
答案：264
7.用6种不同颜色为如图所示的广告牌着色，要求在A，B，C，D四个
区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色，求共有多少种不同的着色方
法？
解：(1)法一：分类：
第一类，A，D涂同色，有6×5×4=120(种)涂法，
第二类，A，D涂异色，有6×5×4×3=360(种)涂法，
共有120+360=480(种)涂法．
法二：分步：先涂B区，有6(种)涂法，再涂C区，有5(种)涂法，最后涂A，D区域，各有4(种)涂法，
所以共有6×5×4×4=480(种)涂法．
8．有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)
(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；
(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．
解：(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有报名方法36＝729(种)．
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．
(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种)．
2019年浙江省高中数学高考考纲 一、三角函数、解三角形 1．了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算． 2．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象与性质，了解三角函数的周期性．3．理解同角三角函数的基本关系，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式． 4．了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的实际意义，掌握y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响． 5．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式．6．掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明． 7．掌握正弦定理、余弦定理及其应用． 二、立体几何 1．了解多面体和旋转体的概念，理解柱、锥、台、球的结构特征． 2．了解简单组合体，了解中心投影、平行投影的含义． 3．了解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体．会用斜二测画法画出它们的直观图． 4．会计算柱、锥、台、球的表面积和体积． 5．了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义．掌握如下可以作为推理依据的公理和定理． 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行． 定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 6．理解空间线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理． (1)判定定理： ①平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行； ②一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； ③一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直； ④一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． (2)性质定理：
数学必修一浙江省高中新课程作业本答案 答案与提示仅供参考 第一章集合与函数概念 1．1集合 1 1 1集合的含义与表示 列举法表示为{(-1,1),(2,4)},描述法的表示方法不唯一,如可表示为(x,y)|y=x+2, y=x2. ,12,2. 1 1 2集合间的基本关系 ,{-1},{1},{-1,1}.5. .6.①③⑤. = ,{1},{2},{1,2}},B∈A. =b=1． 1 1 3集合的基本运算(一) 或x≥5}.∪B={-8,-7,-4,4,9}.. 11.{a|a=3,或-22＜a＜22}．提示:∵A∪B=A，∴B A．而A={1，2}，对B进行讨论：①当B= 时，x2-ax+2=0无实数解，此时Δ=a2-8＜0，∴-22＜a＜22.②当B≠时，B={1,2}或B={1}或B={2};当B={1,2}时，a=3;当B={1}或B={2}时，Δ=a2-8=0，a=±22，但当a=±22时，方程x2-ax+2=0的解为x=±2，不合题意．
1 1 3集合的基本运算(二) 或x≤1}.或或x≤2}.={2,3,5,7},B={2,4,6,8}． ,B的可能情形有:A={1,2,3},B={3,4};A={1,2,4},B={3,4};A={1,2,3,4},B={3,4 }. =4,b=2.提示:∵A∩綂UB={2}，∴2∈A，∴4+2a-12=0 a=4，∴A={x|x2+4x-12=0}={2,-6},∵A∩綂UB={2}，∴－6 綂UB，∴－6∈B，将x=-6代入B,得b2-6b+8=0 b=2,或b=4.①当b=2时,B={x|x2+2x-24=0}={-6,4},∴-6 綂UB，而2∈綂UB，满足条件A∩綂UB={2}.②当b=4时,B={x|x2+4x-12=0}={-6,2}, ∴2 綂UB，与条件A∩綂UB={2}矛盾． 1．2函数及其表示 1 2 1函数的概念（一） ，且x≠-3}．略.(2) 2 1函数的概念（二） 且x≠-1}.5.［0，+∞).. ,-13,-12,.(1)y|y≠25.(2)［-2,+∞). 9.(0,1］．∩B=-2,12;A∪B=［-2,+∞).11.［-1,0). 1 2 2函数的表示法(一) 略. 8. x1234y9.略. 2 2函数的表示法(二)
浙江省高中数学教材知识大纲 (文理通用) 必修1 第一章集合与函数概念 1.1集合 1.2函数及其表示 1.3函数的基本性质 第二章基本初等函数Ⅰ 2.1指数函数 2.2对数函数 2.3幂函数 第三章函数的应用 3.1函数与方程 3.2函数模型及其应用 必修2 第一章空间几何体 1.1空间几何体的结构 1.2空间几何体的三视图和直观图 1.3空间几何体的表面积与体积 第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线、平面的位置关系 2.2直线、平面平行的判定及其性质 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 第三章直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.2直线的方程 3.3直线的交点坐标与距离公式 第四章圆与方程 4.1 圆的方程 4.2直线与圆的位置关系 4.3空间直角坐标系 必修3 第一章算法初步 1.1算法与程序框图
1.2基本算法语句 1.3算法案例 第二章统计 2.1随机抽样 2.2用样本估计总体 2.3变量间的相关关系 第三章概率 3.1随机事件的概率 3.2古典概型 3.3几何概型 必修4 第一章三角函数 1.1任意角和弧度制 1.2任意角的三角函数 1.3三角函数的诱导公式 1.4三角函数的图象与性质 1.5函数sin()yAx的图像 1.6三角函数模型的简单应用 第二章平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念 2.2平面向量的线性 2.3平面向量的基本定理及坐标表示 2.4平面向量的数量积 2.5平面向量应用举例 第三章三角恒等变换 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.2简单的三角恒等变换 必修5 第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.2应用举例 1.3实习作业 第二章数列 2.1数列的概念与简单表示法 2.2等差数列 2.3等差数列的前n项和
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2 课后测评 一、选择题 1. 在ABC ?中，一定成立的等式是（ ） B b A a A sin sin .= B b A B cos cos .= A b B a C sin sin .= A b B a D cos cos .= 2. 在ABC ?中，已知,75,60,8?=?==C B a 则b 等于（ ） 3 32. 64.34.24.D C B A 3. 在锐角ABC ?中，角A ，B 所对应的边分别为a,b.若b B a 3sin 2=，则角A 等于（ ） 3 .4.6 .12. ππππD C B A 4. 在ABC ?中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a,b,c,,45,2,?===B b x a 若解该三角形有两解，则x 的取值范围是（ ) 3 22.222.2.2.<<<<<>x D x C x B x A 5. 在ABC ?中，,60,10,6?===B c b 解此三角形的解的情况是（ ） A. 一解 B.两解 C.无解 D.解的个数不能确定 6. 设锐角三角形ABC 的三个内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,且a=1,B=2A,则b 的取值范围是（ ） A. (0,2) )3,2.(B )3,1.(C )2,2.(D 二、填空题 7. 已知ABC ?外接圆的半径是2cm ，?=60A ，则BC 的边长为___________ 8. 在ABC ?中，__________,60,65,10=?===B C c b 则 9. 在ABC ?中，__________,2,30,45==?=?=b a B A 则 10.在ABC ?中，已知__________sin sin ,3cos cos 3cos 的值为则C A b a c B C A -=-
2014年浙江省普通高中学业水平 考试标准 数学 浙江省教育考试院编制
考试性质与对象 浙江省普通高中学业水平考试是在教育部指导下，由省级教育行政部门组织实施的全面衡量普通高中学生学业水平的考试。其主要功能是引导普通高中全面贯彻党的教育方针，落实必修课程教学要求，检测高中学生的学业水平，监测、评价和反馈高中教学质量。考试成绩是高中生毕业的基本依据，也是高校招生录取和用人单位招聘的重要参考依据。 根据《浙江省普通高中学业水平考试实施方案》规定，普通高中数学学业水平考试是以《普通高中数学课程标准（实验）》（下文简称为《课程标准》）和《浙江省普通高中新课程实验数学学科教学指导意见》（下文简称为《教学指导意见》）为依据，是全面衡量普通高中学生学业水平的考试。 高中数学学业水平考试实行全省统一命题、统一施考、统一阅卷、统一评定成绩，每年开考2次。考试的对象是在本省中小学学生电子学籍系统中注册获得普通高中学籍的且修完必修课程的所有在校学生。 考试目标与要求 （一）考试目标 普通高中数学学业水平考试是全面考察和评估我省普通高中学生的数学学业水平是否达到《课程标准》所规定的课程基本要求和所必须具备的数学素养的检测考试。考试成绩是浙江省普通高中学生毕业的基本依据之一，也是高校招生录取和用人单位招聘的重要参考依据。 （二）考试要求 根据浙江省普通高中学生文化素质的要求，数学学业水平考试面向全体学生，有利于促进学生全面、和谐、有个性的发展，有利于中学实施素质教育，有利于体现数学学科新课程理念，充分发挥学业水平考试对普通高中数学学科教学的正确导向作用。 突出考查数学学科基础知识、基本技能和基本思想方法，考查初步应用数学学科知识与方法分析问题、解决问题的能力。关注数学学科的主干知识和核心内容，关注数学学科与社会的联系，贴近学生的生活实际。
浙江省2017高考考试说明 数学 （必修＋限定选修） 一、考试性质与对象 数学是普通高等学校招生全国统一考试的必考科目，数学高考是由合格的高中毕业生和 具有同等学力的考生参加的选拔性考试。高等学校根据考生的成绩，按已确定的招生计划， 考试成绩及综合素质评价，择优录取。因此，数学高考应具有较高的信度、效度，必要的区 分度和适当的难度。 二、考核要求 依据高校人才选拔要求和国家课程标准，科学设计命题内容，增强基础性、综合性，突 出能力立意。主要考查学生运用所学知识独立思考与分析问题、解决问题的能力。数学学科 的考试，要发挥数学作为主要基础学科的作用，既考查考生的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查考生对数学思想方法、数学本质的理解水平以及进入高等学校继续学习的潜能。 (一) 知识要求 知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》中的必修课程及限定选修课程中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及与其相关的基础知识和思想方法。 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次。 1．了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识。知道这一知识内容是什么，能在有关的问题中加以区分。按照一定的程序和步骤简单模仿。 2．理解：要求对所列知识内容有理性认识，知道知识间的逻辑关系。能用数学语言对相关问题进行描述，对比较、判别、讨论的过程作出恰当的表述。具备利用所学知识解决简单问题的能力。 3．掌握：要求对所列知识内容有深刻的理性认识，熟悉相关知识间的逻辑关系。对所列的知识内容能够推导证明，灵活运用相关知识与思想方法进行分析、研究、讨论。具备综合利用相关知识解决问题的能力。“会”或“能”相当于此层次的要求。 （二）能力要求 数学具有严密的逻辑性、结论的确定性和应用的广泛性等特点，在培养学生能力的过程中发挥重要的作用。数学学科考试既要考查基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验，又要考查考生的逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力、数据处理能力、综合应用能力。 （一）逻辑思维能力 逻辑思维能力是指通过对事物观察、比较、判断、分析、综合进行归纳、概括、抽象、演绎、推理，准确有条理地表达自己思维过程的能力。
课时跟踪检测（十九） 基本不等式： ab ≤a ＋b 2 A 级——学考水平达标 1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1 lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋ 1 x ≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1 x 的最小值为2 D ．当0 绝密★启用前 2019年1月浙江省普通高中学业水平考试 数 学 试 题 姓名 准考证号 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。 一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。) 1．已知集合A={1，3，5}，B={3，5，7)，则A ∩B= A ．{1，3，5，7} B ．{1，7} C ．{3，5} D ．{5} 2．函数f (x)=log 5(x －1)的定义域是 A ．(－∞，1)U(1，+∞) B ．[0，1) C ．[1，+∞) D ．(1，+∞) 3．圆x2+(y －2)2=9的半径是 A ．3 B ．2 C ．9 D ．6 4．一元二次不等式x 2－7x<0的解集是 A ．{x|0 7．cos15°·cos75°= A ．23 B ． 2 1 C ．43 D ．4 1 8．若实数x ，y 满足不等式组?? ???≤+≥≥+,3,0,01y x y x ，则x －2y 的最大值是 A ．9 B ．－1 C ．3 D ．7 9．若直线l 不平行于平面a ，且l ?a ，则下列结论成立的是 A ．a 内的所有直线与l 异面 B ．a 内不存在与l 平行的直线 C ．a 内存在唯一的直线与l 平行 D ．a 内的直线与l 都相交 10．函数f (x)=x x x ?+222 =的图象大致是 A B C D 11．若两条直线11：x+2y －6=0与l 2：x+ay －7=0平行，则l 1与l 2间的距离是 A ．5 B ．25 C ．25 D ．5 5 12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 A ．π B ．2π (第12题图) C ．3π D ．4π 浙江省普通高中学校课程安排参考表 （征求意见稿） 表1：选考政、史、地为例 学业水平考试：必考▲选考★ 英语社会化考试※ 表2：选考理、化、生为例 学业水平考试：必考▲选考★ 英语社会化考试※ 表3：选考理、地、技为例 学业水平考试：必考▲选考★ 英语社会化考试※ 浙江省普通高中学校课程安排参考表 说明 优点： 1.如果按每课时40分钟，每周39节计算，如此设计能保证每周选修课程至少20%的要求。如果按每课时45分钟，每周35节计算，则在高一历史、地理、物理、化学、生物等学科中，选择1门到高二年级开始开课，也能保证每周选修课程至少20%的要求。 2.高一学生不参加学业水平考试，大大缓解了各学科开快车赶进度现象，引导学校按客观规律合理安排课程。各学科学业水平考试普遍推后，避免高三年级只开语、数、外现象。 3.如此设计能保证高中学业水平考试每门学科都能考2次。 问题： 1. 高一年级并开科目过多。 为满足学生学业水平考试考2次的需要，高一年级并开科目会达到10门，突破了原来规定学业水平考试科目不超过8门的规定，并会挤压或削弱四类选修课程开设。 2.高二下、高三上学生学业水平考试科目过于集中。 高二下学业考试科目7门，高三上达到8门。 3.英语学科学习压力大大增加。 由于全国社会化考试词汇量达到3500，高于我省2015、16年高考2800单词要求，增加了选修模块数量，不得不从高二开始增加英语课时。 4.自主选修空间减少。 根据我省深化课改方案中毕业标准规定，选修学分需要48学分，其中职业技能类至少6学分，社会实践类不超过8学分。现在按照新的高考改革方案，语数统一高考和英语社会化考试，再加上3门选考，限定选修模块数达到14个，28个学分。如果加上职业技能类和社会实践类14学分，真正自主选修学分可能仅仅6学分。 2019学年浙江省高中数学竞赛 一、填空题：本大题共10个小题，每小题8分，共80分. 1. 在多项式103)2()1(+-x x 的展开式中6x 的系数为 2. 已知5log )35(log 172+=-a a ，则实数a= 3. 设()b ax x x f ++=2在[]1,0中两个实数根，则b a 22-的取值范围为 4. 设R y x ∈,，且1) sin(sin sin cos cos cos sin 222222=+-+-y x y x y x x x ，则x -y= 5. .已知两个命题，命题P ：函数())0(log >=x x x f a 单调递增；命题q ：函数)(1)(2R x ax x x g ∈++=.若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则实数a 的取值范围为 6. 设S 是?? ? ??85,0中所有有理数的集合，对简分数()1,,=∈q p S p q ，定义函数()32,1=+=??? ? ??x f p q p q f 则在S 中根的个数为 7. 已知动点P ，M ，N 分别在x 轴上，圆()()12122=-+-y x 和圆()()34322=-+-y x 上，则PN PM +的最小值 8. 已知棱长为1的正四面体ABC P -,PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围为 9. 已知平面向量→a ，→b ，→c ，满足1=→a ，2=→b ，3=→c ，10<<λ，若0=?→→c b ，则→→→---c b a )1(λλ所有取不到值的集合为 10. 已知()???≥-<-=0 ,10,22x x x x x f ，方程()()04212122=*---+-+a x x f x x x f 有三个根321x x x <<.若)(21223x x x x -=-，则实数a= 二、解答题：本大题共5个小题，满分120分，将答案填在答题纸上 11. 设.,2,1,)(3 16)(,32)(2121Λ=+=+=+n x f x x f x x f n n 对每个n ，求x x f n 3)(=的 数学 一、考试性质与对象 浙江省普通高中数学学业水平考试是在教育部指导下，由省教育行政部门组织实施的全面衡量普通高中学生数学学业水平的考试。考试成绩是普通高中学生毕业的基本依据之一，也是高校招生录取和用人单位招聘的重要参考依据。 浙江省普通高中数学学业水平考试实行全省统一命题、统一施考、统一阅卷、统一评定成绩，每年开考2次。考试的对象是2014年秋季入学的高中在校学生，以及相关的往届生、社会人员和外省在我省异地高考学生。 二、考核目标、要求与等级 (一)考核目标 普通高中数学学业水平考试是全面考察和评估我省普通高中学生的数学学业水平是否达到《课程标准》所规定的基本要求和所必须具备的数学素养的检测考试。 (二)考核要求 根据浙江省普通高中学生文化素质的要求，数学学业水平考试面向全体学生，有利于促进学生全面、和谐、有个性的发展，有利于中学实施素质教育，有利于体现数学学科新课程理念，充分发挥学业水平考试对普通高中数学学科教学的正确导向作用。 突出考查数学学科基础知识、基本技能和基本思想方法，考查初步应用数学学科知识与方法分析问题、解决问题的能力。关注数学学科的主干知识和核心内容，关注数学学科与社会的联系，贴近学生的生活实际。 充分发挥数学作为主要基础学科的作用，既考查中学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查对数学思想方法、数学本质的理解水平．全面检测学生的数学素养。 1．知识要求 知识是指《教学指导意见》所规定的必修课程中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法。 对知识的要求从低到高分为四个层次，依次为：了解、理解、掌握、综合应用，其含义如下： (1)了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，能记住和识别数学符号、图形、定义、定理、 公式、法则等有关内容，并能按照一定的程序和步骤模仿，进行直接应用。 这一层次所涉及的主要行为动词有：了解、知道、识别、模仿、会求、会解等。 (2)理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识．知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明，用数学语言表达，利用所学的知识内容对有关问题作比较、判别、讨论，有利用所学知识解决简单问题的能力。 这一层次所涉及的主要行为动词有：描述、说明、表达、推测、想象、比较、判别、初步应用等。 (3)掌握：在对知识理解的基础上，通过练习形成技能．在新的问题情境中．能运用所学知识按基本的模式与常规的方法解决问题。 这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析、推导、证明、研究、讨论、运用、解决问题等。 (4)综合运用：掌握知识的内在联系与基本属性，能熟练运用有关知识和基本数学思想方法，综合解决较复杂的数学问题和实际问题。 这一层次所涉及的主要行为动词有：熟练掌握，综合解决问题等。 2019年浙江省高中数学竞赛试题 参考解答与评分标准 说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。 一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1. 已知53[ ,]42 ππ θ∈ D ） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ 解答：因为53[ ,]42 ππ θ∈cos sin cos sin θθθθ--+ 2c o s θ =。正确答案为D 。 2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ C ） A. 2 B. C. 2± D. ± 42a =?=±。正确答案为C 。 3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈?， 命题q ：x A ∈或x B ∈， 则p 是q 的（ B ） A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件 解答：P 是q 的充分非必要条件。正确答案为B 。 4. 过椭圆2 212 x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则AB 为（ C ） A. B. C. 3 D. 解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB 为1,y x =-代入椭圆方程得 21243400,33 x x x x AB -=?== ?==。正确答案为C 。 5. 函数150()51 x x x f x x -?-≥=?- 2010年浙江省高中数学竞赛试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1． 化简三角有理式x x x x x x x x 2 2662244cos sin 2cos sin cos sin sin cos ++++的值为（ ） A. 1 B. sin cos x x + C. sin cos x x D. 1+sin cos x x 2． 若2 :(1)30,:2p x x x q x +++≥≥-，则p 是q 的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3． 集合P={363,=+++∈x x R x x }，则集合R C P 为（ ） A. {6,3}x x x <>或 B. {6,3}x x x <>-或 C. {6,3}x x x <->或 D. {6,3}x x x <->-或 4． 设a ,b 为两个相互垂直的单位向量。已知OP =a ，OQ =b ，OR =r a +k b .若△PQR 为等 边三角形，则k ，r 的取值为（ ） A ．132k r -±== B ．1313 ,22k r ±±== C ．132k r ±== D ．1313 ,22 k r -±-±== 5． 在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1，则CA 1与C 1B 所成的角的大小是( ) A ．60° B ．75° C ．90° D ．105° 6． 设{}n a ，{}n b 分别为等差数列与等比数列，且11444,1a b a b ====，则以下结论正确的是 （ ）A. 22a b > B. 33a b < C. 55a b > D. 66a b > 7． 若15,(12)x R x +∈+则的二项式展开式中系数最大的项为（ ） A ．第8项 B. 第9项 C. 第8项和第9项 D. 第11项 8． 设()cos 5x f x =，12111(lo g ),(log ),(log )e e a f b f c f e πππ ===，则下述关系式正确的是 （ ）。 A ．a b c >> B. b c a >> C. c a b >> D. b a c >> 9． 下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为（ ） 2011年浙江省高中数学竞赛试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1. 已知53[,]42 ππθ∈ 可化简为（ ） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ 2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ ） A. 2 B. C. 2± D. ± 3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈?， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（ ） A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件 4. 过椭圆2 212 x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45o 弦AB ，则AB 为（ ） A. B. C. 3 D. 5. 函数150()510 x x x f x x -?-≥=?- A ．64 B ．32 C ．16 D ．8 8. 在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形 成平面区域的面积为（ ） A. 4 C. 16 D. 32 9. 已知函数()sin(2)6f x x m π=- -在0,2π??????上有两个零点，则m 的取值范围为（ ） A. 1, 12?? ??? B 1, 12?????? C. 1, 12?????? D. 1, 12?? ??? 10. 已知[1,1]a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为（ ） A.3x >或2x < B.2x >或1x < C.3x >或1x < D.13x << 二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分， 共49分） 11. 函数()2sin 3cos 2 x f x x =-的最小正周期为__________。 12. 已知等差数列{}n a 前15项的和15S =30，则1815a a a ++=__________. 13. 向量(1,sin )a θ=r ，(cos ,3)b θ=r ，R θ∈，则a b -r r 的取值范围为。 14. 直三棱柱111ABC A B C -，底面ABC ?是正三角形，P ，E 分别为1BB ，1CC 上的动点（含端点）,D 为BC 边上的中点，且PD PE ⊥。则直线,AP PE 的夹角为__。 15．设y x ,为实数，则=+=+)(m ax 22104522y x x y x ____________。 16. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有_________种。（用组合数符号表示） 17. 设z y x ,,为整数，且3,3333=++=++z y x z y x ，则=++222z y x __。 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 17 分，共计 51 分） 18. 设2≤a ，求x x y )2(-=在]2 ,[a 上的最大值和最小值。 19. 给定两个数列{}n x ，{}n y 满足100==y x ，)1( 21 1≥+=--n x x x n n n ， 浙江省高中数学教材知识大纲文理通用 必修1 第一章集合与函数概念 1.1集合 1.2函数及其表示 1.3函数的基本性质 第二章基本初等函数Ⅰ 2.1指数函数 2.2对数函数 2.3幂函数 第三章函数的应用 3.1函数与方程 3.2函数模型及其应用 必修2 第一章空间几何体 1.1空间几何体的结构 1.2空间几何体的三视图和直观图 1.3空间几何体的表面积与体积 第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.1空间点、直线、平面的位置关系 2.2直线、平面平行的判定及其性质 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 第三章直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.2直线的方程 3.3直线的交点坐标与距离公式 第四章圆与方程 4.1 圆的方程 4.2直线与圆的位置关系 4.3空间直角坐标系 必修3 第一章 算法初步 1.1算法与程序框图 1.2基本算法语句 1.3算法案例 第二章 统计 2.1随机抽样 2.2用样本估计总体 2.3变量间的相关关系 第三章 概率 3.1随机事件的概率 3.2古典概型 3.3几何概型 必修4 第一章 三角函数 1.1任意角和弧度制 1.2任意角的三角函数 1.3三角函数的诱导公式 1.4三角函数的图象与性质 1.5函数sin()y A x ω?=+的图像 1.6三角函数模型的简单应用 第二章 平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念 2.2平面向量的线性运算 2.3平面向量的基本定理及坐标表示 2.4平面向量的数量积 2.5平面向量应用举例 第三章 三角恒等变换 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.2简单的三角恒等变换 必修5 第一章 解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.2应用举例 1.3实习作业 第二章 数列 2.1数列的概念与简单表示法 2.2等差数列 2.3等差数列的前n 项和 2.4等比数列 2.5等比数列的前n 项和 第三章 不等式 3.1不等关系与不等式 3.2一元二次不等式及其解法 3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 3.4基本不等式 ：2 a b ab +≤ 文科选修系列1 1-1 第一章 常用逻辑用语 1.1命题及其关系 1.2充分条件与必要条件 1.3简单的逻辑联结词 1.4全称量词与存在量词 第二章 圆锥曲线与方程 2.1椭圆 2.2双曲线 2.3抛物线 第三章 导数及其应用 3.1变化率与导数 3.2导数的计算 3.3导数在研究函数中的应用 3.4生活中的优化问题举例 2016年浙江省高中数学竞赛试题及答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题6分，满分48分） 1.曲线()()2220x y a x y ++-=为平面上交于一点的三条直线的充要条件是（ ） ． （A ） 0a = （B ）1a = （C ）1a =- （D ）a R ∈ 答案：（A ） 解 若0a =，则曲线()()2220x y a x y ++-=表示曲线是三条交于原点的直线． 反之，由于直线y x =和直线y x =-交于原点，所以曲线要为平面上交于一点的直线，则直线20x y a ++=过原点，即0.a = 2.函数()234sin sin 2sin cos 2 2x x f x x x ??=-+- ???的最小正周期为（ ）． （A ）2π （B ） 2π （C ）23π （D ）π 答案：（C ） 解 化简得，()sin32f x x =-+，则函数()f x 的最小正周期为.3 π2 3.设双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 是过2F 且倾斜角为4π的直线与双曲线的一个交点．若△12F F A 为等腰直角三角形， 则双曲线的离心率为（ ）． （A ）12 （B 1 （C ）12 （D 1 答案；(D) 解 因为122AF AF a -=，要使△12F F A 为等腰直角三角形，则A 必在双曲线的左支上，且212AF FF =2c =，从而122AF a c =+，由勾股定理得()()()22 222.a c c +=解得 1.c a = 4.已知正三棱锥S -ABC ，底面边长为1，侧棱为2．若过直线AB 的截面，将正三棱锥 的体积分成两个相等的部分，则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（ ） （A ）10 （B ）15 （C ）15 （D ）15 答案：（D ） 解：设截面与棱SC 交于D 点，由已知条件可知，点D 为棱SC 的中点．取AB 的中点 新教材新问题新教法 -----谈新教材学习体会 张根荣通过一个暑期的学习，通过比较旧大纲和现行《标准》的课标内容和教学要求，发现新课程内容的教学顺序上有很大的调整，在教学理念上有新的突破，强调从丰富的实例引出，从具体的情景中认识等，从中也体现了知识的螺旋上升，实行分层教学。现在对人教A版高中数学必修1 的教学先谈一点体会： 一、教学情况 1．教师要转变观念 在课程改革中，教师是关键，教师对新课程的理解和参与是推进课程改革的前提。认真学习数学课程标准，达到对课改有所了解的目的，以便能更快、更好地进入角色。课程标准是指导我们教学的主要的纲领性文件，它明确规定了教学的目的、教学目标、教学的指导思想以及教学内容的确定和安排。 2．加强合作，积极开展教学研究 教师作为课程实施的主体，面对严峻的挑战，教师之间应加强合作，积极开展集体备课，通过不断的交流获取教学信息与灵感。定时间、定地点、定内容、定主讲人进行集体备课。教师应认真阅读整套的新课程教材，这样才能对新课标中螺旋式上升进行准确的把握和定位；同时希望学校能给我们配备人手一套初中新课程教材，了解、研究初中新课程的教材内容和课标要求，作好初高中衔接。 3．合理运用教科书，提高课堂效益 从学科能力方面来说，课程标准是最低标准，是课堂教学的最低目标。教材是素材，教学时需要处理和加工，适当补充或降低难度是备课的中心议题。大胆创新，灵活使用教材，才能使新课程改革在前进中少走弯路，全面提高教育教学质量。数学必修1存在许多问题，教师应认真理解课标，对教材中不符合课标要求的题目要大胆地删减；对课标要求的重点内容要作适量的补充；对教材中不符合学生实际的题目要作适当的改编。此外，还应全面了解必修与选修内容的联系，要把握教材的“度”，不要想一步到位，如函数性质的教学，要多次接触，螺旋上升，实行分层教学。 4．改进学生的学习方式，强调问题意识 改进学生的学习方式，有必要从教学中好的问题开始，教会学生发现问题和提出问题的方法。以问题引导学生应成为数学教学的一条基本原则。通过恰时恰点的提出好问题，使学生领悟到发现和提出问题的艺术，引导他们更加主动、有兴趣的学，富有探索的学，培养问题意识，孕育创新精神。 5．现代教育技术与课堂教学的整合 在信息技术与课程整合的教学模式中，通过信息技术与课程整合采用“目标—任务”驱动式的教学过程。利用一套完整的教学监控系统(包括目标、任务、资源、评价方法等)，以各种各样的主题任务进行驱动教学，使学生置身于提出问题、思考问题、解决问题的动态过程中进行学习。 6．教学误区 (1) 刻意追求教学活动的形式，但形式不能服务教学目标； (2) 刻意追求是生活化，情景冲淡教学目标； (3) 过于注重探索过程，过程偏离教学目标； (4) 双基没有得到有效落实。 浙江省高中数学新课程骨干教师省级培训方案 按照教育部《关于2006年推进普通高中新课程实验工作的通知》（教基厅[2005]19号）的要求，我省普通高中自2006年秋季一年级开始进入新课程实验。为切实做好第一阶段的实验工作（指2006年秋季入学到2009年毕业学生的普通高中新课程实验），保证我省普通高中数学课程改革的顺利实施，根据省教育厅、省课程改革领导小组有关要求，特制定本培训方案。 一、工作思路 1．教师不仅是课程的实施者，而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量，是新一轮普通高中新课程改革的主力军。各级教育局、教研机构、师范院校应共同协作确保全体实验教师在接受通识培训的基础上开展相关学科的培训。培训工作“到边到底”，每所普通高级中学均有人参加省级培训。 2．创新培训方式，提高培训效果。积极探索“专家指导+行政领导+学校实施+学科骨干探讨+教师实践”的数学课改组织支持系统。数学培训倡导参与互动和基于课堂案例的培训，围绕教师迫切需要解决的问题，深入探讨，讲求实效；通过聚焦课堂，把课程理念转化为课堂教学行为，探索以课堂为平台的培训模式。 3．比较研究新老教材的变化以及不同版本教材的优化，把握教材的编写思路和体系，探索各模块教学的实施策略和有效教学方法。 二、培训目标 1．了解高中新课程实验的意义，深入领会高中新课程改革方案的精神，树立与新课程相适应的课程观、教学观、学生观、学习观、评价观，提高课程改革实验责任感。 2．通过对高中新课程标准的解读与学习，使实验教师了解高中数学新课程的特点、变化及发展趋势，进一步把握高中数学新课程的性质、基本理念、课程目标、课程内容、评估标准等内容。 3．通过学习和研究《浙江省高中数学科实施意见》、《浙江省高中数学科教学指导意见》，使实验教师明确高中数学教学目标定位，领会浙江省新一轮高中数学课改的意图和要求。 4．通过对高中数学实验教材培训和案例分析，使实验教师领会实验学科教材的体系结构、编写意图、教学要求、模块分配和教法特点，改进教学方式，实现高中数学教学的高效率与高质量。 5．通过专家培训，弥补当前高中数学教师对新增内容的知识储备的不足。 三、组织实施 1．高中数学新课程骨干教师省级培训培训工作由教育厅师范处、浙江师范大学具体负责组织、协调，浙江省基础教育课程改革工作领导小组和专家作业务指导。 2．成立由课程专家、教材主要编写人员、省内高师院校相关学科专家、高中数学新课程学科专业指导小组成员、教研员、一线骨干 2017年浙江省高中数学竞赛 一、填空题：本大题共10个小题,每小题8分,共80分. 1.在多项式3 10 (1)(2)x x -+的展开式中6 x 的系数为 ． 2.已知 3)5a -=,则实数a = ． 3.设2 ()f x x ax b =++在[]0,1中有两个实数根,则2 2a b -的取值范围为 ． 4.设x ,y R ∈,且 222222sin cos cos cos sin sin 1sin() x x x y x y x y -+-=+,则x y -= ． 5.已知两个命题,命题p :函数()log a f x x =(0x >)单调递增；命题q ：函数 2()1g x x ax =++（x R ∈）．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则实数a 的取值范围 为 ． 6.设S 是5 (0,)8中所有有理数的集合，对简分数 q S p ∈，(,)1p q =， 定义函数1()q q f p p +=，则2 ()3 f x = 在S 中根的个数为 ． 7.已知动点P ，M ，N 分别在x 轴上，圆2 2 (1)(2)1x y -+-=和圆2 2 (3)(4)3x y -+-=上，则||||PM PN +的最小值为 ． 8.已知棱长为1的正四面体P ABC -，PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围为 ． 9.已知平面向量a r ，b r ，c r ，满足||1a =r ，||2b =r ，||3c =r ，01λ<<，若0b c ?=r r ，则|(1)|a b c λλ---r r r 所有取不到的值的集合为 ． 10.已知2 2,0, ()1,0, x x f x x x -
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