人教版平行四边形单元 易错题难题测试综合卷学能测试试题
一、解答题
1．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=?，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一
点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE
（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由； （2）当D 为AB 中点时，A ∠等于 度时，四边形BECD 是正方形． 2．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上． （1）若1n =，
①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；
②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若
AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．
（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM
FN
的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；
（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CF
BF
的值为_______（结果用含n 的式子表示）．
3．综合与实践． 问题情境：
如图①，在纸片ABCD □中，5AD =，15ABCD
S
=，过点A 作AE BC ⊥，垂足为点
E ，沿AE 剪下ABE △，将它平移至DCE '的位置，拼成四边形AEE D '． 独立思考：（1）试探究四边形AEE D '的形状．
深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '．上取一点F ，使4EF =，剪下AEF ，将它平移至DE F ''的位置，拼成四边形AFF D '，试探究四边形
AFF D '的形状；
拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形AFF D '的两条对角线长；
（4）若四边形ABCD 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．
4．已知正方形,ABCD 点F 是射线DC 上一动点(不与,C D 重合)．连接AF 并延长交直线BC 于点E ，交BD 于,H 连接CH ．在EF 上取一点,G 使ECG DAH ∠=∠． （1）若点F 在边CD 上，如图1，
①求证：CH CG ⊥． ②求证：GFC 是等腰三角形．
（2）取DF 中点,M 连接MG ．若3MG =，正方形边长为4，则BE = ． 5．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连
BE ，取BE 中点O ．
（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ?∠=；
（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段
DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；
（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且
135PCQ ?∠=，则PC
．（直接写出结果）
6．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边所在直线上一动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BF ⊥DE ，交射线DE 于点F ，连接CF ．
（1）如图，当点E 在线段BC 上时，∠BDF=α． ①按要求补全图形；
②∠EBF =______________（用含α的式子表示）； ③判断线段 BF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．
（2）当点E 在直线BC 上时，直接写出线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系，不需证明． 7．（解决问题）如图1，在ABC ?中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．
（1）若3PE =，5PF =，则ABP ?的面积是______，CG =______． （2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．
（3）（变式探究）如图2，在ABC ?中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ?内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求
PE PF PG ++的值．
（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．
8．在正方形中，连接，为射线
上的一个动点（与点不重合），连接，
的垂直平分线交线段于点，连接
，
.
提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？
探究问题：
（1）首先考察点的两个特殊位置：
①当点与点重合时，如图1所示，____________
②当
时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：
__________；（填“变化”或“不变化”）
（2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）
（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.
9．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF 平分∠AEC ．
(1)如图1，求证：CF ⊥EF;
(2)如图2，延长CE 、DA 交于点K, 过点F 作FG ∥AB 交CE 于点G 若，点H 为FG 上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;
(3)如图3, 过点H 作HN ⊥CH 交AB 于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK 长.
10．问题背景
若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点． 如图1，四边形ABCD 中，BC 是一条对角线，AB AC =，DB DC =，则点A 与点D 关于BC 互为顶针点；若再满足180A D +=?∠∠，则点A 与点D 关于BC 互为勾股顶针点．
初步思考
(1)如图2，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠=?，D 、E 为ABC 外两点，
EB EC =，45EBC ∠=?，DBC △为等边三角形． ①点A 与点______关于BC 互为顶针点；
②点D 与点______关于BC 互为勾股顶针点，并说明理由． 实践操作
(2)在长方形ABCD 中，8AB =，10AD =．
①如图3，点E 在AB 边上，点F 在AD 边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E 、F ，使得点E 与点C 关于BF 互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹) 思维探究
②如图4，点E 是直线AB 上的动点，点P 是平面内一点，点E 与点C 关于BP 互为勾股顶针点，直线CP 与直线AD 交于点F ．在点E 运动过程中，线段BE 与线段AF 的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE 的长；若不相等，请说明理由．
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一、解答题
1．（1）四边形BECD 是菱形，理由见解析；（2）45? 【分析】
（1）先证明//AC DE ，得出四边形BECD 是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD BD =，得出四边形BECD 是菱形；
（2）先求出45ABC ∠=?，再根据菱形的性质求出90DBE ∠=?，即可证出结论． 【详解】
解：当点D 是AB 的中点时，四边形BECD 是菱形；理由如下： ∵DE BC ⊥，
90DFE ∴∠=?，
∵90ACB ∠=?，
ACB DFB ∴∠=∠， //AC DE ∴，
∵//MN AB ，即//CE AD ，
∴四边形ADEC 是平行四边形，
CE AD ∴=； D 为AB 中点， AD BD ∴=， BD CE ∴=， ∵//BD CE ，
∴四边形BECD 是平行四边形， ∵90ACB ∠=?，D 为AB 中点，
1
2
CD AB BD ∴==，
∴四边形BECD 是菱形；
（2）当45A ∠=?时，四边形BECD 是正方形；理由如下： ∵90ACB ∠=?，45A ∠=?， 45ABC ∴∠=?，
∵四边形BECD 是菱形，
1
2
ABC DBE ∴∠=∠，
90DBE ∴∠=?，
∴四边形BECD 是正方形． 故答案为：45?． 【点睛】
本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键．
2．（1）①见解析；②AG FB AE =+，证明见解析；（2；（3）241n - 【分析】
（1）①证明△ADE ≌△BAF （ASA ）可得结论．
②结论：AG=BF+AE ．如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，证明AE=BK ，AG=GK ，即可解决问题．
（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，求出ME 的最大值，NF 的最小值即可解决问题． （3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，求出CF ，BF 即可解决问题． 【详解】
（1）①证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，n=1，
∴AD=AB，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠B=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠ADE+∠DAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∴△ADE≌△BAF（ASA），
∴AE=BF；
②结论：AG=BF+AE．
理由：如图2中，过点A作AK⊥HD交BC于点K，
由（1）可知AE=BK，
∵AH=AD，AK⊥HD，
∴∠HAK=∠DAK，
∵AD∥BC，
∴∠DAK=∠AKG，
∴∠HAK=∠AKG，
∴AG=GK，
∵GK=GB+BK=BF+AE，
∴AG=BF+AE；
（2）如图3中，设AB=a，AD=na，
当ME 的值最大时，NF 的值最小时，
ME
NF
的值最大， 当ME 是矩形ABCD 的对角线时，ME 的值最大，最大值=()2
22na 1a n +=+?a ， 当NF ⊥AD 时，NF 的值最小，最小值=a ，
∴ME NF 的最大值=2
1a n +?=21n +， 故答案为：21n +；
（3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，
∵AD ∥BH ， ∴∠ADE=∠H ，
∵AE=EB=k ，∠AED=∠BEH ， ∴△AED ≌△BEH （ASA ）， ∴AD=BH=2kn ， ∴CH=4kn ，
∵∠ADE=∠EDF ，∠ADE=∠H ， ∴∠H=∠EDF ， ∴FD=FH ，设DF=FH=x ， 在Rt △DCF 中，∵CD 2+CF 2=DF 2， ∴(2k)2+(4kn-x)2=x 2，
∴2142n x k n
+=?，
∴221441422n n CF kn k k n n +-=-?=?，241222n k
BF kn k n n
-=-?=
， ∴
22412412n k
CF n n k BF
n
-?==-， 故答案为：241n -． 【点睛】
本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 3．（1）矩形；（2）菱形；（3
）4）见解析 【分析】
（1）由平移推出AD EE '=，即可证得四边形AEE D '是平行四边形，再根据
AE BC ⊥，得到90AEE '∠=?即可得到结论；
（2）由平移推出AD FF '=，证得四边形AFF D '是平行四边形，根据AE EF ⊥得到90AEE '∠=?，再根据勾股定理求出AF=5=AD ，即可证得四边形AFF D '是菱形；
（3
）先利用勾股定理求出DF ==，再根据菱形的面积求
出F A '；
（4）在BC 边上取点E ，连接AE ，平移△ABE 得到△DCF ，可得四边形AEFD 是平行四边形. 【详解】
(1)四边形AEE D '是矩形，
在ABCD □中，//AD BC ，AD BC =， 由平移可知：BE CE ''=， ∴BC EE '=， ∴AD EE '=，
∴四边形AEE D '是平行四边形， ∵AE BC ⊥， ∴90AEE '∠=?， ∴四边形AEE D '是矩形； (2)四边形AFF D '是菱形，
在矩形AEE D '中，//AD EE ' ，AD EE '=， 由平移可知：EF E F =''， ∴EE FF ''=， ∴AD FF '=，
∴四边形AFF D '是平行四边形， ∵AE EF ⊥， ∴90AEE '∠=?， 在Rt AEF
，5AF =
==，
∴AF AD =，
∴四边形AFF D '是菱形； (3)连接F A ',
在Rt DFE '△中，22221310DF E F E D ''=
+=+=，
15ABCD AFF D S S '==平行四边形菱形，
∴·30F A FD '=， ∴310F A '=；
(4)在BC 上取一点E ，连接AE ，平移△ABE 得到△DCF ，可得四边形AEFD 是平行四边形.
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的判定及性质，平移的性质的应用，勾股定理.
4．（1）①见解析；②GFC 是等腰三角形，证明见解析；（2）4+25或4﹣25． 【分析】
（1）①只要证明△DAH ≌△DCH ，即可解决问题； ②只要证明∠CFG=∠FCG ，即可解决问题；
（2）分两种情形解决问题：①当点F 在线段CD 上时，连接DE ．②当点F 在线段DC 的延长线上时，连接DE ．分别求出EC 即可解决问题． 【详解】
（1）①证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ADB ＝∠CDB ＝45°，DA ＝DC ， 在△DAH 和△DCH 中，
DA DC ADH CDH DH DH =??
∠=∠??=?
， ∴△DAH ≌△DCH ， ∴∠DAH ＝∠DCH ； ∵∠ECG=∠DAH ， ∴∠ECG=∠DCH ，
∵∠ECG+∠FCG=∠FCE=90°， ∴∠DCH+∠FCG=90°， ∴CH ⊥CG.
②∵在Rt △ADF 中，∠DFA+∠DAF ＝90°， 由①得∠DCH+∠FCG=90°，∠DAH ＝∠DCH ； ∴∠DFA ＝∠FCG ， 又∵∠DFA ＝∠CFG ， ∴∠CFG ＝∠FCG ， ∴GF ＝GC ，
∴△GFC 是等腰三角形
（2）BE 的长为 4+2
5或425- ． ①如图①当点F 在线段CD 上时，连接DE ．
∵∠GFC ＝∠GCF ，
又∵在Rt △FCG 中，∠GEC+∠GFC ＝90°，∠GCF+∠GCE ＝90°， ∴∠GCE ＝∠GEC ， ∴EG ＝GC ＝FG ， ∴G 是EF 的中点， ∴GM 是△DEF 的中位线 ∴DE ＝2MG ＝6，
在Rt △DCE 中，CE 22DE DC -2264-5 ∴BE ＝BC+CE ＝4+25
②当点F 在线段DC 的延长线上时，连接DE ．
同法可知GM是△DEC的中位线，
∴DE＝2GM＝5，
在Rt△DCE中，CE22
DE DC
-22
64
-5
∴BE＝BC﹣CE＝4﹣5
综上所述，BE的长为4+54﹣25
【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（1）见解析；（2）222
MN BN DM
=+，理由见解析；（3）32
【分析】
（1）由直角三角形的性质得AO=MO=1
2
BE=BO=EO，得∠ABO=∠BAO，∠OBM=∠OMB，
证出∠AOM=∠AOE+∠MOE=2∠ABO+2∠MBO=2∠ABD=90°即可；
（2）在AD上方作AF⊥AN，使AF=AN，连接DF、MF，证△ABN≌△ADF（SAS），得BN=DF，∠DAF=∠ABN=45°，则∠FDM=90°，证△NAM≌△FAM（SAS），得MN=MF，在Rt△FDM中，由勾股定理得FM2=DM2+FD2，进而得出结论；
（3）作P关于直线CQ的对称点E，连接PE、BE、CE、QE，则△PCQ≌△ECQ，
∠ECQ=∠PCQ=135°，EQ=PQ=9，得∠PCE=90°，则∠BCE=∠DCP，△PCE是等腰直角三角
形，得2
PE，证△BCE≌△DCP（SAS），得∠CBE=∠CDB=∠CBD=45°，则
∠EBQ=∠PBE=90°，由勾股定理求出BE=42PE=6，即可得出PC的长．【详解】
解：（1）证明：四边形ABCD是正方形，
90
ABC BAD
∴∠=∠=?，45
ABD ADB
∠=∠=?，
ME BD
⊥，
90
BME
∴∠=?，
O是BE的中点，
1
2
AO MO BE BO EO
∴====，
ABO BAO
∴∠=∠，OBM OMB
∠=∠，
22290
AOM AOE MOE ABO MBO ABD
∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=?；
（2）222
MN BN DM
=+，理由如下：
在AD上方作AF AN
⊥，使AF AN
=，连接DF、MF，如图2所示：
则90
NAF
∠=?，
四边形ABCD是正方形，
AB AD
∴=，90
BAD NAF
∠=∠=?，
BAN DAF
∴∠=∠，
45
NAM
∠=?，
45
FAM NAM
∴∠=?=∠，
在ABN
?和ADF
?中，
AB AD
BAN DAF
AN AF
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
()
ABN ADF SAS
∴???，
BN DF
∴=，45
DAF ABN
∠=∠=?，
90
FDM ADB ADF
∴∠=∠+∠=?，
45
NAM
∠=?，
45
FAM NAM
∴∠=?=∠，
在NAM
?和FAM
?中，
AN AF
NAM FAM
AM AM
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
()
NAM FAM SAS
∴???，
MN MF
∴=，
在Rt FDM
?中，222
FM DM FD
=+，
即222
MN BN DM
=+；
（3）作P关于直线CQ的对称点E，连接PE、BE、CE、QE，如图3所示：则PCQ ECQ
???，135
ECQ PCQ
∠=∠=?，9
EQ PQ
==，
36090
PCE PCQ ECQ
∴∠=?-∠-∠=?，BCE DCP
∴∠=∠，PCE
?是等腰直角三角形，
2
CE CP PE
∴==，
在BCE
?和DCP
?中，
BC DC
BCE DCP
CE CP
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
()
BCE DCP SAS
∴???，
45
CBE CDB CBD
∴∠=∠=∠=?，
90
EBQ
∴∠=?，
90
PBE
∴∠=?，
2
PB=，9
PQ=，
7
BQ PQ PB
∴=-=，
2222
9742
BE EQ BQ
∴=-=-=，
2222
2(42)6
PE PB BE
∴=+=+=，
2
32
PC PE
∴==；
故答案为：32．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理、轴对称的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
6．（1）①详见解析；②45°-α；③2
DF BF CF
=+，详见解析；（2）
2
DF BF CF
=，或2
BF DF CF
=，或2
BF DF CF
+=
【分析】
（1）①由题意补全图形即可；
②由正方形的性质得出1
452
DBE ABC ∠=
∠=，由三角形的外角性质得出45BEF DBE BDF α∠=∠+∠=+，由直角三角形的性质得出
9045EBF BEF α∠=-∠=-即可；
③在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，证明△CDM ≌△CBF ，得出CM=CF ， ∠DCM=∠BCF ，得出MF=2CF 即可得出结论；
（2）分三种情况：①当点E 在线段BC 上时，DF=BF+2CF ，理由同(1)③； ②当点E 在线段BC 的延长线上时，BF=DF+2CF ，在BF_上截取BM=DF ，连接CM ．同(1)③得△CBM ≌△CDF 得出CM=CF ，∠BCM=∠DCF ，证明△CMF 是等腰直角三角形，得出MF=2CF ，即可得出结论；
③当点E 在线段CB 的延长线上时，BF+DF=2CF ，在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，同(1) ③得:ACDM ≌△CBF 得出CM=CF ，∠DCM=∠BCF ，证明△CMF 是等腰直角三角形，得出MF=2CF ，即可得出结论． 【详解】
解：（1）①如图，
②∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°，1
452
DBE ABC ∠=
∠=， ∴45BEF DBE BDF α∠=∠+∠=+， ∵BF ⊥DE, ∴∠BFE=90°，
∴9045EBF BEF α∠=-∠=-, 故答案为：45°-α；
③线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系是2DF BF CF =+． 证明如下：在DF 上截取DM =BF ，连接CM ．如图2所示， ∵ 正方形ABCD ，
∴ BC =CD ，∠BDC =∠DBC =45°，∠BCD =90° ∴∠CDM =∠CBF =45°-α， ∴△CDM ≌△CBF （SAS ）．
∴ DM =BF ， CM =CF ，∠DCM =∠BCF ． ∴ ∠MCF =∠BCF+∠MCE =∠DCM+∠MCE =∠BCD =90°， ∴ MF =2CF ．
∴2.DF DM MF BF CF =+=+
（2）分三种情况：①当点E 在线段BC 上时，DF=BF+2CF ，理由同(1)③； ②当点E 在线段BC 的延长线上时，BF=DF+2CF ，理由如下： 在BF 上截取BM=DF ，连接CM ，如图3所示， 同(1) ③，得：△CBM ≌△CDF (SAS)， ∴CM=CF ， ∠BCM=∠DCF ．
∴∠MCF=∠DCF+∠MCD=∠BCM+∠MCD= ∠ BCD=90°， ∴△CMF 是等腰直角三角形， ∴MF=2CF ，
∴BF=BM+MF=DF+2CF ；
③当点E 在线段CB 的延长线上时，BF+DF=2CF ；理由如下： 在DF 上截取DM=BF ，连接CM ，如图4所示， 同（1）③得：△CDM ≌△CBF ， ∴CM=CF ，∠DCM=∠BCF ，
∴∠MCF=∠DCF+ ∠MCD= ∠DCF+∠BCF=∠BCD=90°， ∴△CMF 是等腰直角三 角形， ∴MF=2CF , 即DM+DF=2CF ， ∴BF+DF=2CF ;
综上所述，当点E 在直线BC 上时，线段BF ，CF ，DF 之间的数导关系为：
2DF BF CF =+，或2BF DF CF =+，或2BF DF CF +=．
【点睛】
此题是四边形的一道综合题，考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，注意解题中分情况讨论避免漏解．
7．（1）15，8；（2）PE PF CG +=，见解析；（3）534）4 【分析】
解决问题（1）只需运用面积法：ABC ABP ACP S S S ???=+，即可解决问题； （2）解法同（1）；
（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，由等边三角形的性质得出
1
52
BM BC =
=，由勾股定理得出2253AM AB BM =-=ABC ?的面积1
2532
BC AM =?=ABC ?的面积BCP =?的面积ACP +?的面积APB +?的面积1111
()2532222
BC PE AC PF AB PG AB PE PF PG =
?+?+?=++=，即可得出答案； （4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，易证BE BF =，过点E 作EQ BF ⊥，垂足为
Q ，由解决问题（1）可得PG PH EQ +=，易证EQ DC =，BF DF =，只需求出BF
即可． 【详解】
解：（1）∵PE AB ⊥，10AB =，3PE =， ∴ABP ?的面积11
1031522
AB PE =
?=??=， ∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥，
且ABC ABP ACP S S S ???=+， ∴AB CG AB PE AC PF ?=?+?， ∵AB AC =，
∴358CG PE PF =+=+=. 故答案为：15，8.
（2）∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥， 且ABC ABP ACP S S S ???=+， ∴AB CG AB PE AC PF ?=?+?， ∵AB AC =， ∴CG PE PF =+.
（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，如图2所示：
∵10AB AC BC ===， ∴ABC ?是等边三角形， ∵AM BC ⊥， ∴1
52
BM BC ==， ∴222210553AM AB BM =
--=
∴ABC ?的面积11
105325322
BC AM =
?=??= ∵PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，
∴ABC ?的面积BCP =?的面积ACP +?的面积APB +?的面积
111222BC PE AC PF AB PG =
?+?+?1
()2
AB PE PF PG =++ 3=
∴2253
53PE PF PG ?++=
= （4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，如图3所示：
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD BC =，90C ADC ∠=∠=?， ∵8AD =，3CF =，
∴5BF BC CF AD CF =-=-=，
由折叠可得：5DF BF ==，BEF DEF ∠=∠， ∵90C ∠=?， ∴2222534DC DF FC =
-=-=，
∵EQ BC ⊥，90C ADC ∠=∠=?， ∴90EQC C ADC ∠=?=∠=∠， ∴四边形EQCD 是矩形， ∴4EQ DC ==， ∵//AD BC ， ∴DEF EFB ∠=∠， ∵BEF DEF ∠=∠， ∴BEF EFB ∠=∠， ∴BE BF =，
由解决问题（1）可得：PG PH EQ +=， ∴4PG PH +=，即PG PH +的值为4. 【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、等边三角形的性质、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．
8．（1）①45；②不变化；（2）成立；（3）详见解析. 【解析】 【分析】
（1）①②根据正方形的性质、线段的垂直平分线的性质即可判断； （2）画出图形即可判断，结论仍然成立；
（3）如图2-1中或2-2中，作作EF ⊥BC ，EG ⊥AB ，证
得
∠AEG=∠PEF.由∠ABC=∠EFB=∠EGB=90°知∠GEF=∠GEP+∠PEF=90°.继而得
∠AEP=∠AEG+∠GEP=∠PEF+∠GEP=90°.从而得出∠APE=∠EAP=45°.