工程数学练习题(满分版)
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工程数学练习题(满分版)
练习题(包满分)
原题包正确，变化题只能靠我们自己了
1． 设矩阵
121223130A ⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪--⎝⎭
，求A 的三角分解。
()1211001211002230100-21-210-1-300010-111011211000-21-210001/22-1/21A E ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
=−−
→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎡⎤
⎢⎥−−→⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
1211001021,210001/2212110021011/21U L L ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢
⎥-∴=-=-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
2．设矩阵
211121221A -⎛⎫
⎪=-- ⎪
⎪--⎝⎭
，求A 的三角分解。
()211
100211100311
121010010222221001010101A E -⎛⎫
-⎛⎫
⎪
⎪
⎪=--→- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭
21110031
1
010222
112
001333⎛
⎫
⎪
-
⎪
⎪
→- ⎪ ⎪ ⎪-
--⎝
⎭
211310221003U ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭,
1001
1022
1
13
L ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪=-
⎪ ⎪ ⎪--⎝
⎭
3、设矩阵
211121221A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪
⎪--⎝⎭
，求E A -的满秩分解。
⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-000000111222111111E A Θ
BC
E A C B =--=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=∴),1,1,1(,211
4．设矩阵
112122423363A -⎛⎫ ⎪=--- ⎪
⎪--⎝⎭
，求A 的满秩分解。
312132112111212242000033630000r r r r A -+--⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=---−−−→⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
[]12,1121,3B C A BC ⎡⎤
⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
5．设
1231231001002,1,0;1,1,1321111αααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
是3
R 中的
两组基，
（1）求由基1
2
3
,,ααα到基1
2
3
,,βββ的过度矩阵；
（2）设α在基1
2
3
,,ααα下的坐标向量是(1,2,1)T
-，求α在
基1
2
3
,,βββ下的坐标。
1
12223
33
23βαα
βααβαα⎧=-⎪⎪
=-⎨⎪
=-⎪⎩基变换公式：
100(,,)(,,)111123123
013βββααα⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪--⎝⎭
(,,)112233123(,,)112233123(,,)123
1,x x x x
y y y y Py
x Py y P x
αααααααββββββααα=++==++==-∴==Q
10011001(,)1112010401310011P x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=-→ ⎪ ⎪
⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭
1141y P x ⎛⎫
⎪
-∴== ⎪
⎪-⎝⎭
6．
设1
23410010000,,,00001001E
E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
123412111211,,,10111101A A A A ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
是
2
2⨯R 中的两
组基，
（1）求由基1
2
3
4
,,,E E E E 到基1
2
3
4
,,,A A A A 的过度矩阵；
（2）设A 在基1
2
3
4
,,,E E E E 下的坐标向量是(1,2,1,1)T
-，
求A 在基1
2
3
4
,,,A A A A 下的坐标。
21
123212342312344124
A E E E
A E E E E A E E E E A E E E =+-⎧⎪=-++⎪⎪⎨
=-+++⎪⎪
=--+⎪⎩Q
(,,,)(,,,)12341234
A A A A E E E E P =
1111212111100111P --⎛⎫
⎪--
⎪∴= ⎪- ⎪⎝⎭
,
1
986124371512481398714P ---⎛⎫
⎪- ⎪=
⎪-- ⎪---⎝⎭
1986113024372211512481713139871414y P x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪===
⎪⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
7. 在线性空间22
R ⨯中，对⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222112112221
1211,b b b b B a a
a a
A ，定
义
22
22212112121111),(b a b a b a b a B A +++=
为 A 与B 的内积，
证明1
231
00100,,0
01001A A A ⎛⎫⎫⎛⎫===
⎪⎪ ⎪⎝
⎭⎭⎝⎭
是22
R ⨯的一正交组，并求矩阵4
A 使得1
2
3
4
,,,A A A A 构成
22
R ⨯的一正交组。
1213230,0,0A A A A A A ===∴正交组