第十三章 曲线积分与曲面积分
定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.
第一节 对弧长的曲线积分
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质
在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为()x f y =，[]b a x ,∈，其上每一点的密度为()y x ,ρ．
如图13-1我们可以将物体分为n 段，分点为
n M M M ,...,,21, 每一小弧段的长度分别是12,,...,n s s s ???．取其中的一小段弧i i M M 1-来分
析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点
(),i i ξη的密度(),i i ρξη来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于
(),i i i s ρξη?．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即
()∑=?≈n
i i i i s y x M 1,ρ．
用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当0λ→时的极限，从而得到
1
lim (,).n
i i i i M s λρξη→∞
==?∑
即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.
上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义：
定义 设L 是xoy 面内的一条光滑曲线，函数()y x f ,在L 上有界，用L 上任意插入一点
图13-1
列n M M M ,...,,21将曲线分为n 个小段. 设第i 段的长度为i s ?(1,2,,i n =)，
又()i i ηξ,为第i 个小段上任意取定的一点，作乘积()i i i s f ?ηξ,，并作和
()i
i
i
n
i s f ?∑=ηξ,1
，若当各小段
的长度λ的最大值趋于零时，此和式的极限存在，称此极限为函数()y x f ,在曲线L 上对弧长的曲线积分, 也称为第一类曲线积分, 记作
()?L ds y x f ,, 即
1
(,)lim (,)n i i i L
i f x y ds f s λξη→==?∑?
,
其中()y x f ,叫做被积函数，L 称为积分弧段．当L 是光滑封闭曲线时，记为
()?L
ds y x f ,．
类似地，对于三元函数()z y x f ,,在空间的曲线L 上光滑，也可以定义()z y x f ,,在曲线L 上对弧长的曲线积分
()?L
ds z y x f ,,．
这样，本节一开始所要求的构件质量就可表示为
(,).L
M x y ds ρ=?
由对弧长的曲线积分的定义可以知道，第一类曲线积分具有下面的性质： 性质1（线性性）若,f g 在曲线L 上第一类曲线积分存在，,αβ是常数, 则
(,)(,)f x y g x y αβ+在曲线L 上第一类曲线积分也存在，且
()()()()(),,,,L
L
L
f x y
g x y ds f x y ds g x y ds αβαβ±=±???；
性质２（对路径的可加性）设曲线L 分成两段12,L L . 如果函数f 在L 上的第一类曲线积分存在，则函数分别在1L 和2L 上的第一类曲线积分也存在. 反之，如果函数f 在1L 和
2L 上的第一类曲线积分存在，则函数f 在L 上的第一类曲线积分也存在. 并且下面等
式成立
12
1
2
L L L L fds fds fds +=+?
??．(12L L +表示L )
对于三元函数也有类似的性质，这里不再一一列出．
二、 第一类曲线积分的计算
定理 设有光滑曲线
():,[,].()
x t L t y t ?αβψ=?∈?=? 即'()t ?,'()t ψ连续. 若函数(,)f x y 在L 上连续，则它在L 上的第一类曲线积分存在，且
()()()(,,L
f x y ds f t t β
α
?ψ=?
?
证明 如前面定义一样，对L 依次插入121,,...,n M M M -，并设0((),())M ?αψα=，
((),())n M ?βψβ=. 注意到01.n t t t αβ=<<
<= 记小弧段1i i M M -的长度为i s ?，那
么
,1,2,
.i
i t i t s i n -?==?
1,(').i i t i i i i t s t t τ--?=<
所以, 当('')i i x ?τ=,('')i i y ψτ=时,
i
i i 1
1
(,)((''),(t ,n n
i
i
i
i i f x y s f ?τ
ψτ==?=∑∑
这里i 1i i i t ',''t .ττ-≤≤ 设
n
i i i 1
f ((''),(i t σ?τψτ==?∑
则有
n n
i
i
i
i
i i i 1
i 1
f (x ,y )s f ((''),(t .?τ
ψτσ==?=+∑∑
令12n t max{t ,t ,,t },?=??? 要证明的是t 0
lim 0.σ?→=
因为复合函数f ((t),(t))?ψ关于t 连续，所以在闭区间[,]αβ上有界，即存在M ，对一切t [,]αβ∈有
|f ((t),(t))|M.?ψ≤
在[,]αβ上连续，所以它在[,]αβ上一致连续. 即当任给0ε>，必
存在0δ>，当t δ?<时有
|.ε≤
从而
1
||().n
i i M t M σεεβα=≤?=-∑
所以
lim 0.t σ?→=
再从定积分定义得
n
22i i i i i 0
i 1
lim f ((''),(''))'('')'('')t t ?τψτ?τψτ?→=+?∑
22((),())'()'().f t t t t dt β
α
?ψ?ψ=+?
所以当
n n
22i
i
i
i
i i i i i 1
i 1
f (x ,y )s f ((''),(''))'('')'('')t ?τ
ψτ?τψτσ==?=+?+∑∑两边取极限后，即
得所要证的结果.
特别地，如果平面上的光滑曲线的方程为
(),,y y x a x b =≤≤
则
()()()()()2
,,1'b L
a
f x y ds f x y x y x dx =+?
?．
例 计算曲线积分?
L
ds y ，
其中L 是抛物线2
x y =上的点()0,0A 与点()1,1B 之间的一段弧．（如图）
图13-2
解：积分曲线由方程
[]1,0,2∈=x x y
给出，所以
()()
?
?
+=1
2
22'1dx x x ds y L
1
20
14x dx =
+?
()1
241121??????+=x =
()
155121-.
例 计算积分
()
2
2n
L
x
y
ds +?，其中L 为圆周:sin ,x a t =cos ,y a t =02t π≤≤.
解：由于L 为圆周：π20,cos ,sin ≤≤==t t a y t a x ，所以
()
()()
(
)
22
22
20
sin cos n
n
L
x
y
ds a t a t π
+=
+??
?==
π
π20
222n
n a dt a ． 对于三元函数的对弧长的曲线积分，可以类似地计算．例如：若曲线L 由参数方程
()()()t z z t y y t x x ===,,，βα≤≤t 确定，则有()()()dt t z t y t x ds 222'''++=，从而
()()()()()
()()()dt t z t y t x t z t y t x f ds z y x f L
??++=β
α222''',,,,．
例13.３ 计算曲线积分
()
?Γ
++ds z y x
222
，其中Γ是螺旋线cos ,x a t = sin ,y a t =
z kt =上相应于t 从0到π2的一段弧．
解：由上面的结论有
()
()
()()
()
()()dt k t a t a kt t a t a ds z y x
?
?++-++=++Γ
π
20
2222
2
2
2
22
cos sin sin cos
()(
)
2
222220
222
22
433
2
k a k a dt
k a t k a
πππ
++=++=?
例 计算
2L
x ds ?
, 其中L 为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周.
解：由对称性可知
222,L
L
L
x ds y ds z ds ==?
??
所以
22
222
3
12().33
3L L L a x ds x y z ds ds a π=++==???
习题
1. 计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I （设线密度
1μ=）.
2. 计算曲线积分
222()x y z ds Γ
++?
，其中Γ为螺旋线cos x a t =，sin y a t =，z kt
=上相应于t 从0到2π的一段弧.
3. 计算
,x C
ye dS -?
其中C 为曲线2ln(1),23x t y arctgt t =+=-+由0t =到1t =间
的一段弧.
4. 求L xydS ?，其中L 是椭圆周22
221x y a b
+=位于第一象限中的那部分。
5.
计算?
，其中L 为曲线222.x y y +=-
6. 求
L
xdS ?，其中L 为双曲线1xy =从点1
(,2)2
到点(1,1)的一段弧。 7. 计算()L
x y ds +?其中L 为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段.
8. 计算
22
x y L
e
ds +?
其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第一象限内所扇
形的整个边界. 9. 计算
2,x yzds Γ
?
其中Γ为折线,ABCD 这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、
(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)。
10. 计算
22()L
x y ds +?
，其中L 为曲线(cos sin )x a t t t =+, (sin cos )y a t t t =-
(02)t π≤≤.
11. 设L 为双纽线2
22
2
2
2
()()x y a x y +=-, 计算积分||L
I y ds =
?.
12. 设L 为椭圆
22
143
x y +=, 其周长为a , 求22(234)L xy x y ds ++?. 参考答案
1．3
(sin cos )R α
αα- 2.
2222
4)3
a k π+ 3.
2
13ln 21624
ππ-+ 4.22()3()
ab a ab b a b +++
5. 0
4
sin 4sin 8d d π
π
θθθθ-
-=-=?
?
6. 21111[ln 2
241t t t -=++