正弦函数的图象和性质以及三角函数的周期性
【学习目标】
1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.
2.借助图象理解正弦函数的性质. 【要点梳理】
要点一：正弦函数图象的画法 1．描点法：
按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法。 2．几何法
利用三角函数线作出正弦函数在]2,0[π内的图象，再通过平移得到x y sin =的图象。 3．五点法
先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线在一个周期内的图象。
在确定正弦函数x y sin =在]2,0[π上的图象形状时，起关键作用的五个点是
)0,2(),1,2
3
(),0,(),1,2(),0,0(ππππ-
要点诠释：
（1）熟记正弦函数图象起关键作用的五点。
（2）若x R ∈，可先作出正弦函数在]2,0[π上的图象，然后通过左、右平移可得到x y sin =的图象。 要点二：正弦曲线
（1）定义：正弦函数sin ()y x x R =∈的图象叫做正弦曲线。 （2）图象
要点诠释：
（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质。
（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如[]0,2x π∈，方程lg sin x x =根的个数。 要点三：函数图象的变换
图象变换就是以正弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到。
sin sin()sin()y x y x y A x ?ω?=→=+→=+
要点四：周期函数
函数)(x f y =，定义域为I ，当I x ∈时，都有)()(x f T x f =+，其中T 是一个非零的常数，则)(x f y =是周期函数，T 是它的一个周期.
要点诠释：
1.定义是对I 中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足
)()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期.
2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.
要点五：正弦函数性质
函数 正弦函数y ＝sinx
定义域 R 值域 [-1，1] 奇偶性 奇函数 周期性
最小正周期2π
要点诠释：
（1）正弦函数的值域为[]1,1-，是指整个正弦函数或一个周期内的正弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是[]1,1-，因而求正弦函数的值域时，要特别注意其定义域．
（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求sin()y x =-的单调递增区间时，
应先将sin()y x =-变换为sin y x =-再求解，相当于求sin y x =的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．
要点六：正弦型函数sin()y A x ω?=+的性质．
函数sin()y A x ω?=+与函数cos()y A x ω?=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到： （1）定义域：R （2）值域：[],A A -
（3）单调区间：求形如sin()y A x ω?=+的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ω?+视为一个“整体”
，分别与正弦函数sin y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调
递增（减）区间．比如：由)(2
22
2Z k k x k ∈+
≤+≤-
π
π?ωπ
π解出x 的范围所得区间即为增区间，由
)(2
322
2Z k k x k ∈+
≤+≤+
π
π?ωπ
π解出x 的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ω?=+不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ω?=+，当
()k k z ?π=∈时为奇函数，当()2
k k z π
?π=±
∈时为偶函数．
要点诠释：
判断函数sin()y A x ω?=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．
（5）周期：函数sin()y A x ω?=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T π
ω
=．
（6）对称轴和对称中心
与正弦函数sin y x =比较可知，当()2
x k k z π
ω?π+=±
∈时，
函数sin()y A x ω?=+取得最大值（或最小值），因此函数sin()y A x ω?=+的对称轴由()2
x k k z π
ω?π+=±
∈解出，其对称中心的横坐标
()x k k z ω?π+=∈，即对称中心为,0()k k z π?ω-??
∈
???
．
【典型例题】
类型一：“五点法”作正弦函数的图象
例1．用五点法作出函数2sin y x =-，[0,2]x π∈的图象. 【思路点拨】（1）取[0,2]π上五个关键的点（0，2）、（2
π
，1）、(,2)π、3(,3)2π、
（2π，2）。（2）取11,66ππ??
-
????
上五个关键的点。 【解析】 （1）找出五点，列表如下：
描点作图（如下图）。
【总结升华】 在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的。
举一反三：
【变式1】用“五点法”作出函数的简图：y=－sin x （0≤x ≤2π）； 【解析】（1）列表：
x 0 2
π
π
32
π 2π
sin x 0 1 0 －1 0 －sin x
－1
1
描点作图，如图（1）：
类型二：正弦函数定义域与值域
例2．求函数lg(2sin 1)y x =-的定义域 【答案】522,66x k x k k Z π
πππ??
+
<<+∈???
?
【解析】依题意得2sin x －1＞0，即1sin 2x >，∴5
2266
k x k ππππ+<<+（k ∈Z ）， ∴函数的定义域为522,66x k x k k Z π
πππ?
?
+
<<+∈???
?
． 【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．
例3．求下列函数的值域： （1）y=3―2sin x （2）2sin 23y x π??
=+
??
?
，,66x ππ??
∈-
????
； 【答案】（1）[1，5]（2）[0，2]
【解析】 （1）∵－1≤sin x ≤1，∴－2≤2sin x ≤2，∴－2≤－2sin x ≤2，∴1≤3－2sin x ≤5，∴函数的值域为[1，5]．
（2）∵6
6
x π
π
-
≤≤
，∴2023
3
x π
π
≤+
≤
． ∴0sin 213x π??
≤+
≤ ??
?．∴02sin 223x π?
?≤+≤ ??
?， ∴0≤y ≤2．∴函数的值域为[0，2]．
【总结升华】一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质．
举一反三：
【变式】 求y=cos 2x+4sin x ―2的值域． 【解析】y=cos 2x+4sin x ―2
=―sin 2x+4sin x ―1 =―(sin x ―2)2+3． ∵－1≤sin x ≤1，
∴当sin x=―1时，y min =―6；当sin x=1时，y max =2． ∴函数的值域为[－6，2]． 类型三：正弦函数单调性 例4．求2sin 4y x π??
=-
???
的单调区间．
【思路点拨】要将原函数化为2sin 4y x π??
=--
??
?
再求之. 【解析】∵2sin 2sin 44y x x ππ???
?=-=--
? ????
?，
∴函数2sin 4y x π??=- ???的递增区间就是函数2sin 4y x π?
?=- ??
?的递减区间．
∴3
22242k x k ππ
πππ+
≤-
≤+（k ∈Z ）
， 得37
2244
k x k ππππ+≤≤+（k ∈Z ）．
∴函数2sin 4y x π??=-
???的递增区间为372,244k k ππππ?
?++????
（k ∈Z ）． 【总结升华】函数)0,0)(sin(>>+=ω?ωA x A y 的单调区间的确定，基本思想是把?ω+x 看作一个整体．
举一反三：
【变式】求函数sin 23y x π??
=-
???
的递减区间． 【解析】已知函数sin 2sin 233y x x ππ???
?=-=--
? ????
?．欲求该函数的单调递减区间，只需求
sin 23y x π?
?=- ??
?的单调递增区间．
由2222
3
2k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
（k ∈Z ），解得512
12
k x k π
π
ππ-
≤≤+
（k ∈Z ）． 所以原函数的单调递减区间为5,12
12k k π
πππ?
?
-+
???
?
（k ∈Z ）． 类型四：正弦函数的奇偶性 例5．判断下列函数的奇偶性：
（1）5
())2f x x π=+；
（2）()f x =
；
【思路点拨】（1）先利用诱导公式化简为()f x x =
，再按步骤去判断．（2）先求函数的定义域，
然后判断．
【解析】（1）函数定义域为R ，且5()22222f x x x x ππ???
?=
+=+= ? ????
?，显然有
()()f x f x -=恒成立．
∴函数5()22f x x π?
?=
+ ??
?为偶函数．
（2）由2sin x －1＞0，即1sin 2x >
，得函数定义域为52,266k k ππππ?
?++ ??
?（k ∈Z ），此定义域在x 轴
上表示的区间不关于原点对称．
∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．
【总结升华】判断函数奇偶数时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间．如果是，再验证
()f x -是否等于()f x -或()f x ，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．
举一反三：
【变式】关于x 的函数)(x f =sin(x+?)有以下命题： ①对任意的?，)(x f 都是非奇非偶函数； ②不存在?，使)(x f 既是奇函数，又是偶函数； ③存在?，使)(x f 是奇函数； ④对任意的?，)(x f 都不是偶函数.
其中一个假命题的序号是_____.因为当?=_____时，该命题的结论不成立. 【思路点拨】
当?=2k π，k ∈Z 时，)(x f =sinx 是奇函数. 当?=2(k+1)π，k ∈Z 时x x f sin )(-=仍是奇函数. 当?=2k π+
2π
，k ∈Z 时，)(x f =cosx ，
当?=2k π-
2
π，k ∈Z 时，)(x f =-cosx ，)(x f 都是偶函数.
所以②和③都是正确的.无论?为何值都不能使)(x f 恒等于零.所以)(x f 不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题.
【解析】①，k π(k ∈Z )；或者①，
2
π+k π(k ∈Z )；或者④，
2
π+k π(k ∈Z )
类型五：正弦函数的对称性 例6．求函数sin 26y x π??
=+
??
?
的对称轴方程． 【解析】 令26
t x π
=+
，则3sin 23sin 6y x t π??
=+
= ??
?的对称轴方程是2
t k π
π=+（k ∈Z ）
，即26
2
x k π
π
π+
=+
（k ∈Z ），解得26
k x ππ
=
+（k ∈Z ）
． ∴函数sin 26y x π??
=+
??
?
的对称轴方程是26
k x ππ
=
+（k ∈Z ）
． 【总结升华】（1）正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值．
（2）正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定分别过正弦曲线、余弦曲线与x 轴的交点，即此时的正弦值、余弦值都为0．
举一反三：
【高清课堂：正弦函数、余弦函数的性质394836 例1】 【变式】指出下列函数的对称轴与对称中心 （1）sin()4y x =+
π
；
（2）cos(2)3
y x =-π
. 【解析】（1）令4
t x π
=+
，则3sin 3sin 4y x t π?
?
=+
= ??
?的对称轴方程是2
t k π
π=+（k ∈Z ）
，即4
2
x k π
π
π+
=+
（k ∈Z ），解得4
x k π
π=+
（k ∈Z ）．
∴函数sin 4y x π?
?
=+
??
?
的对称轴方程是4
x k π
π=+
（k ∈Z ）．
同理，对称中心的横坐标为4
x k π
π+
=，4
x k π
π∴=-
，即对称中心为,04k π
π?
?-
??
?
．
（2）令23
t x π
=-
，则3sin 23sin 3y x t π??
=-
= ??
?的对称轴方程是t k π=（k ∈Z ）
，即23
x k π
π-=（k ∈Z ），解得26k x ππ
=
+（k ∈Z ）
． ∴函数sin 23y x π??
=-
??
?
的对称轴方程是26
k x ππ
=
+（k ∈Z ）
． 同理，对称中心的横坐标为23
2
x k π
π
π-
=+
，5212k x ππ∴=
+
，即对称中心为5,0212k ππ??
+ ???
（k ∈Z ）．
类型六：正弦函数的周期 例7．求下列函数的周期： （1）sin 3y x π?
?
=+
??
?
；
（2）3sin 23x y π??
=+ ???
； 【解析】（1）令3
z x π
=+
，而sin(2)sin z z π+=，即(2)()f z f z π+=．
(2)33f x f x πππ???
?++=+ ??????
?．∴T=2π．
（2）令23
x z π
=
+，则4()3sin 3sin(2)3sin 23sin (4)2323x x f x z z f x ππππππ+????
==+=++=+=+ ? ????
?，
∴T=4π 举一反三：
【高清课堂：正弦函数、余弦函数的性质394836 例2】
【变式】判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期. （1）|sin |y x =； （2）sin ||y x =； （3）sin(2)3
y x =-
π
.
【答案】（1）是 T π= （2）不是 （3）22
T π
π=
=
类型七：利用函数图象解简单的三角不等式
例8．画出正弦函数sin y x =（x ∈R ）的简图，并根据图象写出： （1）1
2
y ≥
时x 的集合； （2）1322
y -
≤≤时x 的集合。 【思路点拨】用“五点法”作出y=sin x 的简图。 【解析】
（1）过10,2?? ???点作x 轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间与正弦曲线交于1,62π??
???、51,62π?? ??
?两点，在[0，2π]区间内，12y ≥
时x 的集合为56
6x x π
π??≤≤????。当x ∈R 时，若12y ≥，则x 的集合为
522,66x k x k k Z ππππ??
+≤≤+∈?
???
。 （2）过10,2?
?- ???、3? ??
两点分别作x 轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间，它们分别与正弦曲线交于71,62π??- ???，111,62π??
- ???点和3,32π?? ? ???，23,32π?? ? ???
点，那么当132y -≤≤时，x 的集合为
2722,22,6336x k x k k Z x
k x k k Z ππππππππ????
-+≤≤+∈+≤≤+∈????????
或 2711722,22,3663x k x k k Z x k x k k Z ππππππππ????+≤≤+∈+≤≤+∈????????
。 【总结升华】利用三角函数的图象或三角函数线，都可解简单的不等式，但需注意解的完整性，此外数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的数学式子转化为形象直观的图象，平时解题时要灵活运用。
举一反三：
【变式】已知3,22x ππ??
∈-
????
，解不等式3sin 2x ≥-。
【解析】画出函数y=sin x ，3,22x ππ??
∈-
????
的图象，画出函数32y =-的图象，如下图，两函数的
图象交于A 、B 两点，其中3,32A π??-- ? ???，43,32B π??
- ? ???，故满足3sin 2x ≥-的x 的取值范围是4,33ππ??-????
。
类型八：三角函数图象的综合应用
例9．（1）方程lg sin x x =的解的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （2）若02
x π
<<
，则2x 与3sin x 的大小关系为（ ）
A ．23sin x x >
B ．23sin x x <
C ．23sin x x =
D ．与x 的取值有关
【思路点拨】（1）作出lg ,sin y x y x ==的函数图象，观察图象交点个数。（2）作出2y x =与3sin y x =的函数图象，利用数形结合可得。
【答案】（1）D （2）D
【解析】（1） 作出lg y x =与sin y x =的图象，当52x π=时，5lg 12y π=<，5
sin 12
y π==，当92x π=
时，9
lg 12
y π=>，lg y x =与sin y x =再无交点。如下图所示，由图知有三个交点，∴方程有三个解。
（2）作图（如下图），观察函数12y x =，23sin y x =在0,2π??
???
内的图象可知2x 与3sin x 的大小关系与x 的取值有关。
举一反三：
高清课堂：正、余弦函数的图象 394835 例3 【变式1】下列各式中正确的为( )
A.54
sin >sin 77ππ
B.sin ()>sin()56-
-
π
π
C.15cos >cos ()87
-π
π
D.39
cos()>cos()54
--ππ
【答案】D
例10．已知函数12
()log |sin |f x x =．
（1）求其定义域和值域； （2）判断奇偶性；
（3）判断周期性，若是周期函数，求周期； （4）写出单调区间．
【思路点拨】在（3）中，可画出图象求周期，除了用周期函数的定义求周期外，作图也是一种基本的方法．在（4）中，可以将12
()log |sin |f x x =看成是由12
log y u =，u=|t|，t=sin x 复合而成．
【解析】 （1）由|sin |0x >，得sin 0x ≠，∴x ≠k π，k ∈Z ．
∴函数的定义域为{x|x ≠k π，k ∈Z}．
∵0|sin |1x <≤，∴12
log |sin |0x ≥，
∴函数的值域为{y|y ≥0}．
（2）∵112
2
()log |sin()|log |sin |()f x x x f x -=-==，
∴函数()f x 是偶函数．
（3）∵112
2
()log |sin()|log |sin |()f x x x f x ππ+=+==，
∴函数()f x 是周期函数，且周期是π．（可结合图象验证） （4）设t=|sin x|， 当,2x k k πππ?
?
∈+
??
?
时，sin x ＞0，t=|sin x|为增函数；
当,2x k k π
ππ?
?
∈-
???
?
时，sin x ＜0，t=|sin x|为减函数． 又∵函数12
log y t =为减函数，
∴函数()f x 的单调增区间为,2k k π
ππ?
?-
???
?，k ∈Z ；单调减区间为,2k k πππ?
?+ ??
?，k ∈Z ．
三角函数的性质及其编稿：李霞审稿：孙永钊 【考纲要求】 1、了解函数sin()yAx????的物理意义；能画出sin()yAx????的图象，了解参数 A，?，?对函数图象变化的影响. 2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 【知识络】 【考点梳理】 考点一、函数sin()yAx????(0A?,0??)的图象的作法 1.五点作图法： 作sin()yAx????的简图时，常常用五点法，五点的取法是设tx????，由t取0、 2?、?、32?、2?来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。 2．图象变换法： （1）振幅变换:把sinyx?的图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0
变换和相位 sin()yAx???? sin 图象的作法三角函的质其 图象的性 变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量有区别. 考点二、sin()yAx????的解析式 1.sin()yAx????的解析式 sin()yAx????(0A?, 0??)，[0,)x???表示一个振动量时，A叫做振幅，2T??? 叫做周期，12fT????叫做频率，x???叫做相位，0x?时的相位?称为初相. 2.根据图象求sin()yAx????的解析式 求法为待定系数法，突破口是找准五点法中的第一零点(,0)???. 求解步骤是先由图象求出A与T，再由2T???算出?，然后将第一零点代入0x????求出?. 要点诠释：若图象未标明第一零点，就只能找特殊点用待定系数法计算. 考点三、函数 sin()yAx????(0A?,0??)的性质 1. 定义域: xR?,值域:y∈[-A,A]. 2．周期性: 2T??? 3. 奇偶性:2k?????时为偶函数；k???时为奇函数，kZ?. 4．单调性:单调增区间 :[????????????22,22kk] , kZ? 单调减区间:[????????????232,22kk] , kZ? 5. 对称性:对称中心(????k,0)，kZ?；对称轴
三角函数的图像与性质 1．三角函数中的值域及最值问题 a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π 2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 22 C.22 D ．0 答案：B 解析：∵x ∈????0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π 4，∴函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ????－π4＝－22， f ????π2＝sin ????3π4＝2 2， f (0) 必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质 例1 用五点法做出下列函数的图像 11(1)2sin ,[0,2];(2)cos(),[,]666 y x x y x x ππππ=-∈=+∈- 例2 求下列函数的定义域和值域 (1)lgsin ;(2)y x y == 练：求函数sin ()log (12cos )x f x x =+的定义域。 例3 已知函数()y f x =的定义域是1 [0,]4 ，求下列函数的定义域 221(1)(cos );(2)(sin )2 f x f x - 例4 求下列函数的最大值与最小值 22(1)2sin();(2)2cos 5sin 4;42(3)3cos 4cos 1,[,]33 y x y x x y x x π ππ=--=+-=-+∈ 例5 设1 sin sin 3x y +=，求2sin cos M x y =-的最小值和最大值 例6 求下列函数的值域 2cos 2sin cos (1);(2)2cos 11sin x x x y y x x ==++ 例7已知a 是实数，则函数f （x ）=1+asinax 的图象不可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 例8 求下列函数的周期。 (1)|sin ||cos |;(2)cos |2|(3)cos()6y x x y x y x π =+==-- 例9 判断函数7())2f x x π =+的奇偶性 例10 判断函数()lg(sin f x x =+的奇偶性 例11求函数1sin 2 x y π-=的单调区间 提升训练题 1.下列四个函数的图像中关于y 轴对称的是（ ） .sin ;.cos ;.1sin ;.cos()2 A y x B y x C y x D y x π ==-=-=- 2.函数sin 2x y =的单调增区间是（ ） 3.[2,2]();.[2,2]()2222 .[2,2]();.[2,2]()A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z π πππππππππππππ- +∈++∈-∈+∈ 3．下列函数中是奇函数的是（ ） .|sin |;.sin(||);.sin ||;.sin ||A y x B y x C y x D y x x =-=-== 4.sin()3y x π =-的单调减区间是（ ） 55.[,]();[2,2]()666677.[,]();.[2,2]();6666A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z ππππππππππππππππ-+ ∈-+∈--∈--∈ 5.函数2cos 3cos 2y x =-+的最小值为______________________ 6．函数|sin |2x y =的最小正周期____________________ 7.cos1,cos2,cos3的大小关系____________________ 8．函数3cos 1cos 2 x y x += +的值域是____________________ ★高中三角函数部分总结 1.任意角的三角函数定义： 设α为任意一个角，点),(y x P 是该角终边上的任意一点（异于原点），),(y x P 到原点的距离为22y x r += ，则： )(tan ),(cos ),(sin y x x y x r x y r y ?=== 正负看正负看正负看ααα 2.特殊角三角函数值： sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=（√6-√2）/4 sin75°=（√6+√2）/4 cos15°=（√6+√2）/4 cos75°=（√6-√2）/4（这四个可根据sin （45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出） sin18°=(√5-1)/4 (这个值 3.同角三角函数公式： αααααααααα αtan 1 cot ,sin 1csc ,cos 1sec 1cos sin ,cos sin tan 22= ===+= 4.三角函数诱导公式： （1）)(;tan )2tan(,cos )2cos( ,sin )2sin(Z k k k k ∈=+=+=+απααπααπα （2）;tan )tan(,cos )cos( ,sin )sin(απααπααπα=+-=+-=+ （3）;tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(αααααα-=-=--=- （函数名称不变，符号看象限） 三角函数知识点 1.特殊角的三角函数值： （1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα == ） 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβ αβαβαβααα αα αβα αβααβα αα αα =±=???→=-↓=-=-±±= ?-↓= - （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、 两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-， 2()()αβαβα=+--，22 αβαβ++=?，()( ) 222αββ ααβ+=---等）， (2)三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2 α α-=与升幂公 式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。如 (； (3)常值变换主要指“1”的变换（221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=? tan sin 42 ππ=== 等），. 。 （4）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ω?=+和 ()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2||T π ω=。如 （5）单调性：()sin 2,222y x k k k Z ππππ? ?=-+∈??? ?在上单调递增，在 ()32,222k k k Z ππππ??++∈??? ?单调递减；cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ (6)、形如sin()y A x ω?=+的函数： 1几个物理量：A ―振幅；1 f T =―频率（周期的倒数）； x ω?+― 相位；?―初相； 2函数sin()y A x ω?=+表达式的确定：A 由周 期确定；?由图象上的特殊点确()sin()(0,0f x A x A ω?ω=+>>，||)2 π?<()f x ＝_____（答：15()2sin()23 f x x π =+）； 3函数sin()y A x ω?=+图象的画法：①“五点法”――设X x ω?=+，令X ＝0，3,,,222 ππ ππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。 4函数sin()y A x k ω?=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（?>0）或向右（?<0）平移||?个单位得()sin y x ?=+的图象；②函数()si n y x ?=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 ω ，得到函数 ()sin y x ω?=+的图象；③函数()sin y x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ω?=+的图象；④函数sin()y A x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ω?=++的图象。要特别注意，若由 ()sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图象，则向左或向右平移应平移| |? ω 个单位，如 （1）函数2sin(2)14 y x π =--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？ 第2章第3节 三角函数的图像和性质（1） 主备人： 审核人： . 班级 姓名 . 【教学目标】 ① 了解三角函数的周期性. ② 能画出y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]， 正切函数在? ?? ??－π2，π2上的性质. ③ 了解三角函数 y ＝Asin (ωx＋φ)的实际意义及其参数A 、ω、φ对函数图象变化的影响. 【重点难点】 1.重点：能画出y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0， 2π]，正切函数在? ?? ??－π2，π2上的性质. 2.难点：y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 性质的熟练运用。 【教学过程】 一. 基础自测： 1. 函数13sin()24y x π=+ 的最小正周期为______________； 2．函数21sin -= x y 的定义域为 . 3．函数)4cos(2π +=x y 的单调减区间为 . 三.典型例题 例1．求下列函数的定义域： （1）tan 4y x π??=- ??? ； （2）y = 例2．求下列函数的值域 （1）2()sin 2,[ ,]63f x x x ππ=∈； （2）2()64sin cos f x x x =--； （3）2sin 1sin 2x y x += -； （4）sin cos 2sin cos 2,y x x x x x R =+++∈ 例3．已知函数sin(2)3y x π =+，求（1）周期； （2）当x 分别为何值时函数取得最大值，最小值；（3）单调增区间，单调减区间；（4）对称轴、对称中心. 例4．设函数的最小正周期为． （Ⅰ）求的值．（Ⅱ）若函数的图像是由的图像向右平移 个单位长度得到，求的单调增区间． 22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>23 πω()y g x =()y f x =2 π()y g x = 《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 已知三角函数值求角 【学习目标】 1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤； 2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合 【要点梳理】 要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义 （1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ?? -???? 上有唯一的x 值 和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ?? -???? 上正弦等于y 的那个角． （2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =． （3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ??∈- ???，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ?? - ??? 内， 有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22 x y x ππ =∈-． 要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步： 第一步，决定角可能是第几象限角. 第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x . 第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果. 【典型例题】 类型一：已知正弦值、余弦值，求角 例1．已知sin 2 x =- ，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】 （1）由sin 2 x =- 知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 42π=，所 以第三象限的那个角是544π ππ+ = ，第四象限的角是7244 ππ π-=． 第三节三角函数的图象与性质[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象， 了解三角函数的周期性． 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的 性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴 的交点等)，理解正切函数在区间???? － π 2， π 2内 的单调性. 1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的 单调性、周期性及对称性．如2012年新课标 全国T9等． 2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的 值域或最值问题．如2012年湖南T6等． 3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中．如 2012年北京T15等. [归纳·知识整合] 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域R R? ? ? x??x≠ π 2＋kπ，k ∈Z} 值域[－1,1][－1,1]R 单调性 递增区间： ? ? ? ? 2kπ－ π 2，2kπ＋ π 2(k∈Z) 递减区间： ? ? ? ? 2kπ＋ π 2，2kπ＋ 3 2 π(k∈Z) 递增区间：[2kπ－π，2kπ] (k∈Z) 递减区间：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z) 递增区间： ? ? ? ? kπ－ π 2，kπ＋ π 2(k∈ Z) [探究] 1.正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数吗？ 提示：不是．正切函数y ＝tan x 在每一个区间????k π－π2，k π＋π 2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数． 2．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y ＝A cos(ωx ＋φ)呢？ 提示：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π 2(k ∈Z )时是偶函 数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π 2 (k ∈Z )时是奇函数． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)设函数f (x )＝sin ????2x －π 2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π 2的奇函数 D ．最小正周期为π 2 的偶函数 解析：选B ∵f (x )＝sin(2x －π 2)＝－cos 2x ， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 2．(教材习题改编)函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 正弦函数的图像和性质（一） 【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高； 2.认真限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。 【重点难点】重点：正弦函数的图像 难点：图像的画法 一、学习目标 1.了解正弦曲线的画法，能用五点法画出正弦函数的图像； 2.能通过函数图像对函数的性质做简单分析； 3.通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同角度观察、研究问题的思维习惯。 二、问题导学 1、函数的图像的画法： 描点法 步骤：列表→描点→连线 补全上述表格，并根据表格中数据在直角坐标系中画出的图像。 几何法 阅读教材25—26页内容，试借助于单位圆，利用正弦函数的定义画出的图像。 五点法 观察的图像，发现有五个点起着关键的作用，它们是图像与轴的交点和图像的最高点及最低点： ______,________,_________,________,__________. 因此，在精度要求不高的情况下，我们通常在直角坐标系中描出这起关键作用的五个点，然后用光滑的曲线连接，做出图像的简图。 请同学们用五点法画出的图像。 2、 因为正弦函数是以为周期的周期函数，所以函数在区间上的图像与在区间上的图像形状完全一样，只是位置不同，因此我们只需将函数的图像向左、向右平行移动（每次移动个单位）就可以得到的图像，正弦函数的图像叫做___________ 请同学们在几何法做出的图像的基础上，画出正弦曲线。 3、 合作探究 例1、用五点法画出下列函数在区间上的简图。 （1） （2） 例2、在上，利用的图像求满足下列不等式的的取值范围。 （1） （2） 1 定义编辑数学术语 正弦函数是三角函数的一种. 定义与定理 定义：对于任意一个实数x 都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数) ，而这个角又对应 着唯一确定的正弦值Sin X ,这样，对于任意一个实数X都有唯一确定的值Sin X与它对应， 按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin X ,叫做正弦函数。 正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/Sin A=b/Sin B=c/Sin C 在直角三角形ABC中，/ C=90 ，y为一条直角边，r为斜边，X为另一条直角边(在坐标 系中，以此为底)，贝U Sin A=y∕r,r= √( x^2+y^2) 2 性质 编辑图像 图像是波形图像(由单位圆投影到坐标系得出) ，叫做正弦曲线(Sine curve) 正弦函数X∈& 定义域 实数集R 值域 [-1，1] (正弦函数有界性的体现) 最值和零点 ①最大值：当X=2k ∏+ ( ∏/2) , k ∈Z 时，y(max)=1 ②最小值：当X=2k ∏+ (3∏/2), k∈Z 时，y(min)=-1 零值点：( kπ ,0) ，k∈Z 对称性 既是轴对称图形,又是中心对称图形。 1) 对称轴：关于直线X= ( π /2) +kπ , k∈Z 对称 2) 中心对称：关于点(k ∏ , 0), k∈Z对称 周期性最小正周期：y=SinX T=2 π 奇偶性 奇函数（其图象关于原点对称） 单调性 在[-∏∕2+2k ∏ , ∏∕2+2k ∏], k∈Z 上是单调递增. 在[∏∕2+2k ∏ , 3∏∕2+2k ∏], k ∈Z 上是单调递减. 3 正弦型函数及其性质 编辑 正弦型函数解析式：y=Asin （ω x+ φ ）+h x y 等分圆 平移三角函数线作正弦函数的图像 三角函数线 圆 O O 正弦函数的图像和性质（一） 【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高； 2.认真限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。 【重点难点】重点：正弦函数的图像 难点：x y sin =图像的画法 一、学习目标 1.了解正弦曲线的画法，能用五点法画出正弦函数x y sin =的图像； 2.能通过函数图像对函数的性质做简单分析； 3.通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同 角度观察、研究问题的思维习惯。 二、问题导学 1、函数] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像的画法： 补全上述表格，并根据表格中数据在直角坐标系中画出] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 ②几何法阅读教材25—26页内容，试借助于单位圆，利用正弦函数的定义画出 ] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 ③五点法 观察] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像，发现有五个点起着关键的作用，它们是图像与x轴的 交点和图像的最高点及最低点：______,________,_________,________,__________. 因此，在精度要求不高的情况下，我们通常在直角坐标系中描出这起关键作用的五个点，然 后用光滑的曲线连接，做出图像的简图。 请同学们用五点法画出] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 2、因为正弦函数是以π2为周期的周期函数，所以函数x y sin =在区间 )0 ] )1 2, 2[≠ ∈ +k Z k k k且 （ （π π上的图像与在区间] 2,0[π上的图像形状完全一样，只是位置 不同，因此我们只需将函数] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像向左、向右平行移动（每次移动π2 个单位）就可以得到R sin∈ =x x y，的图像，正弦函数的图像叫做___________ 请同学们在几何法做出的图像的基础上，画出正弦曲线。 三、合作探究 例1、用五点法画出下列函数在区间] 2,0[π上的简图。 （1）x y sin 3 =（2）x y sin -1 = 第一章 三角函数 §1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数 的图象． 1．正弦曲线、余弦曲线 2．“五点法”画图 画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是_________________________； 画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________． 3．正、余弦曲线的联系 依据诱导公式cos x ＝sin ????x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象， 只需把y ＝sin x 的图象向________平移π 2个单位长度即可． 知识点归纳： 1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础． 2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一． 一、选择题 1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y ＝x D ．直线x ＝π 2 2．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移π 2 个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析 式为( ) A ．－sin x B ．sin x C ．－cos x D ．cos x 3．函数y ＝－sin x ，x ∈[－π2，3π 2 ]的简图是( ) 4．在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是( ) A.????π4，3π4 B.????π4，π2∪????5π4，3π2 C.????π4，π2 D.??? ?5π4，7π4 5．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( ) A ．4 B ．8 C ．2π D ．4π 6．方程sin x ＝lg x 的解的个数是( ) 7．函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向右平移π 2个单位后所得图象对应的函数解析式是__________． 8．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是________________． 9．方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________． 10．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________． 三、解答题 11．利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)； (2)y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)． 一、选择题 1．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－5 4，－1] C ．[－5 4，1] D ．[－1，5 4 ] [答案] C [解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sin x ＝t 换元转化为t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sin x ∈[－1,1]，y ＝t 2 ＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－5 4 ≤y ≤1，选C. 2．(2011·山东理，6)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π 3]上单调递增， 在区间[π3，π 2 ]上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C.32 D.2 3 [答案] C [解析] 本题主要考查正弦型函数y ＝sin ωx 的单调性 依题意y ＝sin ωx 的周期T ＝4×π3＝43π，又T ＝2π ω， ∴2πω＝43π，∴ω＝32 . 故选C(亦利用y ＝sin x 的单调区间来求解) 3．(文)函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] C [解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性． f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，最小正周期T ＝2π 2＝π， 且f (x )是奇函数． (理)对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π 2)上是递增的 B ．f (x )的图像关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2 [答案] B [解析] 本题考查三角函数的性质．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f (－x )＝sin(－2x )＝－2sin x ，为奇函数，其图像关 于原点对称，B 正确；函数的递增区间为???? ??k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A. 4．函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π 8对称，则a 的值为 ( ) 6、1正弦函数与余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 (1)函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ,若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值,按照某个对应法则f ,y 都有唯一确定的实数值与它对应,则y 就就是x 的函数,记作 ()x f y =,D x ∈。 (2)三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点(,)P x y ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α的终边(当α在第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于T 、 规定:当OM 与x 轴同向时为正值,当OM 与x 轴反向时为负值; 当MP 与y 轴同向时为正值,当MP 与y 轴反向时为负值; 当AT 与y 轴同向时为正值,当AT 与y 轴反向时为负值; 根据上面规定,则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有: sin 1 y y y MP r α====; cos 1 x x x OM r α= ===; tan y MP AT AT x OM OA α= ===; 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比,就以正弦(或余弦)为例,对于每一个给定的 角与它的正弦值(或余弦值)之间就是否也存在一种函数关系？若存在,请对这种函数关系下一个定义;若不存在,请说明理由. 1、正弦函数、余弦函数的定义 (1)正弦函数:R x x y ∈=,sin ; (2)余弦函数:R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 (1)[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法 步骤1:等分、作正弦线——将单位圆等分,作三角函数线(正弦线)得三角函数值; 步骤2:描点——平移定点,即描点()x x sin ,; 步骤3:连线——用光滑的曲线顺次连结各个点 小结:几何描点法作图精确,但过程比较繁。 【方案2】——五点法 步骤1:列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标; 同角三角函数基本关系 【学习目标】 1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式: αα α ααtan cos sin ,1cos sin 2 2==+，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法； 2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。 【要点梳理】 要点一：同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：2 2sin cos 1αα+= (2)商数关系： sin tan cos α αα = (3)倒数关系：tan cot 1?=αα，sin csc 1αα?=，cos sec 1αα?= 要点诠释： (1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立； (2)2 sin α是2 (sin )α的简写； (3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”的选取。 要点二：同角三角函数基本关系式的变形 1．平方关系式的变形： 2222sin 1cos cos 1sin αααα=-=-，，212sin cos (sin cos )αααα±?=± 2．商数关系式的变形 sin sin cos tan cos tan α ααααα =?= ，。 【典型例题】 类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 例1．已知tan α=－2，求sin α，cos α的值。 【思路点拨】先利用sin "tan 2"cos α αα = =-,求出sin α=－2cos α，然后结合sin 2α+cos 2α=1，求出sin α，cos α。 【解析】 解法一：∵tan α=－2，∴sin α=－2cos α。 ① 又sin 2α+cos 2α=1， ② 由①②消去sin α得(－2cos α)2+cos 2α=1，即2 1cos 5 α= 。 当α为第二象限角时，5 cos α=，代入①得25sin α=。 三角函数的图象与性质 、知识网络 基弃变换 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx , y = tanx ; 偶函数：y= cosx. （2） -'’ 一 -‘：型三角函数的奇偶性 (i)g (x)=* (x€ R) g (x )为偶函数 ' 二二—「二： O卫址1(徴 + ? =/win(-徴+@)(x亡卫)U sin ocrcos(p= 0(x白应) cos (p二 0 o(p= jt/r-hy e 7) 由此得 同理，旨（对二話乞山（伽+洌0€丘）为奇函数O 寻炉=七兀3€2）. （ii）u'■■ ' '''「：；：：「' ■?■. 八为偶函数' ..为奇函数 O 三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． 角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
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