第二章 代数式
第3课时 整 式
(70分)
一、选择题(每题5分，共35分)
1．[2019·泰州]若2a －3b ＝－1，则代数式4a 2
－6ab ＋3b 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2
D ．3
2．[2019·毕节]如果3ab 2m －1
与9ab
m ＋1
是同类项，那么m 等于( )
A ．2
B ．1
C ．－1
D ．0
3．[2018·乐山]已知实数a ，b 满足a ＋b ＝2，ab ＝3
4，则a －b 等于( )
A ．1
B ．－52
C ．±1
D ．±52
4．[2019·河北]小明总结以下结论：①a ()b ＋c ＝ab ＋ac ；②a ()b －c ＝ab －ac ；③
()b －c ÷a ＝b ÷a －c ÷a ()a ≠0；④a ÷()b ＋c ＝a ÷b ＋a ÷c ()b ≠0，c ≠0，b ＋c ≠0.其
中一定成立的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．[2019·宜昌]化简(x －3)2
－x (x －6)的结果为( ) A ．6x －9 B ．－12x ＋9 C ．9
D ．3x ＋9
6．[2018·河北]用一根长为a (单位：cm)的铁丝，首尾相接围成一个正方形．要将它按如图所示的方式向外等距扩1(单位：cm)，得到新的正方形，则这根铁丝需增加( )
A ．4 cm
B ．8 cm
C ．(a ＋4)cm
D ．(a ＋8)cm
7．[2019·重庆A 卷]按如图所示的运算程序，能使输出y 值为1的是( )
A ．m ＝1，n ＝1
B ．m ＝1，n ＝0
C ．m ＝1，n ＝2
D ．m ＝2，n ＝1
二、填空题(每题5分，共20分)
8．[2019·南充]原价为a 元的书包，现按8折出售，则售价为________元． 9．[2019·潍坊]若2x
＝3,2y
＝5，则2
x ＋y
＝________.
10．[2019·枣庄]若m －1m ＝3，则m 2
＋1m
2＝________.
11．[2019·广东]如图①所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，如果小明按图②所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形(图①)拼出来的图形的总长度是____________(结果用含a ，b 代数式表示)．
①
②
三、解答题(共15分)
12．(7分)[2019·河北]如图①，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
则观察图②，回答下列问题：
(1)用含x 的式子表示m ＝____________； (2)当y ＝－2时，n 的值为____________．
13．(8分)(1)[2019·重庆B 卷]计算：(1)(a ＋b )2
＋a (a －2b )；
(2)[2019·凉山]先化简，再求值：(a ＋3)2
－(a ＋1)(a －1)－2(2a ＋4)，其中a ＝－12.
(18分)
14．(6分)[2018·宁波]在矩形ABCD 内将两张边长分别为a 和b (a >b )的正方形纸片按图①②两种方式放置(图①②中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．设图①中阴影部分的面积为S 1，图②中阴影部分的面积为S 2，当
AD －AB ＝2时，S 2－S 1的值为( )
A ．2a
B ．2b
C ．2a －2b
D ．－2b
15．(6分)已知一列数a ＋2b,3a ＋4b,5a ＋8b,7a ＋16b,9a ＋32b ，……按照这个规律写下去，第9个数是________________．
16．(6分)[2019·宁波]先化简，再求值： (x －2)(x ＋2)－x (x －1)，其中x ＝3.
(12分)
17．(6分)[2019·云南]按一定规律排列的单项式：x 3
，－x 5
，x 7
，－x 9
，x 11
，…第n 个单项式是( )
A ．(－1)n －1x 2n －1
B ．(－1)n x 2n －1
C ．(－1)
n －1x
2n ＋1
D ．(－1)n x
2n ＋1
18．(6分)[2019·永州]我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图①是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上数之和；图②是二项和的乘方(a ＋b )n
的展开式(按b 的升幂排列)．经观察：图②中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图①中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将(s ＋x )15
的展开式按x 的升幂排列得：(s ＋x )15
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋
a 15x 15.
依上述规律，解决下列问题：
(1)若s＝1，则a2＝________；
(2)若s＝2，则a0＋a1＋a2＋…＋a15＝____________.
参考答案（完整答案和解析见
PPT课件之课时作业）1．B 2.A 3.C 4.C 5.C 6.B 7.D
8.4
5
a9.15 10.11 11.a＋8b
12．(1)3x(2)1
13．(1)2a2＋b2(2)2a＋2,1
14．B 15.17a＋512b16.x－4，－1 17.C 18．(1)105 (2)315
整式的乘法（3） （一）教学目标 知识与技能目标： 理解多项式乘法的法则，并会进行多项式乘法的运算. 过程与方法目标： 经历探索多项式乘法的法则的过程. 情感态度与价值观： 通过探索多项式乘法法则，让学生感受数学与生活的联系，同时感受整体思想、转化思想，并培养学生的抽象思维能力. 教学重点：多项式与多项式相乘法则及应用. 教学难点： ● 多项式乘法法则的推导. ● 多项式乘法法则的灵活运用. （二）教学程序 教学过程 师生活动 设计意图 一、 问题情境导入新课 为了扩大街心花园的绿地面积,把一块原长为m 米,宽为a 米的长方形绿地,增长了n 米,加宽了b 米.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积? 问题情境导入新课有助于激发学生的学习兴 趣. 二、 新知讲解 扩大后绿地的面积可以表示为(m+n)(a+b)或(ma+mb+na+nb),它们表示同一块地的面积，故有：(m+n)(a+b)= ma+mb+na+nb 通过图示方法向学生 a m b n
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式 的每一项，再把所得的积相加. . 也可以这样考虑: 当X=m+n时, (a+b)X=? 由单项式乘以多项式知(a+b)X=aX+bX 于是，当X=m+n时，(a+b)X=(a+b)(m+n) =a(m+n)+b(m+n) 即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn =am+an+bm+bn 为学生提供不同的思维方式，以使学生更好的掌握此内容. 例题讲解： 例题1：计算： (1)(x+2y)(5a+3b)；(2)(2x-3)(x+4)； (3)(x+y)2；(4)(x+y)(x2-xy+y2)解：(1)(x+2y)(5a+3b) ＝x·5a+x·3b+2y·5a+2y·3b ＝5ax+3bx+10ay+6by； (2)(2x-3)(x+4) =2x2+8x-3x-12 =2x2+5x-12 (3)(x+y)2 =(x+y)(x+y) =x2+xy+xy+y2 =x2+2xy+y2； (4)(x+y)(x2-xy+y2) =x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3 =x3+y3 例题2:计算以下各题：多项式乘以多项式的具体应用,通过教师演示向学生提供严格的书写过程培养学生严谨的思维训练.
整式的乘法（1） （一）教学目标 知识与技能目标： 掌握单项式与单项式相乘的法则. 过程与方法目标： 理解单项式的乘法运算的算理，体会乘法的交换律、结合律的作用，发展有条理的思考及语言表达能力. 情感态度与价值观： 通过学生板算、讨论、争论等方法培养学生归纳、概括能力，以及运算能力. 教学重点：单项式与单项式相乘的法则. 教学难点：对单项式的乘法运算的算理的理解. 教学用具： （二）教学程序 教学过程 师生活动 设计意图 一、 复习导入 1．下列单项式各是几次单项式？它们的系数各是什么？ 7x, -2a2bc, -t2, 103ab , 7 4 ut3, -10xy3z2. 2．下列代数式中，哪些是单项式？哪些不是？ -2x3, ab, 1+y, 5 4 ab3, -y, 6x2-x+5, 3．利用乘法的交换律、结合律计算6×4×13×25． 4．前面学习了哪三种幂的运算性质？内容是什么？ 5．计算： (2)x2.x3.x3, (2)-x.(-x)2 ,(3) (a2)3 , (4)(-2x3y)2 复习回顾式导入新课有助于让学生回顾所学知识,为本节课的学习做好铺垫. 二、 新知讲解 探究1: (1)2x2y.3xy2; (2)4a 2x 5 ·(-3a 3bx),这是什么运算？如何进行运算? 让学生召开讨论研究所提的问题.引出课题并板书 方法提示: 利用乘法交换律、结合律以及前面所学的幂的运算性质，来
计算这两个单项式乘以单项式问题. (1)2x 2y·3xy 2 =(2×3)(x 2·x)(y·y 2) (利用乘法交换律、结合律将系数与系数， = 6x 3y 3； 相同字母分别结合，有理数的乘法、同 底数幂的乘法) (2)4a 2x 5 ·(-3a 3bx) =[4×(-3)](a 2· a 3)· b·(x 5· x) (字母b 只在一个单项式中出现， = -12a 5bx 6． 这个字母及其指数不变) 总结出单项式的乘法法则： 单项式相乘，把它的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 教师进一步分析单项式乘以单项式的法则 (1)①系数相乘—有理数的乘法，先确定符号，再计算绝对值； ②相同字母相乘—同底数幂的乘法，底数不变，指数相加； ③只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，不能丢掉这个因式． (2)不论几个单项式相乘，都可以用这个法则. (3)单项式相乘的结果仍是单项式 教师对单项式乘以 单项式的法则的阐述,有助于学生更深层的理解此法则. 例题讲解： 例题1 :计算 (1)(-5a 2b 3)(-3a)； (2)(2x)3(-5x 2y)； (3) 32x3y2.(-2 3 xy2)2； (4)(-3ab).(-ac).6ab(c 2)3 参考答案: 解：(1)(-5a 2b 3)(-3a)=[(-5)(- 3)](a 2·a)·b 3 = 15a 3b 3； (2)(2x)3(-5x 2y)= 8x 3·(-5x 2y)=[8×(-5)](x 3 ·x 2)·y= - 40x 5y ； (3) 32x3y2.(-23xy2)2=32x3y2.4 9x2y 4 通过例题让学生学会运用所学知识解决问题,特别是要注意总结单项式乘以单项式运算中会出现的问题以便今后能有所注意.
2.2 整式的加减 课题：2.2 整式的加减—去括号课时第3课时 教学设计 课标 要求 掌握去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算 教 材及学情分析 教材在介绍合并同类项之后，开始研究去括号的内容。去括号时本小节的主要内容，也是本章的难点。它是整式加减的基础，也是今后学习整式乘法、分式运算及解方程的基础，通过本小节的学习，应使学生掌握去括号时符号的变化规律，为学习整式的加减运算做好准备。教学中可以引导学生与数的运算进行比较，让学生通过类比归纳总结出去括号时符号的变化规律。 课 时教学目标1、理解去括号法则 2、会利用去括号法则将整式化简 3、经历类比带有括号的有理数的运算，发现去括号时的符号变化的规律，归纳出去括号法则，培养学生观察、分析、归纳能力。 重点去括号法则，准确应用法则将整式化简 难点去括号法则的理解，括号前面是负号时，去括号后项符号的变化提炼课 题 探究去括号的方法及应用 教法学 法 指导 合作探究、讲练结合 教具 准备 ppt课件 教学过程提要
教学过程观察式子，发现规 律 归纳括号去掉以后 的变化，并总结 完成练习，巩固知 识 一、探究新知 1、观察、对比练习： ⑴13+（7-5）= 13-(7-5)= ⑵13 +7-5= 13-7+5= ⑶9a+(6a-a)= 9a-(6a-a)= ⑷9a+6a-a= 9a-6a+a= 归纳：1、以上练习中的括号怎么了？ 2、去括号后，括号内的符号和数字有何变 化？ 总结规律： 括号前是“+”号,去掉“+和（)”后,原 括号内各项不变号; 括号前是“-”号,去掉“-和（)”后,原括 号内各项都变号; 去括号法则依据：乘法分配律 2、巩固练习 ①+(a-b)= ； ②-(a-b)= ； ③(a-b)-(-c+d)= ； ④-(a-b)+(-c-d)= . 通过观察计算的 式子，发现规律， 总结规律，应用 规律，为后面去 括号法则的得出 做铺垫。 归纳知识，形成 完整的知识体系 强化提升
第 19卷第 2期宁波大学学报(理工版 V ol.19 No.2 2006年 6月 JOURNAL OF NINGBO UNIVERSITY ( NSEE June 2006 文章编号 :1001-5132(2006 02-0193-03 三次正多项式 p -不可约的充要条件 解烈军 (宁波大学理学院 , 浙江宁波 315211 摘要:通过对所有可能正分解的详细讨论,给出了三次正多项式 p -不可约的显式充要条件, 该条件为由三次正多项式的系数构成的一个简单不等式 . 本文使用的主要工具是笛卡尔符号法则的推论和多项式完全判别系统相关结论等 . 关键字:正多项式; p -不可约;充要条件 中图分类号:O151.1 文献标识码:A 在许多生理过程中都包含所谓的“蛋白质-配位体的键合(protein-ligand binding ”过程 . 在众多的用于描述和解释这个过程的数学模型中, Wyman J [1]引入了键合多项式(binding polyno- mial这个基本工具 . 在生物化学领域,这样的一个事实是熟知的:如果某个大分子的键合多项式是 p -不可约的, 则其所有键合位点组成“联动结构” (linkage , 即配位体在一个位点的键合会加速或抑制其他位点的键合过程 . 反之,如果对应的键合多项式有正分解,则其位点可以分解成若干独立的组,不同组的位点互不影响 . 这样,一个大分子的诸键合位点是否联动的问题就归结为其键合多项式是否有正分解,即是否为 p -不可约的问题, 而键合多项式都是正多项式 . 所以,由一个正多项式的系数直接给出其 p -不可约的充要条件,就显得非常重要 . 关于这个问题,已有不少学者进行了讨论 [1-3]. 但是研究的多项式都是四次正多项式 . 显然,不能将这些结论简单地移植到三次正多项式,相对于四次,讨论三次正多
整式的乘法（3） （一）教学目标 知识与技能目标： 理解多项式乘法的法则，并会进行多项式乘法的运算. 过程与方法目标： 经历探索多项式乘法的法则的过程. 情感态度与价值观： 通过探索多项式乘法法则，让学生感受数学与生活的联系，同时感受整体思想、 转化思想，并培养学生的抽象思维能力. 教学重点：多项式与多项式相乘法则及应用. 教学难点： ●多项式乘法法则的推导. ●多项式乘法法则的灵活运用. （二）教学程序 教学过程 师生活动设计意图一、问题情境导入新课 为了扩大街心花园的绿地面积,把一块原长为m米,宽为a米的长方形绿地,增长了n米,加宽了b米.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积?问题情境导入新课有助于激发学生的学习兴趣.
二、 新知讲解 扩大后绿地的面积可以表示为(m+n)(a+b)或(ma+mb+na+nb),它们表示同一块地的面积，故有：(m+n)(a+b)= ma+mb+na+nb 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 通过图示方法向学生展示多项式乘以多项式的过程. 也可以这样考虑: 当X =m +n 时, (a +b )X =? 由单项式乘以多项式知 (a +b )X =aX +bX 于是，当X =m +n 时，(a +b )X =(a +b )(m +n ) =a (m +n )+b (m +n ) 即 (a +b )(m +n )=am +an +bm +bn =am +an +bm +bn 为学生提供不同的思维方式，以使学生更好的掌握此内容. 例题讲解： 例题1：计算： (1)(x+2y)(5a+3b)； (2)(2x-3)(x+4)； (3)(x+y)2； (4)(x+y)(x 2-xy+y 2) 多项式乘以 a m b n
2.2 整式的加减 第三课时整式的加减 一、教学目标 知识与技能 1. 掌握整式加减的一般步骤，会熟练地进行整式的加减运算。 2. 会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及语言表达能力。过程与方法 经历用字母表示实际问题中的数量关系的过程，发展符号感，提高运算能力及综合运用知识进行分析、解决问题的能力． 情感、态度与价值观 培养学生积极探索的学习态度，发展学生有条理地思考及代数表达能力，体会整式加减的应用价值． 二、学情分析 三、教学重点、难点及关键 重点能够正确地进行整式的加减运算． 难点理解整式的加减实质，体会整式加减的必要性． 关键明确问题中的数量关系，熟练掌握去括号规律． 突破方法通过探索性练习，引导学生总结归纳整式加减运算的一般步骤，并应用其正确地进行整式的加减运算． 四、教法与学法导航 教学方法以旧引新，通过自己探究发现整式加减运算的一般步骤。 学习方法在自主探究学习的过程中，掌握整式加减运算的一般步骤． 五、教学准备 教师准备：多媒体课件、投影仪（用于展示问题，引导讨论，出示答案）． 学生准备：合并同类项、去括号的有关知识． 六、教学过程
（一）、导入新课 活动一：一种笔记本的单价是x（元），圆珠笔的单价是y（元），小红买这种笔记本3本，买圆珠笔2枝；小明买这种笔记本4个，买圆珠笔3枝，买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明共花费多少钱？ 教师操作多媒体，展示问题，启发、?引导学生用不同方法列式表示小红和小明共花费的钱．学生独立思考，然后与同伴交流． 思考点拨：方法一：小红买3本笔记本，花去3x元，2支圆珠笔花去2y元，?小红共花去（3x+2y）元；小明买4本笔记本，花去4x元，3枝圆珠笔花去3y元，小明共花去（?4x+3y）元，所以他们一共花去元．方法二，小红和小明买笔记本共花去（3x+4x）元，买圆珠笔共花去（2y+3y）元．买笔记本和圆珠笔共花去元．方法三，小红和小明共买了（3+4）本笔记本，（2+3）支圆珠笔，?因此他们共花费元． 对上面的式子进行化简得出小红和小明共花费的钱数，从而引出课题——整式的加减。（板书课题） （二）．整式的和差 活动二：问题1：求整式2a2+ab+3b2与a2-2ab+b2的差 学生活动：在练习本（或投影胶片）上用数学式子表示出来，然后用投影仪显示出部分胶片来，正确的师生给予掌声，不对的则由自己或他人找出错在何处，并及时改正．师做相应的板书： 学生活动：学生在练习本上接着计算（或在投影胶片上计算），一个学生接着老师板书继续完成以下过程．把不同层次学生的胶片显示在投影上，师生给予肯定或纠正．师提问题：在这几个整式相加时，为什么2a2+ab+3b2与a2-2ab+b2要加上括号（学生讨论后回答，师做必要的强调）. 问题2：l．说出下列单项式的和（口答） （1）-3x,-2x,-5x2,5x2；（2）-2n,3n2,-5n2． 2．写出下列第一个式子减去第二个式子的差 （1）3ab,-2ab；（2）-4x2,3x；（3）-5ax2,-4x2a． 学生活动：1题学生在练习本上完成后口答．2题直接观察回答（先答所列式子，再回答结果）． （三）．整式的加减 问题3：做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：厘米）．
4,对以下数据分别作二次,三次多项式拟合,并画出图形. x=1:16; y=[4, 6.4, 8, 8.4, 9.28, 9.5, 9.7, 9.86, 10, 10.2, 10.32, 10.42, 10.5, 10.55, 10.58, 10.6]; 答案： (填写程序语句) 二次多项式拟合 x=1:1:16; y=[4, 6.4, 8, 8.4, 9.28, 9.5, 9.7, 9.86, 10, 10.2, 10.32, 10.42, 10.5, 10.55, 10.58, 10.6]; a=polyfit(x,y,2) a = -0.0445 1.0711 4.3252 ezplot('-0.0445*x^2+1.0711*x+4.3252') 三次多项式拟合 x=1:1:16; y=[4, 6.4, 8, 8.4, 9.28, 9.5, 9.7, 9.86, 10, 10.2, 10.32, 10.42, 10.5, 10.55, 10.58, 10.6]; a=polyfit(x,y,3) a = 0.0060 -0.1963 2.1346 2.5952 ezplot('0.0060*x^3-0.1963*x^2+2.1346*x+2.5952') 1,求下面的优化问题: min -5x1+4x2+2x3 6x1-x2+x3<=8 x1+2x2+4x3<=10 3>=x1>=-1; 2>=x2>=0; x3>=0; 用lingo求解。 7.2.4 解方程 1、代数方程 格式：solve (f,t) 功能：对变量t 解方程f=0，t 缺省时默认为x 或最接近字母x 的符号变量。 例如：求解一元二次方程f=a*x^2+b*x+c的实根， >> syms a b c x >> f=a*x^2+b*x+c; >> solve (f,x) ans= [1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^ (1/2))] [1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^ (1/2))] 2、微分方程 格式：dsolve(‘s’, ’s1’, ’s2’,…, ’x’)
《整式的加减（第三课时）》教学设计 凯里市赏郎中学王恩智 整体设计 教学重点与难点 教学重点： 1.经历字母表示数的过程 2.会进行整式加减运算，并能说明其中的算理 教学难点：灵活地列出算式和去括号 教材分析 “整式的加减”是七年级上册第三章“整式的加减”的基础内容，也是本章的重点，贯穿于本章的始终，它起了一个承上启下的作用，是继之前所学的“合并同类项”与“去括号”的延续，更是整式混合运算的基础。学情分析 七年级的学生已经具备了初步的抽象、归纳、概括、分析问题和解决问题的能力，要培养他们敢于面对挑战和勇于克服困难的意志；鼓励他们大胆尝试，敢于发表自己的看法，以从中获得成功的体验，激发学习激情。在此前，学生已经学习了数的运算、用字母表示数、合并同类项、去括号等内容，具备了学习本节课所必需的基本运算技能。类比有理数的加减运算，会产生“整式是否也有相应的运算，如果有的话该怎样进行”等问题，此时学生有较强的好奇心和求知欲，对进一步系统化地学好本节课内容非常有利。 教学目标 1.通过探索整式加减运算的法则，进一步培养观察、归纳、类比、概括等能力，提高有条理的思考及语言表达能力。 2.会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理。 3.让学生在探索整式加减运算法则的活动中通过相互间的合作与交流，进一步挖掘学生合作交流的能力和数学表达能力。 4.在解决问题的过程中了解数学的价值，增强“用数学”的信心。
教学方法 活动——讨论法 教师利用游戏或根据情况创设情境，鼓励学生通过讨论发现数量关系，运用符号进行表示，再利用所学的合并同类项、去括号的法则验证自己的发现，从而理解整式加减运算的算理。 教 学 过 程 一、复习回顾 1.整式包括（ ）和 （ ） 2.单项式 的系数是（ ），次数是（ ） 3.多项式 是（ ）次（ ）项式，其中二次项系数是（ ），一次项是（ ），常数项是（ ） 二、创设情境，引入新课 【设计说明】： 利用教材提供的两个数字游戏，使学生通过用字母表示数量关系的过程，发展符号感，体会整式的加减运算的必要性，巩固以前学习的有关内容，同时在回答两个游戏中所提的问题时，发展学生的观察、归纳、概括等能力。其中第2题游戏步骤写成框图的形式，可以使学生体会程序、算法的思想。 活动1 按照下面的步骤做一做 4.下列各式中，是同类项的一组是（ ） 222x y 213yx 22m n 22mn 23 ab 5.去括号后合并同类项：（3a-b ） + （5a+2b ） - （7a+4b ） 223x y -32325m m m --+
分段多项式 在最简单的用法中，spline获取数据x和y以及期望值xi，寻找拟合x和y的三次样条内插多项式，然后，计算这些多项式，对每个xi的值，寻找相应的yi。例如： >>x=0 : 12; >>y=tan(pi*x/25); >>xi=linspace(0, 12); >>yi=spline(x, y, xi) >>plot(x, y, ‘ o ‘, xi, yi), title(‘ Spline fit ‘) （见图12.1样条拟合） 这种方法适合于只需要一组内插值的情况。不过，如果需要从相同数据集里获取另一组内插值，再次计算三次样条系数是没有意义的。在这种情况下，可以调用仅带前两个参量的spline： 图12.1 样条拟合 >>pp=spline(x, y) pp = Columns 1 through 7 10.0000 1.0000 12.0000 0 1.0000 2.0000 3.0000 Columns 8 through 14 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 9.0000 10.0000 Columns 15 through 21 11.0000 12.0000 4.0000 0.0007 0.0007 0.0010 0.0012
Columns 22 through 28 0.0024 0.0019 0.0116 -0.0083 0.1068 -0.1982 1.4948 Columns 29 through 35 1.4948 -0.0001 0.0020 0.0042 0.0072 0.0109 0.0181 Columns 36 through 42 0.0237 0.0586 0.0336 0.3542 -0.2406 4.2439 0.1257 Columns 43 through 49 0.1276 0.1339 0.1454 0.1635 0.1925 0.2344 0.3167 Columns 50 through 56 0.4089 0.7967 0.9102 4.9136 0 0.1263 0.2568 Columns 57 through 63 0.3959 0.5498 0.7265 0.9391 1.2088 1.5757 2.1251 Columns 64 through 65 3.0777 5.2422 当采用这种方式调用时，spline返回一个称之为三次样条的pp形式或分段多项式形式的数组。这个数组包含了对于任意一组所期望的内插值和计算三次样条所必须的全部信息。给定pp形式，函数ppval计算该三次样条。例如， >>yi=ppval(pp, xi); 计算先前计算过的同样的yi。 类似地， >>xi2=linspace(10, 12); >>yi2=ppval(pp, xi2); 运用pp形式，在限定的更细区间[10，12]内，再次计算该三次样条。 >>xi3=10 : 15 >>yi3=ppval(pp, xi3) yi3 = 3.0777 5.2422 15.8945 4 4.0038 98.5389 188.4689
课题：单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘第29号 主备人：韦武很复备人：韦秀金审核人： e习目标“ 1. 会进行单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘的运算 2. 经历探索单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算法则的过程，增强运算能力与合作交流能力? 3. 重点：运用单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算法则进行运算 【旧知回顾】幕的三个运算性质：同底数幕的乘法 __________________________________ ; 幕的乘方；积的乘方 问题探究一单项式与单项式相乘的运算法则 阅读教材“问题”至“例~~4”的内容，解决下面的问题. 1. 完成教材“思考”中的两个问题. 2. 你认为单项式与单项式相乘，系数怎么处理？ 3. 单项式与单项式相乘，相同字母的底数、指数怎么处理 【归纳总结】单项式与单项式相乘，把它们的 ______________ 分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个________________ . 【讨论】教材“例4”中第(2)小题的计算，用到了哪些运算法则？ 【预习自测】计算下列各题: (1)(-a 1 2)2?(-2a 3)；(2)3x 2y ? (-2xy 3). Q问题探究二单项式与多项式相乘的运算法则阅读教材“例5”前所有内容，解决下面的问题 1 方法一：扩大后的绿地的边长分别为____________ ，所以扩大后的绿地面积 为______ . 2 方法二：原绿地面积为_____，新增绿地的面积为________ .故扩大后的绿地面积 为_______ .
3. 因为方法一、方法二均求的是扩大后的 绿地面积 ，表示的是同一数量，故 p(a+b+c)= ______ . 【归纳总结】 1. 单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘 ________ ,再把所得的 _相加? 2. 单项式与多项式相乘,实质是 _______ 分配律的应用,单项式与多项式相乘,用单项式分别乘 多项式的各项,从而转化为 _________ 项式的乘法? 【预习自测】计算： 2 2 (1)-6x(2x-3y); (2)(-2a) ? (3a -2ab-4b ). __ 2 互动探究 3:化简求值:6a -5a(-a+2b-1)+4a(-3a- 源。? 【方法归纳交流】 计算过程中(-a+2b-1)中的-1可以省略吗？为什么？ ［变式训练］已知2x-3=0,求代数式x(x 2-x)+x 2(5-X )-9 的值. 互动探究 4:解方程：3x(7-2x)+5x(2x-1)=4x(x-3)+56. 互动探究5:已知9a n b 与-2a m+b 2n 的积与5a 4b 3是同类项，求m n 的值. 互动探究1:下列各题计算正确的是 1 2 x y)(-9xy+1)=3x 3 3 y+1 ( ) 2 A. (a-3b)(-6a)=-6a -18ab B.( 1 2 2 2 3 4 C.( a b) ? (-4ab )=4a b D.( 2 2 1 ab -2ab)( ab)= 1 2 — 2 2 a b +ab 2 3 2 3 【方法归纳交流】单项式与多项式相乘 ,结果是一个多项式 ,其项数与因式中多项式的项 数相同? 3 2 互动探究2:计算:(1)( ab) ?( -a 2b); (2)(-3ab) 2 2 ? (-a b). 7 3 ^"1 合作探究 ------ 千畝不请 5 3 —b-—),其中a=2,b=错误！未找到引用 2 4
三次多項式圖形的基本探討 張海潮教授／臺灣大學數學系(退休) 照現行高中課程的設計，到了高三才開始學多項式的微分；學了之後，要分析三次多項式（註一）的函數圖形當然不是問題。但是考量到高一上就要學多項式根的初步理論和勘根定理；此時，除了理解一次和二次多項式之外，如果同時也能理解三次多項式的圖形，對掌握根的性質和勘根定理一定更有幫助。本文因此嘗試以基本幾何和代數的方法來探討三次多項式的函數圖形，期望能夠提供高一教學現場有關多項式的學習資料（註二）。 給定多項式c bx ax x +++23，將x 以a x 3 1-代入，得到一個缺x 2項的多項式q px x ++3。這個代換，就函數圖形而言，只是作了一個向左或向右的平移，因此在往後的討論中，我們假設q px x x f ++=3)(，p >0，或是q px x x f +-=3)(， p >0（註三）。 先討論3()f x x px q =++，並設px x x g +=3)(，顯然，g 的圖形和f 的圖形只差一個向上或向下的平移，並且g 的圖形與原點對稱。當x 從很負變化到很正，函數px x x g +=3)(的圖形從坐標平面的左下變化到右上，其間至少穿過x 軸一次，我們要說明這個圖形是上升的。 因為如果αβ>，則))(()()(2233p p p g g +++-=--+=-αβαβαβααββαβ，又因為p +++22αβαβ恆正（註四），所以0)()(>-αβg g ，這表示px x x g +=3)(有一個上升的圖形，因此圖形與任意水平軸只交一點，圖形如下（圖一）。注意px x +3的圖形對稱於原點，此時由於3()f x x px q =++沒有x 2項，所以f (x )=0只能有一個實根（註 五）。 (圖一)
整式的乘法(2) （一）教学目标 知识与技能目标： 掌握单项式与多项式相乘的法则. 过程与方法目标： ●理解单项式乘以多项式运算的算理. ●体会乘法的分配律的作用. ●发展有条理的思考及语言表达能力. 情感态度与价值观： 通过学生板算、讨论、争论等方法培养学生归纳、概括能力，以及运算能力. 教学重点：单项式与多项式相乘的法则. 教学难点：对单项式乘以多项式运算的算理的理解. （二）教学程序 教学过程 师生活动设计意图一、复习导入 1．单项式与单项式相乘的法则是什么？ 2．什么叫多项式？指出下列多项式的项： (1) 2x2-x-1； (2)-3x2+ 2x+3． 参考答案: 1.单项式相乘，把它的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 2.几个单项式的和叫做多项式. (1) 2x2-x-1中的项分别是: 2x2,-x,-1； (2) -3x2+ 2x+3中的项分别是: -3x2, 2x,3 复习回顾式导入新课有助于让学生回顾所学知识,为本节课的学习做好铺垫. 二、新知讲解 探究:三家连锁店以相同的价格m(单位:元/瓶)销售某种商品,它 们在一个月内的销售量(单位:瓶)分别是:a,b,c.你能用不同的方 法计算他们在这个月内销售这种商品的总收入吗? 体验生活中的数学.
方法一:先求三家连锁店的总销量,再求总收入,即总收入为: m(a+b+c) 方法二:先分别求三家连锁店的收入,再求它们的和,即总收入为: ma+mb+mc 所以容易得到: m(a+b+c) =m a+mb+mc 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 特别的：我们把m（a+b+c）=ma+mb+mc和(a+b+c)m=am+bm+cm的运算叫乘法分配律的正向运算，反过来，我们也把ma+mb+mc=m （a+b+c）和am+bm+cm =(a+b+c)m叫乘法分配律的逆向运算，其逆向运算也是成立的. 教师对单项式乘以单项式的法则的阐述,有助于学生更深层的理解此法则. 让学生体会他们之间的关系. 例题讲解： 例题1: 计算a（1+b-b2） 参考答案：（注意符号的处理） 解：原式=a×1+a×b+a×（-b2） = a+ a b- a b2 例题2: 计算(1) (-2a)·(2a2-3a+ 1)． (2) (- 4x)·(2x2 + 3x- 1) 参考答案： 解：(1) (-2a)·(2a2 - 3a+1) =(- 2a)·2a2 +(- 2a)·(- 3a)+(- 2a)·1(乘法分配律) = - 4a3 +6a2 - 2a．(单项式与多项式相乘) (2) (- 4x)·(2x2 + 3x- 1) =(- 4x)·(2x2)+ (- 4x)·3x+(- 4x)·(-1) = -8x3 - 12x2 + 4x 例题3: 把m2n+mn+mn2写成积的形式 参考答案: 解：∵m2n+mn+mn2通过例题让学生学会运用所学知识解决问题,特别是要注意总结单项式乘以多项式运算中会出现的问题以便今后能有所注意.
《第3课时整式的加减》教案 【教学目标】 1．知道整式加减运算的法则，熟练进行整式的加减运算；(重点) 2．能用整式加减运算解决实际问题；(难点) 3．能在实际背景中体会进行整式加减的必要性． 【教学过程】 一、情境导入 1．某学生合唱团出场时第一排站了n名，从第二排起每一排都比前一排多一人，一共站了四排，则该合唱团一共有多少名学生参加？ (1)让学生写出答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)； (2)提问：以上答案能进一步化简吗？如何化简？我们进行了哪些运算？ 2．化简： (1)(x＋y)－(2x－3y)； (2)2(a2－2b2)－3(2a2＋b2)． 提问：以上的化简实际上进行了哪些运算？怎样进行整式的加减运算？ 二、合作探究 探究点一：整式的加减 【类型一】整式的化简 化简：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)． 解析：先运用去括号法则去括号，然后合并同类项．注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变． 解：3(2x2－y2)－2(3y2－2x2)＝6x2－3y2－6y2＋4x2＝10x2－9y2. 方法总结：去括号时应注意：①不要漏乘；②括号前面是“－”，去括号后括号里面的各项都要变号． 【类型二】整式的化简求值
化简求值：12a －2(a －13b 2)－(32a ＋13b 2)＋1，其中a ＝2，b ＝－3 2. 解析：原式去括号合并得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值． 解：原式＝12a －2a ＋23b 2－32a －13b 2＋1＝－3a ＋13b 2＋1，当a ＝2，b ＝－3 2时， 原式＝－3×2＋13×(－32)2＋1＝－6＋34＋1＝－41 4 . 方法总结：化简求值时，一般先将整式进行化简，当代入求值时，要适当添上括号，否则容易发生计算错误，同时还要注意代数式中同一字母必须用同一数值代替，代数式中原有的数字和运算符号都不改变． 【类型三】 利用“无关”进行说理或求值 有这样一道题“当a ＝2，b ＝－2时，求多项式3a 3b 3 －12 a 2 b ＋b －(4a 3b 3 －14a 2b －b 2)＋(a 3b 3＋1 4a 2b )－2b 2＋3的值”，马小虎做题时把a ＝2错抄成a ＝－2，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由． 解析：先通过去括号、合并同类项对多项式进行化简，然后代入a ，b 的值进行计算． 解：3a 3b 3－12a 2b ＋b －(4a 3b 3－14a 2b －b 2)＋(a 3b 3＋1 4a 2b )－2b 2＋3＝(3－4＋ 1)a 3b 3＋(－12＋14＋1 4)a 2b ＋(1－2)b 2＋b ＋3＝b －b 2＋3.因为它不含有字母a ，所以 代数式的值与a 的取值无关． 方法总结：解答此类题的思路就是把原式化简，得到一个不含指定字母的结果，便可说明该式与指定字母的取值无关． 探究点二：整式加减的应用 如图，小红家装饰新家，小红为自己的房间选择了一款窗帘(阴影部分
三次样条 众所周知，使用高阶多项式的插值常常产生病态的结果。目前，有多种消除病态的方法。在这些方法中，三次样条是最常用的一种。在MATLAB中，实现基本的三次样条插值的函数有spline，ppval，mkpp和unmkpp。在这些函数中，仅spline 在《MATLAB参考指南》中有说明。下面几节，将展示在M文件函数中实现三次样条的基本特征 基本特征 在三次样条中，要寻找三次多项式，以逼近每对数据点间的曲线。在样条术语中，这些数据点称之为断点。因为，两点只能决定一条直线，而在两点间的曲线可用无限多的三次多项式近似。因此，为使结果具有唯一性。在三次样条中，增加了三次多项式的约束条件。通过限定每个三次多项式的一阶和二阶导数，使其在断点处相等，就可以较好地确定所有内部三次多项式。此外，近似多项式通过这些断点的斜率和曲率是连续的。然而，第一个和最后一个三次多项式在第一个和最后一个断点以外，没有伴随多项式。因此必须通过其它方法确定其余的约束。最常用的方法，也是函数spline所采用的方法，就是采用非扭结(not-a-knot)条件。这个条件强迫第一个和第二个三次多项式的三阶导数相等。对最后一个和倒数第二个三次多项式也做同样地处理。 基于上述描述，人们可能猜想到，寻找三次样条多项式需要求解大量的线性方程。实际上，给定N个断点，就要寻找N-1个三次多项式，每个多项式有4个未知系数。这样，所求解的方程组包含有4*(N-1)个未知数。把每个三次多项式列成特殊形式，并且运用各种约束，通过求解N个具有N个未知系数的方程组，就能确定三次多项式。这样，如果有50个断点，就有50个具有50个未知系数的方程组。幸好，用稀疏矩阵，这些方程式能够简明地列出并求解，这就是函数spline 所使用的计算未知系数的方法
整式的加减 第三课时 一、学习目标 1、 能熟练运用合并同类项、去括号法则进行整式加减运算； 2、 能利用整式的运算化简多项式并求值。 二、学习准备： 1、先去括号，再合并同类项：（1）(x+y)—(2x －3y) （2）()222223(2)a b a b --+ $ 2．整式加减的一般步骤为：__________________________________________________. 3、阅读教材：第95——96页。 三、学习提示 （一）自主学习 4、理解整式的加减的含义 按照下面的步骤做一做：（1）任意写一个两位数; （2）交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到一个数; （3）求这两个数的和。 { 再写几个两位数重复上面的过程。这些和有什么规律这个规律对任意一个两位数都成立 提示：设a 表示十位数字，b 表示个位数字，那么这个两位数可以表示为：10a+b;交换位置后的两位数为： 。 再做一做：（1）任意写一个三位数; （2）交换这个三位数的百位数字和个位数字，又得到一个数; （3）两个数相减。 两个数相减后的结果有什么规律这个规律对任意一个三位数都成立吗 { 归结：要把上面式子进一步化简，实际上是要进行整式的加减运算． 整式加减的一般步骤：有括号要先去括号，再合并同类项。 练习：求整式x 2―7x ―2与―2x 2+4x ―1的差。 （二）合作探究 1、化简求值：(2x 3―xyz)―2(x 3―y 3+xyz)+(xyz ―2y 3)，其中x=1，y=2，z=―3。 】 练习： 1、求整式3x 2―7x ―12与―2x 2+7x ―5的差。 2、化简：―2y 3+(3xy 2―x 2y)―2(xy 2―y 3)。
第3课时整式的加减 【知识与技能】 掌握整式加减的一般步骤,熟练地进行整式的加减运算. 【过程与方法】 通过探究整式加减的一般步骤,培养学生观察、分析、归纳及概括能力. 【情感态度】 结合本课教学特点,教育学生热爱生活,热爱学习,激发学生观察,探究数学问题的兴趣. 【教学重点】 整式的加减. 【教学难点】 归纳整式加减的一般步骤. 一、情境导入,初步认识 按照下面的步骤做一做： 1.任意写一个两位数； 2.交换这个两位数的十位数字和个位数字,又得到一个数； 3.求这两个数的和. 再写几个两位数重复上面的过程.这些和有什么规律？这个规律对任意一个两位数都成立吗？【教学说明】学习通过操作,初步感受整式的加减. 二、思考探究,获取新知 1.整式加减的一般步骤 问题1按照下面的步骤做一做. 教材第95页的“做一做”. 【教学说明】学生通过导入的操作已经知道解决问题的方法,进一步感受整式的加减. 问：在上面的两个问题中,分别涉及整式的什么运算？说一说你是如何运算的. 通过这个问题得到整式加减的一般步骤. 【归纳结论】进行整式加减运算时,如果遇到括号要先去括号,再合并同类项. 2.整式的加减
问题2计算： 【教学说明】通过计算,使学生熟练地掌握整式的加减的计算方法. 【归纳结论】几个整式相加减,通过用括号将一个整式括起来,再用加减号连接,然后去括号,合并同类项. 3.整式加减的应用 问题3我国出租车收费标准因地而异.甲市为：起步价6元,3千米后每千米收费为1.5元；乙市为：起步价10元,3千米后每千米收费为1.2元. （1）试问在甲、乙两市乘坐出租车S（S＞3）千米的价钱差是多少元？ （2）如果在甲、乙两市乘坐出租车的路程都为10千米,那么哪个市的收费标准高些？高多少？ 【分析】先把甲、乙两市乘坐出租车S（S＞3）千米的价钱分别用含S的式子表示出来,再求甲、乙两市的价钱差. 【教学说明】学生分析、思考,与同伴交流,感受整式的加减在实际问题中的应用. 问题4已知M=4x2-3x-2,N=6x2-3x+6,试比较M与N的大小关系. 【分析】比较两个式子的大小,一般采用“作差法”,即先将两式作差,再把所得的差与0比较,若M-N＞0,则M＞N；若M-N=0,则M=N;若M-N＜0,则M＜N. 【教学说明】学生通过思考、分析,与同伴进行交流,进一步体验知识的综合运用. 三、运用新知,深化理解
4 整式的加减 第三课时 知能演练提升 一、能力提升 1.减去-2x等于-3x2+4x+1的多项式是(). A.-3x2+2x+1 B.3x2-2x-1 C.-3x2+1 D.3x2+1 2.多项式4xy-3x2-xy+y2+x2与多项式3xy+2y-2x2的差(). A.与x,y有关 B.与x,y无关 C.只与x有关 D.只与y有关 3.(xx·江苏苏州期中)已知m2+2mn=13,3mn+2n2=21,则2m2+13mn+6n2-44的值为(). A.45 B.5 C.66 D.77 4.把3+[3a-2(a-1)]化简得. 5.已知A=8x2y-6xy2-3xy,B=6xy2-3xy+4x2y,若A+B-3C=0,则C-A= . 6.一个长方形的两边长分别是2a+b和a-b,则它的周长是. 7.已知一个多项式与9x2+3x的和等于9x2-4x-1,求这个多项式. 8.先化简,再求值:a3b2+2(a2b+ab2)-2(a2b-1)-2ab2-2,其中a=-2,b=2. 9.某市的张、王、李三家合办一个股份制企业,总股数为(5a2-3a-2)股,每股1元,张家持有(2a2+1)股,王家比张家少(a-1)股,年终按股本额18%的比例支付股利,获利的20%缴纳个人所得税,请你帮助李家算算年终能得到多少钱.
二、创新应用 10.现给出三个多项式:2a2+3ab+b2,a2+3ab-b2,-a2-ab,请你选择其中两个进行加法(或减法)运算.
知能演练·提升 一、能力提升 1.A 2.D 3.A 4.a+5 5.6xy2-4x2y+xy 6.6a 7.解由题意,得(9x2-4x-1)-(9x2+3x)=9x2-4x-1-9x2-3x=-7x-1. 8.解原式=a3b2+2a2b+2ab2-2a2b+2-2ab2-2=a3b2.当a=-2,b=2时,原式=a3b2=(-2)3×22=-32. 9.解王家持有的股数为 (2a2+1)-(a-1)=2a2-a+2(股). 李家持有的股数为 (5a2-3a-2)-(2a2+1)-(2a2-a+2)=a2-2a-5(股). 所以李家年终可获得的钱数为 1×(a2-2a-5)×18%×(1-20%) =0.144(a2-2a-5) =0.144a2-0.288a-0.72(元). 答:李家年终能获得(0.144a2-0.288a-0.72)元. 二、创新应用 10.解答案不唯一,如:我选2a2+3ab+b2与a2+3ab-b2进行加法运算. (2a2+3ab+b2)+=2a2+3ab+b2+a2+3ab-b2=a2+6ab. 欢迎您的下载，资料仅供参考！