《离散数学》(左孝凌-李为鉴-刘永才编著)课后习题答案---上海科学技术文献出版社
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2
1-1，1-2
（1）解：
a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：
原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：
a)(┓P ∧R)→Q
b)Q→R
c)┓P
d)P→┓Q
（4）解：
a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：
a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q
b)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q
c)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q
d)设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q
e)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P Q
f)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R
(6) 解：
a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q
b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R
c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S
d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B
e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N
f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M
g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R
h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q
1-3
（1）解：
a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）
b)是合式公式
c)不是合式公式（括弧不配对）
d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）
e)是合式公式。
（2）解：
a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。这个过程可以简记为：
A；(A∨B)；(A→(A∨B))
同理可记
b）A；┓A ；(┓A∧B) ；((┓A∧B)∧A)
c）A；┓A ；B；(┓A→B) ；(B→A) ；((┓A→B)→(B→A))
d）A；B；(A→B) ；(B→A) ；((A→B)∨(B→A))
（3）解：
a）((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C))
b）((B→A)∨(A→B))。
（4）解：
a) 是由c) 式进行代换得到，在c) 中用Q代换P, (P→P)代换Q.
d) 是由a) 式进行代换得到，在a) 中用P→(Q→P)代换Q.
e) 是由b) 式进行代换得到，用R代换P, S代换Q, Q代换R, P代换S.
（5）解：
a) P: 你没有给我写信。 R: 信在途中丢失了。 P Q
b) P: 张三不去。Q: 李四不去。R: 他就去。(P∧Q)→R
c) P: 我们能划船。 Q: 我们能跑步。┓(P∧Q)
d) P: 你来了。Q: 他唱歌。R: 你伴奏。P→(Q?R)
（6）解：
P:它占据空间。 Q:它有质量。 R:它不断变化。 S:它是物质。
这个人起初主张：(P∧Q∧R) ? S
后来主张：(P∧Q?S)∧(S→R)
这个人开头主张与后来主张的不同点在于：后来认为有P∧Q必同时有R，开头时没有这样的主张。
（7）解：
a) P: 上午下雨。 Q:我去看电影。 R:我在家里读书。 S:我在家里看报。(┓P→Q)∧(P→(R∨S))
b) P: 我今天进城。Q:天下雨。┓Q→P
c) P: 你走了。 Q:我留下。Q→P
1-4
（4）解：a)
P Q R Q∧R P∧(Q∧R)P∧Q(P∧Q)∧R
T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F
T
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F
F
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F
F
F ∨
所以，P∧(Q∧R)?(P∧Q)∧R
b)
P Q R Q∨R P∨(Q∨R)P∨Q(P∨Q)∨R
T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F Ｔ
Ｔ
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Ｔ
Ｆ
所以，P∨(Q∨R)?(P∨Q)∨R
ｃ）
ＰＱＲＱ∨ＲＰ∧（Ｑ∨Ｒ）Ｐ∧ＱＰ∧Ｒ（Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｒ）
ＴＴＴＴＴＦＴＦＴＴＦＦＦＴＴＦＴＦＦＦＴＦＦＦＴ
Ｔ
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Ｔ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
所以，P∧(Q∨R)?(P∧Q)∨(P∧R)
ｄ）
P Q┓P┓Q┓P∨┓Q┓(P∧Q)┓P∧┓Q┓(P∨Q)
T T T F F T F F F
F
T
T
F
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F
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F
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T
F
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T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
所以，┓(P∧Q)?┓P∨┓Q,┓(P∨Q)?┓P∧┓Q
（5）解：如表，对问好所填的地方，可得公式F1～F6，可表达为
P Q R F1 F2 F3 F4 F5 F6
T T T T F T T F F
T T F F F T F F F
T F T T F F T T F
T F F F T F T T F
F T T T F F T T F
F T F T F F F T F
F F T T F T T T F
F F F F T F T T T
F1:(Q→P)→R
F2:(P∧┓Q∧┓R)∨(┓P∧┓Q∧┓R)
F3:(P←→Q)∧(Q∨R)
F4:(┓P∨┓Q∨R)∧(P∨┓Q∨R)
F5:(┓P∨┓Q∨R)∧(┓P∨┓Q∨┓R)
F6:┓(P∨Q∨R)
(6)
P Q 1 23 4 5678910111213141516
F F F T F T F T F T F T F T F T F T
F T F F T T F F T T F F T T F F T T
T F F F F F T T T T F F F F T T T T
T T F F F F F F F F T T T T T T T T 解：由上表可得有关公式为
1.F
2.┓(P∨Q)
3.┓(Q→P)
4.┓P
5.┓(P→Q)
6.┓Q
7.┓(P?Q)
8.┓(P∧Q)
9.P∧Q 10.P?Q 11.Q 12.P→Q
13.P 14.Q→P15.P∨Q 16.T
(7) 证明：
a)A→(B→A)?┐A∨(┐B∨A)
? A∨(┐A∨┐B)
? A∨(A→┐B)
?┐A→(A→┐B)
b)┐(A?B) ?┐((A∧B)∨(┐A∧┐B))
?┐((A∧B)∨┐(A∨B))
?(A∨B)∧┐(A∧B)
或┐(A?B) ?┐((A→B)∧(B→A))
?┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))
?┐((┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A))
?┐((┐A∧┐B)∨(B∧A))
?┐(┐(A∨B))∨(A∧B)
?(A∨B)∧┐(A∧B)
c)┐(A→B) ?┐(┐A∨B) ?A∧┐B
d)┐(A?B)?┐((A→B)∧(B→A))
?┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))
?(A∧┐B)∨(┐A∧B)
e)(((A∧B∧C)→D)∧(C→(A∨B∨D)))
?(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐C∨(A∨B∨D))
?(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐(┐A∧┐B∧C)∨D)
? (┐(A∧B∧C)∧┐(┐A∧┐B∧C))∨D
?((A∧B∧C)∨(┐A∧┐B∧C))→D
? (((A∧B)∨(┐A∧┐B))∧C)→D
? ((C∧(A?B))→D)
f)A→(B∨C) ?┐A∨(B∨C)
? (┐A∨B)∨C
?┐(A∧┐B)∨C
? (A∧┐B)→C
g)(A→D)∧(B→D)?(┐A∨D)∧(┐B∨D)
?(┐A∧┐B)∨D
?┐(A∨B)∨D
? (A∨B)→D
h)((A∧B)→C)∧(B→(D∨C))
?(┐(A∧B)∨C)∧(┐B∨(D∨C))
? (┐(A∧B)∧(┐B∨D))∨C
?(┐(A∧B) ∧┐(┐D∧B))∨C
?┐((A∧B)∨(┐D∧B))∨C
? ((A∨┐D)∧B)→C
? (B∧(D→A))→C
（8）解：
a)((A→B) ? (┐B→┐A))∧C
? ((┐A∨B) ? (B∨┐A))∧C
? ((┐A∨B) ? (┐A∨B))∧C
?T∧C ?C
b)A∨(┐A∨(B∧┐B)) ? (A∨┐A)∨(B∧┐B) ?T∨F ?T
c)(A∧B∧C)∨(┐A∧B∧C)
? (A∨┐A) ∧(B∧C)
?T∧(B∧C)
?B∧C
（9）解：1）设C为T，A为T，B为F，则满足A∨C?B∨C，但A?B不成立。
2）设C为F，A为T，B为F，则满足A∧C?B∧C，但A?B不成立。
3）由题意知┐A和┐B的真值相同，所以A和B的真值也相同。
习题 1-5
（1）证明：
a)(P∧(P→Q))→Q
?(P∧(┐P∨Q))→Q
?(P∧┐P)∨(P∧Q)→Q
?(P∧Q)→Q
?┐(P∧Q)∨Q
?┐P∨┐Q∨Q
?┐P∨T
?T
b)┐P→(P→Q)
?P∨(┐P∨Q)
? (P∨┐P)∨Q
?T∨Q
?T
c)((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)
因为(P→Q)∧(Q→R)?(P→R)
所以(P→Q)∧(Q→R)为重言式。
d)((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))?(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)
因为((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a))
?((a∨c)∧b)∨(c∧a)
?((a∨c)∨(c∧a))∧(b∨(c∧a))
?(a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a)
所以((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))?(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)为重言式。
（2）证明：
a)(P→Q)?P→(P∧Q)
解法1：
设P→Q为T
（1）若P为T，则Q为T，所以P∧Q为T，故P→(P∧Q)为T
（2）若P为F，则Q为F，所以P∧Q为F，P→(P∧Q)为T
命题得证
解法2：
设P→(P∧Q)为F ，则P为T，(P∧Q)为F ，故必有P为T，Q为F ，所以P→Q为F。
解法3：
(P→Q) →(P→(P∧Q))
?┐(┐P∨Q)∨(┐P∨(P∧Q))
?┐(┐P∨Q)∨((┐P∨P)∧(┐P∨Q))
?T
所以(P→Q)?P→(P∧Q)
b)(P→Q)→Q?P∨Q
设P∨Q为F，则P为F，且Q为F，
故P→Q为T，(P→Q)→Q为F，
所以(P→Q)→Q?P∨Q。
c)(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))?R→Q
设R→Q为F，则R为T，且Q为F，又P∧┐P为F
所以Q→(P∧┐P)为T，R→(P∧┐P)为F
所以R→(R→(P∧┐P))为F，所以(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))为F
即(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))?R→Q成立。
（3）解：
a) P→Q表示命题“如果8是偶数，那么糖果是甜的”。
b)a)的逆换式Q→P表示命题“如果糖果是甜的，那么8是偶数”。
c)a)的反换式┐P→┐Q表示命题“如果8不是偶数，那么糖果不是甜的”。
d)a)的逆反式┐Q→┐P表示命题“如果糖果不是甜的，那么8不是偶数”。
（4）解：
a)如果天下雨，我不去。
设P：天下雨。Q：我不去。P→Q
逆换式Q→P表示命题:如果我不去，则天下雨。
逆反式┐Q→┐P表示命题:如果我去，则天不下雨
b)仅当你走我将留下。
设S：你走了。R：我将留下。R→S
逆换式S→R表示命题：如果你走了则我将留下。
逆反式┐S→┐R表示命题：如果你不走，则我不留下。
c)如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。
设E：我不能获得更多帮助。H：我不能完成这个任务。E→H
逆换式H→E表示命题：我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。
逆反式┐H→┐E表示命题：我完成这个任务，则我能获得更多帮助
（5）试证明P?Q，Q逻辑蕴含P。
证明：解法1：
本题要求证明(P?Q) ∧Q?P,
设(P?Q) ∧Q为T，则(P?Q)为T，Q为T，故由?的定义，必有P为T。
所以(P?Q) ∧Q?P
解法2：
由体题可知，即证((P?Q)∧Q)→P是永真式。
((P?Q)∧Q)→P
? (((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∧Q)→P
?(┐((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∨┐Q) ∨P
?(((┐P∨┐Q) ∧(P∨Q)) ∨┐Q) ∨P
?((┐Q∨┐P∨┐Q) ∧(┐Q∨P∨Q)) ∨P
?((┐Q∨┐P) ∧T) ∨P
?┐Q∨┐P∨P
?┐Q∨T
?T
（6）解：
P：我学习 Q：我数学不及格 R：我热衷于玩扑克。
如果我学习，那么我数学不会不及格：P→┐Q
如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习: ┐R→P
但我数学不及格: Q
因此我热衷于玩扑克。 R
即本题符号化为：(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q?R
证：
证法1：((P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q)→R
?┐((┐P∨┐Q)∧(R∨P)∧Q) ∨R
?(P∧Q)∨(┐R∧┐P)∨┐Q∨R
?((┐Q∨P)∧(┐Q∨Q))∨((R∨┐R)∧(R∨┐P))
? T
所以，论证有效。
证法2：设(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q为T，
则因Q为T，(P→┐Q)为T，可得P为F，
由(┐R→P)为T，得到R为T。
故本题论证有效。
（7）解：
P：6是偶数 Q：7被2除尽 R：5是素数
如果6是偶数，则7被2除不尽P→┐Q
或5不是素数，或7被2除尽┐R∨Q
5是素数 R 所以6是奇数┐P 即本题符号化为：（P→┐Q）∧（┐R∨Q）∧R ?┐P
证：
证法1：((P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R)→┐P
?┐((┐P∨┐Q) ∧(┐R∨Q) ∧R) ∨┐P
?((P∧Q) ∨(R∧┐Q) ∨┐R) ∨┐P
?((┐P∨P) ∧(┐P∨Q)) ∨((┐R∨R) ∧(┐R∨┐Q))
?(┐P∨Q) ∨(┐R∨┐Q)
?T
所以，论证有效，但实际上他不符合实际意义。
证法2：(P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R为T，
则有R为T，且┐R∨Q为T，故Q为T，
再由P→┐Q为T，得到┐P为T。
（8）证明：
a)P?(┐P→Q)
设P为T，则┐P为F，故┐P→Q为T
b)┐A∧B∧C?C
假定┐A∧B∧C为T，则C为T。
因为A∨B∨┐B为永真，所以C?A∨B∨┐B成立。
d)┐(A∧B) ?┐A∨┐B
设┐(A∧B)为T，则A∧B为F。
若A为T，B为F，则┐A为F，┐B为T，故┐A∨┐B为T。
若A为F，B为T，则┐A为T，┐B为F，故┐A∨┐B为T。
若A为F，B为F，则┐A为T，┐B为T，故┐A∨┐B为T。
命题得证。
e)┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A?B∨C
设┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A为T，
则D∨E为T，(D∨E)→┐A为T，所以┐A为T
又┐A→(B∨C)为T，所以B∨C为T。命题得证。
f)(A∧B)→C，┐D，┐C∨D?┐A∨┐B
设(A∧B)→C，┐D，┐C∨D为T，则┐D为T，┐C∨D为T，所以C为F
又(A∧B)→C为T，所以A∧B为F，所以┐A∨┐B为T。命题得证。
（9）解：
a)如果他有勇气，他将得胜。
P：他有勇气Q：他将得胜
原命题：P→Q逆反式：┐Q→┐P 表示：如果他失败了，说明他没勇气。
b)仅当他不累他将得胜。
P：他不累Q：他得胜
原命题：Q→P逆反式：┐P→┐Q 表示：如果他累，他将失败。
习题 1-6
(1)解：
a)(P∧Q)∧┐P?(P∧┐P)∧Q?┐(T∨Q)
b)(P→(Q∨┐R)) ∧┐P∧Q
? (┐P∨(Q∨┐R))∧┐P∧Q
?(┐P∧┓P∧Q)∨(Q∧┓P∧Q)∨(┓R∧┓P∧Q)
?(┓P∧Q)∨(┓P∧Q)∨(┓P∧┓R∧Q)
?┓P∧Q
?┐(P∨┐Q)
c)┐P∧┐Q∧(┐R→P)
?┐P∧┐Q∧(R∨P)
?(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧P)
?(┐P∧┐Q∧R)∨F
?┐P∧┐Q∧R
?┐(P∨Q∨┐R)
(2) 解：
a)┐P? P↓P
b)P∨Q?┐(P↓Q) ? (P↓Q)↓(P↓Q)
c)P∧Q?┐P↓┐Q? (P↓P)↓(Q↓Q)
(3)解：
P→(┐P→Q)
?┐P∨(P∨Q)
?T
?┐P∨P
?(┐P↑┐P)↑(P↑P)
?P↑(P↑P)
P→(┐P→Q)
?┐P∨(P∨Q)
?T
?┐P∨P
?┐(┐P↓P)
?┐((P↓P)↓P)
?((P↓P)↓P)↓((P↓P)↓P)
(4)解：
P↑Q
?┐(┐P↓┐Q)
?┐((P ↓P)↓(Q ↓Q))
? ((P ↓P)↓(Q ↓Q))↓((P ↓P)↓(Q ↓Q))
(5)证明：
┐(B ↑C)
?┐(┐B ∨┐C) ? ┐B ↓┐C ┐(B ↓C) ?┐(┐B ∧┐C) ?┐B ↑┐C
(6)解：联结词“↑”和“↓”不满足结合律。举例如下：
a)给出一组指派：P 为T ，Q 为F ，R 为F ，则(P ↑Q)↑R 为T ，P ↑(Q ↑R)为F 故 (P ↑Q)↑R P ↑(Q ↑R).
b)给出一组指派：P 为T ，Q 为F ，R 为F ，则(P ↓Q) ↓R 为T ，P ↓(Q ↓R)为F 故(P ↓Q)↓R P ↓(Q ↓R). (7)证明：
设变元P ，Q ，用连结词?,┐作用于P ，Q 得到：P ，Q ，┐P ，┐Q ，P ?Q ，P ?P ，Q ?Q ，Q ?P 。 但P ?Q ?Q ?P ，P ?P ?Q ?Q ，故实际有：
P ，Q ，┐P ，┐Q ，P ?Q ，P ?P （T ） （A ） 用┐作用于（A ）类，得到扩大的公式类（包括原公式类）：
P ，Q ，┐P ，┐Q ，┐（P ?Q ）， T ，F ， P ?Q （B ） 用?作用于（A ）类，得到：
P ?Q ，P ?┐P ?F ，P ?┐Q ?┐（P ?Q ），P ?（P ?Q ）?Q ，P ?（P ?P ）?P ， Q ?┐P ?┐（P ?Q ），Q ?┐Q ?F ，Q ?（P ?Q ）?P ，Q ?T ?Q, ┐P ?┐Q ?P ?Q ，┐P ?（P ?Q ）?┐Q ，┐P ?T ?┐P, ┐Q ?（P ?Q ）?┐P ，┐Q ?T ?┐Q, （P ?Q ）?（P ?Q ）?P ?Q.
因此，（A ）类使用运算后，仍在（B ）类中。 对（B ）类使用┐运算得：
┐P ，┐Q ，P ，Q ， P ?Q ， F ，T ， ┐（P ?Q ）， ?
?
∨
∨ 仍在（B ）类中。
对（B ）类使用?运算得：
P ?Q ，P ?┐P ?F ，P ?┐Q ?┐（P ?Q ），P ?┐（P ?Q ）?┐Q ，P ?T ?P ，P ?F ?┐P ，P ?（P ?Q ）?Q ， Q ?┐P ?┐（P ?Q ），Q ?┐Q ?F ，Q ?┐（P ?Q ）?┐P ，Q ?T ?Q, Q ?F ?┐Q ， Q ?（P ?Q ）?P ， ┐P ?┐Q ?P ?Q ，┐P ?┐（P ?Q ）?Q ，┐P ?T ?┐P, ┐P ?F ?P,┐P ?（P ?Q ）?┐Q ， ┐Q ?┐（P ?Q ）?P ，┐Q ?T ?┐Q, ┐Q ?T ?┐Q,┐Q ?（P ?Q ）?┐P ， ┐（P ?Q ）?T ?┐（P ?Q ），┐（P ?Q ）?F ?P ?Q ，┐（P ?Q ）?（P ?Q ）?F T ?F ?F ，T ?（P ?Q ）? P ?Q F ?（P ?Q ）? ┐（P ?Q ） （P ?Q ）?（P ?Q ）?P ?Q.
故由（B ）类使用?运算后，结果仍在（B ）中。
由上证明：用?,┐两个连结词，反复作用在两个变元的公式中，结果只能产生（B ）类中的公式，总共仅八个不同的公式，故{?,┐}不是功能完备的，更不能是最小联结词组。
已证{?,┐}不是最小联结词组，又因为P Q ? ┐（P ?Q ），故任何命题公式中的联结词，如仅用{ , ┐}表达，则必可用{?,┐}表达，其逆亦真。故{ , ┐}也必不是最小联结词组。 (8)证明{∨}，{∧}和{→}不是最小联结词组。 证明：若{∨}，{∧}和{→}是最小联结词，则 ┐P ?（P ∨P ∨……） ┐P ?（P ∧P ∧……） ┐P ?P →(P →(P →……)
对所有命题变元指派T ，则等价式左边为F ，右边为T ，与等价表达式矛盾。 所以{∨}，{∧}和{→}不是最小联结词。 (9)证明{┐,→}和{┐, }是最小联结词组。 证明：因为{┐,∨}为最小联结词组，且P ∨Q ?┐P →Q
所以{┐,→}是功能完备的联结词组，又{┐},{→}都不是功能完备的联结词组。 所以{┐,→}是最小联结词组。
又因为P →Q ?┐(P Q)，所以{┐, }是功能完备的联结词组，又{┐},{ }不是功能完备的联结词组， 所以{┐, }是最小联结词组。
习题 1-7 (1) 解：
P∧(P→Q)
→
c ∨
→
c → c →
c →
c
?P∧(┐P∨Q)
?(P∧┐P)∨(P∧Q)
P∧(P→Q)
?(P∨(┐Q∧Q))∧(┐P∨Q)
?(P∨┐Q)∧(P∨Q)∧(┐P∨Q)
(2) 解：
a)(┐P∧Q)→R
?┐(┐P∧Q)∨R
?P∨┐Q∨R
?(P∧Q)∨(P∧┐Q)∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(R∧P)∨(R∧┐P)
b)P→((Q∧R)→S)
?┐P∨(┐(Q∧R)∨S)
?┐P∨┐Q∨┐R∨S
?(┐P∧Q)∨(┐P∧┐Q)∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(┐R∧S)∨(┐R∧┐S)∨(S∧P)∨(S∧┐P) c)┐(P∨┐Q)∧(S→T)
?(┐P∧Q)∧(┐S∨T)
?(┐P∧Q∧┐S)∨(┐P∧Q∧T)
d)(P→Q)→R
?┐(┐P∨Q)∨R
?(P∧┐Q)∨R
?(P∨R)∧(┐Q∨R)
e)┐(P∧Q)∧(P∨Q)
?(┐P∨┐Q)∧(P∨Q)
?(┐P∧P)∨(┐P∧Q)∨(┐Q∧P)∨(┐Q∧Q)
?(┐P∧Q)∨(┐Q∧P)
(3) 解：
a)P∨(┐P∧Q∧R)
?(P∨┐P)∧(P∨Q)∧(P∨R)
?(P∨Q)∧(P∨R)
b)┐(P→Q)∨(P∨Q)
?┐(┐P∨Q)∨(P∨Q)
?(P∧┐Q)∨(P∨Q)
?(P∨P∨Q)∧(┐Q∨P∨Q)
c)┐(P→Q)
?┐(┐P∨Q)
?P∧┐Q
?(P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(┐Q∨┐P)
d)(P→Q)→R
?┐(┐P∨Q)∨R
?(P∧┐Q)∨R
?(P∨R)∧(┐Q∨R)
e)(┐P∧Q)∨(P∧┐Q)
?(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q)∧(Q∨P)∧(Q∨┐Q)
?(┐P∨┐Q)∧(Q∨P)
(4) 解：
a)(┐P∨┐Q)→(P?┐Q)
?┐(┐P∨┐Q) ∨(P?┐Q)
?(P∧Q) ∨(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)
?∑1，2，3
?P∨Q=∏0
b)Q∧(P∨┐Q)
? (P∧Q)∨(Q∧┐Q)
? P∧Q =∑3
?∏0，1，2
?(P∨Q)∧(P∨┐Q) ∧(┐P∨Q)
c)P∨(┐P→(Q∨(┐Q→R))
?P∨(P∨(Q∨(Q∨R))
?P∨Q∨R=∏0
?∑1，2，3,4,5,6,7
=(┐P∧┐Q∧R) ∨(┐P∧Q∧┐R) ∨(┐P∧Q∧R) ∨(P∧┐Q∧┐R) ∨(P∧┐Q∧R) ∨(P∧Q∧┐R)∨(P∧Q∧R)
d)(P→(Q∧R) )∧(┐P→(┐Q∧┐R))
?(┐P∨(Q∧R)) ∧(P∨(┐Q∧┐R))
?(P∧┐P) ∨(P∧(Q∧R)) ∨ ((┐Q∧┐R) ∧┐P) ∨((┐Q∧┐R) ∧(Q∧R))
?(P∧Q∧R) ∨(┐P∧┐Q∧┐R) =∑0,7
?∏1，2，3,4,5,6
?(P∨Q∨┐R) ∧(P∨┐Q∨R) ∧(P∨┐Q∨┐R) ∧(┐P∨Q∨R) ∧(┐P∨Q∨┐R) ∧(┐P∨┐Q∨R)
e)P→(P∧(Q→P)
?┐P∨(P∧(┐Q∨P)
?(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q∨P)
?T∨(T∧┐Q) ?T
?∑0,1,2,3= (┐P∧┐Q) ∨(┐P∧Q) ∨(P∧┐Q) ∨(P∧Q)
f)(Q→P) ∧(┐P∧Q)
?(┐Q∨P) ∧┐P∧Q
?(┐Q∨P) ∧┐(P∨┐Q) ?F
?∏0,1，2，3= (P∨Q) ∧(P∨┐Q) ∧(┐P∨Q) ∧(┐P∨┐Q)
(5) 证明：
a)
(A→B) ∧(A→C)
?(┐A∨B) ∧(┐A∨C)
A→(B∧C)
?┐A∨(B∧C)
?(┐A∨B) ∧(┐A∨C)
b)
(A→B) →(A∧B)
?┐(┐A∨B) ∨(A∧B)
?(A∧┐B) ∨(A∧B)
?A∧(B∨┐B)
?A∧T
?A
(┐A→B) ∧(B→A)
第一章习题 1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还 是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值. (1) √2是无理数. 是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1 (2) 5能被2整除. 是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0 (3)现在在开会吗? 不是命题. (4)x+5>0. 不是命题. (5) 这朵花真好看呀! 不是命题. (6) 2是素数当且仅当三角形有3条边. 是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p?q真值:1 (7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起. 是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p?q真值:0 (8) 2008年10月1日天气晴好. 是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯 一. (9) 太阳系以外的星球上有生物. 是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一. (10) 小李在宿舍里. 是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一. (11) 全体起立! 不是命题. (12) 4是2的倍数或是3的倍数. 是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q 真值:1 (13) 4是偶数且是奇数.
是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0 (14) 李明与王华是同学. 是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一. (15) 蓝色和黄色可以调配成绿色. 是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:1 1.3 判断下列各命题的真值. (1)若 2+2=4,则 3+3=6. (2)若 2+2=4,则 3+3≠6. (3)若 2+2≠4,则 3+3=6. (4)若 2+2≠4,则 3+3≠6. (5)2+2=4当且仅当3+3=6. (6)2+2=4当且仅当3+3≠6. (7)2+2≠4当且仅当3+3=6. (8)2+2≠4当且仅当3+3≠6. 答案: 设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题. (1)p→q,真值为1. (2)p→┐q,真值为0. (3)┐p→q,真值为1. (4)┐p→┐q,真值为1. (5)p?q,真值为1. (6)p?┐q,真值为0. (7)┐p?q,真值为0. (8)┐p?┐q,真值为1. 1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）如果今天是1号，则明天是2号。 p:今天是1号。 q:明天是2号。 符号化为：p→q 真值为：1 （2）如果今天是1号，则明天是3号。 p:今天是1号。
2016注意事项： 1、第一遍复习一定要认真按考试大纲要求将本学期所学习内容系统复习一遍。 2、第二遍复习按照考试大纲的总结把重点内容再做复习。另外，把大纲中指定的例题及书后习题认真做一做。检验一下主要内容的掌握情况。 3、第三遍复习把随后发去的练习题认真做一做，检验一下复习情况，要认真理解,注意做题思路与方法。 离散数学综合练习题 一、选择题 1．令p : 今天下雪了，q :路滑，r :他迟到了。则命题“下雪路滑，他迟到了” 可符号化为（ A ）。 A. p q r ∧→ B. p q r ∨→ C. p q r ∧∧ D. p q r ∨? 2.设()P x :x 是整数，()f x :x 的绝对值，(,)L x y ：x 大于等于y ；命题“所有整数的绝对值大于等于0”可符号化为（ B ）。 A. (()((),0))x P x L f x ?∧ B. (()((),0))x P x L f x ?→ C. ()((),0)xP x L f x ?∧ D. ()((),0)xP x L f x ?→ 3.设()F x :x 是人，()G x :x 犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（D ）。 A ．(()())x F x G x ?∧ B ． (()())x F x G x ??→? C ．(()())x F x G x ??∧ D ． (()())x F x G x ??∧? *4.下列命题公式不是永真式的是（ A ）。 A . ()p q p →→ B . ()p q p →→ C . ()p q p ?∨→ D . ()p q p →∨ 5．设p ：我们划船，q ：我们跳舞，命题“我们不能既划船又跳舞”符号化正确的是（ B ）。 A. p q ∧ B. ()p q ?∧ C. p q ?∧? D. p q ?∧ 6．设()R x :x 为有理数；()Q x :x 为实数。命题“任何有理数都是实数”的符号化为（ A ） A ．()(()())?→x R x Q x B ．()(()())?∧x R x Q x C ．()(()())x R x Q x ?∧ D ．(()())x R x Q x ?→ 7. 设个体域{,}D a b =，与公式()xA x ?等价的命题公式是( C ) A ．()()A a A b ∧ B ．()()A a A b → C ．()()A a A b ∨ D ．()()A b A a → 8．无向图G 有20条边，4个6度顶点，2个5度顶点，其余均为2度顶点， 则G 一共有（ C ）个顶点。
上海市八年级下学期数学期末考试试卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共10题；共20分) 1. （2分）下列二次根式,不能与合并的是（） A . B . C . D . 2. （2分）下列计算不正确的是（）. A . B . C . D . 3. （2分） (2019九上·东阳期末) 为了解某班学生一周的体育锻炼的时间，某综合实践活动小组对该班50名学生进行了统计如表:则这组数据中锻炼时间的众数是（） 锻炼的时间（小时）78910 学生人数（人）816188 A . 16人 B . 8小时 C . 9小时 D . 18人 4. （2分） (2017九下·沂源开学考) 某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（） 次数2345 人数22106 A . 3次 B . 3.5次 C . 4次 D . 4.5次
5. （2分）(2016·毕节) 下列语句正确的是（） A . 对角线互相垂直的四边形是菱形 B . 有两边及一角对应相等的两个三角形全等 C . 矩形的对角线相等 D . 平行四边形是轴对称图形 6. （2分） (2016八上·无锡期末) 父亲节，学校“文苑”专栏登出了某同学回忆父亲的小诗：“同辞家门赴车站，别时叮咛语千万，学子满载信心去，老父怀抱希望还．”如果用纵轴y表示父亲和学子在行进中离家的距离，横轴t表示离的时间，那么下面与上述诗意大致相吻合的图象是（） A . B . C . D . 7. （2分） (2017八下·容县期末) 在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么下列各比值中，是这个直角三角形的三边之比的是（） A . 1∶2∶3 B . 2∶3∶4
第一章习题 1.1判断下列语句是否为命题，若是命题请指出是简单命题还是复合命题。（1）2是无理数。 （2）5能被2整除。 （3）现在开会吗？ （4）x+5>0 （5）这朵花真是好看！ （6）2是素数当且仅当三角形有三条边。 （7）雪是黑色的当且仅当太阳是从东方升起。 （8）2000年10月1日天气晴好。 （9）太阳系以外的星球上有生物。 （10）小李在宿舍里。 （11）全体起立。 （12）4是2的倍数或是3的倍数。 （13）4是偶数且是奇数。 （14）李明和王华是同学。 （15）蓝色和黄色可以调配成绿色。 1..2 将上题中的命题符号化，并讨论他们的真值。 1.3判断下列各命题的真值。 （1）若2+2=4，则3+3=6； （2）若2+2=4，则3+3≠6； （3）若2+2≠=4，则3+3=6； （4）若2+2≠=4，则3+3≠=6； （5）2+2=4，当且仅当3+3=6； （6）2+2=4，当且仅当3+3≠6； （7）2+2≠4，当且仅当3+3=6； （8）2+2≠4，当且仅当3+3≠6； 1.4将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）如果今天是1号，则明天是2号； （2）如果今天是1号，则明天是3号； 1.5将下列命题符号化。 （1）2是偶数不是素数； （2）小王不但聪明而且用功； （3）虽然天气冷。老王还是来了； （4）他一边吃饭，一边看电视； （5）如果天下大雨，他就乘公交汽车来； （6）只有天下大雨，他才乘公交汽车来； （7）除非天下大雨，否则他不乘公交汽车来； （8）不经一事，不长一智； 1.5设p,q的真值为0 ，r,s的真值为1，求下列命题公式的真值。（1）p∨(q∧r);
离散数学试题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3},B={1,2},则A-B＝____________________; (A)-(B)＝__________________________. 2.设有限集合A,|A|=n,则|(A×A)|=__________________________. 3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是 _______________________________________,其中双射的是 __________________________. 4.已知命题公式G＝(PQ)∧R，则G的主析取范式是 _______________________________ __________________________________________________________. 6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从AB＝ _________________________;AB＝_________________________;A－B＝_____________________. 7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是 ______________________,________________________,__________________ _____________. 8.设命题公式G＝(P(QR))，则使公式G为真的解释有 __________________________， _____________________________,__________________________. 9.设集合A＝{1,2,3,4},A上的关系 R 1={(1,4),(2,3),(3,2)},R 2 ={(2,1),(3,2),(4,3)},则
离散数学复习题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
1. 写出命题公式 ﹁（P →（P ∨ Q ））的真值表。 答案： 2.证明 答案： 3. 证明以下蕴涵关系成立： 答案： 4. 写出下列式子的主析取范式： 答案： 5. 构造下列推理的论证：p ∨q, p →r, s →t, s →r, t q 答案： ①s →t 前提 ②t 前提 ③s ①②拒取式I12 ④s →r 前提 ⑤r ③④假言推理I11 ⑥p →r 前提 ⑦p ⑤⑥拒取式I12 ⑧p ∨q 前提 ⑨q ⑦⑧析取三段论I10 6. 用反证法证明：p →((r ∧s)→q), p, s q 7. 请将下列命题符号化： 所有鱼都生活在水中。 ) ()(R P Q P ∨∧∧?
答案： 令F( x )：x是鱼 W( x )：x生活在水中 8. 请将下列命题符号化： 存在着不是有理数的实数。 答案： 令 Q ( x )：x 是有理数 R ( x )：x 是实数 9. 请将下列命题符号化： 尽管有人聪明，但并非一切人都聪明。 答案： 令M(x)：x 是人 C(x)：x 是聪明的 则上述命题符号化为 10. 请将下列命题符号化： 对于所有的正实数x,y，都有x+y≥x。 答案： 令P(x):x是正实数 S(x,y): x+y≥x 11. 请将下列命题符号化： 每个人都要参加一些课外活动。 答案： 令P(x):x是人 Q(y): y是课外活动 S(x,y):x参加y 12. 请将下列命题符号化： 某些人对某些药物过敏。 答案：
令P(x):x是人 Q(y): y是药 S(x,y):x对y过敏13. 求) ( )) ( ) ( (y yR y Q x P y? → → ?的对偶式: 答案： 14. 求下列谓词公式的前束范式： 答案： 15. 证明： 答案： 16. 用反证法证明： x(P(x)∧Q(x)) , xP(x) xQ(x) 答案： 17. 证明： 前提： x(C(x)W(x)∧R(x)), x(C(x)∧Q(x)). 结论： x(Q(x)∧R(x)). 答案： (1) x(C(x)∧Q(x)) 前提引入 (2) C(a)∧Q(a) (1)ES (3) C(a) (2)化简规则 (4) x(C(x)W(x)∧R(x)) 前提引入 (5) C(a)W(a)∧R(a) (4)US (6) W(a)∧R(a) (3)(5)假言推理 (7) R(a) (6)化简规则 (8) Q(a) (2)化简规则 ) , , ( )) , ( ) , ( (u y x uQ z y P z x zP y x? → ∧ ? ? ?
人教版八年级（下）期中模拟数学试卷(含答案) 一．选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案写在答题卡的相应位置）分 1．（4分）下列式子中，最简二次根式的是（） A．B．C．D． 2．（4分）如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为（） A．B．﹣C．2D．﹣2 3．（4分）如图△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝8，D、E分别是AB、AC的中点，则DE 的长为（） A．3B．2.5C．4D．5 4．（4分）下列运算正确的是（） A．﹣＝B．＝2 C．﹣＝D．＝2﹣ 5．（4分）在下列各组数中①1，2，3；②5，12，13；③6，7，9；④，，；可作直角三角形三边长的有（） A．4组B．3组C．2组D．1组 6．（4分）当x＝+1时，式子x2﹣2x+2的值为（） A．B．5C．4D．3 7．（4分）如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将AC沿AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD长为（）
A．3B．4C．5D．6 8．（4分）如图菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，E为边AD上任意一点，则△BCE 的面积为（） A．8B．12C．24D．无法确定9．（4分）如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，小敏行走的路线为B﹣A﹣G﹣E，小聪行走的路线为A﹣D﹣E﹣F，若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为（） A．大于3100 m B．3100 m C．小于3100 m D．无法确定10．（4分）如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当AC＝3，BC＝4时，计算阴影部分的面积为（） A．6B．6πC．10πD．12 二．填空题（共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡的相应位置作答）
离散数学（本）复习题 1.请给出公式G=（P→（Q→P））→（?P→（P→Q））的真值表。 2.设A={1，2，3，4，5，6}，其上一个划分为C={{1}，{2，4}，{3，5，6}}，请给出对应划分C的等价关系R C。 3.R，S是集合A上的两个关系。试证明下列等式： （1）(R?S)-1= S-1?R-1 （2）(R-1)-1= R （3）(R∪S)-1= R-1∪S-1 （4）(R∩S)-1= R-1∩S-1 4.设R是集合A上的关系，令 R+={(x, y)|x∈A，y∈A，并且存在n>0，使得xR n y}， 则称R+是R的传递闭包，证明：R+是包含R的最小具有传递性的关系。 5.若非空集合上的非空关系R是反自反的，是对称的，试证明R不是传递的。 6.设A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，R为A上的整除关系，请给出部分序集（A，R）的Hasse图。 7.设G是含有3个不同原子的命题公式，当G是恒假公式的时候，G的主析取范式中有多少极小项，主合取范式中有多少极大项？ 8.有人说：“等价关系中的反身性可以不要，因为反身性可以从对称性和传递性推出：由对称性，从a ? b可得b ? a，再由传递性得a ? a”。你的意见呢？ 9.若集合A上的关系R，S具有对称性，证明：R?S具有对称性的充要条件为R?S= S?R。 10.若R是等价关系，试证明R-1也是等价关系。 11.给P和Q指派真值1，给R和S指派真值0，求出下面命题的真值： a) (P∧(Q∧R))∨?((P∨Q)∧(R∨S)) b) (?(P∧Q)∨?R)∨(((?P∧Q)∨?R)∧S) c) (?(P∧Q)∨?R)∨((Q??P)→(R∨?S)) d) (P∨(Q→(R∧?P)))?(Q∨?S) 12.试将下列公式化成等价的前束范式： (1)?x(P(x)→?yQ(x，y))； (2)?x((??yP(x，y))→(?zQ(z)→R(x)))； (3)?x?y(?zP(x，y，z)∧(?uQ(x，u)→?vQ(y，v)))。 13.设S={G1，…，G n}是命题公式集合。试求出在不增加新原子的情况下从S出发演绎出的所有命题公式。 14.证明下面的等价式： (1) (?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)=R (2) P→(Q→P)=?P→(P→Q) (3) P→(Q∨R)=(P→Q)∨(P→R) (4) (P→Q)∧(R→Q)=(P∨R)→Q 15．找出下面公式的Skolem范式： (1)?(?xP(x)→?y?zQ(y，z))； (2)?x(?E(x，0)→(?y(E(y，g(x))∧?z(E(z，g(x))→E(y，z)))))。 16．G=(P，L)是有限图，设P(G)，L(G)的元数分别为m，n。证明：n≤2 C，其中2m C表示 m m中取2的组合数。
常熟理工学院20 ～20 学年第学期 《离散数学》考试试卷（试卷库01卷） 试题总分： 100 分考试时限：120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1.下列表达式正确的有( ) （A）（B）（C）（D） 2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为 真。 （A）（B）（C）（D） 3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={
1．n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。 2．设〈L，≤〉为有界格，a为L中任意元素，如果存在元素b∈L,使，则称b是a 的补元。 3．设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。 4．设T是一棵树，则T是一个连通且的图。 5．一个公式的等价式称作该公式的主合取范式是指它仅由组成。 6．量词否定等价式? ("x)P(x) ?，? ($x)P(x) ?。 7．二叉树有5个度为2的结点，则它的叶子结点数为。 8．设
离散数学测试题 一．选择题（10*2） 1.设L (x )：x 是演员，J (y )：y 是老师，A (x ,y )：x 佩服y. 那么命题“所有演员都佩服某些老 师”符号化为( ) (A) ),()(y x A x xL →? (B) ))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→? (C) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧?? (D) )),()()((y x A y J x L y x →∧?? 2.令F(x):x 是有理数，G(x):x 是实数。将命题“所有的有理数都是实数，但有的有实数不是有理数”符号化为 （ ） A.?x(F(x)∧G(x))∧?x(G(x)→?F(x)) B.?x(F(x)→G(x))∧?x(G(x)∧?F(x)) C.?x(F(x)∧G(x))∧?x(G(x)∧?F(x)) D.?x(F(x)→G(x))∧?x(G(x)→?F(x)) 3．设R 是集合A={a,b,c,d}上的二元关系， R={
上海市宝山区2017-2018学年八年级（下）期末数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．如果一次函数y＝kx+不经过第三象限，那么k的取值范围是（）A．k＜0B．k＞0C．k≤0D．k≥0 2．下列关于向量的等式中，不正确的是（） A．+＝B．﹣＝C．﹣＝D．+＝3．下列说法错误的是（） A．“买一张彩票中大奖”是随机事件 B．不可能事件和必然事件都是确定事件 C．“穿十条马路连遇十次红灯”是不可能事件 D．“太阳东升西落”是必然事件 4．在一个四边形的所有内角中，锐角的个数最多有（） A．4个B．3个C．2个D．1个 5．已知甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，并且乙车每小时比甲车多行驶15千米．若设甲车的速度为x千米/时，依题意列方程正确的是（） A．＝B．＝C．＝D．＝ 6．如图，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到AB′C′D′，如果AB＝1，点C与C′的距离为（） A．B．﹣C．1D．﹣1 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果点A（1，n）在一次函数y＝3x﹣2的图象上，那么n＝． 8．直线y＝x﹣与y轴的交点是．
9．方程x5＝81的解是． 10．关于x的方程ax﹣2x﹣5＝0（a≠2）的解是． 11．用换元法解方程﹣+3＝0时，如果设＝y，那么将原方程变形后所得的一元二次方程是． 12．方程+＝3的解是． 13．如果在五张完全相同的纸片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于． 14．如果在平行四边形ABCD中，两个邻角的大小是5：4，那么其中较小的角等于．15．如果一个多边形的各个外角都是40°，那么这个多边形的内角和是度．16．如图，在?ABCD中，AD＝8，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF＝． 17．如图，平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2，∠DAB＝60°，E在AB上，如果AE：EB＝1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，那么DP：DC 等于． 18．如图，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，如果△ABE、△ECF、△FDA的面积分别刚好为6、2、5，那么矩形ABCD的面积为． 三、解答题（本大题共7题，其中第19至22题每题10分，第23至24题每题12分，第25题14分，满分78分）
离散数学试题一（A 卷答案） 一、（10分）证明(A ∨B )(P ∨Q )，P ，(B A )∨P A 。 二、（10分）甲、乙、丙、丁4个人有且仅有2个人参加围棋优胜比赛。关于谁参加竞赛，下列4 种判断都是正确的： (1)甲和乙只有一人参加； (2)丙参加，丁必参加； (3)乙或丁至多参加一人； (4)丁不参加，甲也不会参加。 请推出哪两个人参加了围棋比赛。 三、（10分）指出下列推理中，在哪些步骤上有错误为什么给出正确的推理形式。 (1)x (P (x ) Q (x )) P (2)P (y )Q (y ) T (1)，US (3)xP (x ) P (4)P (y ) T (3)，ES (5)Q (y ) T (2)(4)，I (6)xQ (x ) T (5)，EG 四、（10分）设A ＝{a ，b ，c}，试给出A 上的一个二元关系R ，使其同时不满足自反性、反自反性、 五、（15分）设函数g ：A →B ，f ：B →C ， (1)若f o g 是满射，则f 是满射。 (2)若f o g 是单射，则g 是单射。 六、（15分）设R 是集合A 上的一个具有传递和自反性质的关系，T 是A 上的关系，使得T R 且R ，证明T 是一个等价关系。 七、（15分）若
数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不？ B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。
离散数学复习注意事项： 1、第一遍复习一定要认真按考试大纲要求将本学期所学习内容系统复习一遍。 2、第二遍复习按照考试大纲的要求对第一遍复习进行总结。把大纲中指定的例题及书后习题认真做一做。检验一下主要内容的掌握情况。 3、第三遍复习把随后发去的练习题认真做一做，检验一下第一遍与第二遍复习情况，要认真理解,注意做题思路与方法。 离散数学综合练习题 一、选择题 1．下列句子中，（）是命题。 A．2是常数。B．这朵花多好看呀！ C．请把门关上！D．下午有会吗？ 2．令p: 今天下雪了，q:路滑，r:他迟到了。则命题“下雪路滑，他迟到了” 可符号化为（）。 A. p q r ∨→ ∧→ B. p q r C. p q r ∨? ∧∧ D. p q r 3．令:p今天下雪了，:q路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（）。 A.p q ∧ ∧? B.p q C.p q →? ∨? D. p q 4．设() Q x:x会飞，命题“有的鸟不会飞”可符号化为（）。 P x:x是鸟，() A. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ B. ()(() x P x C. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ D. ()(() x P x 5.设() L x y：x大于等于y；命题“所有整数 f x:x的绝对值，(,) P x:x是整数，() 的绝对值大于等于0”可符号化为（）。 A. (()((),0)) ?→ x P x L f x ?∧B. (()((),0)) x P x L f x C. ()((),0) ?→ xP x L f x ?∧ D. ()((),0) xP x L f x 6.设() F x:x是人，() G x:x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（）。 A．(()()) ??→? x F x G x ?∧B．(()()) x F x G x C．(()()) ??∧? x F x G x ??∧D．(()()) x F x G x 7.下列命题公式不是永真式的是（）。 A. () p q p →→ →→ B. () p q p C. () →∨ p q p p q p ?∨→ D. () 8．设() R x:x为有理数；() Q x:x为实数。命题“任何有理数都是实数”的符号化为（）
上海市徐汇区2017-2018学年八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．下列方程中，不是分式方程的是（） A．B． C．D． 2．函数y=﹣2x+3的图象经过（） ` A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限 3．如果点C是线段AB的中点，那么下列结论中正确的是（） A．B．C．D． 4．小杰两手中仅有一只手中有硬币，他让小敏猜哪只手中有硬币．下列说法正确的是（）A．第一次猜中的概率与重放后第二次猜中的概率不一样 B．第一次猜不中后，小杰重放后再猜1次肯定能猜中 C．第一次猜中后，小杰重放后再猜1次肯定猜不中 ` D．每次猜中的概率都是 5．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB，AC⊥BC，那么下列结论不正确的是（） A．AC=2CD B．DB⊥AD C．∠ABC=60°D．∠DAC=∠CAB 6．下列命题中，假命题是（） A．有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形 B．有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形
C．有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形 # D．有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．一次函数y=﹣3x﹣5的图象在y轴上的截距为． 8．已知直线y=kx+b经过点（﹣2，2），并且与直线y=2x+1平行，那么b=． 9．如果一次函数y=（m﹣2）x+m的函数值y随x的值增大而增大，那么m的取值范围是．10．关于x的方程a2x+x=1的解是． 11．方程的解为． 【 12．如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，那么当y＜0时，自变量x 的取值范围是． 13．2名男生和2名女生抓阄分派2张电影票，恰好2名女生得到电影票的概率是． 14．如果一个八边形的每一个内角都相等，那么它的一个内角的度数等于度． 15．在?ABCD中，如果∠A+∠C=140°，那么∠B=度． 16．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=6cm，则BC=cm． 17．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD．如果AD=4，BC=10，那么梯形ABCD的面积等于．' 18．如图，在△ABC中，AB=AC，点M、N分别在边AB、AC上，且MN⊥AC．将四边形BCNM沿直线MN翻折，点B、C的对应点分别是点B′、C′，如果四边形ABB′C′是平行四边形，那么∠BAC=度．
离散数学复习资料 一、填空 1. 命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x 为实数，y x y x L >:),(则命题的逻辑谓词公式为 。 2. 设p ：王大力是100米冠军，q ：王大力是500米冠军，在命题逻辑中，命题“王大力不 但是100米冠军，而且是500米冠军”的符号化形式为 。命题“存在一个人不但是100米冠军，而且是500米冠军”的符号化形式为____。 3. 选择合适的论域和谓词表达集合A=“直角坐标系中，单位元（不包括单位圆周）的点集” 则A= 。 4. 设 P （x ）：x 是素数， E(x)：x 是偶数，O(x)：x 是奇数 N (x,y)：x 可以整数y 。则谓词 (()(()(,)))x P x y O y N y x ?→?∧ 的自然语言是 对于任意一个素数都存在一个奇数使 该素数都能被整除 。 5. 设个体域是{a,b}，谓词公式()()()()x P x x P x ??∨?写成不含量词的形式是 。 6. 谓词(((,)(,))(,,))x y z P x z P y z uQ x y u ???∧→?的前束范式为 。 7. 命题公式)))(((R Q Q P P A →?∧→?∨?的主合取范式为 ，其编码表示为 。 8. 设E 为全集， ，称为A 的绝对补，记作～A ，且～（～A ）= ，～E = ， ～Φ= 。 9. 设={256},{234},{134}A B C ==， ，，，，，，则A-B= ，A ⊕B = ，A ×C = 。 10. 设},,{c b a A =考虑下列子集}},{},,{{1c b b a S =，}},{},,{},{{2c a b a a S =，
一、选择题： 1.下列句子是命题的是( )。 A. 你喜欢我吗? B. 这里的景色真美啊! C. 2x = 9。 D. 明年国庆节是晴天。 2.设P：我们划船，Q：我们跑步。命题“我们不能既划船又跑步”符号化为( )。 ∧) A. ?P∧?Q B. ?(P Q C. ?(P?Q) D. ?(?P∨?Q) 3.下列语句不是 ．．命题的是( )。 A.黄金是非金属。 B.要是他不上场，我们就不会输。 C.他跑100米只用了10秒钟，你说他是不是运动健将呢? D.他跑100米只用了10秒钟，他是一个真正的运动健将。 4.若P：他聪明；Q：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为( )。 A.P∨Q B.P∧?Q C.P→?Q D.P∨?Q 5.下列句子不是 ．．命题的是( )。 A. 做人真难啊! B. 后天是阴天。 C. 2是偶数。 D. 地球是方的。 6.在命题演算中，语句为真为假的一种性质称为( )。 A. 真值 B. 陈述句 C. 命题 D. 谓词 7.命题公式?(P∧Q)→R的成真指派是( )。 A. 000，001，110 B. 001，011，101，110，111 C. 全体指派 D. 无 8.下列命题中，不正确的是( )。 ∈?,{{?}}} A.{?}{ ∈?,{?}} B.{?}{ C.{?}?{?,{?}} D. ??{?,{?}} 9.命题公式P∧(Q∨? R)的成真指派是( )。 A.110，111，100 B.110，101，011 C.所有指派 D.无 ∨?( )。 10.设P,Q,R是命题公式,则P→R，Q→R，P Q A. P B. Q C. R D. ?R 11.下列是两个命题变元p，q的小项是( ) ∨C．?p q ∨∨ ∧D．?p p q A．p∧?p q ∧B．?p q 12.关于命题变元P和Q的大项M01表示( )。 ∨ C.P∨?Q D.P∧?Q ∧ B.?P Q A.?P Q 13.设P：明天天晴；q：我去爬山；那么“除非明天天晴，否则我不去爬山。”可符号化为( ) ?p→?q C. ?p??q D. ?p→q A. p→?q B. 14.下列命题公式是永真式的是( ) (p→q)∨q D. (p∨p)∧(p→?p) ?(p→q)∧q C. A. (p∧?p)?q B.
2017-2018学年上海市静安区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应位置填涂】 1．当a＜0时，|a﹣1|等于（） A．a+1 B．﹣a﹣1 C．a﹣1 D．1﹣a 2．下列方程中，是无理方程的为（） A．B．C．D． 3．某市出租车计费办法如图所示．根据图象信息，下列说法错误的是（） A．出租车起步价是10元 B．在3千米内只收起步价 C．超过3千米部分（x＞3）每千米收3元 D．超过3千米时（x＞3）所需费用y与x之间的函数关系式是y=2x+4 4．下列关于向量的运算，正确的是（） A．B．C．D． 5．有一个不透明的袋子中装有3个红球、1个白球、1个绿球，这些球只是颜色不同．下列事件中属于确定事件的是（） A．从袋子中摸出1个球，球的颜色是红色 B．从袋子中摸出2个球，它们的颜色相同 C．从袋子中摸出3个球，有颜色相同的球 D．从袋子中摸出4个球，有颜色相同的球 6．已知四边形ABCD中，AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定四边形ABCD是等腰梯形的是（） A．AC=BD=BC B．AB=AD=CD C．OB=OC，AB=CD D．OB=OC，OA=OD 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．如果一次函数y=（k﹣2）x+1的图象经过一、二、三象限，那么常数k的取值范围是．8．方程x3+1=0的根是． 9．方程的根是．
10．用换元法解方程组时，如果设，，那么原方程组可化为关 于u、v的二元一次方程组是． 11．已知函数，那么=． 12．从2、3、4这三个数字中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数是素数的概率是． 13．如果一个n边形的内角和是1440°，那么n=． 14．如果菱形的边长为5，相邻两内角之比为1：2，那么该菱形较短的对角线长为．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D、E分别是AC、AB边的中点，那么△CDE的周长为． 16．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，点F为垂足，那么FC=． 17．一次函数y=x+2的图象经过点A（a，b），B（c，d），那么ac﹣ad﹣bc+bd的值为．18．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠BCD=60°，CD=5．将梯形ABCD 绕点A旋转后得到梯形AB1C1D1，其中B、C、D的对应点分别是B1、C1、D1，当点B1 落在边CD上时，点D1恰好落在CD的延长线上，那么DD1的长为． 附加题（本题最高得3分，当整卷总分不满120分时，计入总分，整卷总分不超过120分）19．如果关于x的方程m2x2﹣（m﹣2）x+1=0的两个实数根互为倒数，那么m=． 三、解答题（本大题共8题，满分66分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸上] 20．先化简，再求值：，其中x=． 21．解方程：． 22．解方程组：． 23．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，过点A作AE∥DC交BC于点E．