专题训练(五)一次函数情景应用的四种类型
?类型一与一次函数图象有关的行程、工作效率等情景题
1．如图5－ZT－1(a)所示，甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20 m/s和v m/s，起初甲车在乙车前a m处，两车同时出发，当乙车追上甲车时，两车都停止行驶．设x s后两车相距y m，y与x之间的函数关系如图(b)所示．有以下结论：
①图(a)中a的值为500；
②乙车的速度为35 m/s；
③图(a)中线段EF的长应表示为500＋5x；
④图(b)中函数图象与x轴交点的横坐标为100.
其中正确的结论是()
图5－ZT－1
A．①④B．②③C．①②④D．①③④
2．甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(时)之间的函数图象如图5－ZT－2所示．
(1)求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数表达式；
(2)求乙组加工零件总量a的值；
(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，装箱的时间忽略不计，则经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？
图5－ZT－2
?类型二与一次函数有关的方案设计和决策问题
3．某食品加工厂需要一批食品包装盒，这种包装盒的供应有两种方案可供选择：
方案一：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费用y1与包装盒个数x满足如图5－ZT －3①所示的函数关系．
方案二：租赁机器自己加工，所需费用y2(包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用)与包装盒个数x满足如图②所示的函数关系．
图5－ZT－3
根据图象回答下列问题：
(1)方案一中每个包装盒的价格是多少元？
(2)方案二中租赁机器的费用是多少元？生产一个包装盒的费用是多少元？
(3)请分别求出y1，y2与x之间的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)；
(4)如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？
?类型三与一次函数相关的分段函数问题
4．某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价为477元/克，按标价出售，不优惠；乙店标价为530元/克，但若买的铂金饰品质量超过3克，则超出部分可打八折出售．
(1)分别写出到甲、乙两个商店购买该种铂金饰品所需的费用y(元)与质量x(克)之间的关系式；
(2)李阿姨要买一条质量不少于4克但不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买较合算？
?类型四与一次函数有关的表格信息题
5．谷歌人工智能AlphaGo机器人与李世石的围棋挑战赛曾引起人们的广泛关注，人工智能完胜李世石，某教学网站开设了有关人工智能的课程并策划了A，B两种网上学习的月收费方式：
设小明每月上网学习人工智能课程的时间为x 小时，收费方式A，B的收费金额分别为y A元，y B元．
(1)当x≥50时，分别求出y A，y B与x之间的函数关系式；
(2)若小明3月份上该网站学习的时间为60 小时，则他选择哪种方式上网学习比较合算？
6．为确保广大居民家庭基本用水需求的同时鼓励家庭节约用水，对居民家庭每户每月用水量采用分档递增收费的方式，每户每月用水量不超过基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费．为对基本用水量进行决策，随机抽查2000户居民家庭每户每月用水量的数据，整理绘制出下面的统计表：
(1)为确保70%的居民家庭每户每月的基本用水量需求，那么每户每月的基本用水量最低应确定为多少立方米？
(2)若将(1)中确定的基本用水量及其以下的部分按每立方米1.8元交费，超过基本用水量的部分按每立方米2.5元交费．用x表示每户每月用水量(单位：m3)，y表示每户每月应交水费(单位：元)，求y与x之间的函数关系式；
(3)某户家庭某月交水费80.9元，请按以上收费方式计算该家庭当月用水量是多少立方米．
教师详解详析
1．[解析] A①y表示两车的距离，所以根据图(b)可知：图(a)中a的值为500，此项正确；
②由题意得75×20＋500－75v＝125，解得v＝25，则乙车的速度为25 m/s，故此项不正确；
③图(a)中，EF＝a＋20x－v x＝500＋20x－25x＝500－5x，故此项不正确；
④设图(b)中图象的表达式为y＝kx＋b，把(0，500)和(75，125)代入，得b＝500，75k＋b ＝125，解得k＝－5，所以y＝－5x＋500.当y＝0时，－5x＋500＝0，解得x＝100，即图(b)中函数图象与x轴交点的横坐标为100，此项正确．
故正确的结论是①④.
故选A.
2．解：(1)因为图象经过原点及点(6，360)，所以设甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数表达式为y＝kx，所以6k＝360，解得k＝60.故甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数表达式为y＝60x(0≤x≤6)．
(2)在未更换设备前乙组2小时加工100件，所以乙组的加工速度是每小时50件．
因为乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍，
所以更换设备后，乙组的加工速度是每小时加工50×2＝100(件)，故a＝100＋100×(4.8－2.8)＝300.即乙组加工零件的总量a的值为300.
(3)①2.8小时时两组共加工60×2.8＋50×2＝268(件)，所以加工300件的时间超过2.8小时．
设加工了m小时，则100＋100(m－2.8)＋60m＝300，解得m＝3.
②从3小时到4.8小时两组共加工60×(4.8－3)＋100×(4.8－3)＝288(件)<300件，从3小时到6小时两人共加工60×(6－3)＋100×(4.8－3)＝360(件)>300件，故再加工300件的时
间超过4.8小时，小于6小时．
设再经过n小时恰好装满第2箱．由题意列方程，得60n＋100×(4.8－3)＝300，解得n ＝2.
答：经过3小时恰好装满第1箱，再经过2小时恰好装满第2箱．
3．解：(1)500÷100＝5(元)，
所以方案一中每个包装盒的价格是5元．
(2)根据函数的图象可以知道租赁机器的费用为20000元，生产一个包装盒的费用为(30000－20000)÷4000＝2.5(元)．
(3)设①中的函数表达式为y1＝k1x.
因为图象经过点(100，500)，所以500＝100k1，
解得k1＝5，
所以y1与x之间的函数表达式为y1＝5x.
设②中的函数表达式为y2＝k2x＋20000.
因为图象经过点(4000，30000)，
所以4000k2＋20000＝30000，
解得k2＝2.5，
所以y2与x之间的函数表达式为y2＝2.5x＋20000.
(4)令5x＝2.5x＋20000，解得x＝8000，
所以当x＝8000时，两种方案费用相同；
当x＜8000时，选择方案一省钱；
当x＞8000时，选择方案二省钱．
4．解：(1)y 甲＝477x (x ≥0)；y 乙＝?
????530x （0≤x ≤3），
424x ＋318（x >3）.
(2)由477x ＝424x ＋318，解得x ＝6，所以当铂金饰品的质量为6克时，到甲、乙两个商店购买费用相同；当铂金饰品的质量不少于4克且不够6克时，到甲商店购买较合算；当铂金饰品的质量超过6克且不超过10克时，到乙商店购买较合算．
5．解：(1)当x ≥50时，y A 与x 之间的函数关系式为y A ＝7＋(x －25)×0.6＝0.6x －8； 当x ≥50时，y B 与x 之间的函数关系式为 y B ＝10＋(x －50)×0.8＝0.8x －30.
(2)当x ＝60时，y A ＝0.6×60－8＝28，y B ＝0.8×60－30＝18， 所以y A ＞y B .
故选择方式B 上网学习比较合算．
6．[解析] (1)根据统计表可得出月均用水量不超过38 m 3的居民户数占2000户的70%，由此即可得出结论；
(2)分0≤x ≤38及x ＞38两种情况，找出y 与x 之间的函数关系式；
(3)求出当x ＝38时，y 的值，与80.9比较后可得出该家庭当月用水量超出38 m 3，令y ＝2.5x －26.6＝80.9求出x 的值即可．
解：(1)200＋160＋180＋220＋240＋210＋190＝1400(户)， 2000×70%＝1400(户)，
所以基本用水量最低应确定为38 m 3.
(2)当0≤x ≤38时，y ＝1.8x ；当x ＞38时，y ＝1.8×38＋2.5(x －38)＝2.5x －26.6.
综上所述，y 与x 之间的函数关系式为y ＝?
????1.8x （0≤x ≤38），
2.5x －26.6（x ＞38）.
(3)因为1.8×38＝68.4(元)，68.4＜80.9，
所以该家庭当月用水量超出38 m3.
当y＝2.5x－26.6＝80.9时，解得x＝43.答：该家庭当月用水量是43 m3.