数列综合练习（一）
1．等比数列前n 项和公式： (1)公式：S n ＝????? a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)na 1 (q ＝1)
.
(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况．
2．若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q (1－q n )＝A (q n －1)．其中：A ＝a 1q －1
. 3．推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．
4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式：
(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1
；
一、选择题
1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )
A ．11
B ．5
C ．－8
D ．－11
2．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则
S 10S 5等于( ) A ．－3 B ．5
C ．－31
D ．33
3．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2
等于( )
A ．2
B ．4
C.152
D.172
4．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )
A.152
B.314
C.334
D.172
5．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k 的值为( )
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．2
6．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( )
A ．514
B ．513
C ．512
D ．510
二、填空题
7．若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________.
8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________.
9．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________．
10．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________.
三、解答题
11．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 3a n －2＝128，S n ＝126，求n 和q .
.
12．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S n ＝54，S 2n ＝60，求S 3n .
13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋2－4.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n ·log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
14．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .
(1)求a n 及S n ；
(2)令b n ＝1a 2n －1
(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .
.
15．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
16．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ? ??
??1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n
17．已知正项数列{a n }的前n 项和S n ＝14
(a n ＋1)2，求{a n }的通项公式．
18．(12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .
(1)设b n ＝a n
2
n －1.证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和．
19．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝12
S n (n ＝1,2,3，…)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)当b n ＝log 32(3a n ＋1)时，求证：数列{1b n b n ＋1}的前n 项和T n ＝n 1＋n
.习题解答：
1. D 解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，
∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)
＝－11. 2. . 答案 D
解析 由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)
1－q a 1(1－q 3)
1－q
＝1＋q 3＝9，
∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)
1－q a 1(1－q 5)
1－q
＝1＋q 5 ＝1＋25＝33.
3.答案 C
解析 方法一 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q
＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2， 得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152
. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q
，a 2＝a 1q ， ∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152
. 4. 答案 B
解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1，
∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.
∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q
＋1＝7， 即6q 2－q －1＝0.
故q ＝12或q ＝－13
(舍去)， ∴a 1＝1q 2＝4. ∴S 5＝4(1－125)1－12
＝8(1－125)＝314. 5. 答案 C
解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋k )－(3n －1＋k )
＝3n －3n －1＝2·3n －1.
由题意知{a n }为等比数列，所以a 1＝3＋k ＝2，
∴k ＝－1.
6.答案 D
解析 由a 1＋a 4＝18和a 2＋a 3＝12，
得方程组????? a 1＋a 1q 3＝18a 1q ＋a 1q 2＝12，解得????? a 1＝2q ＝2或
????
?
a 1＝16q ＝12.
∵q 为整数，∴q ＝2，a 1＝2，S 8＝2(28
－1)
2－1＝29－2＝510
7.答案 －13
解析 显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)，
又S n ＝13·3n ＋t ，∴t ＝－13.
8.答案 3
解析 S 6＝4S 3?a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)
1－q ?q 3
＝3(q 3＝1不合题意，舍去)．
∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.
9.答案 10
解析 S n ＝a 1－a n q 1－q ，∴－341＝1＋512q
1－q ，
∴q ＝－2，又∵a n ＝a 1q n －1，∴－512＝(－2)n －1，
∴n ＝10.
答案 2n －1
解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)
∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列，
∴a n ＝2n －1，n ∈N *.
11. 解 ∵a 3a n －2＝a 1a n ，∴a 1a n ＝128，解方程组????? a 1a n ＝128，a 1＋a n ＝66，
得????? a 1＝64，a n ＝2，① 或?????
a 1＝2，a n ＝64.②
将①代入S n ＝a 1－a n q
1－q ，可得q ＝12，
由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.
将②代入S n ＝a 1－a n q
1－q ，可得q ＝2，
由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.故n ＝6，q ＝12或2
12. 解 方法一 由题意S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，
∴62＝54(S 3n －60)，∴S 3n ＝1823.
方法二 由题意得a ≠1，∴S n ＝a 1(1－q n
)
1－q ＝54 ①
S 2n ＝a 1(1－q 2n )
1－q ＝60 ②
由②÷①得1＋q n
＝109， ∴q n ＝19，∴a 11－q ＝9×548， ∴S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q ＝9×548(1－193)＝1823
. 13.解 (1)由题意，S n ＝2n ＋2－4，
n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2－2n ＋1＝2n ＋1，
当n ＝1时，a 1＝S 1＝23－4＝4，也适合上式，
∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，n ∈N *.
(2)∵b n ＝a n log 2a n ＝(n ＋1)·2n ＋1，
∴T n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1， ①
2T n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2. ②
②－①得，
T n ＝－23－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2
＝－23－23(1－2n －1)1－2
＋(n ＋1)·2n ＋2 ＝－23－23(2n －1－1)＋(n ＋1)·2n ＋2 ＝(n ＋1)·2n ＋2－23·2n －1 ＝(n ＋1)·2n ＋2－2n ＋2＝n ·2n ＋2.
14.解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以?
???? a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26， 解得?????
a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n . 所以，a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n .
(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，
所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)
＝14·? ??
??1n －1n ＋1， 所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1
) ＝14·(1－1n ＋1)＝n 4(n ＋1)
， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4(n ＋1)
15.解 (1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.
而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.
(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知
S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1， ① 从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1. ② ①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，
即S n ＝19
[(3n －1)22n ＋1＋2]． 16.答案 A
解析 ∵a n ＋1＝a n ＋ln ?
??
??1＋1n ， ∴a n ＋1－a n ＝ln ? ??
??1＋1n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n . 又a 1＝2，
∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n . 17. 解 当n ＝1时，a 1＝S 1，所以a 1＝14
(a 1＋1)2， 解得a 1＝1.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14(a n ＋1)2－14(a n －1＋1)2＝14
(a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1)， ∴a 2n －a 2n －1－2(a n ＋a n －1)＝0，
∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.
∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1－2＝0.
∴a n －a n －1＝2.
∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列．
∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.
18解：(1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，
得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n
2n －1＋1＝b n ＋1.
∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.
∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)解 由(1)知，b n ＝n ，a n
2n －1＝b n ＝n .∴a n ＝n ·2n －1.
∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1
两边乘以2得：2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，
两式相减得：－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n
＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1，
∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.
19解、：(1)解 由已知?????
a n ＋1＝12S n ，a n ＝12S n －1(
n ≥2)，
得a n ＋1＝32a n (n ≥2)．
∴数列{a n }是以a 2为首项，以32为公比的等比数列．
又a 2＝12S 1＝12a 1＝12，
∴a n ＝a 2×(32)n －2(n ≥2)．
∴a n ＝????
? 1， n ＝1，
12×(32)n －2， n ≥2.
(2)证明 b n ＝log 32(3a n ＋1)＝log 32[32×(32)n －1
]＝n .
∴1
b n b n ＋1＝1n (1＋n )＝1n －1
1
＋n . ∴T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1
b n b n ＋1
＝(11－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1
1＋n )
＝1－1
1＋n ＝n
1＋n