第十三章 微积分在经济学中的经济使用 (数三）
《测试要求》
1. 掌握导数的经济意义（含边际和弹性的概念）。
2. 了解差分和差分方程及其通解和特解等概念。
3. 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。
4. 会使用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济使用问题。
一、.极限及级数在经济学中的使用
(一)复利：
设某银行年利率为r ，初始存款为0A 元，
（1）一年支付一次利息（称为年复利），则t 年后在银行的存款余额为()t 01t
A A r =+; （2）若一年支付n 次，则t 年后在银行的存款余额为0(1)r
nt A A t n =+;
（3）由于lim [(1)]n
r
rt rt r e n n +=→∞
，所以当每年支付次数趋于无穷时，t 年后得到的存款
余额为0rt
t A A e
=，
称为t 年后按连续复利计算得到的存款余额。
(二)将来值和现值：
上述结论中，称t A 是0A 的将来值，而0A 是t A 的现值。现值和将来值的关系为：
0(1)t t A A r =+ ?0(1)t t A A r -=+ 或 0(1)t t A A r =+ ?0(1)t
t A A r -=+
例 1 现购买一栋别墅价值300万元, 若首付50万元, 以后分期付款, 每年付款数目相同, 10年付清,
年利率 为6%, 按连续复利计算, 问每年应付款多少？
例2（08）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？ 、
二. 经济学中的常用函数
需求函数：()Q Q P =, 通常()Q Q P =是P 的减函数； 供给函数：()Q Q P =, 通常()Q Q P =是P 的增函数；
成本函数：01()()C Q C C Q =+, 其中0(0)C C =为固定成本, 1()C Q 为可变成本； 收益函数：R PQ =;
利润函数：()()()L Q R Q C Q =-.
例 1 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价分别为1p 和2p , 销售量分别为1q 和2q , 需求函数分别为112402q p =-, 22100.05q p =-, 总成本函数为
123540()C q q =++, 试问：厂家如何确定两个市场的售价, 能使其获得的总利润最大？最
大的总利润为多少？
例 2（99）
设生产某种产品必须投入两种要素, 1x 和2x 分别为两种要素的投入量, Q 为产出量；若生产函数为122Q x x αβ
=, 其中,αβ为正常数, 且1αβ+=, 假设两种要素的价
格分别为1p 和2p 试问：当产出量为12时, 两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？
解 需要在产出量12212x x αβ
=的条件下, 求总费用1122p x p x +的最小值, 为此作拉格
朗日函数
12112212(,,)(122)F x x p x p x x x αβ
λλ=++-.
111211
21221220,(1)
20,(2)1220.(3)
F p x x x F p x x x F x x αβ
αβαβ
λαλβλ--??=-=?????=-=?????=-=???
由(1)和(2), 得 1221216(
),()p p x x p p αββα
αβ
==；因驻点唯一, 且实际问题存在最小值, 故当211212(
),6()p p x x p p βααβ
βα
==时, 投入总费用最小.
三. 利用导数求解经济使用问题
（一）、边际量：
当某经济量()y y x =的自变量x 增加一个单位时经济量的改变量称为该经济量的边际量, 如边际成本、
边际收益、边际利润等, 由于(1)()()y x y x y x '+-≈, 且对于大数而言, 一个单位可以看成是微小的, 习惯
上将()y x '视为()y y x =的边际量.
1、 定义 ： 设()y f x =或(),y f x t =，则称
dy dx 或y x
??为y 关于x 的边际函数。
2、经济学含义：dy
dx
表示自变量x 增加一个单位时经济量()y x 的改变量。 (二）、弹性函数：
1、定义：设某经济量()y y x =，称η=dy Ey x dy y dx
Ex
y dx
x
=
=
为 ()y y x =的弹性函数。
2、经济学含义：当自变量x 增加1%时, 经济量()y y x =增加（η>0时）或减小（0η<时）%η。
3、需求弹性：由于一般情况下需求函数()Q Q P =是P 的减函数, 因此定义需求对
价格的
弹性 =p EQ P dQ
E EP Q dP
=-
-（恒正，表示价格增加1%时需求减小%p E ）
例1 设某产品的成本函数为2
1()40032C x x x =++, 而需求函数为P x
=
, 其中x 为产量(假定等于需求量), P 为价格, 试求
(1)边际成本； (2)边际收益；(3)边际利润；（4）收益的价格弹性 ； 例2设某商品的需求函数为p P f Q 2
112)(-
== （1）求需求弹性函数及P=6时的需求弹性，并给出经济解释。 （2）当P 取什么值时，总收益最大？最大总收益是多
例3（15）为了实现利润最大化，厂商需要对某种商品确定其定价模型。设Q 为需求量，
P 为价格，MC 为边际成本，η为需求弹性（正数），
（1）证明定价模型=
11MC
P η-
(2)若成本函
2()1600,40,1
C Q Q Q P =+=-需求函数试由（）中的定价模型确定此商品的价格。
例4(04)某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量.
(I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；
(II) 推导
)1(d E Q dP
dR
-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.
例5(12)某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000(万元)，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x (件)和y (件)，且固定两种产品的边际成本分别为202
x
+
(万元/件)和6y +(万元/件). (I)求生产甲乙两种产品的总成本函数..(万元).
(II)当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本. (III)求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意 义。 例6（09） 设某产品的需求量函数为()Q Q P =, 其对价格P 的弹性0.2P ε=, 则当需求量为 10000件时, 价格增加1元, 会使产品收益增加 元.
例 7 已知某商品的需求量x 对价格p 的弹性3
3p η=, 而市场对该产品的最大需求量为1 (万件), 求需求量函数.
例8 设生产某产品的固定成本为10, 当产量为
x 时的边际成本为
232040MC x x =--, 边际收益为1032MR x =+. 试求
(1) 总利润函数；(2) 使总利润最大的产量.
例9 设产品的需求函数为()Q Q p =，收益函数R pQ =，其中p 为产品价格，Q 为需求量（产品的产量），()Q p 是单调减少函数。如果当价格为0p 对应产量为0
Q 时，边际收
益
00dR a Q Q dQ =>=，收益对价格的边际效应 00
dR
c p p dp =<=。需求对价格的弹性为
1E b p
=>，求,00p Q 。
四、差分方程及其在经济学中的使用
（一）、差分和差分方程的概念及性质
定义：若记()y y t =为t y ，则称差1t t y y +-为函数t y 的一阶差分，记为1t t t y y y +?=-； 含有1,t t y y + 或t y ?的 等式叫一阶差分方程。 定理：线性差分方程的性质：
1、若()Y Y t =为线性齐次差分方程()10t t y p t y ++=的解，则通解()y cY t =；
2、若y *为线性非齐次差分方程()()1t t y p t y f t ++=的一个特解，()y cY t =为对应的
线性齐次差分方程()10t t y p t y ++=的通解，则y cY y *
=+为()()1t t y p t y f t ++=的
通解。
3、若1y *为()()11t t y p t y f t ++=的特解，2y *
为()()12t t y p t y f t ++=的特解， 则 12y y **
+为()()()112t t y p t y f t f t ++=+的特解。
4、若12,y y 均为()()1t t y p t y f t ++=的解，则 12y y -为()10t t y p t y ++=的解；
121
()2
y y +仍为 ()()1t t y p t y f t ++=的解。 （二）一阶线性常系数差分方程的解法
1、一阶线性常系数齐次差分方程 10t t y ay +-=的解法： 特征方程：0r a -=, 特征值:r a =, 通解:t t y Ca =.
2、 一阶线性常系数非齐次差分方程1()t t y ay f t +-=的解法:
方程的通解为*
t
t t y Ca y =+，其中*
t y 为原非齐次方程的特解。当()()t
m f t P t d =时， 设特解形式为*()k t t m y t Q t d =, 其中0,1,d a k d a
≠?=?
=?.，*
t y 可用待定系数法求之：
（三）、典型例题
例1 (01,I) 某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加2百万元，若以t W 表示第t 年的工资总额(单位：百万元), 则t W 满足的差分方程是 .
例2 (98)差分方程121050t t y y t ++-=的通解为 。 例3 差分方程123t t t y y +-=的通解为 .
例4 （97）差分方程 122t
t t y y t +-= 的通解为 。
例5 求1232t t
t t y y t +-=+的通解。
例6 已知12()2,()23t t
Y t Y t t ==-为1()()t t y p t y f t ++=. (),()p t f t 的解，求 。
例7 设某养鱼池一开始有某种鱼0A 条，鱼的平均年净繁殖率为R ，每年捕捞x 条，要使n 年后鱼池仍有鱼可捞，应满足什么条件？