初三数学分类试题—切线与圆
西城1．如图，以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点D 恰好为BC 的中点，过点D 作⊙O 的切线交AC 边于点E ． (1) 求证：DE ⊥AC ；
(2) 连结OC 交DE 于点F ，若3sin 4∠=ABC ，求OF FC
的值．
海淀2.如图，△ABC 中，E 是AC 上一点，且AE=AB ，BAC EBC ∠=
∠2
1
,以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，交EB 于点F .
(1)求证：BC 与⊙O 相切； (2)若1
8,sin 4
AB EBC =∠=,求AC 的长．
东城3．如图，点A ，B ，C 分别是⊙O 上的点，∠B =60°，AC =3，CD 是⊙O 的直径，P 是CD 延长线上的一点，且
AP =AC ．
（1）求证：AP 是⊙O 的切线； （2）求PD 的长．
4．如图，在△ABC 中，AC=BC ，D 是BC 上的一点，且满足∠BAD ＝
1
2∠C ，以AD 为直径的⊙O 与AB 、AC 分别相交于点E 、F .
（1）求证：直线BC 是⊙O 的切线； （2）连接EF ，若tan ∠AEF ＝4
3
，AD ＝4，求BD 的长.
房山5. 如图，在△ABC 中，∠ABC =∠ACB ，以AC 为直径的⊙O 分别交AB 、BC 于点M 、N ，点P 在AB 的延长线上，且∠CAB =2∠BCP .
（1）求证：直线CP 是⊙O 的切线； （2）若BC =25，sin ∠BCP =5
5
，求⊙O 的半径及△ACP 的周长.
门头沟6．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，点D 在⊙O 上，且∠A=30°，∠ABD =2∠BDC ．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
B
（2）过点O 作OF ∥AD ，分别交BD 、CD 于点E 、
F ．若OB =2，求 OE 和CF 的长．
怀柔7．已知：如图，在△ABC 中，BC =AC ，以BC 为直径的⊙O 与边AB 相交于点D ，DE ⊥AC ，垂足为点E ． ⑴判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； ⑵若⊙O 的直径为18，cosB =3
1
，求DE 的长．
解：
大兴8．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AD ⊥CD 于点D ． 求证：（1）∠AOC =2∠ACD ；
（2）AC 2＝AB ·AD ．
丰台9．已知：如图，直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过点C 作CD ⊥PA ，垂足为点D ． （1）求证：CD 与⊙O 相切； （2）若tan ∠ACD =
2
1
，⊙O 的直径为10，求AB 的长． 7题图
A
B
P
O
C
D
石景山10．如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点
E ．
（1）求证：点E 为BC 中点； （2）若tan ∠EDC =2
5
，AD =5，求DE 的长． 解：
昌平11. 如图，点A 、B 、C 分别是⊙O 上的点，∠B =60°， CD 是⊙O 的直径，P 是CD 延长线上的点，且AP =AC . （1）求证：AP 是⊙O 的切线；
（2）若AC =3，求PD 的长.
密云12．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂
足为D ，AD 交⊙O 于点E . （1）求证：AC 平分∠DAB ；
（2）若∠B =60°，CD
=AE 的长。
顺义13．已知：如图，O ⊙是Rt △ABC 的外接圆，
∠ABC =90°，点P 是
O ⊙外一点，PA 切O ⊙于点A ，且PA=PB ．
（1）求证：PB 是O ⊙的切线；
（2）已知PA
=BC =2，求O ⊙的半径．
参考答案
1．(1)证明：连接OD .
∵DE 是⊙O 的切线，
∴DE ⊥OD ，即∠ODE=90° . ……………………………………………1分 ∵AB 是⊙O 的直径， ∴O 是AB 的中点. 又∵D 是BC 的中点， . ∴OD ∥AC .
∴∠DEC=∠ODE= 90° .
∴DE ⊥AC . ………………………… 2分
(2)连接AD .
∵OD ∥AC ，
∴EC
OD
FC OF . ………………… 3分 ∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB= ∠ADC =90° . 又∵D 为BC 的中点，
∴AB =AC . ∵sin ∠ABC=
AD AB =3
4
， 故设AD=3x , 则AB=AC=4x , OD=2x . ………………………………………… 4分
∵DE ⊥AC ，
∴∠ADC= ∠AED= 90°. ∵∠DAC= ∠EAD ， ∴△ADC ∽△AED . ∴
=
AD AC
AE AD
. ∴AC AE AD ?=2. ∴9
4=AE x .
∴7
4
=EC x .
∴8
7
==OF OD FC EC . …………
2. (1)证明：连接AF .
∵AB 为直径， ∴∠90AFB =?. ∵AE AB =，
∴△ABE 为等腰三角形.
∴∠1
2BAF =
∠BAC . ∵BAC EBC ∠=∠2
1
，
∴∠BAF =∠.EBC －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－1分 ∴∠FAB +∠FBA =∠EBC +∠90FBA =?. ∴∠90ABC =? .
∴BC 与⊙O 相切. －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2分