非线性规划的论文

摘要

本文旨在对非线性规划的算法和应用进行研究。非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学科。1951年库恩和塔克发表的关于最优性条件(后来称为库恩－塔克条件，又称为K-T条件)的论文是非线性规划正式诞生的一个重要标志。非线性规划在管理、工程、科研、军事、经济等方面都有广泛的应用，并且为最优设计提供了有力的工具。

在第一章我们主要介绍了非线性规划的基础知如非线性规划的数学模型，凸函数和凹函数，极值问题以及下降迭代算法等。

在第二章我们主要对约束条件的线性规划进行了具体介绍。在无约束非线性规划中主要讨论了一维搜索法和多变量函数极值的下降方法。

第三章介绍了求解非线性规划的计算机软件并通过一些基本的例子，从而进一步加深对非线性规划进行理解。

关键词：非线性规划；约束非线性规划；最优解

第一章绪论

1.1非线性规划综述

非线性规划是具有非线性目标函数或约束条件的数学规划，是运筹学的一个重要分支[1]。非线性规划属于最优化方法的一种，是线性规划的延伸。早在17世纪，Newton和Leibniz发明微积分的时代，已经提出函数的极值问题，后来又出现了Lagrange乘子法，Cauchy的最速下降法。但直到20世纪30年代，最优化的理论和方法才得以迅速发展，并不断完善，逐步成为一门系统的学科[2]。

1939年，Kantorovich和Hitchcock等人在生产组织管理和制定交通运输方案方面首先研究和应用了线性规划。

1947年，Dantzig提出了求解线性规划的单纯形法，为线性规划的理论和算法奠定了基础，单纯形法被誉为“20世纪最伟大的创造之一”。

1951年，由Kuhn和Tucker完成了非线性规划的基础性工作[3]。

1959—1963年，由三位数学家共同研究成功求解无约束问题的DFP变尺度法(该算法是由英国数学家W．C．Davidon提出，由法国数学家R．Fletcher和美国数学家M．J．D.Powell加以简化)，该算法的研究成功是无约束优化算法的一个大飞跃，引起了一系列的理论工作，并陆续出现了多种新的算法[4]。

1965年，德国数学家C．G Broyden提出了求解非线性方程组的拟牛顿算法，并且该算法还包含了DFP算法。

1970年，四位数学家以不同角度对变尺度算法进行了深入研究，提出了BFGS公式(C．G Broyden，R Fletcher，D．Goldfarb，D．E Shanno) 。实践表明该算法较之DFP算法和拟Newton法具有更好的数值稳定性。

1970年，无约束优化方法的研究出现了引入注目的成果，英国数学家L．C．W Dixon和美籍华人H．Y．Huang提出了关于“二阶收敛算法的统一研究”的研究成果，提出了一个令三个自由参数的公式族．Huang族和拟牛顿公式，它可包容前面所介绍的所有无约束优化算法。

20世纪70年代，最优化无论在理论和算法上，还是在应用的深度和广度上都有了进一步的发展。随着电子计算机的飞速发展，最优化的应用能力越来越强，从而成为一门十分活跃的学科[5]。

近代最优化方法的形成和发展过程中最重要的事件有：

1、以苏联康托罗维奇和美国丹齐克为代表的线性规划；

2、以美国库恩和塔克尔为代表的非线性规划；

3、以美国贝尔曼为代表的动态规划；

4、以苏联庞特里亚金为代表的极大值原理等。

这些方法后来都形成体系，成为近代很活跃的学科，对促进运筹学、管理科学、控制论和系统工程等学科的发展起了重要作用

非线性规划在经营管理、工程设计、科学研究、军事指挥等方面普遍地存在着最优化问题。例如：如何在现有人力、物力、财力条件下合理安排产品生产，以取得最高的利润；如何设计某种产品，在满足规格、性能要求的前提下，达到最低的成本；如何确定一个自动控制系统的某些参数，使系统的工作状态最佳；如何分配一个动力系统中各电站的负荷，在保证一定指标要求的前提下，使总耗费最小；如何安排库存储量，既能保证供应，又使储存费用最低；如何组织货源，既能满足顾客需要，又使资金周转最快等。对于静态的最优化问题，当目标函数或约束条件出现未知量的非线性函数，且不便于线性化，或勉强线性化后会招致较大误差时，就可应用非线性规划的方法去处理。

1.2非线性规划的基础知识

对于一个实际问题，在把它归结成非线性规划问题时，一般要注意如下几点：

（1）确定供选方案：首先要收集同问题有关的资料和数据，在全面熟悉问题的基础上，确认什么是问题的可供选择的方案，并用一组变量来表示它们。

（2）提出追求目标：经过资料分析，根据实际需要和可能，提出要追求极小化或极大化的目标。并且，运用各种科学和技术原理，把它表示成数学关系式。

（3）给出价值标准：在提出要追求的目标之后，要确立所考虑目标的“好”或“坏”的价值标准，并用某种数量形式来描述它。

（4）寻求限制条件：由于所追求的目标一般都要在一定的条件下取得极小化或极大化效果，因此还需要寻找出问题的所有限制条件，这些条件通常用变量之间的一些不等式或等式来表示。

1.2.1非线性规划问题的数学模型

非线性规划是具有非线性目标函数或约束条件的数学规划。它的数学模型常表示成以下形式：

m i n ()()0,1,2,...,()0,1,2,...,i j

f X h X i m

g X j l ??

==??≥=? （1.1）

其中自变量12(,,...,)T n X x x x =是n 维欧氏空间n E 中的向量；()f X 是目标函数()0i h X =和()0j g X ≥是约束条件。

也可以将非线性规划的数学模型写成以下形式

m i n ()()0,1,2,...,

j f X

g X j l ??

≥=? （1.2） 对于求目标函数的最大值问题，我们可以转换成求其负函数的最小值问题，

从而转换成非线性规划的标准形式。

1.2.2极值问题

1、局部极值和全局极值

设()f X 是n 维欧氏空间

中某一区域D 的函数，这一区域D 叫做可行域。

对于*X D ∈，如果存在0ε>，对x D

∈且

||X-||

，都有f()

()f X ,则

称

为()f X 在D 上的局部极小点，f()为局部极小值。 对于

，如果存在

，对

X

且

||X

||

，都有f(

)f(X),

则称

为()f X 在D 上的严格局部极小点，f(

)为严格局部极小值。

如果对于一切X ，都有f(

)

()f X ，

则称为f(X)在D 上的全局极小点，

f(

)为全局极小值。 如果对于一切X ，都有f()f(X)

，则称为f(X)在D 上的严格全局极小

点，f(

)为严格全局极小值。

2、极值点存在的判定

首先引入梯度和海赛(Hessian)矩阵的定义。

设n 元函数f(X)的一阶偏导数存在，则称

为函数f(X)的梯度函数。

设n元函数f(X)的二阶偏导数存在，称由f(X)的所有二阶偏导数构成的矩阵

为函数f(X)的海赛(Hessian)矩阵。它是对称矩阵。

由线性代数知道，二次型为正定的充要条件是它的矩阵H的左上角各阶主子式都大于零；而它为负定的充要条件是它的矩阵H的左上角各阶主子式依次正负相间。二次型为正定、负定或不定时，对称矩阵H分别为成为正定的、负定的或不定的。

定理1.1:（一阶必要条件）设f(X)是n维欧氏空间中某一区域D的函数f(X)的一阶连续偏导数存在。若为f(X)的局部极小点，则

=0

定理1.2:（二阶必要条件）设f(X)是n维欧氏空间中某一区域D的函数，

f(X)的二阶连续偏导数存在。若为f(X)的局部极小点，则，

。

定理1.3:（二阶充分条件）设f(X)是n维欧氏空间中某一区域D的函数，f。若，，则为f(X)的局部极小点。、

1.2.3 凸函数和凹函数

1、凸凹函数的定义

设f(X)是n维欧氏空间中某一凸集D上的函数，若对于任何实数

()以及D中的任意两点，恒有

f(+(1))f() +(1)f()

则称f(X)为定义在D上的凸函数。

如果

f(+(1))f() +(1)f()

则称f(X)为定义在D上的严格凸函数。

将上面两式的不等号反向，即可得凹函数和严格凹函数的定义。显然，如果f(X)为凸函数（严格凸函数），则一定是凹函数（严格凹函数）。

2.凸函数的性质

设都是D上的凸函数，,,…,,则f =也是D上的凸函数。

设f(X)是定义在凸集D上的凸函数，则对任一实数，集合={X|X

f(X)}是凸集。

3.函数凸性的判定

定理1.4:（一阶条件））设f(X)是n维欧氏空间中某一开凸集D的函数，f(X)的一阶连续偏导数存在。则f(X)为D上的凸函数的充要条件是，对任意两个不同的点，恒有

f () f () +()

定理1.5:（二阶条件）设f(X)是n维欧氏空间中某一开凸集D的函数，f(X)

的二阶连续偏导数存在。则f(X)为D上的凸函数的充要条件是：f(X)的海赛(Hessian)矩阵H(X)在D上处处半正定。

4.凸函数的极值

定理1.6:若f(X)是定义在凸集D上的凸函数，则它的任一极小点就是它在D 上最小点（全局极小点），而且它的极小点形成一个凸集。

定理1.7:设f(X)是定义在凸集D上的可微凸函数，若存在点，使得对于所有的有()则是f(X)在D上的最小点（全局极小

点）。

当是D得内点时，式子()对于任意都成立，这就意

味着可将式子()改为。

1.2.4凸规划

对一个非线性规划问题，如果：

1、目标是求凸函数的最小值。

2、每个等式约束函数都是一个线性函数。

3、每个小于或等于的约束函数都是凸函数。

4、每个大于或等于约束函数都是凹函数。

则称该非线性规划问题是凸规划问题。

定理1.8：凸规划问题的可行域是凸集。

定理1.9：凸规划问题局部最优解就是总体最优解。

1.2.5下降迭代算法

迭代法的基本思想是：为了求函数 f (X)的最优解，首先给定一个初始估计

，然后按某种算法找出比更好的解，再按照此种规划找出比更好

的解,…。即可得到一个解的序列{}。若这个序列有极限，即

=0，则称它收敛于。

若由某算法所产生的解的序列{}使目标函数f()逐渐减少，就称这算法为下降算法。我们把=+叫做基本迭代模式。称为搜索方向，

称为步长或步长因子。

所以下降迭代算法的步骤可总结如下：

（1）选定某一初始点，并令k=0;

（2）确定搜索方向；

（3）从出发，沿方向求步长，以产生下一个迭代点；

（4）检查得到的新点是否为极小点或近似极小点。若是，则停止迭代。否则，令k=k+1，转回（2）继续进行迭代。

第二章 约束条件的非线性规划

3.1约束非线性规划的数学模型

带有约束条件的极值问题称为约束极值问题，也叫规划问题。其一般形式为

（3.1）

或

（3.2）

3.2最优性问题

3.2.1最优性的基本概念

定义 3.1 设

是非线性规划问题的一个可行解，它使某个

(

j

),具有下面两种情况：

（1） 如果

，则称约束条件

(

j

)是

点的无效约

束（或不起作用约束）。

（2） 如果使

，则称约束条件

(

j

)是

点的有效

约束（或起作用约束）。 如果

(

j

) 是

点的无效约束，则说明

位于可行域的内部，

不在边界上，即当有微小变化时，此约束条件不会有什么影响。而对于有效

约束则说明位于可行域的边界上，即当

有微小变化时，此约束条件起着限

制作用。

定义 3.2 设

是非线性规划问题的一个可行解，即可行域R 内的一点，d 是过此点的某一个方向，如果：

（1）存在实数，使对任意[0,]均有+d R，则称此方向d是

点的一个可行方向；

(2) 存在实数，使对任意[0,]均有+d

向d是点的一个下降方向；

(3) 方向d既是点的可行方向，又是下降方向，则称它是点可行下降方向。

3.2.2最优性的条件

定理3.1 （Kuhn-Tucker）如果是问题（3.2）的极小点，且与点的有效约束的梯度线性无关，则必存在向量

使下述条件成立：

（3.3）

此条件称为库恩-塔克（Kuhn-Tucker）条件，简称为K-T条件。满足K-T条件的点称为K-T点[14]。

类似地，如果是问题（3.1）的极小点，且与点的所有有效约束的梯度

和线性无关，则必存在向量

使下面的K-T条件成立：

（3.4）

将满足K-T条件的点也称为K-T点。其中和称为广义

Lagrange乘子。

3.3二次规划

若某非线性规划的目标函数为自变量X的二次函数，约束条件又全是线性的，就称这种规划为二次规划。

二次规划的数学模型可表述为：

（3.6）式右端的第二项为二次型。如果该二次型正定（或半正定），则目标函数为严格凸函数（或凸函数）；此外，二次规划的可行域为凸集，因而，上述规划属于凸规划。前面已指出，凸规划的局部极值即为全局极值。对于这种问题来说，库恩-塔克条件不但是极值点存在的必要条件，而且也是充分条件。

二次规划的求解：

将K-T条件中的第一个条件应用于二次规划（3.6）——（3.8），y代替K-T 条件中的，即可得到：

++=（j=1,2,…,n）

(3.9)

在式（3.8）中引入松弛变量，式（3.8）即变为（假定）：

+=0 （i=1,2,…,m）

(3.10)

再将K-T条件中的第二个条件应用于上述二次规划，并考虑到式（3.10），就得到

=0（j=1,2,…,n+m）

(3.11)

此外，还有

，（j=1,2,…,n+m）

(3.12)

联立求解式（3.9）和（3.10），如果得到的解也满足式（3.11）和式（3.12），

则这个解就是原二次规划问题的解。但是，在式（3.9）中，可能为正，也可能为负，为了便于求解，先引入人工变量（，其前面的符号可以取正或负，

以便得出可行解）。这样，式（3.9）就变成

+

+sgn （

）=（j=1,2,…,n ）

(3.13)

其中：sgn （）为符号函数：

这样一来，可得到初始基本可行解如下：

但是，只有当=0时，才能够得到原来问题的解，故必须对上述问题进行修正，从而得到如下的线性规划问题：

(3.14)

该线性规划问题还应满足式（3.10）。也就是说，不能使和（对每一个j ）同时为基变量。解线性规划问题（ 3.14），若得到最优解（

,

）,则（

）就是

原二次规划问题的最优解。

3.4约束非线性规划的求解方法

3.4.1可行方向法

考虑非线性规划问题（3.2），假设是该问题的可行解，但不是最优解。为

了进一步寻找最优解，在它的可行下降方向中选取其一个方向,并确定最佳步长使得

（3.15）

反复进行这一过程，直到得到满足精度要求的可行解为止，这种方法称为可行方向法。

可行方向法的主要特点是：因为迭代过程中所采用的搜索方向总为可行方向，所以产生的迭代点列{}始终在可行域R内，且目标函数值不断的单调下降。可行方向法实际上是一类方法，最典型的是Zoutendijk可行方向法。

定理 3.2 设是问题（3.2）的一个局部极小点，函数f(X)和在处均可微，则在点不存在可行下降方向，从而不存在向量d同时满足

（3.16）

Zoutendijk可行方向法设点的有效约束集非空，则点的可行下降方向d=必须满足

又等价于

其中J是有效约束的下标集。此问题可以转化为求下面的线性规划问题：

s.t.

（3.17）

其中最后一个约束是为了求问题的有限解，即只需要确定d的方向，这只要确定其单位向量即可。

如果求得，则在点不存在可行下降方向，就是K-T点。如果求得，则可以得到可行下降方向。这就是Zoutendijk可行方向法。

其迭代步骤如下：

（1）确定允许误差，选初始近似点,并令k=0。

（2）确定起作用约束指标集J()={j|l}

若J()=，而且，停止迭代，得点。

②若J()=，但，则取搜索方向=，然后

转向第（5）步。

③若J()，转下一步。

（3）求解线性规划

s.t.（3.18）设它的最优解是（）。

（4）检验是否满足|若满足则停止迭代，得到点；否则，以为搜索方向，并转下一步。

（5）解下述一维极值问题

此处

=max{，j=1,2,…,l}。（6）令,k=k+1转回第（2）步。

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农业化肥公司的生产与销售优化方案 摘 要 要求总分总 本文针对储油罐的变位识别与罐容表标定的计算方法问题，运用二重积分法和最小二乘法建立了储油罐的变位识别与罐容表标定的计算模型，分别对三种不同变位情况推导出的油位计所测油位高度与实际罐容量的数学模型，运用matlab 软件编程得出合理的结论，最终对模型的结果做出了误差分析。 针对问题一要求依据图4及附表1建立积分数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。我们作图分析出实验储油罐出现纵向倾斜 14.时存在三种不同的可能情况，即储油罐中储油量较少、储油量一般、储油量较多的情况。针对于每种情况我们都利用了高等数学求容积的知识，以倾斜变位后油位计所测实际油位高度为积分变量，进行两次积分运算，运用MATLAB 软件推导出了所测油位高度与实际罐容量的关系式。并且给出了罐体倾斜变位后油位高度间隔为1cm 的罐容标定值（见表1），最后我们对倾斜变位前后的罐容标定值残差进行分析，得到样本方差为4103878.2-?，这充分说明残差波动不大。我们得出结论：罐体倾斜变位后，在同一油位条件下倾斜变位后罐容量比变位前罐容量少L 243。 表 1.1 针对问题二要求对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。我们根据实际储油罐的特殊构造将实际储油罐分为三部分，左、右球冠状体与中间的圆柱体。运用积分的知识，按照实际储油罐的纵向变位后油位的三种不同情况。利用MATLAB 编程进行两次积分求得仅纵向变位时油量与油位、倾斜角α的容积表达式。然后我们通过作图分析油罐体的变位情况，将双向变位后的油位h 与仅纵向变位时的油位0h 建立关系表达式01.5(1.5)cos h h β=--，从而得到双向变位油量与油位、倾斜角α、偏转角β的容积表达式。利用附件二的数据，采用最小二乘法来确定倾斜角α、偏转角β的值，用matlab 软件求出03.3=α、04=β α=3.30，β=时总的平均相对误差达到最小，其最小值为0.0594。由此得到双向变位后油量与油位的容积表达式V ，从而确定了双向变位后的罐容表(见表2)。 本文主要应用MATLAB 软件对相关的模型进行编程求解，计算方便、快捷、准确，整篇文章采取图文并茂的效果。文章最后根据所建立的模型用附件2中的实际检测数据进行了误差分析，结果可靠，使得模型具有现实意义。 关键词：罐容表标定；积分求解；最小二乘法；MATLAB ；误差分

LINGO线性规划数学建模论文-工作人员的最优时间分配问题的研究

工作人员的最优时间分配问题的研究 【摘要】 由于每个人的工作效率不同，导致不同的分配方式会有不同的时间开销。本文建立了0-1规划模型对最少时间成本下的工作人员分配问题进行了研究。 本问题中首先确定第i人做或者不做第j工作将问题定量化，再以全部的工作时间为目标函数，最后使用Lingo对目标函数求最优解得出最终结果。 关键词：最少时间最优解时间分配 0-1模型 Lingo 线性规划

一、问题重述 设有人员12个，工作10件，且一人做一个工作，第i人做第j件工作的时间（或费用）c（取值见表1.1），问：如何分派可使工作时间（或总费用）最少。 为 ij 表1.1 c ij 二、问题假设 1.每个人都能在自己的花销时间内完成工作。 2.每个人只能做一个工作，即既不能同时做两个工作，也不能在一个工作做完后再做其他工作。 3.每件工作都必须有人做，且只能由一个人独立完成。 4.各个工作之间没有相互联系。即一个工作的完成与否，不受另一个工作的制约。 三、符号说明 z：完成所有工作的总时间 x：第i人做第j件工作的时间 ij 四、问题分析、模型的建立与求解 1.问题的分析 最少时间（即人力资源成本）是最大利润一个很有参考价值的数据，往往需要利用数学建模的方法对其进行定量的分析，首先确定第i人做或者不做第j工作将问题定量化，再以全部的工作时间为目标函数，最后对目标函数求最优解得出最终结果。 2.模型的建立 设：

10...3,2,112...3,2,1{.1.0=== j i x ij j i j i ，件工作 人做第第件工作人不做第第 则工作时间为： ∑∑===12110 1z i ij j ij x c 限定条件为： 12...3,2,11101=≤∑=i x j ij ，（即每个人只能做一个工作（假设2） ，可以小于1是因为人比工作多，允许有人空闲） 10...3,2,11121i ==∑=j x ij ，（即每个工作都要有人做，且只能由一个人做 （假设3）） 10or x ij = 不能完成任务的人： ,, , ,,,,, , ,, ,,,, 4 ,122,129,1099989610,77865575110,448474326=x x x x x x x x x x x x x x x x 3.模型的求解 化为标准形式如下： ∑∑===12110 1 z Min i ij j ij x c s.t. 12...3,2,11101=≤∑=i x j ij ， 10...3,2,11121i ==∑=j x ij ， 10or x ij =

数学建模线性规划论文1

红十字会善款投资优化设计 摘要 作为慈善机构，某省红十字会为救助四川灾区患病儿童，打算将救灾的剩余善款存入银行或购买国库券，为了充分利用这笔善款，必须要做出合理的分配方案来提高每年的救助金额，并且保证在n年末仍保留原有善款数额，才能最大限度使用剩余善款。 为了给红十字会提供一种最优方案，本文本着为红十字会设计一种能最大限度使用善款存款本息且n年末仍保留原有善款数额的原则，以n年内用于存款或购买国库券的利息额之和的最大值为目标函数，运用线性规划的相关知识，并通过LINGO软件对模型进行求解，递出了一种符合题目要求的最优分配方案。 关键词：线性规划，LINGO软件

某省红十字会打算将四川特大地震后全国人民捐款救灾的剩余善款存入银行或购买国库券。 红十字会计划在n年内用此剩余善款的部分本息救助患病儿童，并使每年的救助金额大致相同，且在n年内仍保留原有善款数额。 通过设计最佳的使用方案，提高每年的救助金额，帮助红十字会在如下情况下，设计这笔剩余善款的使用方案，并对5000 n=年给出具体结果。 M=万元，10 （1）只在银行存款而不购买国库券； （2）既可存款也可以购买国库券； （3）红十字会在剩余的善款到位后的第三年要举行成立30周年庆典，红十字会希望这一年的救助金额比其他年度多20%。 二、模型的假设 1、假设存款期间不出现紧急用钱的情况，只有在每年的最后一天，才从银行中取出钱用于捐款，且在整个存款周期中银行利率不变； 2、假设存款的银行采用单利的形式进行利息的结算； 3、假设每次使用于救助的金额都为投资所获得的利息，即用于各种投资类型的本金金额不变，然后再次将用于原投资类型的本金金额继续该种投资方式； 4、假设每年的救助金额大致相同； 5、红十字会在n年内的各种开支忽略不记； 6、假设投资不出现亏损状况。 三、符号的说明

整数线性规划理论

整数线性规划理论 §1 概论 1.1 定义 规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往 1.2 如不加特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性规划模型大致可分为两类： 1o 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。 2o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。 1.3 整数规划特点 （i ） 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况： ①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。 ②整数规划无可行解。 例1 原线性规划为 21min x x z += 0,0,5422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：4 5min ,4 5,021===z x x 。LINGO1.lg4 LINGO11.lg4 ③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。 例2 原线性规划为 21m i n x x z += 0,0,6422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：2 3min ,23,021===z x x 。 若限制整数得：2min ,1,121===z x x 。LINGO2.lg4 LINGO21.lg4 （ii ） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。 1.4 求解方法分类： （i ）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。 （ii ）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。 （iii ）隐枚举法—求解“0-1”整数规划： ①过滤隐枚举法； ②分枝隐枚举法。 （iv ）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。 （v ）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。 下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。 §2 分枝定界法 对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的所有可行解空间恰当地进行

数学建模论文基本结构

数学建模论文基本结构 一、题目（突出问题和模型，即什么问题，哪类数学模型，要反映主题思想） 最优捕鱼策略模型 零件参数的优化设计 风险投资组合的线性规划模型 投资组合方案的模糊规划模型 灾情巡视路线的图论模型 关于洗衣机节水的数学模型 二、摘要(200-300字，包括研究的意义、模型的主要思想、特点、建模方法和 主要结果) 论文特色讲清楚，让人看到论文的新意. 全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选 a. 模型的数学归类（在数学上属于什么类型）； b. 建模的思想（思路）； c. 算法思想（求解思路）； d. 建模特点（模型优点，建模思想或方法，算法特点，结果检验，灵敏度分析， 模型检验……）； e. 主要结果（数值结果，结论；回答题目所问的全部“问题”）。 ▲注意表述：准确、简明、条理清晰、务必认真校对。 三、关键词（求解问题、使用的方法中的重要术语3—5个） 四、正文 1、问题重述 2、问题分析 3、模型假设与符号说明 4、模型建立与求解 ①补充假设条件，明确概念，引进参数； ②模型形式（可有多个形式的模型）； 5、模型检验(使用数据计算结果，进行分析与检验) 6、进一步讨论（参数的变化、假设改变对模型的影响） 7、模型优缺点（改进方向，推广新思想） 五、参考文献 参考文献 参考文献中书籍的表述方式为：序号，作者，书名，版本(第１版不标注) ，出版地：出版社，出版年，页码。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：序号，作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为：序号，作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 六、附录 (计算程序，框图；各种求解演算过程，计算中间结果；各种图形、表格)

整数线性规划

整数线性规划 【数学模型】 m in T x f x st. A x b ?≤ A eq x b eq ?= lb x ub ≤≤ i x 取值为整数 其中f , x , b , beq , lb 和ub 为向量，A 和Aeq 为矩阵。 【函数】 intprog 【说明】 在Matlab 中无求解整数线性规划的现成函数，利用Matlab 的线性规划函数linprog 来编写整数线性规划函数，输入与输出与linprog 类似，采用分枝定界法来实现。 Matlab 主程序intprog 如下： function [x,fval,status] = intprog(f,A,B,I,Aeq,Beq,lb,ub,e) %整数规划求解函数 intprog() % 其中 f 为目标函数向量 % A 和B 为不等式约束 Aeq 与Beq 为等式约束 % I 为整数约束 % lb 与ub 分别为变量下界与上界 % x 为最优解，fval 为最优值 % 控制输入参数 if nargin < 9, e = 0.00001; if nargin < 8, ub = []; if nargin < 7, lb = []; if nargin < 6, Beq = []; if nargin < 5, Aeq = []; if nargin < 4, I = [1:length(f)]; end , end , end , end , end , end %求解整数规划对应的线性规划,判断是否有解 options = optimset('display','off'); [x0,fval0,exitflag] = linprog(f,A,B,Aeq,Beq,lb,ub,[],options); if exitflag < 0 disp('没有合适整数解'); x = x0; fval = fval0; status = exitflag; return ; else %采用分支定界法求解

数学建模之线性规划

第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则2 1,x x 应满足 （目标函数）2134m ax x x z += (1) s.t.（约束条件）???????≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2） 这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式 是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 b Ax x c x T ≤ that such min beq x Aeq =? ub x lb ≤≤ 其中c 和x 为n 维列向量，A 、Aeq 为适当维数的矩阵，b 、beq 为适当维数的列向 量。 例如线性规划 b Ax x c x T ≥ that such max

整数线性规划word版

第三章 整数线性规划 本章, 我们介绍三种解决整数线性规划问题的软件: 第一种: MATLAB 中的optimization toolbox 中的若干程序; 第二种: LINDO 软件; 第二种: LINGO 软件. 1. MATLAB 程序说明 程序名: intprogram, L01p_e, L01p_ie, transdetobi, biprogram intprogram 是利用分支定界法解决整数规划问题, 是全部的整数规划问题; L01p_e 是利用枚举法解决0-1规划问题, 变量要求全部为0或者1; L01p_ie 是利用隐枚举法解决0-1规划问题, 变量要求全部为0或者1; Transdetobi 是枚举法和隐枚举法中利用到的将十进制数转化为二进制数的函数; Biprogram 是MATLAB6.5以上版本中有的求解0-1规划的函数的程序. intprogram 执行实例1： 12 121212max 2010s.t.5424 2513 ,0, f x x x x x x x x =++≤+≤≥ 且为整数 在命令窗口的程序执行过程和结果如下: >> c=[-20,-10]; %将最大转化为最小; >> a=[5,4;2,5]; >> b=[24;13]; >> [x,f]=intprogram(c,a,b,[0;0],[inf;inf],[],0,0.0001) % c,a,b 之后[0;0] is the value of low bound;[inf;inf] is the value of up bound;[] is the initialization;0 is the number of the equation constraints; 0.0001 is the concise rate. x = 4.0000 1.0000 f = -90 intprogram 执行实例2: 书中例题3.3.1 在命令窗口的程序执行过程和结果如下: >> c=[-1,-1]; >> a=[-4,2;4,2;0,-2]; >> b=[-1;11;-1];

关于企业利益最大化的数学建模论文

《数学建模与数学实验综合实验》 课程设计任务书 一、设计目的 通过《数学建模与数学实验综合实验》课程设计，使学生能够将课堂上学到数学建模的理论知识与实际问题相联系，在提高学生学习兴趣的同时逐渐培养实际操作技能，强化对课程内容的了解。本课程设计不仅有助于学生提高学生的建模能力，而且也有助于培养学生门的创新意识和动手能力。 二、设计教学内容 本题要求运用数学建模知识解决人力资源管理中所遇到的问题。本论文针对各项工程对技术人员限制的实际需求，充分合理地对专业技术人员进行合理配置，最终给出了该模型下的最优解，使公司收益最大化。在模型求解过程中运用matlab软件得出模型中技术力量配置的最优解，最终解决了本题中的人力资源安排问题。 三、设计时间 2011—2012学年第1学期：第16周共计1周 教师签名: 2010年12月12日

摘要 随着现代企业的发展，企业之间的竞争力越来越大，如何尽量满足客户的要求并且符合公司的人力资源，使企业的收益最大，这就涉及人员的分配问题。 合理的人力资源配置应使人力资源的整体功能强化，使人的能力与岗位要求相对应。企业的岗位有层次与种类之分，它们占据着不同的位置，处于不同的能级水平。每个人也都具有不同水平的能力，在纵向上处于不同的能级位置。企业岗位人员的配置，应能做到能级对应，也就是说每一个人所具有的能级水平与所处的层次和岗位的能及要求相对应。 本文针对各项工程对技术人员限制的实际需求，充分合理地对专业技术人员进行合理配置，最终给出了该模型下的最优解，使公司收益最大化。 首先明确目标函数为公司最大收益，根据题目要求综合考虑了各项目客户对公司各专业技术人员人数的限制及总技术人员人数的限制，以及公司各类专业技术人员资源的限制等因素，将这些因素量化，即为本题的约束条件。再利用Matlab软件得出模型中技术力量配置的最优解，即得以解决了本题中的人力资源安排问题。 关键词：多目标规划，最优化模型，约束量化

线性规划在数学建模中的应用

线性规划在数学建模中的应用 摘要： 线性规划是运筹学中发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。 本文在阅读了大量材料的基础上，集中体现了线性规划是如何应用到数学建模中去的。并且在利用数学建模的思想以线性规划为工具可以解决哪些实际问题，为我们的生活提供哪些便利。本文大体上可分为三章，第一章主要对线性规划和数学建模这两个理论做简要描述。并且叙述这两个理论的发展历程，以及研究的背景及意义。第二章主要介绍线性规划在数学建模中的应用，其中包括现在性规划在物流运输中的应用，线性规划在经济生活中的应用，以及线性规划在现代管理中的应用，并且配备了相应的例子。第三章主要讨论线性规划在实际应用方面应注意哪些细节，并对第二章的数学模型进行优化，以及对最优解方面的讨论。关键词：线性规划数学模型物流运输经济生活现代管理 Abstract: Linear programming is developed rapidly and widely applied in operational research, the method is an important branch of mature, it is one of the scientific management of auxiliary people mathematical method. Study of linear objective function under the linear constraint condition extremum problems of mathematics theory and method of LP abbreviations. It is an important branch of operational research, widely used in military, economic analysis, management and engineering technology, etc. For reasonable use of the limited manpower and material resources, financial resources and other resources to make the optimal decision, provide the scientific basis. In this paper, on the basis of reading a lot of material, how concentrated the linear programming is applied to the mathematical modeling. And in using the ideas of mathematical modeling by means of linear programming can solve practical problems, which provide which is convenient for our life. The article in general can be divided into three chapters, the first chapter mainly on linear programming and mathematical modeling the two theories are described briefly. And the development of the two theories, as well as the research background and significance. The second chapter mainly introduces the application of linear programming in mathematical modeling, including the planning in the application of logistics transportation, now the application of linear programming in economic life, as well as the application of linear programming in the modern management, and equipped with corresponding examples. The third chapter mainly discuss details which should be paid attention to in practical application of linear programming, and optimize the mathematical model of the second chapter, and the optimal solution for the discussion. Keywords: Linear programming Mathematical model Logistics transportation The economic life Modern management

LINGO线性规划数学建模论文-工作人员的最优时间分配问题的研究 - 副本

学号：1114070115 数学建模 课程设计 题目工人的时间分配问题的研究 学院数学系 专业数学与应用数学 班级2011级本科一班 姓名 指导教师 2013 年12 月 2 日

数学建模课程设计任务书 学院滨州学院专业数学与应用数学年级2011级本科一班姓名学号1114070115 课程设计题 工人的时间分配问题的研究 目 设计内容及要求： 内容：由于每个人的工作效率不同，导致不同的分配方式会有不同的时间开销。本文建立了时间规划模型对最少时间成本下的工作人员分配问题进行了研究。 要求：按《滨州学院课程设计工作规范》完成报告。 学生应完成的工作： 根据任务书的要求，为完成任务，进行考察，获取数据，进行计算，撰写一篇数学建模论文。

目前资料收集情况（含指定参考资料）： [1] 胡运权著，《运筹学基础及应用》，第五版，高等教育出版社 [2] 姜启源,谢金星,叶俊. 数学模型[M].北京:高等教育出版社 课程设计的工作计划： 1.选题、建模准备阶段（2013.11.12—2013.11.20） 2 .建模及论文撰写阶段（2013.11.21—2013.12.3） 3.论文答辩阶段（2013.12.3—2013.12.10） 任务下达日期 2013年11月19日完成日期 2013年12月2日指导老师（签名）学生（签名）

工人的时间分配问题的研究 摘要 由于每个人的工作效率不同，导致不同的分配方式会有不同的时间开销。本文建立了时间规划模型对最少时间成本下的工作人员分配问题进行了研究。 本问题中首先确定第i人做或者不做第j工作将问题定量化，再以全部的工作时间为目标函数，最后使用Lingo对目标函数求最优解得出最终结果。 关键词：最少时间最优解时间分配模型 Lingo 线性规划

优秀的数学建模论文

队长: 余正刚 联系方式:

编号专用页 评阅编号（由组委会评阅前进行编号）： 统一编号： 评阅编号： A__余正刚(公司的最优产销方案)

摘要 本文主要研究的是某企业生产一种轻工艺品公司如何安排生产使公司获利最大的问题。主要方法是利用LINGO9.0软件和MATLAB7.0求一定约束条件下的非线性最优化解。 通过对题目的分析，我们从已知的预测数据中，发现1月到5月之间各具体数据之间存在着一定的递增关系，运用这些递增关系将每月不变成本费用分摊到轻工艺品的标准成本中。 对于第一个问题中的最优产销方案是一个非线性规划问题, 我们以追求利润的最大化为目标，充分考虑了限制轻工艺品生产量的各种因素，借助LINGO9.0求得了最优产销方案如下表所示：

关键字:非线性规划最优产销方案毛收益最大化

一、符号说明和名词解释 P:月毛利率 S：月销售额 C：月生产总成本 t：月需求量 x：解雇员工人数 z：招聘员工人数 y：上月剩余产品量 h：月加班时间 q：促销月毛利益 e：促销月后两个月利益 二、基本假设 1.轻工艺品的销售价为240元，不随市场波动。在现有的营销策略下，每月产品的需求量与年初对上半年6个月的产品需求预测量相同，每个月的销售独立且保持稳定，无月份联系。 2.每个月的产品数目是独立的，各个月之间是离散的。 3.该公司对纯收入所得税的税率保持不变。 4.该公司追求每月毛利益的最大化，而无需计算税后纯收入即先不考虑销售行政过程中的费用以及所得税。. 5.公司的员工按时上下班且所有工人每月工作时间相同，社会声誉稳定。

三、问题的提出与分析 3.1问题的提出 某企业生产轻工艺品，在现有的营销策略下生产的产品按照年初前六个月的出售预测量售出。当前的市场情况是：产品由某些工人生产，这些人的生产能力有限且一定；员工可以解雇或者招聘，可以加班但每人月加班时间不超过15小时；产品的销售价格为240元/件，原材料成本为100元/件；不足的产品需要增加每件月20元的缺货损失或可以以每件200元的价钱外包加工。根据月初对产品的预测需求量，产品的销售为平均每月1028件，此时每个月的生产能力已经处于满荷状态。现在有三种提高公司利润的方案即：1、员工人数不做调整且员工按时上下班，不加班；2、对员工人数进行改动，即招聘或者解雇员工；3、重新规划安排生产，增加员工加班时间；现需要建立模型，讨论这三个方案是否有利于提高公司利润。 3.2问题的分析 经过我们的分析，认为该问题是一个在一定约束条件下的最优化问题。该企业要制定一套合理的生产计划，需要考虑的约束条件主要来自一下几个方面：其一，企业员工生产能力的限制；其二，市场对于产品需求量的限制；其三，每月剩余产品的库存成本。 分析题意后可知约束条件是非线性的，所以问题是一个非线性规划问题。 企业的毛收益（CROSS MARGIN）P为销售额S和出售产品的总成本C之差，即P=S-C。

线性规划论文

-- - - - - - - -- - - - - -- - - - - - - - -- -- - -- - -- - --- - - - - - - -- 装---- - -- - -- --- - - -- --- -- - - - -- - -- - - - - - -- -- -- - 订-- - -- - -- - - - - -- -- - - - - - - -- - -- - -- - -- - - -- ----线------- --- -- -- -- - - -- -- - -- -- - -- - -- -- - - - - - 班 级 1 1 资 产 评 估 2班 姓 名 罗 碧燕学号1 1 2 5 03 9 2 24-广东商学院答题纸（格式二）课程管理科学研究方法2011－2012学年第二学期成绩评阅人评语：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝成本投入和生产决策问题的研究摘要：随着经济全球化的不断发展，企业面临更加激烈的市场竞争。企业必须不断提高盈利水平，增强其获利能力，在生产、销售、新产品研发等一系列过程中提高企业效率、降低成本、形成企业的核心竞争力，才能在激烈的竞争中立于不败之地。只有解决了这一系列的问题，企业才能更好地进行生产决策。基于对建立线性规划数学模型分析对企业成本投入、资本分配和生产决策问题进行研究和探讨，应用分析、量化的方法，对经济管理系统中的人、财、物等有限资源进行统筹安排，从而为企业管理决策者提供科学的定量依据，并通过实例以及运用WinQSB2.0软件包进行计算机模拟仿真计算，说明该问题研究的科学性、可靠性及其应用价值。关键词：成本投入生产决策线性规划数学模型WinQSB2.0

线性规划与数学建模简介

第十三章线性规划与数学建模简介 【授课对象】理工类专业学生 【授课时数】6学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、了解数学模型的基本概念、方法、步骤； 2、了解线性规划问题及其数学模型； 3、了解线性规划问题解的性质及图解法. 【本章重点】线性规划问题. 【本章难点】线性规划问题、线性规划问题解的性质、图解法. 【授课内容】 本章简要介绍数学建模的基本概念、方法、步骤，并以几个典型线性规划问题为例，介绍构建数学模型的方法及其解的性质。 §1 数学建模概述 一、数学建模 数学建模是构造刻划客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。运用这种科学方法，必须从实际问题出发，遵循从实践到认识再实践的认识规律，围绕建模的目的，运用观察力、想象力的抽象概括能力，对实际问题进行抽象、简化，反复探索，逐步完善，直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型。因此，数学建模是一种定量解决实际问题的创新过程。 二、数学模型的概念

模型是人们对所研究的客观事物有关属性的模拟。例如在力学中描述力、 量和加速度之间关系的牛顿第二定律F＝ma就是一个典型的（数学）模型。一般地，可以给数学模型下这样的定义：数学模型是磁于以部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。 通俗而言，数学模型是为了一定目的对原型所作的一种抽象模拟，它用数学 式子，数学符号以及程序、图表等描述客观事物的本质特征与内在联系。 三建立数学模型的方法和步骤 建立数学模型没有固定模式。下面介绍一下建立模型的大体过程： 1.建模准备 建模准备是确立建模课题的过程。这类课题是人们在生产和科研中为了使 认识和实践过一步发展必须解决的问题。因此，我们首先要发现这类需要解决的实际问题。其次要弄清所解决问题的目的要求并着手收集数据。进行建模筹划，组织必要的人力、物力等，确立建模课题。 2．模型假设 作为建模课题的实际问题都是错综复杂的、具体的。如果不对这些实际问题进行抽象简化，人们就无法准确把握它的本质属性，而模型假设就是根据建模的目的对原型进行抽象、简化，抓住反映问题本质属性的主要因素，简化掉那些非本质的次要因素。有了这些假设，就可以在相对简单的条件下，弄清各因素之间的关系，建立相应的模型。 合理的假设是建立理想模型的必要条件和基本保证。如果假设是合理的，则模型切合实际，能解决实际问题；如果假设不合理中或过于简化，则模型与实际情况不符或部分相符，就解决不了问题，就要修改假设，修改模型。 3．构造模型

关于企业利益最大化的数学建模论文

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摘要 随着现代企业的发展，企业之间的竞争力越来越大，如何尽量满足客户的要求并且符合公司的人力资源，使企业的收益最大，这就涉及人员的分配问题。 合理的人力资源配置应使人力资源的整体功能强化，使人的能力与岗位要求相对应。企业的岗位有层次与种类之分，它们占据着不同的位置，处于不同的能级水平。每个人也都具有不同水平的能力，在纵向上处于不同的能级位置。企业岗位人员的配置，应能做到能级对应，也就是说每一个人所具有的能级水平与所处的层次和岗位的能及要求相对应。 本文针对各项工程对技术人员限制的实际需求，充分合理地对专业技术人员进行合理配置，最终给出了该模型下的最优解，使公司收益最大化。 首先明确目标函数为公司最大收益，根据题目要求综合考虑了各项目客户对公司各专业技术人员人数的限制及总技术人员人数的限制，以及公司各类专业技术人员资源的限制等因素，将这些因素量化，即为本题的约束条件。再利用Matlab软件得出模型中技术力量配置的最优解，即得以解决了本题中的人力资源安排问题。 关键词：多目标规划，最优化模型，约束量化 1 问题的重述 "E公司"有专业技术人员共41人，人员结构可以分为高级工程师、工程师、助理工程师以及技术员，人员结构对应的工资水平各有

数学建模：运用Lindolingo软件求解线性规划

1、实验内容： 对下面是实际问题建立相应的数学模型，并用数学软件包Lindo/lingo 对模型进行求解。 某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论: 1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资. 2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划.

数学建模论文 运用lindo/lingo软件求解线性规划运用lindo/lingo软件求解线性规划

一、摘要 本文要解决的问题是如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大。 首先，对问题进行重述明确题目的中心思想，做出合理的假设，对符号做简要的说明。 然后，对问题进行分析，根据题目的要求，建立合适的数学模型。 最后，运用lindo/lingo软件求出题目的解。 【关键词】最优解lindo/lingo软件 第二、问题的重述 某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论: 1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资。 2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划。 第三、模型的基本假设 1、每一箱饮料消耗的人力、物力相同。 2、每个人的能力相等。 3、生产设备对生产没有影响。 第四、符号说明 1、x.....甲饮料 2、y.....乙饮料 3、z.....增加的原材料 第五、问题分析 根据题目要求：如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大，可知本题所求的是利润的最大值。我们可以先建立数学模型，然后用lindo/lingo软件包求解模型的最大值。

整数线性规划理论(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 整数线性规划理论 §1 概论 1.1 定义 规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。目 前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。 1.2 整数规划的分类 如不加特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性规划模型大致可分为两类： 1o 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。 2o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。 1.3 整数规划特点 （i ） 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况： ①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。 ②整数规划无可行解。 例1 原线性规划为 21m in x x z +=

0,0,5422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：4 5min ,45 ,021===z x x 。LINGO1.lg4 LINGO11.lg4 ③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。 例2 原线性规划为 21m in x x z += 0,0,6422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：2 3min ,23 ,021===z x x 。 若限制整数得：2m in ,1,121===z x x 。LINGO2.lg4 LINGO21.lg4 （ii ） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。 1.4 求解方法分类： （i ）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。 （ii ）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。 （iii ）隐枚举法—求解“0-1”整数规划： ①过滤隐枚举法； ②分枝隐枚举法。 （iv ）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。 （v ）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。 下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。 §2 分枝定界法 对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的所有可行

数学建模-线性规划

-1- 第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G . B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则2 1,x x 应满足 （目标函数）2134max x x z += (1) s.t.（约束条件）???????≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2） 这里变量21,x x 称之为决策变量， （1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性 函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 x c x T min s.t. ?? ? ??≤≤=?≤ub x lb beq x Aeq b Ax 其中c 和x 为n 维列向量，A 、Aeq 为适当维数的矩阵，b 、beq 为适当维数的列向量。