运用相似三角形解题的方
一、寻找法
例1：如图1，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC的外接圆的上任一点，连结AD、BD．求
证：BE AE BD AB
=．
分析：要证BE AE
BD AB
=，可利用相似三角形，怎样找相似三角形呢？比的前项BE和AE是
△ABE的两条边，比的后项BD和AB是△ADB的两条边，所以我们只要证明△ABE∽△ADB就可以了．
证明：∵AB=AC ∴∠ABE=∠C，
∵∠D=∠C，∴∠ABE=∠D，
又∵∠BAD=∠BAE
∴△ABE∽△ADB
∴BE AE BD AB
=
如果这个题的结论是改成证明BE BD
AE AB
=，则应该把等式左边比的前项和后项看成一个三角形
的两条边，而把等式右边的前项和后项看成另一个三角形的两条边；或者交换比例内项的位置也可以．
二、构造法
有时，题目里面没有现成的相似三角形，就需要添线构造了．
例2：如图2，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径．求证：AB·AC＝AD·AE．
分析：AB·AC＝AD·AE改成比例式就是AB AE
AD AC
=，根据寻找法需要证明△ABE∽△ADC，
但图形中没有△ABE，因此需要连结BE，构造出△ABE，然后证明相似就
可以了．
构造法是平面几何中一种十分重要的方法，不仅在相似形中用得着，而
且在其它方面应用也非常广泛．
三、过渡法
有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过
渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．
1、等线段过渡法
例3：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．
分析：DE2＝BE·CE改成比例式为DE CE
BE DE
=，但线段DE、BE、CE
在同一直线上，构造不出相似三角形．因EF垂直平分AD，连结AE，则有
DE＝AE，要证的比例式可化为AE CE
BE AE
=．由此只需要证明△ABE∽△CAE
即可．
2、等比过渡法
例4：如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于
点F．求证：AB DF AC AF
=．
分析：显然此题不能找出直接得到这个比例式的两个相似三角
形．但由已知条件易证AB BD
AC AD
=，这就转化为证明比例式
BD FD
AD AF
=．
只须证明△AFD∽△DFB即可．
3、等积过渡法
例5：如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的
高，G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F．求证：CD2＝DF·DG．
分析：CD2＝DF·DG中的线段CD、DF、DG位于同一条直线上，按常规方法难以奏效．考虑到CD是Rt△ABC斜边AB上的高，可得CD2＝AD·BD，因此可转化为证明AD·BD＝DF·DG．这可由△ADG∽△FDB证得．
四、假借法
例6：如图6，从圆外一点P作切线PA，从PA的中点B作割线BCD，连结PC、PD，分别交圆于E、F．
求证：FE∥PA．
分析：要证FE∥PA，当然会想到证明∠E=∠BPC，因为∠D=∠E，
自然也可以想到证明∠D=∠BPC．问题是，怎么证明这两个角相等．从
图形上不难看出∠D是△BPD的内角，∠BPC是△BCP的内角，因此，
若能证明这两个三角形相似，问题就可以解决了．由切割线定理得BA2
＝BC·BD，所以BP2＝BC·BD，改成比例式为BP BD
BC BP
=，又∠PBC
是公共角，所以这两个三角形确实相似．接着就不难证明FE∥PA了．
利用相似三角形证明垂直，方法与证平行差不多，我们也举一例．
例7：如图7，BD、CE分别是△ABC的高，点O是△ABC外接圆的圆心．求证：AO⊥DE．证明：延长AO交⊙O于点F，连结CF，
则∠ACF=90°.
∵∠AEC=∠ADB=90°, ∠BAC=∠BAC,
∴△ADB∽△AEC.
∴AD AB AE AC
=
∴△ADE∽△ABC.
∴∠ADE=∠ABC.
∵∠F＋∠FAC=90°，∠F=∠ABC，
∴∠ADE＋∠FAC=90°，
∴AO⊥DE.
五、分拆法
例8：如图8，P是等边三角形ABC的外接圆的上的一点．求证：
PA2＝AB2＋PB·PC．
分析：由已知条件，不难得出△ADB∽△ABP，从而AB2＝PA·AD，因此要证原式成立，只需要证明PA2＝PA·AD ＋PB·PC，因为AD是PA的一部分，因此我们可以把PA分成AD和PD两部分，则PA2＝PA（AD＋PD）＝PA·AD ＋PA·PD，下面证明PA·PD＝PB·PC可以通过证明△PAC∽△PBD 而得到．
六、转换法
例9：如图8，P 是等边三角形ABC 的外接圆的上的一点，PA 交BC 于点D ．求证：111PB PC PD +=． 分析：111PB PC PD +=可以转换为1PD PD PB PC
+=，要证明这个等式，关键是要把两个比换成后项相同，而前项之和恰好等于后项．注意到
△PDB ∽△CDA ，△PDC ∽△BDA ，所以
PD DC PB AC =，PD DB PC AB
=，问题就转化为证明1DC DB AC BC +=，因为AB ＝AC ＝BC ，上式又可以转化为1DC DB BC BC +=，这个等式的成立是显而易见的．
运用相似三角形解题的方法是平面几何中最为有效的方法之一，其关键是寻找相似的三角形．简单的图形一眼就能看出来，稍为复杂的图形，还要将条件和结论联系起来，按照上述所列举的方法，综合考虑．