第30题传染病传播的数学模型
由于人体的疾病难以控制和变化莫测，医学中的数学模型也是较为复杂的。在研究传染病传播问题时，人们发现传染病传播所涉及的因素很多，例如，传染病人的多少，易受感染者的多少，免疫者(或感染后痊愈者)的多少等。在将某一地区，某种传染病的统计数据进行处理和分析后，人们发现了以下的规律性：
设S表示在开始观察传染病之后第k天易受感染者的k人数，H表示在开始观察后第k天传染病人的人数，I表kk示在开始观察后第k天免疫者(或感染后痊愈者)的人数，那么
S+1=S-0.01S(1)kkk(2)H+1=H-0.2H＋0.01S kkkk I+1=I+0.2H(3)kkk其中(1)式表示
从第k天到第k＋1天有1％的易受感染者得天的传k+1式表示在第(2)病而离开
了易受感染者的人群；
染病人的人数是第k天的传染病人的人数减去痊愈的人数0.2H(假设该病的患病期为5k
(3)式表示在第k＋1天免疫者的人数是第k天免疫者的人数加上第k天后病人痊愈的人数。
将(1)，(2)和(3)式化简得
如果已知S，H，I的值，利用上式可以求得S，H，10001I的值，将这组值再代入上式，又可求得S，H，I的值，2221这样做下去，我们可以逐个地，递推地求出
各组S，H，kk I的值。因此，我们把S，H，I和S，H，I之间kkkkk+1k+11k＋的关系
式叫做递推关系式。
现在假设开始观察时易受感染者，传染病人和免疫者的人数分别为
将上述数据(5)代入(4)式右边得
利用递推关系式(4)反复计算得表30-1。
在建立上述数学模型的过程中，如果还要考虑该地区人员的迁入和迁出，人口的出生和死亡所引起的总人数的变化等因素，那么传染病传播的数学模型变得非常复杂。所以必须舍去次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型。如果将由该数学模型计算的结果与实际比较后，与传染病传播的情况大致吻合，那么我们就可可以预例如，以利用该模型对得病人数进行预测和估计。．
测若干天后传染病人的人数等等，便于有关的医疗卫生部门作出相应的决策。
在上述模型中，易受感染者每天的发病率是1％，它只与易受感染者的人数S有关。对于有些传染病，情形更k为复杂，它不仅与易受感染者的人数有关，也与传染病人的人数H有关，因为传染病人的人数越多，传染病的发病k率也就越高。这样，就必须将由(1)，(2)和(3)式所给出的模型加以修改。这里，我们假设该地区人口总数为N，是一个常数。于是，
S=N-(H＋I)(7)kkk其中I为在开始观察后第k天免疫者(或感染后痊愈者)的k人数。设传染病人每天的痊愈率为α，则
I+1=I+αH(8)kkk最后，假设每天发病人数与易受感染者的人数S和传染病k人的人数H均成正比，且其比例因子为β，那么k H=H+βSH-αH(9)kk+1kkk将(7)，(8)和(9)组合起来，就得到关于S，H，I的递kkk
推关系式：
如果已知N，α和β，并给定S，H和I，那么利用000上式就可以计算H和I，利用H和I，由(7)式，可以计算1111S，然后计算H和I，再计算S，……这样，(10)式就给2212出了关于传染病传播的第2个数学模式。
利用数学模型(4)或(10)式可以对该传染病传播的情形作一些定性的分析。
设ΔS=S-S表示从第k天到第k+1天易受感染者人kk1k＋数的变化，ΔI=I-I表示从第k天到第k＋1天免疫者(或kk+1k感染后痊愈者)人数的变化。从数学模型(4)式可以看到
ΔS=-0.01S≤0kkΔI=0.2H≥0kk所以易受感染者人数只可能减少不会增加，而免疫者人数只可能增加不会减少。现问对数学模型(10)式来说，易受感染者的人数，免疫者的人数以及传染病人的人数各有什么变化规律？
分析：类似于数学模式(4)式的情形，分别计算ΔS，kΔI与ΔH(=H-H)，然后加以分析。kkk+1k解由(10)式得：
ΔS=N-(H＋I)-[N-(H+I)] kk+1kk+1k=(I-I)+(H-H)k+1k+1kk=-αH-βSH+αH kkkk
=-βSH kk所以ΔS≤0，k=1，2，…，即易受感染者人数只可能减k少不会增加。因为
ΔI=I+αH-I kkkk=αH k所以ΔI≥0，k=1，2，…，即免疫者人数只可能增加不k 会减少。
现在设ΔH=H-H表示从第k天到第k＋1天传染病kkk+1人的人数的变化，则由(10)式得
H=βSH-αH kkkk=(βS-α)H，kk所以当(βS-α)＞0时，传染病人的人数第k＋1天比第k天k增加；当(βS-α)＜0时，传染病人的人数相应地减少，k也就是说，当易受感染者人数S“大”时，可使(βS-α)kk＞0，从而传染病人的人数增加；当易受感染者的人数S k“小”时，可使(βS-α)＜0，从而传染病人的人数减少。
k解一元一次不等式
βS-α＞0(或βSkα＜0)-k得
如，打预防针等)，那么可以降低发病率从而降低β值。如果发明了一种好的药品可以缩短患病期，那么就可以提高传染病人每天的痊愈率α。
现在有这样的一个实际问题，有一个药物研究小组提出需要100万元的科研经费
在一年内试制某种预防针剂，可使发病率降低从而使β值降低25％，而另一个药物研究小组提出需要100万元的科研经费在一年内试制某种药品，可使痊愈率α提高30%。如果仅有一笔100万元的科研基金可供申请，那么这笔基金应提供给哪一个小组？
对于用药物的方法，α=(1+30%)α，β=β，所以22
由于C＞C，所以这笔基金应提供给试制预防针剂的21小组。
注：从传染病传播的数学模型的研究过程中，可以看到建立数学模型的一般过程。一般说来，建立数学模型有如下6个步骤：
第一步：模型准备
明要深入了解该问题的实际背景，根据提出的问题，
确建立模型的目的，掌握所研究对象的各种信息，如统计数据等，弄清实际对象的特征。总之，要做好建立模型的一切准备工作。
在本题中，研究者通过对某地区某种传染病传播情况的观察，积累一定的数据，例如，记录一段时期内每天传染病人，易受感染者以及免疫者(或感染后痊愈者)的人数等等，也就是说，按要求统计必要的数据，目的是建立传染病传播的数学模型，以了解传染病人的人数变化的趋势，使有关医疗卫生部门能及时采取措施，将传播病加以有效的防治。
第二步：模型假设
实际问题中往往因素很多，十分复杂。因此，必须根据实际研究对象的特征和建立模型的目的，较确切地去辨别问题的主要方面和次要方面，抓住主要因素，暂不考虑次要因素，将问题理想化、简单化。
不同的简化和假设，会得到不同的模型。假设做得不合理或过分简单，会导致模型的失败或部分失败，于是应该加以修正；假设做得过于详细，试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去，将难于发现规律和建立模型。
在本题中，我们只考虑上述三种人数：S，H和I的kkk变化情况，对人口的迁入和迁出，出生和死亡等因素暂不考虑。
第三步：模型建立
建立数学模型，通常要根据所做的假设，利用适当的数学工具，建立各量之间的等式或不等式关系，列出表格，画出图象等表达式，用以描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构。
建模时，首先要考虑合理性，并尽量使用简单的数学工具，简单工具不能解决问题时，要选用较复杂的数学工具。
在本题中是设法建立一个与实际数据比较吻合的关于S，H和I的递推关系式。例如，在建立数学模型(4)式kkk时，研究者通过对观察数据的分析，发现每天有1%的易受感染者得病，而病人的患病期为5天，
和(3)以描述易受感染者，传染病人和免疫者(或感染后痊愈者)的人数之间的内在联系。
第四步：模型求解
建立数学模型后，实际问题已归结为相应的数学问题。接着，需要求解数学问题，解出结果。
在本题中，利用数学模式(4)式，通过直接计算，就能得到表30-1所列的结果。如果借助于计算机，我们还能得到更多的数据。
本题的模型求解过程特别简单。对于有些问题，有时需要用到许多数学方法，甚至现代数学的一些方法；有时需要借助于计算机，利用算法语言，编出计算机程序，做出计算机软件等帮助求解。
第五步：模型检验
把模型求解的结果，经“翻译”再回到实际对象中，用实际现象，数据等检验模型的合理性和适用性。如果检验结果不符合或部分不符合实际情况，并且肯定在模型建立和求解过程中没有失误的话，那么应该修改假设，重新建模。
在本题中，我们可以检验由(4)式计算出来的理论数值与实际统计的数据是否吻合。如果比较吻合，则模型是成功的；如果差别太大，则模型是失败的；如果部分吻合，则可找原因，发现问题，修改模型。例如，当某种传染病每天的发病人数既与易受感染者人数有关又与传染病人的人数有关时，那么必须把原数学模型中的(2)式加以修改，假设传染病人的人数符合(10)式，建立新的数学模型(10)式，然后对新的数学模型加以检验，直到检验结果令人满意为止。
第六步：模型应用
应用的方式因问题的性质和建模的目的而不同。例如，利用计算结果做出某些决策进行管理与控制或预测未来的情况等，实际上，所建模型的意义大小就是由它的应用前景来决定的。
在本题中，利用数学模型，可以预测传染病人传播的趋势，及时采取预防和治疗措施，将病情加以控制。利用数学模型(10)式，还可以
值或者降低β值的重要性，便于有关医疗卫生部门进行决策和管理。
应该指出，并非所有建模过程都要经过这些步骤，有时各个步骤之间的界限也并不那么分明。但是，通过建模一般过程的介绍，可以对建模的意义和方法有进一步的理解。
一般说来，所谓数学模型，是指对现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。它或者能解释特定现象和现实性态；或者能预测对象的未来状况；或者能提供处理对象的最优决策或控制。对于利用数学模型经过演绎、推理、计算，给出数学上的分析、预报、决策或控制，必须经过实践的检验。对检验结果正确，或基本正确的，就可以肯定下来，用来指导实际；对检验结果悬殊较大；或基本错误的，必须修改模型。
目前数学模型已经形成一门创造性很强的新兴学科，它的应用已扩展到各个领域，有人口模型、交通模型、生态模型、生理模型、经济模型、社会模型等等，气象工作者根据关于气压、雨量、风速、……的数学模型，来预报天气；发电厂运用发电过程的数学模型，来实现计算机自动控制；在经济领域的两个数学模型，纯交换经济的平衡价格和投入产出模型，均获得了诺贝尔奖金……。科学家们对数学模型的研究，已获得了很多成果，对生产力的发展起了巨大的作用。
练习30
1．科学家将某种异体单细胞注入一个白鼠体内做实验，发现一天之后，白鼠体内该种细胞有4个，二天之后，有16个，如表30-2所示：
假设白鼠体内的该种细胞超过1000000个将死亡，而注射某种药物可杀死白鼠体内96％的该种细胞。按你的分析，试问(1)为了维持白鼠的生命，最迟什么时候必须注射该种药物？(2)如果白鼠体内的该种细胞达到1000000个时，第1次注射该种药物，使白鼠体内还剩40000个该种细胞，那么最迟什么时候必须进行第2次注射？
练习30
1．(1)根据表30—2，可以建立细胞生长的数学模型为
t，t=0，1＝4，2，…n
其中t表示天数，n表示细胞个数。
t=1000000 4解方程
t6=104
t lg4＝6lg10
≈9天23小时
因此，最迟在9天23小时之前必须注射该种药物。
t(40000)=1000000解方程4(2)
t=254
t lg4＝lg25
≈2天7.7小时
因此，最迟在2天7.7小时之前进行第2次注射。
第五章 微 分 方 程 模 型 如果实际对象的某特性是随时间（或空间）变化的，那么分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立此实际对象的动态模型，这就是微分方程模型. §1 传 染 病 模 型 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题. 考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为N ，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为计量单位. 一. SI 模 型 假设条件： 1. 人群分为易感染者(Susceptible )和已感染者(Infective )两类人，简称为健康人 和病人，在时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作()t s 和()t i . 2. 每个病人每天有效接触的平均人数是λ(常数)，λ称为日接触率，当病人与健康 人有效接触时，使健康者受感染变为病人. 试建立描述()t i 变化的数学模型. 解： ()()1=+t i t s ()()N N t i N t s =+∴ 由假设2知，每个病人每天可使()t s λ个健康者变为病人，又由于病人数为 ()t i N ，∴每天共有()()t i N t s λ个健康人被感染. 于是i s N λ就是病人数i N 的增加率，即有 i s N dt di N λ= (1)
i s dt di λ=∴ 而1=+i s . 又记初始时刻(0=t )病人的比例为0i ，则 ()()?????=-=0 01i i i i dt di λ 这就是Logistic 模型，其解为 ()t e i t i λ-??? ? ??-+= 11110 ［结果分析］ 作出()t t i ~和i dt di ~的图形如下： 1. 当2 1=i 时，dt di 取到最大值m dt di ?? ? ??，此时刻为 ??? ? ??-=-11ln 01i t m λ 2. 当∞→t 时，1→i 即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）. 二. SIS 模 型 在前面假设1、2之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS 模型.
传染病模型 医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。 社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。 一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。 问题提出 请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？ 关键字:传染病模型、建模、流行病 摘要：随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍 乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来极大的危害。还有最近的SARS病毒和禽流感病毒，都对人类的生产生活造成了重大的损失。长期以来，建立制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。 不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。 模型1 在这个最简单的模型中，设时刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数， 方程（1）的解为 结果表明，随着t的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。 建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别健康人和病人这两种人。 模型2 SI模型 假设条件为 1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易感染者即健康人（Susceptible）（S）和已感染者即病人（Infective）（i）两类（取两个词的第一个字母，称之为SI模型），以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作s(t)和i(t)。 2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ，称为日接触率。当病人与健康者接触时，使健康者受感染变为病人。
传染病的传播 摘要：本文先根据材料提供的数据建立了指数模型，并且全面地评价了该模型的合理性与实用性。而后对模型与数据做了较为扼要地分析了指数模型的不妥之处。并在对问题进行较为全面评价的基础上引入更为全面合理的假设和建立系统分析模型。运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法结合
MATLAB 编程(程序在附件二)拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测。同时运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议以及指出建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难本文的最后，通过本次建模过程中的切身体会，说明建立如SARS 预测模型之类的传染病预测模型的重要意义。 关键词：微分方程 SARS 数学模型 感染率 1问题的重述 SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： 1)建立传染病传播的指数模型，评价其合理性和实用性。 2)建立你们自己的模型，说明为什么优于指数模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件1提供的数据供参考。 3)说明建立传染病数学模型的重要性。 2 定义与符号说明 N …………………………………表示为SARS 病人的总数； K （感染率）……………………表示为平均每天每人的传染他人的人数； L …………………………………表示为每个病人可能传染他人的天数； dt d N(t)………………………… 表示为每天（单位时间）发病人数； N(t)-N(t-L)………………………表示可传染他人的病人的总数减去失去传染能力的病人数； t …………………………………表示时间； R 2 ………………………………表示拟合的均方差； 3 建立传染病传播的指数模型 3.1模型假设 1) 该疫情有很强的传播性，病人（带菌者）通过接触（空气，食物，……）将病菌传播给健康者。单位时间（一天）内一个病人能传播的人数是常数k ； 2) 在 所传染的人当中不考虑已治愈的人是否被再次被传播，治愈的人数占该地区的总人数是绝对的少数，治愈者不会再被传播并不影响疫情在该时间内的感染率常数k; 3) 病者在潜伏期传播可能性很小， 仍按健康人处理； 4) SARS 对不同的年龄组的感染率略有不同（相差不大），但我们只考虑它健康人的感染率是一样的；
传染病模型 摘要 当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。 本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。 关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。
一、问题重述 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。 1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。 2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。 3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t 时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。 二、问题分析 1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。 2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。 3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。 因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。 三、模型假设 模型二和模型三的假设条件： 假设一：在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类（取两个词的第一个字母，称之为SI模型），以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作s(t)和i(t)。 假设二：每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率。当病人
传染病模型 摘要 “传染病的传播过程”数学模型是通过控制已感染人群来实现的。利用隔离等手段来保护未被感染的人群，减少其对健康人群的危害。由于传染病具有研究新型病例有着重要的意义，利用数学知识联系实际问题，作出相应的解答和处理。问题一：描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。问题二，在区分健康人群和已经感染人群的情况下，要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型，必须在问题一的条件下作出合理假设，同时得出该模型，最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。问题三，传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染，问题三加入健康人可以再次感染，一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。 一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。从而使模型逐步完善。下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。
一．问题的提出 描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。问题二，在区分健康人群和已经感染人群的情况下，要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型，必须在问题一的条件下作出合理假设，同时得出该模型，最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。问题三，传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染，问题三加入健康人可以再次感染，一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。 二．问题的分析 2.1 问题分析 描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。 2.2模型分工
第二节传染病传播的数学模型很多医学工作者试图从医学的不同角度来解释传染病传播时的一种现象，这种现象就是在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。结果都不能令人满意，后来由于数学工作者的参与，用建立数学模型来对这一现象进行模拟和论证，得到了较满意的解答。 一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。从而使模型逐步完善。下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。 一.最简单的模型 假设：(1) 每个病人在单位时间内传染的人数是常数k；(2) 一个人得病后经久不愈，并在传染期内不会死亡。 以i(t)表示t时刻的病人数， k表示每个病人单位时间内传染的人 数，i(0)= i表示最初时有0i个传染病人，则在t?时间内增加的病人 数为 ()()() i t t i t k i t t +?-=?
两边除以t ?，并令t ?→0得微分方程 ()()()000di t k i t dt i i ?=???=? ………… （2.1） 其解为 ()00 k t i t i e = 这表明传染病的转播是按指数函数增加的。这结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长。但由(2.1)的解可知，当t →∞时，i(t)→∞，这显然不符合实际情况。最多所有的人都传染上就是了。那么问题在那里呢？问题是就出在于两条假设对时间较长时不合理。特别是假设(1)，每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际情况不符。因为随着时间的推移，病人越来越多，而未被传染的人数却越来越少，因而不同时期的传播情况是不同的。为了与实际情况较吻合，我们在原有的基础上修改假设建立新的模型。 二. 模型的修改 将人群分成两类：一类为传染病人，另一类为未被传染的人，分别用i(t)和s(t)表示t 时刻这两类人的人数。i (0)= 0i 。 假设：(1) 每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比。即()0k ks t =； (2) 一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。 由以上假设可得微分方程
传染病模型详解 /,SI SIS SIR 经典模型 经典的传播模型大致将人群分为传播态S ，易感染态I 和免疫态R 。S 态表示该个体带有病毒或谣言的传播能力，一旦接触到易感染个体就会以一定概率导致对方成为传播态。I 表示该个体没有接触过病毒或谣言，容易被传播态个体感染。R 表示当经过一个或多个感染周期后，该个体永远不再被感染。 SI 模型考虑了最简单的情况，即一个个体被感染，就永远成为感染态，向周围邻居不断传 播病毒或谣言等。假设个体接触感染的概率为β，总人数为 N ，在各状态均匀混合网络中建立传播模型如下： dS SI dt N I SI d t N ββ?=-????=?? 从而得到 (1)di i i dt β=- 对此方程进行求解可得： 0000(),01t t i e i t i i i i e ββ==-+（） 可见，起初绝大部分的个体为I 态，任何一个S 态个体都会遇到I 态个体并且传染给对方，网络中的S 态个数随时间成指数增长。与此同时，随着I 态个体的减少，网络中S 态个 数达到饱和，逐渐网络中个体全部成为S 态。 然而在现实世界中，个体不可能一直都处于传播态。有些节点会因为传播的能力和意愿 的下降，从而自动转变为永不传播的R 态。而有些节点可能会从S 态转变I 态，因此简单的SI 模型就不能满足节点具有自愈能力的现实需求，因而出现SIS 模型和SIR 模型。 SIR 是研究复杂网络谣言传播的经典的模型。采用与病毒传播相似的过程中的S ，I ，R 态 代表传播过程中的三种状态。Zanetee ，Moreno 先后研究了小世界传播过程中的谣言传播。 Moreno 等人将人群分为S （传播谣言）、I （没有听到谣言），R （对谣言不再相信也不传播）。 假设没有听到谣言I 个体与S 个体接触，以概率()k λ变为S 个体，S 个体遇到S 个体 或R 个体以概率()k α变为R ，如图 所示。建立的平均场方程：
微分方程模型 [学习目的] 1.加深对微分方程概念的理解，掌握针对一些问题通过建立微分方程 的方法及微分方程的求解过程； 2.了解微分方程模型解决问题思维方法及技巧； 3.领会建立微分方程模型的逐步改进法的核心及优点，并掌握该方法； 4.理解微分方程的解的稳定性的意义，会用稳定性判定模型的解是否 有效； 5.体会微分方程建摸的艺术性。 在自然学科（如物理、化学、生物、天文）以及在工程、经济、军事、社会等学科量的问题可以用微分方程来描述。正如列宁所说：“自然界的统一性显示在关于各种现象领域的微分方程式的‘惊人的类似中’．”（列宁选集第二卷，人民1972年版第295页）。要建立微分方程模型，读者必须掌握元素法（有关元素法，在高等数学中已有介绍）。所谓元素法，从某种角度上讲，就是分析的方法，它是以自然规律的普遍性为根据并且以局部规律的独立的假定为基础。在解决各种实际问题时，微分方程用得极其广泛。读者通过下面的几个不同领域中的模型介绍便有所体会，要想掌握好它，在这方面应作大量的练习。 §17.1、传染病传播的数学模型 [学习目标] 1.通过学习建立传染病传播的数学模型的思维方法，能归纳出该类建模的关键 性步骤及思维方法；并能指出求解传染病传播的数学模型的方法技巧； 2.能用已知的传染病传播的数学模型，预报某种传染病的传播； 3.学会从简单到复杂的处理问题的方法。 由于人体的疾病难以控制和变化莫测，因此医学中的数学模型较为复杂。生物医学中的数学模型分为两大类：传染病传播的数学模型和疾病数学模型。 以下仅讨论传染病的传播问题。人们将传染病的统计数据进行处理和分析，发现在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。这一现象如何解释呢？关于这个问题，医学工作者试图从医学的不同角度进行解释都得不到令人满意的解释。最后由于数学工作者的参与，在理论上对上述结论进行了严格的证明。同时又由于传染病数学模型的建立，分析所得结果与
222 SI/SIS,SIR 经典模型 经典的传播模型大致将人群分为传播态 S ,易感染态I 和免疫态R 。S 态表示该个体 带有病毒或谣言的传播能力，一旦接触到易感染个体就会以一定概率导致对方成为传播态。 I 表示该个体没有接触过病毒或谣言，容易被传播态个体感染。 R 表示当经过一个或多个 感染周期后，该个体永远不再被感染。 SI 模型考虑了最简单的情况， 即一个个体被感染， 就永远成为感染态， 向周围邻居不断传 播病毒或谣言等。假设个体接触感染的概率为 Γι ,总人数为 N ,在各状态均匀混合网络中 建立传播模型如下: dS - SI dU ：SI .t N 从而得到 对此方程进行求解可得: ∣o e ∣(t) ------- —∣o +i °e 可见，起初绝大部分的个体为 I 态，任何一个S 态个体都会遇到I 态个体并且传染给对 方，网络中的S 态个数随时间成指数增长。 与此同时，随着I 态个体的减少，网络中S 态个 数达到饱和，逐渐网络中个体全部成为 S 态。 然而在现实世界中，个体不可能一直都处于传播态。有些节点会因为传播的能力和意愿 的下降，从而自动转变为永不传播的 R 态。而有些节点可能会从 S 态转变I 态，因此简单 的SI 模型就不能满足节点具有自愈能力的现实需求，因而出现 SIS 模型和SIR 模型。 SIR 是研究复杂网络谣言传播的经典的模型。 采用与病毒传播相似的过程中的 S , I , R 态 代表传播过程中的三种状态。 Zanetee, Moreno 先后研究了小世界传播过程中的谣言传播。 Moreno 等人将人群分为 S （传播谣言）、I （没有听到谣言），R （对谣言不再相信也不传 播）。 假设没有听到谣言I 个体与S 个体接触，以概率,（k ）变为S 个体，S 个体遇到S 个体 或R 个体以概率: （k ）变为R ,如图2.9所示。建立的平均场方程: 传染病模型详解 [,i ° =K O ) BI 1 9 SlR 權峑眄优■业趨图
传染病传播的数学模型 很多医学工作者试图从医学的不同角度来解释传染病传播时的一种现象，这种现象就是在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。结果都不能令人满意，后来由于数学工作者的参与，用建立数学模型来对这一现象进行模拟和论证，得到了较满意的解答。 一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。从而使模型逐步完善。下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。 一.最简单的模型 假设：(1) 每个病人在单位时间内传染的人数是常数k；(2) 一个人得病后经久不愈，并在传染期内不会死亡。 以i(t)表示t时刻的病人数，表示每个病人单位时间内传染的人数，i(0)= 表示最初时有个传染病人，则在时间内增加的病人数为
两边除以，并令→0得微分方程 …………（2.1） 其解为 这表明传染病的转播是按指数函数增加的。这结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长。但由(2.1)的解可知，当t→∞时，i(t)→∞，这显然不符合实际情况。最多所有的人都传染上就是了。那么问题在那里呢？问题是就出在于两条假设对时间较长时不合理。特别是假设(1)，每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际情况不符。因为随着时间的推移，病人越来越多，而未被传染的人数却越来越少，因而不同时期的传播情况是不同的。为了与实际情况较吻合，我们在原有的基础上修改假设建立新的模型。 二. 模型的修改 将人群分成两类：一类为传染病人，另一类为未被传染的人，分别用i(t)和s(t)表示t时刻这两类人的人数。i (0)= 。 假设：(1) 每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比。即； (2) 一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。 由以上假设可得微分方程
甲型H1N1流感传播模型研究 摘要 本文采用了SIR模型对的甲型h1n1流感病毒的传播规律进行了研究和预测，文章收集了美国地区的甲流实验室确认病例数量的数据，对模型进行了验证，并提出了如何降低流感在人群中发病率的俩种可靠方法。 一、问题重述 近年来由墨西哥发端的甲型h1n1型流感（又称猪流感）正成为人们关注的焦点，通过相关网站获得数据，建立一个模型对甲型h1n1流感的走势进行预测。 二、问题分析 甲型h1n1流感的传播是一道传染病问题。在数学建模领域已经有很多关于这方面的研究，其中SIR模型是比较完整的模型。SIR模型通过建立微分方程组，按照一般的传播机理建立集中模型。本文选取美国地区的甲流实验室确认病例数量，建立SIR模型，对甲型h1n1流感的传播规律进行预测。
三、建立模型 （一）、不考虑潜伏期的数学模型 1、模型假设 （1）、在甲型H1N1流感传播期内，美国境内的总人数为N 亿不变，既不考虑生死，也不 考虑迁移，人群分为易感染者S ，发病人群I 和退出人群R(括死亡者和治愈者)四类，时刻t 内这三类人在总人数中所占比例分别为s(t)、i(t)、r(t)。 （2）、i(t)关于时间的增长率与s(t)成正比，比例常数为λ。 病人的数量减少速度与当时的病人总人数成正比，比例常数为ν。治愈 的病人具有了免疫力，即治愈后不再会成为二次患者。 （3）、s(t)、r(t)、i(t)之和是一个常数1。 2、模型构成 易感者和发病者有效接触后成为发病者者。设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为()S t λ，()NI t 个发病者平均每天能使()()S t NI t λ个易感者成为病毒潜伏者。 所以有： ()()()dS t S t I t dt λ=- （1） 单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即 ()()dR t I t dt ν= （2） 发病人群的变化等于易感人群转入的数量，即 ()()()()dI t S t I t I t dt λν=- （3） 记初始时刻的健康者和病人的比例分别为0S 、0R （不妨设0R =0）。 3、模型求解 方程组（1）、（2）、（3）无法求出解析解，我们定义一个新的变量 /σλν=，于是可以求出方程的解为： 000 1()ln s i s i s s σ=+-+ （4） 下面分析s(t)、i(t)、r(t)的变化情况： a 、不论初始条件0S 、0R 如何，病人最终将消失，即0i ∞=。 b 、最终未被感染者的健康者的比例是s ∞，是方程 0001()ln 0s s i s s σ +-+=在(0,1/)σ内的根。
传染病模型 医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。 社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。 一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S 类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I 类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S 类成员；R 类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。 问题提出 请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？ 关键字:传染病模型、建模、流行病 摘要：随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、 天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来极大的危害。还有最近的SARS 病毒和禽流感病毒，都对人类的生产生活造成了重大的损失。长期以来，建立制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。 不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。 模型1 在这个最简单的模型中，设时刻t 的病人人数x(t)是连续、可微函数， 病人人数的增加，就有 到考察的人数为常数足使人致病接触并且每天每个病人有效t t t ?+λ)(t t x t x t t x ?=-?+)()()(λ 程有个病人，即得微分方时有再设00x t = )1()0(,d d 0x x x t x ==λ 方程（1）的解为 )2()(0t e x t x λ= 结果表明，随着t 的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。 建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人
数 学 建 模 论 文 班级：商英1002班 学号：14号 姓名：谭嘉坤 指导老师：周爱群
由于人体的疾病难以控制和变化莫测，医学中的数学模型也是较为复杂的。在研究传染病传播问题时，人们发现传染病传播所涉及的因素很多，例如，传染病人的多少，易受感染者的多少，免疫者(或感染后痊愈者)的多少等。在将某一地区，某种传染病的统计数据进行处理和分析后，人们发现了以下的规律性： 设S k表示在开始观察传染病之后第k天易受感染者的人数，H k表示在开始观察后第k天传染病人的人数，I k表示在开始观察后第k天免疫者(或感染后痊愈者)的人数，那么 S k+1=S k-0.01S k (1) H k+1=H k-0.2H k＋0.01S k (2) I k+1=I k+0.2H k (3) 其中(1)式表示从第k天到第k＋1天有1％的易受感染者得病而离开了易受感染者的人群；(2)式表示在第k+1天的传染病人的人数是第k天的传染病人的人数减去痊愈的人数0.2H k(假设该病的患病期为5 (3)式表示在第k＋1天免疫者的人数是第k天免疫者的人数加上第k 天后病人痊愈的人数。 将(1)，(2)和(3)式化简得 如果已知S0，H0，I0的值，利用上式可以求得S1，H1，I1的值，将这组值再代入上式，又可求得S2，H2，I2的值，这样做下去，我们可以逐个地，递推地求出各组S k，H k，I k的值。因此，我们把S k+1，H k＋1，I k+1和S k，H k，I k之间的关系式叫做递推关系式。 现在假设开始观察时易受感染者，传染病人和免疫者的人数分别为 将上述数据(5)代入(4)式右边得
传染病传播的数学模型 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
传染病传播的 数学模型 很多医学工作者试图从医学的不同角度来解释传染病传播时的一种现象，这种现象就是在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。结果都不能令人满意，后来由于数学工作者的参与，用建立数学模型来对这一现象进行模拟和论证，得到了较满意的解答。 一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。从而使模型逐步完善。下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。 一.最简单的模型 假设：(1) 每个病人在单位时间内传染的人数是常数k ；(2) 一个人得病后经久不愈，并在传染期内不会死亡。 以i(t)表示t 时刻的病人数，0k 表示每个病人单位时间内传染的人数，i(0)= 0i 表示最初时有0i 个传染病人，则在t ?时间内增加的病人数为 ()()()0i t t i t k i t t +?-=?
两边除以t ?，并令t ?→0得微分方程 ()()()000di t k i t dt i i ?=???=? ………… （） 其解为 ()00k t i t i e = 这表明传染病的转播是按指数函数增加的。这结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长。但由的解可知，当t →∞时，i(t)→∞，这显然不符合实际情况。最多所有的人都传染上就是了。那么问题在那里呢问题是就出在于两条假设对时间较长时不合理。特别是假设(1)，每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际情况不符。因为随着时间的推移，病人越来越多，而未被传染的人数却越来越少，因而不同时期的传播情况是不同的。为了与实际情况较吻合，我们在原有的基础上修改假设建立新的模型。 二. 模型的修改 将人群分成两类：一类为传染病人，另一类为未被传染的人，分别用i(t)和s(t)表示t 时刻这两类人的人数。i (0)= 0i 。 假设：(1) 每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成 正比。即()0k ks t =； (2) 一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。 由以上假设可得微分方程
甲型H1N1流感传播模型研究 小组成员：宋科康张晓鹏姚步泉 摘要 本文采用了SIR模型对的甲型h1n1流感病毒的传播规律进行了研究和预测，文章收集了美国地区的甲流实验室确认病例数量的数据，对模型进行了验证，并提出了如何降低流感在人群中发病率的俩种可靠方法。
一、问题重述 近年来由墨西哥发端的甲型h1n1型流感（又称猪流感）正成为人们关注的焦点，通过相关网站获得数据，建立一个模型对甲型h1n1流感的走势进行预测。 二、问题分析 甲型h1n1流感的传播是一道传染病问题。在数学建模领域已经有很多关于这方面的研究，其中SIR模型是比较完整的模型。SIR模型通过建立微分方程组，按照一般的传播机理建立集中模型。本文选取美国地区的甲流实验室确认病例数量，建立SIR模型，对甲型h1n1流感的传播规律进行预测。 美国甲型H1N1流感实验室确认病例数量： 三、建立模型 （一）、不考虑潜伏期的数学模型
1、模型假设 （1）、在甲型H1N1流感传播期内，美国境内的总人数为N 亿不变，既不考虑生 死，也不考虑迁移，人群分为易感染者S ，发病人群I 和退出人群R(括死亡者和治愈者)四类，时刻t 内这三类人在总人数中所占比例分别为s(t)、i(t)、r(t)。 （2）、i(t)关于时间的增长率与s(t)成正比，比例常数为λ。 病人的数量减少速度与当时的病人总人数成正比，比例常数为ν。治愈 的病人具有了免疫力，即治愈后不再会成为二次患者。 （3）、s(t)、r(t)、i(t)之和是一个常数1。 2、模型构成 易感者和发病者有效接触后成为发病者者。设每个发病者平均每天有效接触的易感者数为()S t λ，()NI t 个发病者平均每天能使()()S t NI t λ个易感者成为病毒潜伏者。所以有： () ()()dS t S t I t dt λ=-（1） 单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少，即 () ()dR t I t dt ν=（2） 发病人群的变化等于易感人群转入的数量，即 () ()()()dI t S t I t I t dt λν=-（3） 记初始时刻的健康者和病人的比例分别为0S 、0R （不妨设0R =0）。 3、模型求解 方程组（1）、（2）、（3）无法求出解析解，我们定义一个新的变量 /σλν=，于是可以求出方程的解为： 0001()ln s i s i s s σ=+-+（4） 下面分析s(t)、i(t)、r(t)的变化情况： a 、不论初始条件0S 、0R 如何，病人最终将消失，即0i ∞=。 b 、最终未被感染者的健康者的比例是s ∞，是方程 0001()ln 0s s i s s σ +-+=在(0,1/)σ内的根。 C 、若01/s σ>，则开始有：()i t 先增加。当01/s σ=时，()i t 达到最大值，然后() i t
摘要 医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。 本论文通过建立传染病模型，分析被传人数多少与哪些因素有关，如何预报传染病高潮的到来等等。
传染病问题的研究 一﹑模型假设 1.在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N 。人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为s(t)，表示t 时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t 时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered)，其数量比例记为r(t)，表示t 时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。）占总人数的比例。 2.病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ，日治愈率（每天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=λ／μ。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。 二﹑模型构成 在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下： 在假设1 s(t) + i(t) + r(t) = 1 对于病愈免疫的移出者的数量应为 r t d N Ni d μ= 不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为0s （0s ＞0），0i （0i ＞0），0r =0. SIR 基础模型用微分方程组表示如下： di dt ds dt dr dt si i si i λμλμ?=-???=-???=?? s(t) ， i(t)的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s(t) ， i(t)的一般变化规律。 三﹑数值计算 在方程（3）中设λ=1，μ=0.3，i （0）= 0.02，s （0）=0.98，用MATLAB 软件编程： function y=ill(t,x) a=1;b=0.3;
. 传染病传播的数学模型 很多医学工作者试图从医学的不同角度来解释传染病传播时的一种 现象，这种现象就是在某一民族或地区，某种传染病传播时，每次所涉及的人数大体上是一常数。结果都不能令人满意，后来由于数学工作者的参与，用建立数学模型来对这一现象进行模拟和论证，得到了较满意的解答。 一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。先把问题简化，建立相应的数学模型。将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。从而使模型逐步完善。下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。 一.最简单的模型 假设：(1) 每个病人在单位时间内传染的人数是常数k；(2) 一个人得病后经久不愈，并在传染期内不会死亡。 以i(t)表示t时刻的病人数，表示每个病人单位时间内传染的人数，k0i(0)= 表示最初时有个传染病人，则在时间内增加的病人数为ii t 001 /
11 . ???????ttt?i?t?tk?ii0?t?t→0得微分方程，并令两边除以??tdi???ti?k?0dt?…………（2.1 ）????i0i?0??kt ei?ti0其解为0这表明传染病的转播是按指数函数增加的。这结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播很快，被传染人数按指数函数增长。但由(2.1)的解可知，当t→∞时，i(t)→∞，这显然不符合实际情况。最多所有的人都传染上就是了。那么问题在那里呢？问题是就出在于两条假设对时间较长时不合理。特别是假设(1)，每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际情况不符。因为随着时间的推移，病人越来越多，而未被传染的人数却越来越少，因而不同时期的传播情况是不同的。为了与实际情况较吻合，我们在原有的基础上修改假设建立新的模型。 二. 模型的修改 将人群分成两类：一类为传染病人，另一类为未被传染的人，i。时刻这两类人的人数。表示ti (0)= 和分别用i(t)s(t)0假设：(1) 每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的??t?kks；人数成正比。即0(2) 一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。 由以上假设可得微分方程 2 / 11 . ??tdi?????ttksi??
传染病模 摘要: 本次实验是让同学们进一步了解、巩固、加强微分方程模型的建模、求解能力；学习掌握用MATLAB进行二维和三维基本图形绘制。因为MATLAB具有很强的图形处理功能和丰富的图形表现方法。它提供了大量的二维、三维图形函数，使得数学计算结果可以方便地、多样性地实现可视化，这是其它语言所不能比拟的。MATLAB不仅能绘制几乎所有的标准图形，而且其表现形式也是丰富多样的。MATLAB不仅具有高层绘图能力，而且还具有底层绘图能力——句柄绘图方法。在面向对象的图形设计基础上，使得用户可以用来开发各专业的专用图形。help graph2d可得到所有画二维、三维图形的命令。 描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，预防传染病蔓延的手段，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型。
数学建模 问题重述 问题: 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行。现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。 1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t时刻的感染人数。 2、假设环境条件下所允许的最大可感染人数为。单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。 3、现有卫生防疫部门采集到的某地区一定时间内一定间隔区间的感染人数数据（见下表），利用该数据确定上述两个模型中的相关参数，并将它们的预测值与实际数据进行比较分析（计算仿真偏差）并对两个模型进行适当的评价。（注：该问题中，设最大可感染人数为2000人） 4、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。 问题分析 1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化 情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。 2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。 3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。 但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。 关键字: 社会、经济、文化、风俗习惯等因素