223
第六章 多元函数积分学
2008考试内容
二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用 两类曲线积分的概念、性质及计算 两类曲线积分
的关系 格林（Green ）公式 平面曲线积分与路径无关的条件 二元函数全微分的原函数 两类曲面积分的概念、性质及计算 两类曲面积分的关系 高斯（Gauss ）公式 斯托克斯（Stokes ）公式 散度、旋度的概念及计算 曲线积分的应用
2008考试要求
1.
理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。 2. 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。 3. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 4. 掌握计算两类曲线积分的方法。
5. 掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数。
6.
了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分。 7. 了解散度与旋度的概念，并会计算。
8. 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、
质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等）。
关于平面积分（二重积分）和空间积分（三重积分、二类曲线积分和两类曲面积分）共六类积分的方法和技巧。
后积先定常数限， 先积方向正直穿； 相交必须同一线， 否则域内要分拆； 隐含边界辅助线， 极坐标 逆弧圆； 多种曲线同园拆， 六大对称记心间； 三重积分切穿影， 曲线曲面入路径；
闭线闭面高托格， 开线开面三补全
开面锐正闭面外， 正规区域一项算； 极柱球系雅换元， 六类积分谙转换。
224
第一节 多元函数积分学之一（平面积分或二重积分）
一、 三基层面
1、性质与定理
①比较定理 ()()(),, D
D
f g f x y d g x y d d dxdy σσσ≤?≤=????
②估值定理 ,M m 分别为(),f x y 在闭区域D 上的最大与最小值，A 为D 的面积，则
(),D
m A f x y d s
M A
≤≤?? ③中值定理
● (),f x y 在D 上连续，则(),D ξη?∈?()(),,D
f x y ds f A ξη=??
● ()(),, ,f x y g x y 在D 上连续，则(),D ξη?∈?()()()(),,,,D
D
f x y f x y d f
g x y d σξησ=????
④几何意义
(), D
f x y d σ??等于以D 为底，以(), z f x y =为顶的曲顶柱体的体积。
2、二重积分的六大对称性
如果积分区域D 具有轴或点对称（令12
D 表示D 的一半区域，即D 中对应0y ≥部分，余类
推），被积函数(), f x y 同时具有奇偶性，那么，二重积分的计算可以得到不同程度的简化，这一技巧在研考数学中每年都必出题，务必理解记住下列六类对称性定理。
① D 关于X 轴对称（D 关于Y 轴对称类推）
②D 关于, X Y 都对称
(,),)f x y y ③D 关于原点对称
225
④当1D 和2D 关于坐标轴对称，对同一被积函数，则
⑤D 关于X a =轴对称
⑥ 适合六类积分。 ● 轮换对称性概念
如果将x 与y 及z 交换，即x
y ? , y z ?，z x ?后，积分区域方程不变，则将被积函数中的变量作同样变换后所获得的积分值与原积分值相等，这个性质在二重积分，三重积分，曲线积分和曲面积分等六类多元函数积分中都成立。
● 当区域具有轮换时，被积函数变量轮换后积分值不变。如
()a 区域关于,x y 轮换，则
()b 区域关于,,x y z 轮换
3、二重积分次序选择原则
①先看积分区域的边界方程，那个变量幂次高，就后积此变量； 【例1】计算 2
2, D
x I dxdy y
=??
D 由22, =1,2xy y x x +==所围。 解：x 幂次高，所以先积y ?22
:12,1D x y x x
≤≤≤≤+
226
222
2122217 =+arctan2- 84x x D
x x I dxdy dx dy y y π
+==???? ②若被积函数只有一个变量，就后积此变量； 【例2】sin D
y
I dxdy y
=??
，D 由2, y x x y ==所围。 解：被积函数只有一个变量y ，先积x 210sin sin 1sin1y y D
y
y I dxdy dy dx y y
===-??
??
③积分次序一般以尽可能不拆分区域（即为正规区域）为基准。 4、二重积分次序的更换方法
后积先定常数限， 先积方向正直穿； 相交必须同一线， 否则域内要分拆； 隐含边界须周全， 先后交点下上限； 极坐标θ逆弧线， 多种边界同园拆；
5、换元法技巧
以尽可能简便D 为出发点，再参考(),,f x y z 的特征。如球对称，用球坐标，锥体用柱坐标等，微分元换算利用雅可比行列式。
()()()()
()
,,[,,,],D
D x y f x y dxdy f x u v y u v dudv u v *
?=?????
()()()()
()
,,,,[,,,,,]
,,x y z f x y z dxdgdz f x u v w u v w dudvdw u v w ξ*
Ω
Ω?=????
???
其中雅可比矩阵 ()()()()
,1,,,x
x x y u
v u v y
y u v u v x y ????
?
???==
????? ? ?
????? 6、莱布尼茨关于变限积分的求导公式
227
二、重要题型与解法秘诀
【例3】1D :1
22111, 22, ()D x y I x y dxdy -≤≤-≤≤=+??
2D :2
222 01, 02, ()D x y I x y dxdy ≤≤≤≤=+??
解：f 为偶函数数，1D 关于,x y 都对称，2D 正好是1D 的
1
4
，故
2
2
2
2222
122121
220
4()4
D D
D
I I x y dxdy x dxdy y dxdy
dy x dx y dy dx ==+=+=+=??????????
【例4】计算 D
I xydxdy =?? ()()()()()2
2
222222121 :2 2 :2D x y x y D x y xy +=-+=
解：（1） D 关于,x y 对称
(),f x y xy =关于,x y 都是奇数0D
I xydxdy ?==??
（2）D 关于原点对称，()()()()(),,, ,f x y x y f x y xy f x y --=--==为偶函数，故
(),2D
D f x y d xyd σσ*
=??
??320
2sin cos 0
d dr π
θθθ=?=1
6
【例5】 更换积分次序
()()122,,0100x I dx x y dy dx f x y dy -=+??? 解：
101
: 0x D y ≤≤???≤≤?? 及 212: 02x D y x ≤≤??≤≤-? 作12D D 和图形，得：
(
)211,0
y
I dy f x y dx -=?? 【例6】 交换积分次序 ()()2
2
88
1
2
,,x x
x
I dx f x y dy dx f x y dy =+????
解： 12
12x D x y x ≤≤??≤≤? 228
8x D x y ≤≤??≤≤? 画出12,D D 图形，得： (
)()4
814
2
,,y y
I dy f x y dx dy f x y dx =+???
228
【例7】更换积分次序 ()2s i n 00
, x I dx f x y dy π
=??
解： ()()1arcsin 0
2arcsin 0
arcsin 1
arcsin , , y
y
y
y
I dy f x y dx dy f x y dx πππ---+=-??
??
【例8】更换积分次序 ()c o s
20
2
,a I d f d π
θπθρθρ
-=??
解：如改为先θ后ρ则有下列两点技巧 ① D 的边界曲线全都用极坐标表示
② 若以原点o 为圆心的一系列同心圆与y 区域D 的边界曲线中的不同曲线相交，则应在交点
处用逆时针园弧线ρ=把ρ的区间分为两个正规区域：
12arccos arccos arccos 2
222 02a a a D D a πρρρθθρρ??
-≤≤-≤≤??
??≤≤≤≤? (
)(
)cos 2cos
220
cos
4
2,,arc a arc a
a
arc a
I d f d d f d ρ
ρ
π
ρ
ρρθθρρθθ-
-=+??
能否使用极坐标主要由被积函数的特点决定，而不是由区域特点所决定；
使用极坐标方式有两种：()1原位法：cos sin x r y y θ
θ
=??=? 或()2平移法：00cos sin x x r y y y θθ=+??
=+?，选择的原则是使被积函数容易积出，如果选择不当会使积分求解复杂。请反复研究【例9】
【例10】和【例11
】。
【例9】计算 )1
2
201
I dx x
y dy
=+?
解：积分区域为：01
:1x D y ≤≤?
??-≤
≤??
显然本题适合用极坐标，
cos 12sin sin 42cos x r y r y r y r θθπθθ
?==→=????????=??=→=??交点坐标 由对称性⑤知：
1
2
2sin 2
3
4440
228sin D I r rdr d r dr d π
π
θ
θθθ=?==????
?
2
44001cos21cos4138212cos28 2248d d π
πθθπθθθ-+??????==-+=- ? ? ???????
??
229
【例10】计算
22 : , 0D
I D x y Rx R =+≤>。（重点考研题型）
解：22
2
2
2 :22R R D x y Rx x y ????
+≤?-+= ? ?????
为偏心圆域，由于被积函数的特点，故可使用极坐
标，而这里有两种取法。
如使用原位法，即 12
cos D : 0, 0cos sin 2x r r R y y θπ
θθθ=??≤≤≤≤?=?，则
()1
2
c o 22
cos 32233332
220002212111422sin 2
33333R D R I d rdr
R r d R R d R π
θθ
π
π
θθθθπ==????
??=--?=-=- ? ?
??
??
????????
如使用平移法，即 12cos D : 02, 02
sin R x r r R y y θ
θθ
?
=+??≤≤≤≤??=?，本质上是把圆心平移到原点，则
1
2
22D I d rdr πθ==??
显然上述积分十分繁琐，本题不能使用平移法。但在别的场合，必须使用平移法以简便计算，因为平移法有个优点就是能使积分上下限常数化。参见下例。
【例11】求积分()2222111222 :0
D x y I x y x y dxdy D x y ?????-+-≤
? ? ???????
=+--??+≥???
??。
解：方法一：平移法1cos 12
: 02, 012sin 2x r D r y y θθπθ
?
=+???≤≤≤≤?
?=+?? ()()
2
2
2
2
2
1
110 =02228D
D D
I x y
x y
d x d y r r d r d r r d r d
πθπθ??
????
=+--=-=?+=- ? ?
??
??
???
??????注意：
230
方法二：原位法cos 3: , 0cos sin sin 44x r D r y y θππ
θθθθ=??-≤≤≤≤+?=?
()()222cos sin 8
D
D
I x y x y dxdy r r r rdrd π
θθθ=+--=+-==
????
读者可以尝试计算上述积分，其中的计算过程要必平移法复杂得多！ 【例12】 求球面 ()22220x y z a a ++=> 被平面 4a z =和 2
a
z =所夹部分的表面积 解：
2
2222
2222x y z a x y a
z a z ????++=+=?????????=???=?
?
222222244
x y z a x y a
z a z ????++=+=?????????=???=?
?
上半球z =
x y z z ==由于对称性
(
220
4 41 422
xy
xy
D D S dxdy
d a π
θρπρπ=====??
?
【例13】 D I = D 由4
236x y xy ??
+=
???
在第一象限所围成的区域。 解：由4
236x y xy ??
+= ???解出,x y 相当困难，为此采取极坐标，令
2
22c o s
3s i n
x y ρθρθ?=??=??为广义极坐标，则
231
4
4222222sin cos sin cos 236x y xy ρρθθρθθ??
+=?=?= ?
??
所研究的曲线在第一象限，于是0,sin cos 2πθρθθ??
∈?=????
解出,ρθ上下限， sin cos 00,
;2
π
ρθθρθ=→=?=
()()22,2cos 4cos sin 12sin cos ,3sin 6sin cos x y J θρθθρθθρθθ
ρθθ
?-==
=?
1
sin cos 22220
sin cos sin cos 6 15
D I d d d d π
θθ
ρθθρθ
θθθρ===
??
【例14】 求椭球体的体积 222
2221x y z a b c
++=
（广义极坐标） 解：作广义极坐标变换cos sin x ar y br θ
θ
=??=
?z ?= J abr =
再采用穿线法，有120
4
83
V d dr abc πθπ==???
【例15】计算 cos D x y I dxdy x y ??-= ?
+???? 1
0, 0x y D x y +=??==?所围区域。 解：令, u x y v x y =-=+
()()()(),111
,11,2
,11
x y J u v u v x y ?====?-??
1011111
cos
cos 2sin1sin 02222
uv
D v u u I dudv dv du vdv v v v ===?=-????? 【例16】计算10ln b a
x x I dx x
-=?
解： 1100ln b a y b x x I dx x dy dx a x ??
-==????
???()()1l n 1l n 10y b d y x d x b a
a ==+-+??
232
【例17】
I = 1
02
x D y ?≤??≤≤??
解：题中2y x =为隐含边界
1
2
D D I =+
211511320x dx dx x π=+=+--????
【例18】 sin()D
I x y dxdy =+?? :0, 0D x y ππ≤≤≤≤
解：1
2
sin()sin()D D I x y dxdy x y dxdy =+-+????
【例19】 2
2
sgn()x
y
I x y e dxdy +=+ 2:D x y ≤≤【例20】 34D I x ydxdy =+?? 22
:1D x y +≤
解：21
2120
003cos 4sin 5sin()I d r r rdr d r dr π
πθθθθ?θ=+=+???
? 3
a r c t a n 4?= 2200
0551020
sin()sin sin 3333
d d d ππ
πθ?θθθθθ=
+===???
（利用0
()()())T
a T
T
a
f x a dx f x dx f x dx ++==??
?）
233
同步练习：
22D
x y dxdy -- 22:1D x y +≤ 答案：916π。 【例21】计算2
2
1
x y I x y dxdy +≤=
+??
解：隐含边界为 0x y +=，令
()()()1213, | , 01
4437, | , 0144, | , 0144D D D ππρ??ρππρ??ρππρ??ρ??
=-≤≤≤≤??????=≤≤≤≤????
??
=-≤≤≤≤??
??
()()()()()()()
221
2
1
121123
1
44
220 , =0 =4 , 4cos D
D D x y D D D D
D D D D D I x y dxdy x y dxdy x y dxdy x y dxdy
x y dxdy x y dxdy
x y dxdy D x y x y dxdy xdxdy D x y d ππ??+≤?=?=-
=
+=+=+-+=+-
+??
=+-+ ? ???
=??
???????????????? 因为关于都对称，所以 因为关于 具有轮换对称性
1
20
d ρρ=
??
【例22】()cos D
I x y d σ=+??，:D 由, 0, 2
y x y x π
===
所围。
解：隐含放边界 ()c o s 02
x y x y π
+=?+=
在图上画出此辅助线。用12
D 表示积分区域的下半部分，则：
()()()[]1
2
420
44200
2cos 2cos 2cos 21sin 21
2
y
y
D y
y
I x y d dy x y dx x y dy y dy ππ
π
π
π
σπ
--=+=+=+=-=
-??????????
【例23】计算{}22 1 : ,1D
I x y dxdy D Max x y =--≤??。
解：隐含边界2222101x y x y --=?+=把区域D 的第一象限部分分为左右两子域12 D D 和
234
()()()()()()()1
2
1
21
21
222222222
21
22
20
1
1
2001
=4141814
1814
12113
84122244
D
D D D D D D D I x y dxdy x y dxdy x y dxdy
x y dxdy x
y dxdy d d x dxdy
dy x dx π
θρρρππ??=-------=-----=---??
=?
?---=-
???????????????????
【例24】 设区域D 由3,1,1y x y x ===-所围，试计算22[1()]D
I x yf x y d δ=++??
解：作辅助线3y x =-，则D 分为12D D 和。显然，1D 关于X 轴对称，2D 关于Y 轴对称。
1
2
3
3
1
22220
1
[1()][1()]2
5
D D x x
D I x yf x y d x yf x y d xd xdx dy σσ
σ--=+++++===-
????????
【例25】 计算22(2sin 44)D x y I x y d p q σ=+-++?? 22
2:D x y a
+= 解：由于D 关于X ，Y 轮换对称性，故
22
(2sin 44)D x y I x y d p q σ=+-++?? 中被积函数又可以轮换，积分值不变
又由于D 关于X ，Y 轴均对称，故
2sin 0D
xd σ-=?? 40D
yd σ=??
22222222220042
1()42111
()()42111
()4211
()44D D D
a
x y y x I d d p q p q x y d a p q r dr a p q a a p q
π
σσσππππ=++++=+++=
++=++????????
【例26】 求{}22
min ,x y D
I x y e
d σ--=?? ()(),,x D y ∈-∞
+∞???∈-∞
+∞??
235
(
)(
)2
2
2
2
22
22
x y x
y y x y x
y
x
x y x y I xe d ye d dy xe
dx dx ye dy σσ
----≥<+∞
+∞-+-+-∞
-∞
-∞
-∞
=+=
+=????????
【例27】设二元函数(
)2, 1, 12x x y f x y x y ?+≤?
=<+≤， 计算二重积分(),D f x y d σ??，其中 (){},|2D x y x y =+≤。
解：记(){}1,|1D x y x y =+≤，21D D D =-
()()(
))
1
2
1
2
21122112
000000
,,,441
13
D
D D D D y x x f x y d f x y d f x y d x d x dx dy dx dx σσσ
σσ
---=+=+??=+-??
????
=+??????????????
【例28】已知()()
()
2
20
ln 1x
t u I x du dt x x -=+?；求()0
lim x I x →。
解：当0x
>时，记()()()
2
cos :02, 0ln 1D
t u dudt
D u x t I x x x -≤≤≤≤=
+??
当0
x <时，记()()()
2
cos :20, 0ln 1D
t u dudt
D x u t I x x x --≤≤≤≤?=
+??
根据积分中值定理：
()()()222
2cos cos cos 2
D D
t u dudt S x π
ξηξη-=-?=-?
??
236
()()()()()2
2
2
2
cos 2
lim lim 2cos 2
lim lim 2
lim 2
x x x x x x I x x x
x I x x x
I x π
ξηπ
π
ξηπ
π
++
--
→→→→→-?
==
-?
=-=
=
【例29】计算()(),D
I a f x y dxdy =??，其中：
()()2
2
, 0,:0, ,0, x x a y a
D x y ax a f x y other
?≤≤≤?+≥>=???，求()
0l i m I a
a +→
解：D 关于x 轴对称，(),f x y 关于y 是偶函数，则
()(
)()()1
c o s 2
00003
33
3
4
3
320
3
3
0002
222cos 2231cos 3
34228
8lim
lim lim 2114ln 122
a a a D I a a a a I a xdxdy xdx dy d r rdr a a a a d a a a a I a a a a a π
θπ
θθπθθπππ+
+
+→→→??==-???
??=-
=-???=--===-+????????
【例30】求()
220y px
p q y qx =<<= 和 ()0xy a a b xy b =<<=所围D 的面积 解：作变换，令2
, y u xy v x
==，由此把原有的曲线区域变成矩形区域 ()()()()22
2
,1111
,3,32,x y J u u y u v u y y
x x y x x
y x
?=
====??-? ()1
111ln 333D D b q q
S dxdy dudv dv du b a a p u u p ====-??????
【例31】设(), f x y 为恒大于零的连续函数，求证：()()
()2
1b
b
a
a
f x dx dx b a f x ?≥-??
。
237
证明：采用二重积分的逆向思想。设 : , D a x b a y b ≤≤≤≤，
()()()()()()()()()()()()()()()
()()()()()()()()()11
11
12111 22222b
b
b b
a a a a D
b
b
b b
a
a a a D
D D D D D f x I f x dx dx f x dx dy dxdy
f x f y f y f y I f x dx dx f y dy dx dxdy
f x f x f x f x f y I dxdy dxdy f y f x f x f y f x f y dxdy dxdy dxdy b f y f x f y f x =?=?==?=?=?
??=+????
????=+≥??==-?
????
???
?
??????
???????
????????()2
a
【例32】计算{}, 1D
I Max xy dxdy =??，其中(){}, | 02, 02D x y x y =≤≤≤≤。
解：用双曲线的上支将D 分成两块： ()()1122: 1, , : 1, , D xy x y D
D D D D xy x y D
≤∈??=?=?≥∈??
而1D 为非正规区域，过点1, 22??
???
作平行于y 轴的直线，把1D 分为左右两个正规区域11D 和12D
{}1112
2
12
2
2
1110
2
2
, 11119
1ln 24
D
D D D x x
I Max xy dxdy dxdy dxdy xy dxdy
dx dy xdx ydy ==?+?+?=++=
+????????????
【例33】设()f x 是区间[)0, +∞上具有连续导数的单调增加函数，且()01f =。对任意
[)0, t ∈+∞，直线0, x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成的旋转体，若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求()f x 。 解：依题意得
(
()2
022t
t
f x f x dx ππ=??（也可使用古尔金第二定理） 0t =时，上述等式显然成立。现在上式两边对t 求导得
(
()()()
()()
(
)
()
(
)()
(
(
)
(
(
()()
2
010
ln
01
0101
ln
ln
1
2
f t f t
f f t
y f x
x
x
x x
f t f t f t
dy dx
y x c
dx
y
y y
y x y e
y x x y e
f x y e e
'
?≥
=?≠
=
-
-
'
?=??????→=
??
=+=+
=
??
???→?
??
??=
=?
=
??
?+=?+=
=?=?=
?==+
单增
又
【例34】设函数()
()
()0
2,
,
0,
x y D
f x y
x y D
∈
??
=?
?
??
，
[]
[]
0, 1
0, 1
x
D
y
?∈
?
=?
∈
??
，求()()
,
x y t
F t f x y dxdy
+≤
=??。解：含参数的积分问题采用平移法决定参数的取值范围是作者的精妙秘诀。
平移法的思想是：先画出
D的区域图，再令0
x y
+=为基准直线，然后把该基准直线分
别平移到
D的全部边界点上，如本题，把基准直线0
x y
+=平移到边界点1
x=，得分界直线1
x y
+=，再把基准直线0
x y
+=平移到边界点()
1, 1
x y
==，得分界直线2
x y
+=，于是得出所求积分关于参数t的三个分段点0, 1, 2
t=，所以有
()10
t≤()()
,00
f x y F t
=?=
()201
t<≤，把基准直线平移到该区域任意位置，得直线x y t
+=，该直线与x轴的交点为t，于是
()()
{}{}0
2
00
,2t t x
x y t D
F t f x y dxdy dx dy t
-
+≤?
===
????
()312
t<≤，把基准直线平移到该区域任意位置，得直线x y t
+=，该直线与x轴的交点
在区域
D外，不可作为积分限，但该直线与1
y=交于()
1, 1
t-，为于是
()()
{}{}
()()
11112
00101
,2221242
t t x
t t
x y t D
F t f x y dxdy dy dx dx dy t t x dx t t
--
--
+≤?
==+=-+-=-+-???????
()42
t>，()()
{}{}0
11
00
,22
x y t D
F t f x y dxdy dx dy
+≤?
===
????
238
239
第二节 多元函数积分学之二（三重积分、曲线、曲面积分）【数学1，A 】
一、三重积分
1．关系网络环连
2．三重积分的对称性 ① Ω关于X0Y 平面对称
② Ω关于X0Y 和X0Z 平面都对称
③ Ω关于3个平面都对称
④ Ω关于x a =平面对称（Ω关于y a =，z a =平面对称结论类推）
3．直角坐标下三重积分的二种方法
240
3.1 两类正规区域： ()a 穿线正规区域：
设Ω为一空间闭区域，如果经过Ω的任一个内点平行于某个坐标轴的直线与Ω的边界曲面交于由唯一曲面方程决定的两点，那么这个区域称为该坐标方向的正规区域。如果Ω对沿三条坐标轴方向都是正规区域，那么Ω称正规区域。 ()b 切片（截面）正规区域：
设Ω为一空间闭区域，如果经过z t =任意平行xoy 平面的平面切之，所得截面边界曲线由同一方程给定，则Ω称z 截面的正规区域。如果如果Ω对沿三条坐标轴的截面都是正规区域，那么Ω称正规区域。
在求三重积分时，遇到的区域为非正规区域时，那么就要用平行于某一个坐标平面的平面或投影柱面将区域分成几个正规子区域，在每个子区域上积分，然后相加得之。对于正规区域，计算三重积分有下列两种方法。
3.2 穿线法（先一后二法）：先做关于某个变量的定积分，然后做关于另外两个变量的二重积分，例如，先对z 积分，则将Ω投影到0X Y 平面得投影域xy D ，过xy D 内任意一点(),x y 作平行于Z 轴的直线，使之与Ω相穿，下部边界穿入点11(,)z z x y =，上部边界穿出点得
22(,)z z x y =， 则
21(,)
(,)
(,.)(,.)
xy
z x y z x y D f x y z d dxdy f x y z dz Ω
Ω=???
???
3.3 切片法（先二后一法或截面法）先做某两变量的二重积分，然后做关于另一变量的定积分，例如先计算关于X ，Y 的二重积分，然后计算关于Z 轴的定积分，则先将Ω投影到Z 轴得坐标[,]z c d ∈，然后对任给[,]z c d ∈，对坐标为z 且平行于0X Y 平面的截面，截Ω得到一个平面闭区域z D ，则
(,
,)(,,)z
d
c
D f x y z d d z f x y z d x d y
Ω
Ω=????
??
切片法常用于被积函数仅是z 的函数，或用垂直于z 的平面去截Ω所得()D z 是圆域或其一部分时的情形！尤其最适合于旋转体。
241
三重积分没有法线方向，穿线沿坐标轴正向。
【例35】 计算2I z dv Ω
=??? 2222222
2x y z R x y z R z
Ω++≤++≤为与的公共部分 解：由于被积函数不含,x y ，使用切片法简便
2
R
z =
为相交平面 由于截面非正规区域，故需分成上下两部分12,ΩΩ
22221:2x y z R R z R ?++≤?Ω?≤≤?? 22222:02x y z R z R
z
?++≤?
Ω?≤≤?? 截面22221():, D z x
y R z r +≤-=截面2222():2, D z x y Rz z r +≤-=1
2
22I z dv z dv ΩΩ=+??????
122
220
2()
()
R R
R D z D z z dz
d z dz
d σσ=+???
???
2
2
2
22
5
20
2
59
()(2)480
R
R
R z R z dz z Rz z dz R πππ=-+-=
?
? 【例36】
I zdv Ω
=??? {(,,)|, 04}x y z z z Ω=≤≤≤≤
解一：切片法。是正规区域。
4
420
{(,,)|,}128z
D z z
I zdv zdz rdrd D x y z z z z I zdz d rdz π
θ
θπ
Ω
===≤
===???
?????
1
2
22222222124
2424
4
42{(,)|4},{(,)|1648}128xoy xoy r
D D r x y D x y x y D x y x y I rdrd zdz rdrd zdz
d rdr zdz d zdz ππθθθθπ
+==+≤=≤+≤=+=+=????????
解二：穿线法。由于区域非正规，需用分成个正规区域
242
解三：使用球面坐标，在球面坐标系中，
s i n c o s s i n s i n c o s x y z ρθ?
ρθ?
ρθ=??
=??=?
平面4
4cos 4cos z ρθρθ
=?=?= 而
14
yoz z z y π
θ=???→=±→=
平面
224
223cos 0
4
tan 3
cos sin 128yoz y y z I d d d π
π
θππ
θθ?θρθρθρπ
=???→=→=±=→==?=???
平面
【例37】22(),I x y dv Ω
=+Ω???是由曲线22, 0y z x ==绕Z 轴旋转一周而成的曲面与两平面
Z=2，Z=8所围的立体。
解法一： 切片法
旋转曲面方程 222, 28x y z z +=≤≤
228
222
()8222
():2()336D z D z x y z I dz x y dxdy
dz d rdr πθπ
+≤=+==?????
解法二：使用柱面坐标，在柱面坐标系中，
c o s s i n
x r y r z z θ
θ=??
=??=?
2228
22
2
():220336D z x y z r z r I dz d rdr π
θπ
+≤?≤?≤≤=?=??
4． 三重积分次序更换技巧
()a 邻近平面交换原则； ()b 第三变量常数原则。
如形如 ()
()
()()
()
2111,,,,b
x z x y a x z x y I dx dy f x y z dz ??=??
?
，的积分，积分次序为z y x →→，如要通过交
换积分次序，使z y x x z y →→?→→，即
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。
第二章 一元函数微分学 一、 导数 （一）、导数概念 1、导数的定义： 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ?时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -?+=?，如果当0→?x 时，x y ??的极限存在，即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1：根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解：223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 ＝当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义： 如果当)0(0-+→?→?x x 时，x y ??的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左
高等数学教案 、
第一章 函数、极限与与连续 本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。具体的要求如下： 1． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中 逐步加深理解，对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。 2． 掌握极限四则运算法则。 3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。能够正确运用等价无穷小求极限。 5. 理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上）连续函数的概念。 6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。 7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。 第一章共12学时，课时安排如下 绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1.4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1.4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时 绪论 数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。 关于数学应用和关于微积分的评价： 恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。 张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了（《数学通报》数学与文化2001.1.封二） 初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。
第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0
)(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x
数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义(数三经济意义) 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数(数三不要求)的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径(数三不要求) 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义(数三经济意义)，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数(数三不要求)以及反函数的导数。
5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理(数三了解)，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。(数三不要求) 【常考题型】 1.导数概念; 2.求给定函数的导数或微分(包括高阶导数)隐函数和由参数方程确定的函数求导; 3.函数的单调性和极值; 4.曲线的凹凸性与拐点; 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数; 6.利用洛必达法则求极限; 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。
第六章多元函数微分学 ［单选题］ 1、 设积分域在 D由直线x+y二0所围成，则 | dxdy 如图: ［单选题］ 2、 A 9 B、4 C 3
【从题库收藏夹删除】 【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 ［单选题］ 3、 设H 二才，则y=() A V 皿2-1) B 、xQnx-1) D 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 首先设出-,J ' 二一；，然后求出 最后结果中把二】用’’次方代换一下就可以得到结果. ［单选题］ 4、 Ft F'y,尸空二 dx F f y
［% I 设Z = 则去九￡ |（） km ，（心+& J D ）L 『（也几） AK^*° A'X ?■ 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】D 【您的答案】您未答题 【答案解析】本题直接根据偏导数定义得到 ［单选题］ 5、 设z=ln （x+弄），示=（） A 1 B 、 X+旷" C 1-2妒 盂+沙 D X + 帘 一" 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 B 、 lim U m /侃+山+ 3) — / (险用) Ay 了0+山』0）—/（兀 几） Ar lim /(x+Ax.y)-/^) 4y
|"S 1 I 对x求导，将y看做常数，小门?八 ［单选题］ 6、 设U 了：,；_丁；：￡=() 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】<■■-?■■■■■：川［单选题］ 7、 设f(x r x+y) = ^ + x2t则￡0,卩)+ ￡(尽刃二() A丨； B、… C : D ', 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 f(x,兀+y)=砂+ F二疏》+兀) /fcy) = ^y X '(^y)=y 二兀 ￡(2)+另(“)=曲 ［单选题］ 8
第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤
第八章 多元函数微分法及其应用 第一讲 多元函数的基本概念 授课题目： §8.1多元函数的基本概念 教学目的与要求： 1、理解多元函数的概念． 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质． 教学重点与难点： 重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念． 讲授内容： 一、平面点集 n 维空间 1、平面点集 平面上一切点的集合称为二维空间, 记为R 2 即 R 2=R ?R={(x , y )：x , y ∈R } 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集，记作 E ={(x , y )：(x , y )具有性质P }. 例如，平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 C ={(x , y )：x 2+y 2 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U ．. 点与点集之间的关系： 任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ?R 2之间必有以下三种关系中的一种： （1）内点：如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )?E , 则称P 为E 的内点． （2）外点：如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )?E =?, 则称P 为E 的外点． （3）边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点． E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作?E ． E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E ． （4）聚点：如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点． 由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E ． 例如, 设平面点集E ={(x , y )|1 一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限： 1．93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4．0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6．x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8．943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11．01 sin lim 20=→x x x （无穷小的性质） 多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） `第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。 第六章 多元函数微分学 答案及评分标准 一、1、B 解：原式6)11(3lim )11(3lim 0 000=++=++=→→→→xy xy xy xy y x y x . 2、A 解：2R D =，当022≠+y x 时，),(y x f 连续；当022=+y x 时 22222221)(210),(y x y x y x y x f +=++≤-.即)0,0(0),(lim 0 0f y x f y x ==→→. 3、B 4、D 解：)0,0()0(111222?>≥?≥++≥z z y x z 是最小值点，由于)0,0(为定义域内点，所以)0,0(也是极小值点. 5.C 解：由方向导数的定义可得. 二、1、 2ln 2、xy xyz xyz yz -- 3、21f z f '+'，2212 2f xz f x f ''+''+' 解：21211f z f z f f x u '+'=?'+?'=??， 故22122222122f xz f x f x f z f x f z x u ''+''+'=?''+'+?''=???. 4、{2x －4,4y －6,6z －8} 解：grad f ={2x －4,4y －6,6z －8}；grad f |(2,1,2)={0,－2,4}， |grad f |(2,1,2)=，即f 在点(2，1，2)处方向导数 的最大值为. 5、 dy dx +2ln 2 三、解：1cos sin ?+?=????+????=??v e y v e x v v z x u u z x z u u )]cos()[sin(y x y y x e xy ++?+= ……………5分 1cos sin ?+?=????+????=??v e x v e y v v z y u u z y z u u )]cos()[sin(y x x y x e xy ++?+= ……………10分 四、解：xy x z 2=?? y x y z cos 2+=?? （4分） x y x z 22=??? （7分） y y z sin 22-=?? （10分） 高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( D ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( C ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( C )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( C ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ A ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ C ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ D ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ C ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = 2 . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在 点 x 连续，则 f )]()([lim 0→-0 x f x f x x =______f ’(xo)_________； 14. =→x x x x 5sin lim 0_________0.2__； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _______e*e__________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________2___1_____ 第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞∞或00型，) ()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算： 基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法 第六章多元函数微积分复习要点 一、基本概念及相关定理 1.多元函数的极限定义：函数(,)z f x y =在区域D 内有定义，当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数 A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于 000(,)P x y 时的极限.记作0 lim (,)x x y y f x y A →→=,或00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或 lim (,)f x y A ρ→=,或 (,)f x y A →,0ρ→.其中 ， ρ= 2.二元函数连续的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义，如果对任意 0(,)()P x y U P ∈，都有 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=（或 0lim ()()P P f P f P →=），则称函数(,)z f x y =在点000(,) P x y 处连续. 3.偏导数的定义：函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义. （1）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导 数定义为00000 (,)(,)lim x f x x y f x y x ? →+?-?，记作 00 x x y y z x ==??，或 00 x x y y f x ==??， 或00(,)x z x y '，或00(,)x f x y '，即 x x y y z x ==??=00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ? →+?-?. （2）函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对 y 的偏导 . 第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ） . 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。 第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题： 第六章 多元函数微积分 一、单项选择题 二、填空题 1.设z=22y x +，则)2,1(dz =___________. 2.设z =x y cos ，则全微分d z =___________. 3.设z=x e xy ,则y x z ???2=______________________. 4．设z =(2x +y )2y ，则x z ??=________. 5.设z=y x 322e -,则y x z ???2=_______________. 6．设函数v u w w v u w v u f ++-=)(),,(，则=-+),,(xy y x y x f ． 7.设函数z =22y x +,则偏导数 =??x z _________. 三、计算题 1．设z=arctan x y ，求y x z 2???. 2．设隐函数z （x,y ）由方程x+2y+z=2xyz 所确定，求 x z ??. 3．计算二重积分I=??+D 22dxdy )y x (x ，其中D 是由直线x=0, y=0及x+y=3所围成的闭区域. 4.设z =z (x ,y )是由方程e xyz +z -sin(xy )=1所确定的隐函数，求 x z ??,y z ??. 5.计算二重积分I = ??D y x xy x d d )cos(2，其中D 是由直线x =1,y =x 及x 轴所围成的平面区域. 6.计算二重积分??D y x y x d d 2，其中D 是由直线y =x ,x =1以及x 轴所围的区域. 7．计算二重积分??=D y x x I d d ，其中区域D 由曲线x y = ，直线x =2以及x 轴围成. 8.方程xyz -ln(xyz )=1确定了隐函数z =z (x,y ),求y z x z ????,. 第一章 习题1-1 1.用区间表示下列不等式的解 2(1)9;(2)1;1(3)(1)(2)0;(4)00.01 1 x x x x x ≤>--+<<<+ 解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3]. (2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞). (3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1). (4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+??>?即0210x x x ≤≤??>??>? 所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2]. (3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ?--≥?-≠??->?即6112x x x -≤≤??≠?? 《高等数学》（上）“一元函数微分学”复习题 1.设x x f +=1)(ln ，求)(x f '. 2.设函数)(x f 二阶可导，且0)0(=f ，1)0(='f ，2)0(=''f ，求20)(lim x x x f x -→. 3.设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim 2=-→x x f x ，求)2(f '. 4.若)(sin x f y =，求dy . 5.若函数)(x f 可导，)(sin 2x f y =则 dx dy 为多少？ 6.设函数)1ln()(2x x f -=，求)(x f ''. 7.求等边曲线x y 1=在点2) ,2 1(的切线方程. 8.设函数???≥+<=0 ),1ln(0,sin )(x x x x x f ，求)0(-'f 、)0(+'f ，并判断)0(f '是否存在. 9.确定常数a ，b 使函数? ??>-≤+=0,0,13sin )(x b ae x x x f x 在0=x 处可导. 10.求曲线???==t y t x sin 2cos 在3π=t 处的切线方程和法线方程. 11.求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数的微分dy . 12.设函数x x x y ?? ? ??+=1，求其导数y '. 13.设曲线的参数方程为?????==-t t e y e x 23，求22dx y d . 14.求由方程12 2=-y x 所确立的隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d . 15.设函数)(x f y =由方程4ln 2y x xy =+确定，求() 1,1dx dy . 16.求椭圆442 2=+y x 在点()2,0处的二阶导数22dx y d . 17.设()3,1是曲线2 3bx ax y +=的拐点，求b a ,. 第六章 多元函数微积分 §6.1 空间解析几何简介 一、填空题 1. )12,4,3(-M 点到坐标轴的距离为_________； 2. 以点)3,2,1(--为球心过)0,2,1(--点的球面方程为_________； 3. 将xoy 坐标面上的圆2)1(2 2 =-+y x 绕oy 轴旋转一周所生成的球面方程是___________，且球心坐标是_____________，半径为___________； 4. 方程222 0223 x y z +-=表示旋转曲面.，它的旋转轴是_________； 5.方程z y =2 在平面解析几何中表示__________，在空间解析几何中表示___________； 6. 点)3,2,1(--到平面042=-+z y x 的距离为_________； 7. 过三点)2,0,1(1-M ，)0,0,1(2M ，)0,1,1(3M 的平面方程为_________； 8. 在空间直角坐标系中方程?? ???=-=- 0214 92 2x z x 表示_________； 9. 曲面z y x =-2 2 在xoz 坐标面上的截痕是_________； 10. 双曲抛物面z y x 23 2 2 =-与xoy 坐标面的交线是_________； 11. 由曲面22y x z += 与222y x R z --=所围成的有界区域用不等式组可表示为 _________； 12. 用平面h x =去截双叶双曲面122 2222-=+-c z b y a x ，所得截痕是__________；若用平 面)(2 2 b k k y >=截上述曲面所得截痕是_________ . 二、分别画出下列方程在平面和空间上的图形 （1）x y =2一元函数微分学练习题(答案)
多元函数微分学总结
第六章多元函数微分法及其应用试题答案
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一元函数微分学知识点
第六章多元函数微积分复习概要
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