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概率论与数理统计习题8详细解答

习 题八

8.1某油品公司的桶装润滑油标定重量为10千克。商品检验部门从市场上随机抽取10

桶,称得它们的重量(单位:千克)分别是10.2,9.7,10.1,10.3,10.1,9.8,9.9,10.4,10.3,9.8. 假设每桶油实际重量服从正态分布.试在显著性水平01.0=α下,检验该公司的桶装润滑油重量是否确为10千克,试给出检验的p 值的计算公式.

解:问题归结为检验如下假设 10:10:10≠?=μμH H 此处n=10,01.0=α,S=0.246.25.321=??

?

??-αn t ,于是拒绝域为 253.010

246.025.325.30=?

=?

≥-n

S X μ

而253.006.01006.100<=-=-μX ,所以我们接受原假设,即桶装润滑油重量确为10千克。可以算得,该检验的P 值为

{}5.0771

.010/246.01006.10/10=≥=??

?

??

??

?

?

?-≥--n T P n S X P μ

8.2假设香烟中尼古丁含量服从正态分布,现从某牌香烟中随机抽取20支,其尼古丁含量的平均值6.18=X 毫克,样本标准差S=2.4毫克,取显著性水平01.0=α,我们能否接受“该种香烟的尼古丁含量的均值18=μ毫克” 的断言 ?

解:问题归结为检验如下假设 18:18:10≠?=μμH H 此处n=20,01.0=α,S=2.4.86.221=??

?

??-αn t ,于是拒绝域为 53.120

4.286.29.2||0=?

=?

≥-n

S X μ

而53.16.0186.18||0<=-=-μX ,所以我们接受原假设,即我们接受“该种香烟的尼古丁含量的均值18=μ毫克”的断言.

8.3(1)考虑正态总体),(2

σμN 和假设检验问题 0100::μμμμ>?≤H H

证明:当2σ已知时,则拒绝域为 ασμZ n

X ≥

-0

的检验的显著性水平为α。 若2σ未知 则拒绝域为 )(10ασμ-≥

-n t n

X

的检验的显著性水平为α.

(2)在习题8.2中, 对4.2=σ毫克和S=2.4毫克两种情况,我们能否接受“该牌的香烟尼古丁含量不超过17.5毫克”的断言?

证明:(1)取显著水平α>0,对于正态总体),(2σμN 和假设检验问题 0100::μμμμ>?≤H H

因0H 中的均值μ都比1H 中的μ小,所以从直观上看,较合理的检验法则应当是:若观察值X 与0μ的差过分大,即0μ-X >c 时,我们拒绝接受0H .采用与书中类似的讨论,可以推出

ασZ n

c =

于是拒绝域为 ασμZ n

X ≥

-0

类似地,当2σ未知 则拒绝域为 )(10ασμ-≥

-n t n

X .

(2) 第1种情况,4.2=σ,问题归结为检验如下假设

5.17:18:10>?=μμH H

此处n=20,01.0=α,4.2=σ.33.2=αZ ,于是拒绝域为 25.120

33.24.20=?

=≥-n Z X ασ

μ

而25.11.15.176.180<=-=-μX ,所以我们接受原假设,即我们接受“该种香烟的尼

古丁含量的均值5.17=μ毫克”的断言.

第2种情况,S=2.4,问题归结为检验如下假设

5.17:18:10>?=μμH H

此处n=20,01.0=α,S=2.4.33.21=-n t ,于是拒绝域为 36.153.220

4.2)(10=?=

--αμn t n

S X

而36.11.175.16.180<=-=-μX ,所以我们接受原假设,即我们接受“该种香烟的尼古丁含量的均值5.17=μ毫克”的断言.

8.4 设某厂生产的产品尺寸服从正态分布),(2σμN ,规定标准尺寸为120毫米,现从该厂抽得5件产品 测量其尺寸分别为

119,120,119.2,119.7,119.6

试判断产品是否符合规定要求,即检验假设120:120:10≠?=μμH H (显著性水平

α=0.05).

解:问题归结为检验如下假设

120:120:10≠?=μμH H

此处n=5,05.0=α,经计4.0=S .查表78.2)025.0(1=-n t ,于是拒绝域为 497.078.25

4.0)(||2

10=?=≥

--αμn t n

S X

而样本观察值5.119=X ,497.05.0|1205.119|||0>=-=-μX ,所以我们不接受原假设,即可判断产品不符合规定要求.

8.5设甲、乙两煤矿所产的煤中含煤粉率分别为)5.7,(1μN 和)6.2,(2μN

为检验这两个煤矿的煤含煤粉率有无明显差异,从两矿中取样若干份,测试结果如下:

甲矿 :24.3,20.8,23.7,21.3,17.4, 乙矿 :18.2,16.9,20.2,16.7

试在显著性水平α=0.05下,检验“含煤粉率无差异” 这个假设。

解:问题归结为检验如下假设

211210::μμμμ≠?=H H

此处55.721==,m σ;46.22

2==,m σ,查表得96.12/=αZ ,在显著性水平α=0.05

下的拒绝域为

87.24

6.25

5.79

6.12

22

12

/=+

?

=+

≥-n

m

Z Y X σσα

经计算样本观察值185.21==Y ,X ,87.25.3185.21>=-=-Y X ,因此我们不接受原假设,即可判断这两个煤矿的煤含煤粉率有明显差异,甲矿的煤含煤粉率高于乙矿的煤含煤粉率。

8.6比较A 、B 两种小麦品种蛋白质含量,随机抽取A 种小麦10个样品,测得3.14=X ,2

1S =1.62.随机抽取B 种小麦5个样品,

测得7.11=Y ,2

2S =0.14,假定这两种小麦蛋白质含量都服从正态分布,且具有相同方差,试在01.0=α水平下,检验两种小麦的蛋白质含量有无差异。

解:问题归结为检验如下假设

211210::μμμμ≠?=H H

此处已知2221σσ=未知;21S =1.62,22S =0.14, 16.12

51014

.0462.192

)1()1(2

2

212

=-+?+?=

-+-+-=

n m S n S m S

查表得01.3)005.0(2=-+n m t ,在显著性水平α=0.01下的拒绝域为

78.101.316.15

10510)2

(

2=???+=

+≥

--+αn m St mn

n m Y X

样本观察值78.16.27.113.14>=-=-Y X ,因此我们不接受原假设,即可判断A 种小麦的蛋白质含量高于B 种小麦的蛋白质含量。

8.7由于存在声音反射的原因,人们在讲英语时在辅音识别上会遇到麻烦。有人随机选取了10个以英语为母语的人(记为A 组)和10个以英语为外国语的人(记为B 组),进行了试验,下面记录了他们正确反应的比例(%). A 组:93,85,89,81,88,88,89,85,85,87, B 组:76,84,78,73,78,76,70,82,79,77.

假定这些数据都来自正态总体,且具有公共方差,试在α=0.05下,检验这两组的反应是否有显著差异?

解:问题归结为检验如下假设

211210::μμμμ≠?=H H

此处已知2221σσ=未知;经计算22123.3=S ,2

2203.4=S ,

3.132

101003

.4923.392

)1()1(2

22

2

212

=-+?+?=

-+-+-=

n m S n S m S

查表得1.2)025.0(2=-+n m t ,在显著性水平α=0.05下的拒绝域为

42.31.23.1310

101010)2

(

2=???+=

+≥

--+αn m St mn

n m Y X

经计算样本观察值,3.7787==Y ,X 42.37.93.7787>=-=-Y X ,因此我们不接受原假设,即可判断A 组的反应高于B 的反应。

8.8某厂生产的瓶装纯净水要求标准差02.0=σ升,现在从超级市场上随机抽取20瓶这样的纯净水,发现它们所装水量的样本标准差S=0.03升.假定瓶装纯净水装水量服从正态分布,试问在显著性水平α=0.05下,我们能否认为它们达到了标准差02.0=σ升的要求?

解:问题归结为检验如下假设

2

2

12

2

002.0:02

.0:≠?=σ

σ

H H

这里n=20,()85.32025.0221921==??? ??-χαχn ,()90.8975.0212

1921==??? ?

?--χαχn 。又已知

S=0.03,因为

85.3275.4202

.003.019)1(2

2

2

2

>=?=

-σS

n

所以我们不接受原假设,即可判断该厂生产的瓶装纯净水不符合标准差02.0=σ升的要求。

8.9试写出检验(8.36)的推导过程. 见教材P .183。略

8.10试对习题8.7的数据,检验假设

2

221122

2

10::σσσ

σ≠?=H H

解:因为m=n=10,在显著性水平α=0.05下的拒绝域为

()03.4025.029,91,12

2

21

==??

?

??≥--F F S S n m α

()248.003.41)025.0(1975.0219

,99,91,12

2

21

====??? ??

-≤--F F F S S n m α

642.003

.423.32

22

2

2

1==

S

S ,)03.4,248.0(642.0∈

所以两组的方差无差异。

8.11某种导线要求电阻标准差不超过0.005欧姆,今在生产的一批导线中随机抽取9根 测量后算得S=0.07欧姆.设电阻测量值服从正态分布,问在α=0.05下,能否认为这批导线的电阻值满足原来的要求?

解:问题归结为检验如下假设

2

2

12

2

0005

.0:005

.0:>?=σ

σ

H H

这里n=9,()()51.1505.02821==-χαχn 。又已知S=0.07,因为

51.1568.1505

.007.08)1(2

2

20

2

>=?=

S

n

所以我们不接受原假设,即认为这批导线的电阻值不满足原来的要求。

8.12孟德尔豌豆试验中 有一次观测到黄色和绿色豆子的数目分别为70和27,试在显著性水平α=0.05下, 检验“黄色和绿色豆子的数目为3:1”的理论。

解:定义随机变量

???=.

0,1若豆是绿色若豆是黄色,,

X

记)0(),1(21====X P p X P p ,我们要检验假设 4

1,43:210=

=

p p H

(1)将),(+∞-∞分成两个区间),2

1

(1+∞=I ,)2

1

,(2-∞=I

(2)计算每个区间上的理论频数,这里n=70+27=97

75.724

3971=?

=np ,25.244

1972=?

=np

(3)实际频数,901=f ,272=f (4)416.025

.24)

25.2427(75

.72)

75.7270(2

2

2

=-+

-=

χ

查表得416.084.3)05.0()05.0(2

121>==-χχk ,所以我们接受原假设,即认为黄色和绿色

豆子的数目为3:1。

8.13在一个复杂试验中,孟德尔同时考虑豌豆的颜色和形状,一共有四种组合:(黄,圆),(黄,非圆),(绿,圆),(绿,非圆),按孟德尔理论这四类应有9:3:3:1的比例 在一次观察中,他发现这四类观测到的数目分别为315,101,108和32,试在α=0.05下,检验“9:3:3:1” 这个理论。

解:定义随机变量

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记)4()3()2(),1(4

3

21========X P ,p X P ,p X P p X P p ,我们要检验假设

16

116

316

3,169:4

3

210=

==

=

,p

,p

p p H

(1)将),(+∞-∞分成四个区间

),5.3(],5.3,5.2(],5.2,5.1(],5.1,(4321+∞===-∞=I I I I ,)21,

(2-∞=I

(2)计算每个区间上的理论频数,这里n=315+101+108+32=556

75

.3416

1556,25.10416

3556,75.31216

95564321=?

==?

===?

=np np np np (3)实际频数,32,108,101,3154321====f f f f

(4)75

.34)

75.3432(25

.104)

25.104108(25

.104)

25.104101(75

.312)

75.312315(2

2

2

2

2

-+

-+

-+

-=

χ

470.021763.013489.010132.001619.0=+++=

查表得470.0348.9)05.0()05.0(2321>==-χχk ,所以我们接受原假设,即接受“9:3:3:1” 这个理论。

8.14某汽车修理公司想知道每天送来修理的车数是否服从泊松分布 下表给出了该公司250天的送修车数:

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试在α=0.05下,检验原假设 :一天内送修车数服从泊松分布)(λP 。

解:定义随机变量X 为一天送修车数,X 的取值有:0,1,2,…,10. (1)将),(+∞-∞分成十一个区间

),5.9(,9,,2,1],5.05.0(],5.1,5.0(],5.0,(1010+∞==+-==-∞=I i ,i i I I I i

记10,,2,1,0),( =∈=i I X P p i i ,我们要检验假设

:0H 总体X 服从泊松分布

{},,2,1,0,!

e

==

=-i i i X P i

λ

λ

由于在0H 中参数λ未具体给出,故先估计λ.由最大似然估计法得5==X λ。

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(3)列表计算统计量∑

=-=

10

2

2)

(i i

i i f f f 理理实χ

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由表得

=-=

=10

2

2

)

(i i

i i f f f 理理实χ

4.496

(4)查分位表得31.18)05.0(210

=χ,因为统计量=2

χ 4.496<18.31,所以我们接受原假设,可以认为一天内送修车数服从泊松分布)(λP 。

8.15为检验一颗骰子的均匀性,对这颗骰子投掷60次,观察到出现1,2,…,6点的次数分别为7,6,12,14,5,16试在α=0.05下,检验原假设:这颗骰子是均匀的,即每个点出现的概率均为

6

1.

解:设X 表示每次骰子出现的点数,记i p i X P ==)(,我们要检验假设 6,,2,1,6

1:0 ==

i p H i

(1)将),(+∞-∞分成六个区间

),5.5(,5,,3,2],5.0,5.0(],5.1,(621+∞==+-=-∞=I i i i I I

(2)计算每个区间上的理论频数,这里n=60

106160=?

=i np

(3)实际频数,16,5,14,12,6,7654321======f f f f f f

(4)10

)

1016(10

)105(10

)

1014(10

)

1012(10

)106(10

)107(2

2

2

2

2

2

2

-+

-+

-+

-+

-+

-=

χ

=0.9+1.6+0.4+1.6+2.5+3.6=10.6

(5)查表得06.1007.11)05.0()05.0(2

521>==-χχk ,所以我们接受原假设:每个点出现

的概率均为6

1,即这颗骰子是均匀的。