关于圆的定理

圆幂定理

圆幂的定义:一点P 对半径R 的圆O 的幂定义如下：22OP R - 所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。

圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)及他们推论的统称。

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

如图，AB 、CD 为圆O 的两条任意弦。相交于点P ，连接AD 、BC ，则∠D=∠B ， ∠A=∠C 。所以△APD ∽△BPC 。所以

A P P D A P

B P P

C P

D P C

B P

=??=?

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。

如图，PT 为圆切线，PAB 为割线。连接TA ，TB ，则∠PTA=∠B （弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA ∽△PBT ，所以

2

P T P A P T

P A P B P B

P T

=?=?

割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 PA·PB=PC·PD 。

这个证明就比较简单了。可以过P 做圆的切线，也可以连接CB 和AD 。证相似。 存在：P A P B P C P D ?=?

进一步升华（推论）：

过任意在圆O 外的一点P 引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A 、B （可重合，即切线），L2与圆交于C 、D 。则PA·PB=PC·PD 。若圆半径为r ，则

2

2

2

2

()()||PC PD PO R PO R PO R PO R ?=-?+=-=-（一定要加绝对值，原因见下）

为定值。这个值称为点P 到圆O 的幂。（事实上所有的过P 点与圆相交的直线都满足这个值）

若点P 在圆内，类似可得定值为2222||R PO PO R -=-

故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝 对值。（这就是“圆幂”的由来）

切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段相等，它与圆心的连线平分两切线的夹角；

（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；

（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；

（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；

（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；

（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

图形理

理

【圆的解析几何性质和定理】

〖圆的解析几何方程〗

圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。

圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

〖圆与直线的位置关系判断〗

平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：

如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1

当x=-C／Ax2时，直线与圆相离；

当x1

初三下册数学圆知识点定理总结

1.垂径定理及推论: 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理， 即“垂径定理”“中径定理”“弧径定理”“中垂定理”. 几何表达式举例： ∵ CD过圆心 ∵CD⊥AB 2.平行线夹弧定理： 圆的两条平行弦所夹的弧相等. 几何表达式举例： 3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中） “等角对等弦”；“等弦对等角”； “等角对等弧”；“等弧对等角”； “等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”； “等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”. 几何表达式举例： (1) ∵∠AOB=∠COD ∴ AB = CD (2) ∵ AB = CD ∴∠AOB=∠COD 4．圆周角定理及推论: （1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半； （2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图) （3）“等弧对等角”“等角对等弧”； （4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图) （5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如 图) （1）（2）（3）（4） 几何表达式举例： （1）∵∠ACB=∠AOB ∴…………… （2）∵ AB是直径 ∴∠ACB=90° （3）∵∠ACB=90° ∴ AB是直径 （4）∵ CD=AD=BD ∴ΔABC是RtΔ 5．圆内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外 角都等于它的内对角. 几何表达式举例： ∵ ABCD是圆内接四边形 ∴∠CDE =∠ABC ∠C+∠A =180° 6．切线的判定与性质定理: 如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理. （1）经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线； （2）圆的切线垂直于经过切点的半径； ※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 几何表达式举例： （1）∵OC是半径∵OC⊥AB ∴AB是切线 （2）∵OC是半径 ∵AB是切线 ∴OC⊥AB （3）…………… 7．切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等；圆心和这一 点的连线平分两条切线的夹角. 几何表达式举例： ∵ PA、PB是切线 ∴ PA=PB ∵PO过圆心 ∴∠APO =∠BPO 8．弦切角定理及其推论: 几何表达式举例：

圆中的基本概念及定理(一) (含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1：圆中相关的定理以及推论： 垂径定理：____________________________________________________； 推论：________________________________________________________； 总结：知二推三①___________________________________， ②_______________________，③______________________， ④_______________________，⑤______________________． 问题2：四组量关系定理：在_____________________中，如果_______________、______________、_______________、_______________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 问题3：圆周角定理：_______________________________________； 推论1：______________________________________； 推论2：____________________________；________________________________． 推论3：______________________________________． 问题4：三点定圆定理：_____________________________________． 问题5：圆中处理问题的思路： ①_______________________________________； ②_______________________________________； ③_______________________________________； ④_______________________________________． 圆中的基本概念及定理(一) 一、单选题(共10道，每道10分) 1.如图，CD是⊙O直径，弦AB⊥CD，垂足为点F，连接BC，BD，则下列结论不一定正确的是( ) A. B.AF=BF C.OF=CF D.∠DBC=90°

人教版初三数学上册与圆有关的几个定理

蔡甸区常福中学九年级数学下册教学案 课题：几何计算专题复习--与圆有关的定理 第13周 主备人：袁劲梅 教研组长：向俊伟 审核人______ 授课人： 袁劲梅 授课时间2017.5.28 编号______ 学案 教案 一、课堂导入： 本节课我们学习几何知识里几个新的定理，进一步掌握这些定理的推导和灵活运用。 二、揭示目标： 学生齐读学习目标，了解本节课的学习内容及应达到的目标。 三、合作探究： 1、小组合作探究（讨论质疑） 学生合作完成该部分题目。①要求小组各成员都能不同程度的解答各题，先完成的帮助后进生，老师巡视了解学生的完成情况；②选代表上台讲解解法。 2、组间合作探究（交流释疑） 各组成员可随意请求质疑或发表不同解法； 四、归纳小结 总结：本节课学习了与圆有关的几个定理： 弦切角定理 切割线定理 射影定理 1、熟练掌握这些定理的推导过程； 2、通过这些定理结论，直接解题，提高解题速 一、考点分析 此题型为中考题中的第21题圆的综合题，主要考查圆与直角三角形、切线有关定理、三角函数、相似的计算，命题极为灵活，考查知识面广，有一定的难度。结合图形特征利用定理结论求线段的长度是必考的知识点。 二、学习目标 1、学习一些新的定理，并推导出结论。 2、能够灵活运用这些结论解决圆中线段的长，角的三角函数的计算。 三、课堂前置 如图：在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于P, 求证：PA ·PB=PC ·PD 四、课堂新授 知识一：弦切角定理 如图，已知PC 为⊙O 的切线，PBA 为割线. 求证：∠1=∠A 例1：如图：PA 、PB 与⊙O 相切与A 、B 两点，C 为优弧AB 上的一点，若tan ∠ACB=2，则sin ∠APB 的值为______.

圆的重要定理

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 【课前测试】 1. PT 切⊙O 于T ，CT 为直径，D 为OC 上一点，直线PD 交⊙O 于B 和A ，B 在线段PD 上，若CD ＝2，AD ＝3，BD ＝4，则PB 等于（ ） A. 20 B. 10 C. 5 D. 【知识点回顾】 1.切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 2.切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB 切⊙O 于P ，PC 、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。 5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段 定理 图形 已知 结论 证法 相交弦定理 ⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于P. PA·PB＝PC·PD . 连结AC 、BD ，证：△APC∽△DPB . 相交弦定理的推论 ⊙O 中，AB 为直径，CD⊥AB 于P. PC 2 ＝PA·PB . 用相交弦定理.

圆有关定理

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 １．切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 2.切线长定理 如图1对于切线长定理，应明确(1)若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2)若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（３）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形;(4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；(5）圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 ３．弦切角(如图2)：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AＢ切⊙O于P，PC、ＰＤ为弦，图中几个弦切角呢?(四个)∠APC,∠APD,∠ＢＰＤ,∠BPC 4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。即如上图中∠APC=∠CＤP等 证明:如图2，连接CD、OC、OP,因为∠CPＯ=∠PCO,所以∠COP=180?-2∠CPO而∠ＣPO＝9０?－∠APC,故∠COP=2∠5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角,圆内角，圆外角。 6．遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7．与圆有关的比例线段 定理图形已知结论证法 相交 弦定 理 ⊙O 中,AB、 ＣＤ为 弦,交于 P． PA·ＰB=PＣ·PD 连结AC、ＢD,∠C＝∠B,∠A=∠D, 所以△APC∽△DPB 相交 弦定 理的 推论 ⊙O中， AB为直 径，Ｃ D⊥ＡＢ 于P． PC2=PA·PB 用相交弦定理． 切割 线定 理 ⊙O 中,PT切 ⊙O于T, 割线PB 交⊙O于 A PT2=ＰA·PＢ 连结TＡ、TB,则∠PTA=∠B(弦 切角等于同弧圆周角）所以 △PTA∽△PBＴ，所以 PT2=PＡ·PB 图1 图2

圆中的基本概念及定理(讲义及答案)

圆中的基本概念及定理（讲义） ?课前预习 在小学的时候，我们知道“一中同长”表示的是圆，中心称为，固定的线段长称为，还知道半径为r 的圆的周长为，面积为． 在七年级我们学习了圆的另外一种说法：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O 称为圆心，线段OA 称为半径． 一条弧AB 和经过这条弧的两条半径OA，OB 所组成的图形叫做扇形． 顶点在圆心的角叫做圆心角．

1

?知识点睛 1.在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周， 另一个端点A 所形成的图形叫做．其固定的端点O 叫做，线段OA 叫做．以点O 为圆心的圆，记作，读作“圆O”． 2.圆中概念： 弧：，弧包括和； 弦：； 圆周角：； 圆心角：； 弦心距：； 等圆：； 等弧：． 3.圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是； 圆是中心对称图形，其对称中心为．4.圆中基本定理： *（1）垂径定理： ．推论： ．（2）四组量关系定理：在中，如果 、、、 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． （3）圆周角定理： ．推论1：． 推论2：， ．推论3： ．注：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．圆中处理问题的思路： ①找圆心，连半径，转移边； ②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式； ③遇直径，找直角，由直角，找直径； ④由弧找角，由角看弧．

2

? 精讲精练 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为 M ，下列结论不一定成立的是（ ） ︵ ︵ A ．CM =DM B ． CB = B D C ．∠AC D =∠ADC D ．OM =MB 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC ，若 AB = 的半径为 ． ，则⊙O 3. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10 mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为 mm ． 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图，圆拱桥桥拱的跨度 AB =12 m ，桥拱高 CD =4 m ，则拱桥的直径为 ． 5. 如图，在⊙O 中，直径 CD 垂直于弦 AB ，垂足为 E ，连接 OB ， CB ．已知⊙O 的半径为 2，AB = 2 ，则∠BCD = ． 6 3

圆中三大切线定理

14 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版 围田地 漫画释义 满分晋级阶梯 圆7级 期末复习之圆中的 重要结论及应用 圆6级 期末复习之圆的综合 圆5级 圆中三大切线定理 2 圆中三大切线定理

中考内容与要求 中考考点分析 圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考 15

16 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版 查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。 要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。 年份 2011年 2012年 2013年 题号 20，25 8，20，25 8，20，25 分值 13分 17分 17分 考点 圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系 圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系 圆中的动点函数图像，圆的基本性质(垂径定理、圆周角定理)，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系 知识互联网 题型一：切线的性质定理

17 题目中已知圆的切线，可以“连半径，标直角”，然后在直角三角形中利用勾股、相似或锐角三角函数解决问题。 【例1】 如图，在△ABC 中，BC AB =，以AC 为直径的⊙0与BC 边 交于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE ，交AB 于点E ，若 DE ⊥AB ．求证：BE AE 3=． 判定切线共有三种方法：定义法、距离法和定理法，其中常用的是距离法和定理法，可以总结为六字口诀，定理法是“连半径，证垂直”，距离法是“作垂直，证半径”，定理法的使用频率最高，必须熟练掌握。 【例2】 如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过O 作OE ⊥AC 于点E ，过点A 作⊙O 的切线 交OE 的延长线于点F ， 典题精练 思路导航 典题精练 思路导航 题型二：切线的判定定理 E O D C B A

圆概念公式定理

1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr2 3.扇形弧长l=nπr/180 4.扇形面积S=nπr2/360=rl/2 5.圆锥侧面积S=πrl 〖圆的定义〗 几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。 轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。 集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 〖圆的相关量〗 圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率， 值是 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944 5923078164062862089986280348253421170679...， 通常用π表示，计算中常取3.14为它的近似值(但奥数常取3或3.1416)。 圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。 扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。 〖圆和圆的相关量字母表示方法〗 圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d 扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S 〖圆和其他图形的位置关系〗 圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

各种圆定理总结.

费尔巴赫定理 费尔巴赫定理三角形的九点圆与内切圆内切，而与旁切圆外切。 此定理由德国数学家费尔巴赫（K·W·Feuerbach，1800—1834）于1822年提出。 费尔巴赫定理的证明 在不等边△ABC中,设O,H,I,Q,Ia分别表示△ABC的外心，垂心，内心，九点圆心和∠A所对的旁切圆圆心.s,R,r,ra分别表示△ABC的半周长，外接圆半径，内切圆半径和∠A 所对的旁切圆半径,BC=a,CA=b,AB=c. 易得∠HAO=|B-C|,∠HAI=∠OAI=|B-C|/2; AH=2R*cosA,AO=R,AI=√[(s-a)bc/s],AIa=√[sbc/(s-a)] 在△AHI中，由余弦定理可求得: HI^2=4R^2+4Rr+3r^2-s^2; 在△AHO中，由余弦定理可求得: HO^2=9R^2+8Rr+2r^2-2s^2; 在△AIO中，由余弦定理可求得: OI^2=R(R-2r). ∵九点圆心在线段HO的中点, ∴在△HIO中，由中线公式可求得. 4IQ^2=2(4R^2+4Rr+3r^2-s^2)+ 2(R^2-2Rr)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2) =(R-2r)^2 故IQ=(R-2r)/2. 又△ABC的九点圆半径为R/2, 所以九点圆与内切圆的圆心距为 d=R/2-r=(R-2r)/2=IQ. 因此三角形的九点圆与内切圆内切。 在△AHIa中，由余弦定理可求得: IaH^2=4R^2+4Rr+r^2-s^2+2(ra)^2; 在△AOIa中，由余弦定理可求得: IaO^2=R(R+2ra). 在△HIaO中，由中线公式可求得. 4IaQ^2=2(4R^2+4Rr+r^2-s^2+2ra^2)+2(R^2+2Rra)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)=(R+2ra) ^2 故IaQ=(R+2ra)/2.

初三圆知识点及定理

高图教育数学教研组卢老师专用 - 1 - 《圆》知识点及定理 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?dr??点C在圆内； 2、点在圆上?dr??点B在圆上； 3、点在圆外?dr??点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?dr??无交点； 2、直线与圆相切?dr??有一个交点； 3、直线与圆相交?dr??有两个交点；

d r d=r rd 四、圆与圆的位置关系 外离（图1）?无交点?dRr??； 外切（图2）?有一个交点?dRr??； 相交（图3）?有两个交点?RrdRr????；内切（图4）?有一个交点?dRr??； 内含（图5）?无交点?dRr??； 图1rRd

五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB是直径②ABCD?③CEDE?④弧BC?弧BD⑤弧AC?弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD ∴弧AC?弧BD Rd rddCBAO图2rRd图Rd图dOEDCBA OCDAB． 高图教育数学教研组卢老师专用

初三数学.圆中三大基本定理.教师版

中考内容 中考要求 A B C 圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题 圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、 圆心角的关系 能用弧、弦、圆心角的关 系解决简单问题 能运用圆 的性质解 决有关问 题 圆周角了解圆周角与圆心角的关系； 知道直径所对的圆周角是直角 会求圆周角的度数，能用 圆周角的知识解决与角有 关的简单问题 能综合运 用几何知 识解决与 圆周角有 关的问题 垂径定理会在相应的图形中确定垂径定 理的条件和结论 能用垂径定理解决有关问 题 点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了 解切线的概念，理解切线与过 切点的半径之间的关系；会过 圆上一点画圆的切线；了解切 线长的概念 能判定直线和圆的位置关 系；会根据切线长的知识 解决简单的问题；能利用 直线和圆的位置关系解决 简单问题 能解决与 切线有关 的问题 圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题 弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题 扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题 圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积 能解决与圆锥有关的简单 实际问题 中考内容与要求 圆中三大基本定理

圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新题型。 要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解 年份2011年2012年2013年 题号20，25 8，20，25 8，20，25 分值13分17分17分 考点 圆的有关证明，计 算（圆周角定理、 切线、等腰三角形、 相似、解直角三角 形）；直线与圆的 位置关系 圆的基本性质，圆 的切线证明，圆同 相似和三角函数的 结合；直线与圆的 位置关系 圆中的动点函数图 像，圆的基本性质 (垂径定理、圆周角 定理)，圆同相似和 三角函数的结合； 直线与圆的位置关 系 中考考点分析 知识互联网 题型一：垂径定理

圆相关定理

弦切角定理 一、弦切角 1、弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做(弦切角就是与弦所夹的角） 如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角。 二、弦切角定理 1、弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半 2、弦切角定理证明（分三种情况讨论）： 已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧. 求证：弦切角定理 ①圆心O在∠BAC的一边AC上 ∵AC为直径，AB切⊙O于A， ∴弧CmA=弧CA ∵为半圆, ∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角 ②圆心O在∠BAC的内部 过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E，连接EC、ED、EA ∴∠CED=∠CAD ∠DEA=∠DAB ∴∠CEA=∠CAB B ③圆心O在∠BAC的外部, 过A作直径AD交⊙O于D ∴∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90 ∴∠CDA=∠CAB 三、弦心角推论 1、推论内容：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 2、应用： Eg.如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C 求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD. 证明：∵AB是⊙O直径 ∴∠ACB=90 ∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B， ∵MN切⊙O于C ∴∠MCA=∠B， ∴∠MCA=∠ACD， 即AC平分∠MCD，

同理：BC平分∠NCD. 圆幂定理——相交弦定理 一、相交弦定理 1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等） 几何语言： ∵弦AB、CD交于点P ∴PA·PB=PC·PD（相交弦定理） 1、推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的 比例中项的概念：如果a、b、c三个量成连比例即a:b=b:c，b叫做a和c的比例中项。 2、性质：b2=a*c 几何语言： ∵AB是直径，CD垂直AB于点P ∴PC2=PA·PB（相交弦定理推论） 二、相交弦定理证明 证明：连结AC，BD 由的推论 得∠A=∠D，∠C=∠B（推论2: 同(等)弧所对圆周角相等） ∴△PAC∽△PDB， ∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD 圆幂定理——切割线定理 一、切割线定理 1、切割线定理：从圆外一点引圆的和，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT2=PA·PB（切割线定理） 2、推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）/(） 由上可知:PT2=PA·PB 即PT2=PC·PD 二、切割线定理证明 已知：如图ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T， 证明：PT2=PA·PB 证明：连接AT, BT ∵∠PTB=∠PAT() ∠P=∠P(公共角) ∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似) 则PB：PT=PT：AP 即：PT2=PA·PB 圆幂定理——割线定理 一、割线定理

圆中的基本概念及定理(二)(人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1：圆中处理问题的思路： ①找圆心，连半径，转移边； ②遇弦，_________，垂径定理配合__________建等式； ③遇直径，__________，由直角，__________； ④由弧找______，由_____看______． 圆中的基本概念及定理（二）（人教版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.下列说法正确的是( ) A.长度相等的弧叫等弧 B.平分弦的直径一定垂直于该弦 C.三角形的外心是三条角平分线的交点 D.不在同一直线上的三个点确定一个圆 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角形的外接圆与外心 2.如图，CD是⊙O的直径，已知∠1=30°，则∠2=( ) A.30° B.45° C.60° D.70°

答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：圆心角、弧、弦的关系 3.一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD的长为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：圆周角定理 4.CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是( ) A.8 B.7 C.2或8 D.3或7 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：垂径定理 5.如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：垂径定理、圆周角定理、解直角三角形 6.如图所示，一圆弧过方格的格点A，B，C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(-2，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是( ) A.(-1，2) B.(1，-1) C.(-1，1) D.(2，1) 答案：C 解题思路：

圆的性质及定理

圆的性质及定理 圆的初步认识 一、圆及圆的相关量的定义(2８个）?１.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。 2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。? 3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。?5．直线与圆有３种位置关系：无公共点为相离；有2个公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。?６.两圆之间有５种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切;有２个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。?7.在圆上,由２条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。?二、有关圆的字母表示方法(７个） 圆--⊙半径—r 弧--⌒直径—d?扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—Ｓ 三、有关圆的基本性质与定理（27个) 1.点P与圆Ｏ的位置关系（设P是一点,则PＯ是点到圆心的距离): P在⊙O外,PO>ｒ;Ｐ在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内,PＯ<ｒ。?2．圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。?３.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦(不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。? 4.在同圆或等圆中,如果2个圆心角，2个圆周角,２条弧，２条弦中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 5．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 6.直径所对的圆周角是直角。9０度的圆周角所对的弦是直径。?７.不在同一直线上的３个点确定一个圆。?8．一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形3个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形３边距离相等。 9.直线AB与圆O的位置关系（设ＯP⊥AＢ于P，则PO是AB到圆心的距离): ＡB与⊙Ｏ相离,ＰO>ｒ;AB与⊙O相切，PO=r；AB与⊙O相交，ＰO＜r。 １0.圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。 11．圆与圆的位置关系（设两圆的半径分别为R和r，且R≥ｒ,圆心距为P）：?外离P>R＋r;外切P=R+ｒ;相交R－r＜Ｐ＜Ｒ+ｒ；内切P=R-r;内含P

第1讲.圆中三大基本定理.尖子班.教师版

1 初三秋季·第1讲·尖子班·教师版 π是什么？ 满分晋级阶梯 漫画释义 圆5级 圆中三大切线定理 圆4级 圆中三大基本定理 圆3级 正多边形 和圆与圆中的计算 1 圆中三大基本定理

2 初三秋季·第1讲·尖子班·教师版 圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考中考考点分析 中考内容与要求

3 初三秋季·第1讲·尖子班·教师版 查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新题型。 要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解 年份 2011年 2012年 2013年 题号 20，25 8，20，25 8，20，25 分值 13分 17分 17分 考点 圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系 圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系 圆中的动点函数图像，圆的基本性质(垂径定理、圆周角定理)，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系 垂径定理反映的是经过圆心的直线和圆中弦的关系，“要求弦长，先求弦长的一半”，注意对由半径、半弦长和弦心距构成的直角三角形模型的理解和应用. 暑期知识点回顾： 知识互联网 思路导航 题型一：垂径定理

4 初三秋季·第1讲·尖子班·教师版 【例1】 ⑴ 如图，BD 是⊙O 的弦，点C 在BD 上，以BC 为边作等边三角形 △ABC ，点A 在圆内，且AC 恰好经过点O ，其中BC =12，OA =8， 则BD 的长为（ ） A ．20 B ．19 C ．18 D ．16 （2012通州一模） ⑵ 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，以点C 为 圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为 ． （2013黄石） 【解析】 ⑴A; ⑵ 5 18 . 【例2】 ⑴ 如图，AB 是O 直径，弦CD 交AB 于E ，45AEC ∠=?， 2AB =．设A E x =，22CE DE y +=．下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的是（ ） A B C D （2012海淀期中） ⑵ 如图，圆心在y 轴的负半轴上，半径为5的⊙B 与y 轴的正半轴交于点()1 0， A ，过点()7 0-，P 的直线l 与 ⊙ B 相交于 C 、 D 两点．则弦CD 长的所有可能的整 数值有（ ） 典题精练 B A C D B A

圆的相关定理

圆幂定理 定义 圆幂=PO^2-R^2（该结论为欧拉公式） 所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD。 统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。 相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等） 相交弦说明 几何语言： 若弦AB、CD交于点P 则PA·PB=PC·PD（相交弦定理） 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分

直径所成的两条线段的例中项 几何语言： 若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论） 切割线定理 定义 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）推论： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言： ∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理） 由上可知:PT∧2（平方）=PA·PB=PC·PD 证明 切割线定理证明: 设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则 PT^2=PA·PB 证明：连接AT, BT ∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理) ∠P=∠P(公共角) ∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似) 则PB：PT=PT：AP 即：PT^2=PB·PA 割线定理 定义 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线 与圆交点的距离的积相等。

与圆有关的几个定理

初三数学中考复习《与圆有关几个定理》教学设计 一. 教学内容： 圆有关定理 1. 圆的内容包括：圆的有关概念和基本性质，直线和圆的位置关系，。 2. 主要定理： （1）垂径定理及其推论。 （2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。 （3）圆周角定理、弦切角定理及其推论。 （4）切线的性质 （5）切线判定定理 （5）切线长定理 二. 中考聚焦： 圆这一章六个定理圆的知识在中考中所占的比例大，题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题，中考的压轴题都综合了圆的知识。 三. 知识框图： 圆的有关性质 圆的定义 点和圆的位置关系（这是重点） 不在同一直线上的三点确定一个圆 圆的有关性质 轴对称性—垂径定理（这是重点） 旋转不变性 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 圆心角定理 圆周角定理（这是重点） 圆内接四边形（这是重点） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 直线和圆的位置关系 相离 相交 相切 切线的性质（这是重点） 切线的判定（这是重点） 弦切角（这是重点） 和圆有关的比例线段（这是重点难点） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 四．重点知识讲解：

1.垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD 同步自测 1、已知 ⊙ O 中，弦AB 垂直于直径CD ， 垂足为P ，AB=6，CP=1，则 ⊙ 的半径----。 2.已知 ⊙ O 的直径为10cm,A 是⊙ O 内一点，且OA=3cm,则 ⊙ O 中过点A 的最短弦 长=------------- cm 2．圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； B D

九年级数学圆中的基本概念及定理(综合)(含答案)

圆中的基本概念及定理（综合） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是( ) A.AC=AB B.∠C=∠BOD C.∠C=∠B D.∠C=∠BOD 答案：B 解题思路： 如图，连接OA ∵直径CD⊥AB ∴弧AD=弧BD ∴∠AOD=∠BOD ∵∠C=∠AOD ∴∠C=∠BOD 故B选项正确 试题难度：三颗星知识点：略

2.如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=，CD=1，则BE的长是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案：B 解题思路： ∵OC⊥AB，AB= ∴AD=BD=AB= 设OD=x ∵CD=1 ∴OA=OC=x+1 在Rt△AOD中， ∴x=3 ∵O是AE的中点 ∴OD是△ABE的中位线 ∴BE=2OD=6 试题难度：三颗星知识点：略 3.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，若∠CAB=25°，则∠ADC的度数为( )

A.65° B.55° C.60° D.75° 答案：A 解题思路： 如图，连接OC ∵OA=OC ∴∠CAO=∠OCA ∵∠CAB=25° ∴∠OCA=25° ∴∠AOC=130° ∴∠ADC=∠AOC=65° 试题难度：三颗星知识点：略 4.如图，点A，B，C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则∠ACB=( ) A.10° B.20° C.40° D.80° 答案：B 解题思路： ∵∠BAC=40° ∴∠BOC=2∠BAC=80° ∵∠BOC=2∠AOB ∴∠AOB=40° ∴∠ACB=∠AOB=20°

关于圆的几个定理

关于圆的几个定理 1. 四点共圆 1.1定义：若四边形ABCD 的四点同时共于一圆上，则称A ，B ，C ，D 四点共圆 基本性质：若凸四边形ABCD 是圆内接四边形，则其对角互补 1.2定义：若存在一点O 使OA=OB=OC=OD ，则A ，B ，C ，D 四点共圆 2.若干定理 圆幂定理是圆的相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理的统一形式。 相交弦定理：P 是圆内任一点，过P 作圆的两弦AB ，CD ，则PA PB PC PD ?=? （切）割线定理：P 是圆外任意一点，过P 任作圆的两割（切）线PAB ，PCD ，则 PA PB PC PD ?=? 圆幂定理：P 是圆O 所在平面上任意一点（可以在圆内，圆上，圆外），过点P 任作一直线交圆O 于A ，B 两点（A ，B 两点可以重合，也可以之一和P 重合）， 圆O 半径为r ，则有：22||PA PB PO r ?=- 圆内接四边形判定方法 相交弦定理逆定理：如果四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点P ，且满足 PA PC PB PD ?=?，则四边形ABCD 有一外接圆

切割线定理逆定理：如果凸四边形ABCD 一双对边AB 与DC 交于点P 且满足PA PC PB PD ?=?，则四边形ABCD 有一外接圆 射影定理：RTΔABC 中，BC 是斜边，AD 是斜边上的高,则 222(1)(2)(3)AD BD CD AB BD BC AC CD BC =?=?=? Miquel 定理：ΔABC 中，X ，Y ，Z 分别是直线AB ，BC ，AC 上的点，则 ,,共于一点AXZ BXY CYZ O 这样的点O 称为X ，Y ，Z 对于ΔABC 的Miquel 点 Simson 定理