三个概念
概念1 二次根式
1.下列各式一定是二次根式的是( ) 2.下列式子中为二次根式的是( ) a (x <0)
3.在代数式:①;②;③;④;⑤;⑥中,一定是二次根式的有( )个 个 个 个 4.二次根式
13
)3(2++m m 的值是( )
A .23
B .32
C .22
D .0 5.已知a 为实数,下列式子一定有意义的是( ) A. B. C. D.
6.已知x ,y 为实数,且满足1+x -(y -1)1-y =0,那么x
2 016
-y
2 017
的值是多少
概念2 代数式
1.下列式子中属于代数式的有( )①0;②a ;③x +y =2;④x -5;⑤2a ;⑥a 2
+1;⑦a ≠1;⑧x ≤3.
A .7个
B .6个
C .5个
D .4个
2.农民张大伯因病住院,手术费为a 元,其他费用为b 元,由于参加农村合作医疗,手术费报销85%,其他费用报销60%,则张大伯此次住院共报销_________________元(用代数式表示). 概念3 最简二次根式
1.二次根式45a ,2a 3
,8a ,b ,1
3
(其中a ,b 均大于或等于0)中,是最简二次根式的有_________个。
2.把下列各式化成最简二次根式.
(1)错误!; (2)错误!(a ≥0,b ≥0); (3)错误!(mn >0); (4)错误!(x ≠y).
3.下列二次根式中,哪些是最简二次根式哪些不是不是最简二次根式的请说明理由. 412
-402
,8-x 2
,22,x 2
-4x +4(x>2),-x 1
2x
,错误!,错误!(b>0,a>0),错误!,错误!(a>b>0),x 3,x 3.
二次根式的性质 性质1 (a)2=a(a ≥0) 1,下列计算正确的是( )
A .-(7)2
=-7 B .(5)2
=25 C .(9)2
=±9 D .-?
?
?
??-
9162=916 2.在实数范围内分解因式:x 4
-9=________. 3.要使等式(8-x)2
=x -8成立,则x =________. 性质2 a 2=a(a ≥0)
1.实数a 在数轴上对应点的位置如图所示,则(a -4)2
+(a -11)2
化简后为( )
A .7
B .-7
C .2a -15
D .无法确定
2.若成立,则m 的取值范围是__________
3.已知三角形的两边长分别为3和5,第三边长为c ,化简:c 2
-4c +4-
14
c 2
-4c +16.
4.先化简再求值:当a =5时,求a +1-2a +a 2
的值,甲、乙两人的解答如下:甲的解答为:原式=a +
(1-a )2=a +(1-a)=1;乙的解答为:原式=a +(1-a )2
=a +(a -1)=2a -1=9. 请问谁的解答正确请说明理由.
性质3 积的算术平方根
1.化简24的结果是( )A .4 6 B .2 6 C .6 2 D .83
2.能使得(3-a )(a +1)=3-a ·a +1成立的所有整数a 的和是________. 3.若3)3(-?=
-m m m m ,则m 的取值范围是
4.将根号外的移到根号内; .
性质4 商的算术平方根1.化简下列二次根式:(1)44
9; (2)121b
5
16a
2(a <0,b >0).
性质5。a 的双重非负性 利用二次根式被开方数的非负性求字母取值范围
1.下列说法正确的是( )
A .若a a -=2
,则a<0 B .0,2>=a a a 则若 C .4
2
8
4b a b a = D . 5的平方根是5 2.若
b
a
是二次根式,则a ,b 应满足的条件是( ) A .a ,b 均为非负数 B .a ,b 同号 C .a ≥0,b>0 D .0≥b
a
3.若5-x 不是二次根式,则x 的取值范围是
4.二次根式
4
1
22
--x x 有意义时的x 的取值范围是 ,式子中x 的取值范围是____________________,当x 满足条件______________时,式子有意义.
5.式子a -+
ab
有意义,则点P (a ,b )在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 6.若3)3(-?=
-m m m m ,则m 的取值范围是
利用二次根式的性质化简二次根式
1. 若x ≥0,那么等于( )
2.当a ≥1,则=( )
A. X
B.-x
C.-2x
D. 2x -1 B. 1-2a C.-1 D. 1
3.化简)0(||2<<--y x x y x 的结果是( ) 4.已知a
m 1
-
根号外的因式移到根号内,得( ) A .ab a --B .ab a -C .ab a D .ab a - A .m B .m - C .m -- D .m - 7.下列各式中,一定能成立的是( ) A .22)5.2()5.2(=-B .22)(a a =C .1-x 122
=+-x x D .3392+?-=
-x x x
8.若x+y=0,则下列各式不成立的是( )
A .02
2
=-y x B .033=+y x C .022
=-
y x D .0=+y x
9.若a ≤13(1)a - ) A .(a -11
.(1)1.(1.(1)1a B a a C a a D a a -------
10.已知a ,b ,c 为三角形的三边,则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= 11.已知a<2,-2)2(a . 12.已知3 13.=--x x 1 ; 利用二次根式的性质求代数式的值 1. 2.已知1888+-+-=x x y ,求代数式 x y y x xy y x y x ---+2的值 3.的值 4. 5.、已知实数a 满足,求a -20082 的值. 1. 2.若20042005a a a --=,求2 2004a -的值 3.已知|x +y -7|+,求x 2 +y 2 的值. 1. 2。求代数式13432---x x 的最小值 3. 4.若m =m 的值. (4)利用被开方数相同的最简二次根式的条件求字母的值 1.如果最简根式b -a 3b 和2b -a +2是被开方数相同的最简二次根式,那么( ) A .a =0,b =2 B .a =2,b =0 C .a =-1,b =1 D .a =1,b =-2 2.若最简二次根式5a +b 和2a -b 能合并,则代数式-3a 2b +(3a +2b)2 的值为________. 3.如果最简二次根式3a -8与17-2a 在二次根式加减运算中可以合并,求使4a -2x 有意义的x 的取值范围. 4.若m,n均为有理数,且3+12+3 4 =m+n3,求(m-n)2+2n的值. 考点三。常见二次根式化简求值的九种技巧 估算法1.若将三个数-3,7,11表示在数轴上,则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是________.(第1题) 公式法2.计算:(5+6)×(52-23). 拆项法3.计算:6+43+32 (6+3)(3+2) .[提示:6+43+32=(6+3)+3(3+2)] 换元法4.已知n =2+1,求n +2+n 2 -4n +2-n 2-4+n +2-n 2 -4 n +2+n 2 -4 的值. 整体代入法5.已知x =13-22,y =13+22 ,求x y +y x -4的值. 已知x =2-1,y =2+1,求x y +y x 的值. 已知x +y =-8,xy =8,求y y x +x x y 的值. 已知a -b =3+2,b -c =3-2,求2(a 2 +b 2 +c 2 -ab -bc -ac)的值. 因式分解法6.计算:2+3 2+6+10+15 . 配方法7.若a,b为实数,且b=3-5a+5a-3+15,试求b a + a b +2- b a + a b -2的值. 辅元法8.已知x∶y∶z=1∶2∶3(x>0,y>0,z>0),求 x+y x+z+x+2y 的值. 先判后算法9.已知a+b=-6,ab=5,求b b a +a a b 的值. 考点4.比较二次根式大小的八种方法 平方法1.比较6+11与14+3的大小.作商法2.比较a+1 a+2 与 a+2 a+3 的大小. 分子有理化法3.比较15-14与14-13的大小.比较 2 018- 2 017与 2 017- 2 016 分母有理化法4.比较12-3与13-2 的大小. 作差法5.比较19-13与2 3的大小. 倒数法6.已知x =n +3-n +1,y =n +2-n ,试比较x ,y 的大小. 特殊值法7.用“<”连接x ,1x ,x 2,x(0 a -6的大小. 运算——二次根式的运算 1.计算:(1)(33+32)×(27-42); (2)【中考·临沂】(3+2-1)(3-2+1); (3)3 105ab c ÷ ? ? ? ? ? 3 5 b 2ac × ? ? ? ? ? -2 15bc a +abc. 【同步练习】 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.下列说法正确的是( ) A .若a a -=2,则a<0 B .0,2>=a a a 则若 C .4284b a b a = D . 5的平方根是5 2.二次根式 13 )3(2++m m 的值是( ) A .23 B .32 C .22 D .0 3.化简)0(||2<<--y x x y x 的结果是( ) A .x y 2- B .y C .y x -2 D .y - 4.若 b a 是二次根式,则a ,b 应满足的条件是( ) A .a ,b 均为非负数 B .a ,b 同号 C .a ≥0,b>0 D . 0≥b a 5.(2005·湖北武汉)已知a m 1 - 根号外的因式移到根号内,得( ) A .m B .m - C .m -- D .m - 7.下列各式中,一定能成立的是( ) A .22)5.2()5.2(=- B .22)(a a = C . 1-x 122=+-x x D .3392+?-= -x x x 8.若x+y=0,则下列各式不成立的是( ) A .02 2 =-y x B .033=+y x C .022 =- y x D .0=+y x 9.当3-=x 时,二次根7522++x x m 式的值为5,则m 等于( ) A .2 B . 22 C .5 5 D .5 10.已知10182 22 =++x x x x ,则x 等于( ) A .4 B .±2 C .2 D .±4 二、填空题(每小题3分,共30分) 11.若5-x 不是二次根式,则x 的取值范围是 12.(2005·江西)已知a<2,=-2)2(a 13.当x= 时,二次根式1+x 取最小值,其最小值为 14.计算:=?÷182712 ;=÷-)32274483( 15.若一个正方体的长为cm 62,宽为cm 3,高为cm 2,则它的体积为 3 cm 16.若433+-+-= x x y ,则=+y x 17.若3的整数部分是a ,小数部分是b ,则=-b a 3 18.若3)3(-?= -m m m m ,则m 的取值范围是 19.若=-???? ? ?-=-= y x y x 则,43 2311, 132 20.已知a ,b ,c 为三角形的三边,则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= 三、化简(前5题每小题6分,后两题每题7分,共44分) 21. 2 1 4 181 22-+- 22.3)154276485(÷+- 23.x x x x 3)1 246(÷- 24.21)2()12(18---+++ 25.已知:1 32-=x ,求12 +-x x 的值。 26.已知:的值。 求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 27、阅读下面问题: 12)12)(12()12(12 11-=-+-?= +; ; 23) 23)(23(2 32 31-=-+-= +25) 25)(25(252 51 -=-+-=+ 试求:⑴ 6 71+的值; ⑵ 17 231+的值; ⑶ n n ++11(n 为正整数)的值。 【培优练习】 一、二次根式的非负性 1.若2004a a -=,则2 2004a -=_____________. 2.代数式13432---x x 的最小值是_____________. 3.已知1888+-+-= x x y ,求代数式 x y y x xy y x y x ---+2的值. 4.若m =m 的值. 二、二次根式的化简技巧 (一)构造完全平方 1、22 222222 222222]) 1(1[)1(121)1(11)(1)2n(n 1)1(1221)1()1(1)1(111+++?+=+++++=++++=++++=+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n 由 化简得_________________) 1(1112 2=+++n n (拓展)计算222222222004 1200311413113121121111++++++++++++ Λ. 2.化简: 5225232-+---++y y y y . 3.化简241286+++. 4.化简: 2 32 46623+--. (二)分母有理化 1.计算: 49 4747491 7 55715 33513 31++ +++ ++ +ΛΛ的值. 2.分母有理化: 5 326 2++. 3.计算:321232+++-. 三、二次根式的应用 (一)无理数的分割 1.设a 为5353--+的小数部分,b 为336336--+的小数部分,则 a b 12-的值为( )(A )126+- (B )41 (C )12-π (D )8 32π-- 2的整数部分为x ,小数部分为y ,试求22 12x xy y ++的值. 3的整数部分为a ,小数部分为b ,试求1 a b b ++的值 (二)性质的应用 1.设m 、x 、y 均为正整数,且y x m -=-28,则m y x ++ =_________. 2.设Λ+++= 222x ,Λ222=y ,则( ) (A ) y x > (B ) y x < (C ) y x = (D ) 不能确定 (三)有二次根式的代数式化简 1.已知)56()2(y x y y x x +=+,求 y xy x y xy x 32++-+的值. 2=的值。 3.已知:7 878+-= x ,7 878-+= y ,求: y x xy y x +++2的值. 4.已知3 21 +=a ,求a a a a a a a -+---+-2 221 2121的值. 5.已知:a ,b 为实数,且2 222 2+-+-= a a a b .求 ( ) 2 22a b a b ---+-的值. 二次根式导学案 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 二、学习重点、难点 重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2 ≥=a a a 。 三、学习过程 (一)复习回顾: (1)已知a x =2 ,那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。 (2)4的算术平方根为2 ,用式子表示为 =__________;正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 (二)自主学习 (1)16的平方根是 ; (2)一个物体从高处自由落下,落到地面的时间是t (单位:秒)与开始下落时的高度h (单位:米)满足关系式2 5t h =。如果用含h 的式子表示t ,则t = ; (3)圆的面积为S ,则圆的半径是 ; (4)正方形的面积为3-b ,则边长为 。 思考:16, 5 h ,πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a (0≥a )叫做二次根式,a 叫做_____________ 1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 3,16-,34)0(3 ≥a a ,12 +x 2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 : (1) 2 )4( (2) (3)2)5.0( (4)2 )3 1( 根据计算结果,你能得出结论: ,其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a =2 )(a ,利用此公式可以把任意一个非负 数写成一个数的平方的形式。 如(5)2 =5;也可以把一个非负数写成一个数的平方形式,如5=(5)2 . 练习:(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式: 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解 72-x 4a 2-11 (三)合作探究 例:当x 是怎样的实数时,2-x 在实数范围内有意义? 解:由02≥-x ,得 2≥x 当2≥x 时,2-x 在实数范围内有意义。 练习:1、x 取何值时,下列各二次根式有意义? ①43-x ③ 2、(1有意义,则a 的值为___________. (2)若 x 为( )。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 3、(1)在式子 x x +-121中,x 的取值范围是____________. (2)已知42 -x +y x +2=0,则=-y x _____________. (3)已知233--+-= x x y ,则x y = _____________。 (四)达标测试 (一)填空题: 1、=??? ? ??2 53 2、若0112=-+-y x ,那么x = ,y = 。 3、当x = 时,代数式有最小值,其最小值是 。 ________ )(2=a x --2142 )3( 二次根式(1) 学习目标: 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式,掌握二次根式有意义的条件。 2、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a · ·预 习 案 (一)复习回顾: (1)已知a x =2,那么a 是x 的_ ____;x 是a 的___ _, 记为_ ___,a 一定是__ __数。 (2)4的算术平方根为2 ,用式子表示为 =______;正数a 的算术平方根为_____, 0的算术平方根为____;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 思考:16 , π s ,3-b 等式子.说一说他们的共同特征. ` 定义: 一般地我们把形如a (0≥a )叫做二次根式,a 叫做______。“ ”称为 。 1、判断下列各式,哪些是二次根式在后面“√”,哪些不是在后面“×”为什么 3( ),16-( ),34( ) ),)0(3 ≥a a ( ),12+x ( ) 2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 : (1) 2)4( = (2) = (3)2)5.0( = (4)2)3 1(= 根据计算结果,你能得出结论: (0≥a ) 4、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数 写成一个数的平方的形式。如(5)2=5或5=(5)2. 练习:(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式:6= = 合 作 探 究 ________)(2 =a 42 )3( 第十六章 二次根式 课题:16.1二次根式 课型:新授课 教学目标: 1、理解二次根式的定义,会用算术平方根的概念解释二次根式的意义 2、会确定二次根式有意义的条件,知道a (a ≥0)是非负数,并会运用会进行二次根式的平方运算, 3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究 ()2a 和2a 所含运算、运算顺序、运算结果分析,归纳并掌握性质 教学重点: 1.a 有意义的条件. 2.a ≥0时 a ≥0的应用. 3.()2a 和2a 的运算、化简 教学难点: 当a <0时2a 的化简 教学过程: 一、复习引入 在七年级实数中,已经用到过简单的二次根式,在本章中将系统地学习二次根式的运算。 二、探究新知 (一)定义及非负性 活动1、填空,完成课本思考1: 65,S ,2,5h 活动2、观察其形式上的共同点,被开方数的共同点,说明各式所表示的共同意义. 活动3、给出二次根式的定义,介绍二次根式的读法. 活动4、思考下列问题: ①9的运算结果是3,9是不是二次根式?3是不是? ②定义中为什么要加a ≥0?若a<0,a 表示什么?有无意义? ③当 a=0时,a 表示什么?结果是什么?当 a>0时,a 表示什么?可不可能为负数?a (a ≥0)是什么样的数呢? 例1、当x 是怎样的实数时,下列二次根式有意义?在下列二次根式有意义的情况下,其运算结果是怎 样的实数? 2-x , 11 +x , 32+x 练习:1、课本思考2:当x 是怎样的实数时, 2x ,3x 有意义? 2、已知053=-+ +y x ,求y x ,的值各是多少? (二)两个运算性质 活动5、完成课本探究1 活动6、对()2 a 中的运算顺序、运算结果进行分析,归纳出:一个非负数先开方再平方,结果不变. 练习:课本例2 活动7、完成课本探究2 活动8、对2a 中的运算顺序、运算结果进行分析,归纳出:一个非负数先平方再开方,结果不变;一个负数先平方再开方结果为相反数. 练习:课本例3 补充练习: 1、化简:2)4(-π,2)32(-; 2、直角三角形的三边分别为a ,b ,c ,其中c 为斜边,则式子()2a -()2 c 与式子2)(c a -有什么关系? 三、课堂训练 完成课本中两个练习. 1、m m =-1 成立的条件是_______. 2、m m =+1成立的条件是_______. 四、小结归纳 1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质. 2、二次根式的两个运算性质,平方为“父对象”,开方为“子对象”. 3、简单介绍代数式的概念. 4、重复演示课件呈现练习题,供学生记录. 五、作业设计 必做:P5:1、2、3、4、5、6 选做:P5:7、8、9、10 教学反思 八年级上学期数学第一章 二次根式 1.3二次根式的运算(1) 一、回顾知识 导入新课 1、计算: (1) = ,= ∴ (2) = , = ∴由此你能得出两个二次根式相乘或相除的法则吗?请你用字母表示. 例1 计算: (1)322? (2) 550 (3)61925÷ (4)2)0,0(324162≥≥?y x xy xy 跟踪练习:计算: (1)61211÷ (2)6 72 (3)2)0,0(6632 b a a ab ? 例2 计算: (1)-9215125.225? (2)5 232232?÷ 跟踪练习:计算: (1))7223()563(212-?÷; (2)-2)0,0(543362522 b x b b a b a x x b a -÷+?- 2、最简二次根式的两个条件: (1) (2) 三、当堂检测 自我评价 1、下列等式中,成立的是( ) A. = B. = C. = D. = 2的结果是( ) A. 3- B. C. D. 3- 3 ) A. B. C. 2 D. 4、(2013年佛山市)化简)12(2-÷的结果是( ) A .122- B .22- C .21- D .22+ 5、计算:27 1331322÷?的结果是( ) A 、33 1 B 、231 C 、26 D 、62 6、比较大小:,32 612 8、计算:(1 (2 ( 3 (4))104 3(53544-÷? 3、 将1按如图所示的方式排列. A.1 B.2 C. 4、已知1a a +=1a a -的值为( ) A .± B .8 C . D .6 8、探究过程:观察下列各式及其验证过程. (1) 验证:= = (2) 验证: = 同理可得:==,…… 通过上述探究你能猜测出:(a>0),并验证你的结论. 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 【学习重点】二次根式有意义的条件. 【学习过程】 【活动一】知识(5分钟) 这些知识你还记得吗?(先独立完成1分钟,后同桌互查1分钟。) 1、如果对于任意数x ,有x 2 = a ,那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 是x 的______;所以a 一定是_______数。 2、如果对于一个正数x ,有x 2 = a ,那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 仍是x 的______;所以a 一定是_______数。 3、正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______; 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。4的算术平方根为2,用式子表 示为 =__________; 【活动二】自主交流 探究新知( 25分钟) 1、二次根式定义的学习:(12分钟) 完成 P2—思考中的容,阅读例1以上的容,尝试完成下面的问题: 1) 思考:如何判定一个式子是否是二次根式? 2 3,16-,34,12+x 3)已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是 。 4)下列各式一定是二次根式的是( ) A 、12+x B 、12-x C 、1--x D 、x 总结:二次根式应满足的条件: 。 2、 二次根式有意义的条件的学习:(13分钟) 自学课本P--2页例1后,模仿例题的解答过程合作完成练习 : 1)x 取何值时,下列各二次根式有意义? ①43-x ③x --21 (2)若在实数围有意义,则x 为( )。 B.负数 C.非负数 D.非正数 总结:二次根式有意义的条件是: 【活动三】课小结 (学生归纳总结) (3分钟) 1.非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式. 二次根式的概念有两个要点:一是从形式上看,应含有二次根号;二是被开方数的取值围有限制:被开方数a 必须是非负数。 20 a ≥??≥。 【活动四】拓展延伸(独立完成3分钟,班级展示2分钟) 1、在式子 x x +-121中,x 的取值围是____________. 2、已知42 -x +y x +2=0,则x-y = _____________. 3、已知y =x -3+23--x ,则x y = _____________。 【活动五】快乐达标(学生先独立完成5分钟,后组互查2分钟。) 1、下列式子中,哪些是二次根式?哪些不是二次根式? 2,33, x 1 ,x (x >0),0,42,y x +1,y x +(x ≥0,y ≥0) 2、当x 是怎样的实数时,13-x 在实数围有意义? 3、若20a -+=,则 2 a b -= 。 【补充练习】1、式子 1 1 2-+x x 有意义的x 的取值围是 。 2、已知:y x x x y 求,522+-+-=的值。 4 0)a ≥ 二次根式的加减 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式:一般地,我们把形如 (a ≥0)?的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 要点诠释: 二次根式的两个要素:①根指数为2;②被开方数为非负数. 2.代数式:形如5,a ,a+b ,ab ,,x 3,这些式子,用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1.a ≥0,(a ≥0); 2. (a ≥0); 3. . 要点诠释: 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式, 即2)(0a a a =≥). 2a 2)a 要注意区别与联系:1).a 的取值范围不同,2a 中a ≥02a a 为任意值。 2).a ≥0时,2)a 2a a ;a <0时,2()a 2a a -. 知识点 类型一、二次根式的概念 例1.下列各式中 ,一定是二次根式的有( )个. A.2 B.3 C.4 D.5 举一反三: 【变式】下列式子中二次根式的个数有( ). (1)13 ;(2)3-; (3)21x -+;(4)38; (5)21()3-;(6)1x -(1x >) 例2. 式子在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( ) A .x <1 B .x ≤1 C .x >1 D .x ≥1 举一反三: 【变式】下列格式中,一定是二次根式的是( ). 23-()20.3-2-x 类型二、二次根式的性质 例3. 计算下列各式: (1)23 2()4 --2(3.14)π- 典型例题 二次根式的知识点汇总 知识点一: 二次根式的概念 形如()的式子叫做二次根式。 注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是 为二次根式的前提条件,如 , , 等是二次根 式,而 , 等都不是二次根式。 例1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:2、33、1 x 、x (x>0)、0、42、-2、 1 x y +、x y +(x ≥0,y?≥0). 分析:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0. 知识点二:取值范围 1、 二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a ≧0时, 有意义,是二次根式,所 以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。 2、 二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a ﹤0时,没有意义。 例2.当x 是多少时,31x -在实数范围内有意义? 例3.当x 是多少时,23x ++1 1 x +在实数范围内有意义? 知识点三:二次根式 ( )的非负性 ( )表示a 的算术平方根,也就是说, ( )是一个非负数,即 0()。 注:因为二次根式()表示a 的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是 0,所以非负数( )的算术平方根是非负数,即 0( ),这个性质也就是非负数的算术平 方根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0; 若 ,则a=0,b=0;若 ,则a=0,b=0。 例4(1)已知y=2x -+2x -+5,求 x y 的值.(2)若1a ++1b -=0,求a 2004+b 2004的值 知识点四:二次根式()的性质 () 文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注:二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过 来应用:若,则,如:,. 例1 计算 1.( 32)2 2.(35)2 3.(56 )2 4.(7)2 例2在实数范围内分解下列因式: (1)x 2-3 (2)x 4-4 (3) 2x 2-3 知识点五:二次根式的性质 文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注: 1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数,若是正数或0,则等于a 本身, 即;若a 是负数,则等于a 的相反数-a,即; 2、中的a 的取值范围可以是任意实数,即不论a 取何值,一定有意义; 3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。 例1 化简 (19 (22(4)- (325 (42(3)-例2 填空:当a ≥02a ;当a<02a ,?并根据这一性质回答下列问题. a +a=0, 则有 ( b ) ,则 a=b .若 a =b ,则 a 是 b 的平方根 4、若 |1 -x| - x -8x+16 =2x -5,则 x 的取值范围是( -(x+a) ?(x+b) 等于( 第一章 二次根式测试卷 姓名 一、选择题 (每题 2.5 分,共 30 分) 班级 得分 1、若实数 a 满足 2 ) A . a>0 B . a ≥ 0 C .a<0 D .a ≤0 2、下列命题中,正确的是( ) A .若 a>b ,则 a> b B .若 a >a ,则 a>0 C .若 |a|=( 2 D 2 3、使 x + 1 x-2 有意义的 x 的取值范围是( ) A . x ≥ 0 B .x ≠2 C .x>2 D .x ≥0 且 x ≠2 2 ) A . x>1 B .x<4 C .1≤x ≤4 D .以上都不对 5、下列各式正确的是( ) A . 2 + 3 = 5 B . ( -4)( - 9) = -4 ? -9 =( -2) ?( -3) =6 C . (2 10 - 5 ) ÷ 5=2 2 - 1 D .- 3 2 =- 18 6、如果 a 第十六章 二次根式导学案 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点 重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 三、学习过程 (一)复习回顾: (1)已知a x =2,那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。 (2)4的算术平方根为2 ,用式子表示为 =__________;正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 (二)自主学习 (1)16的平方根是 ; (2)一个物体从高处自由落下,落到地面的时间是t (单位:秒)与开始下落时的高度h (单位:米)满 足关系式25t h =。如果用含h 的式子表示t ,则t = ; (3)圆的面积为S ,则圆的半径是 ; (4)正方形的面积为3-b ,则边长为 。 思考:16, 5 h ,πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a (0≥a )叫做二次根式,a 叫做_____________ 4 1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 3,16-,34)0(3 ≥a a ,12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 : (1) 2)4( (2) (3)2)5.0( (4)2)3 1( 根据计算结果,你能得出结论: ,其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成 一个数的平方的形式。 如(5)2=5;也可以把一个非负数写成一个数的平方形式,如5=(5)2. 练习:(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式: 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解 72-x 4a 2-11 (三)合作探究 例:当x 是怎样的实数时,2-x 在实数范围内有意义? 解:由02≥-x ,得 2≥x 当2≥x 时,2-x 在实数范围内有意义。 练习:1、x 取何值时,下列各二次根式有意义? ________ )(2=a 2)3( 浙江版数学八年级下教案一一第一章《二次根式》 §二次根式 教学目标: 1、经历二次根式概念的发生过程; 2、了解二次根式的概念; 3、理解二次根式何时有意义,无意义,会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围; 4、会求二次根式的值。 重点与难点:本节教学的重点是二次根式的概念。例1的第(2),(3)题学生不容易理解, 是本节教学的难点。 教学设想:课本在回顾算术平方根的基础上,通过“合作学习”的三个问题引出二次根式的概念,并说明以前学的数的算术平方根也叫二次根式,在例题和练习的安排上,着重体现三个方面的要求:一是求二次根式中字母的取值范围;二是求二次根式的值;三是用二次根式表示有关的问题。因此在教学中我采用基本按照教材的主体设计意图, 按教材的步骤进行 教学,让学生在自主学习的基础上,发现教材中的学习重点,概括学习所得,提升学生的学习能力。 教学过程: 一、引入(合作学习): 根据图1—1所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件,完成以下填空: 直角三角形的斜边长是___________________ ;正方形的边长是___________________ 等边三角形的边长是______________ 。 首先是让学生进行自主学习,并在实际情境中写出表示算术平方根的式子。提问:你认为所得的各代数式的共同特点是什么 1、表示的是算术平方根; 2、根号内含有字母的代数式。 在学生自主学习的基础上,要求学生对上述答案进行解释。其中学生对于答案3,等边 三角形的边长为.2S,—些学生会采用教材中以下的答案抄写,而不知该答案得到的原因。因此首先选不同程度的几名学生回答,鼓励学生大胆表述意见,然后作适当点评。对于该题的答案的得到过程可以用几何的推理的方法,即画出其中一条高后利用勾股定理进行计算的 方法或利用公式S正=-!a2 (a为该三角形的边长)的方法得到。 4 补充练习:判断,下列各式中哪些是二次根式 7;2;y ;x2y2; 3 ;■■■ a ;. a (a v 0 =; 二、新课讲授 1、二次根式的概念: (1)引导学生概括二次根式的定义:像W 4, ― ,J2S这样表示的算术平方根,且 根号内含字母的代数式叫做二次根式。为了方便,我们把一个数的算术平方根(如.亍〒) 也叫做二次根式。……即一个非负数的算术平方根。 (2)概念深化: 提问:a 1是不是二次根式?- 厂呢■ 9呢……学生对于上述的问题,在判断上会产生一定的歧义,此时应按照教参的要求进行教学:.厂、.9是二次根式,而.a 1不是 二次根式,只能称为含有二次根式的代数式。此外对于.2x2 2x . 3这样的代数式,他们的系数或常数项是二次根式,而整个代数式仍看做是整式。 《二次根式》全章测试卷 一、精心选一选(每小题3分,共30分) 1.下列各式①y ; ②2+a ; ③52+x ; ④a 3;⑤962++y y ; ⑥3其中一定 是二次根式的有( ) A .4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.下列各式中,一定能成立的是( ) A .()()225.25.2=- B. ()22a a = C. 1122-=+-x x x D.3392+?-= -x x x 3.式子2 1+-x x 的取值范围是( ) A . x ≥1 且 X ≠-2 B.x>1且x ≠-2 C.x ≠-2 D. .x ≥1 4.化简6 151+的结果为( ) A .3011 B .33030 C .30 330 D .1130 5.10的整数部分是x ,小数部分是y ,则y (x+10)的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.计算()()20092008227227-?+,正确的结果是( ) A .722- B. 227- C.1 D. 227+ 7.化简()2 232441--+-x x x 得( ) A. 44x - B. 44x -+ C. 2- D. 2 8.已知0>b , 化简b a 3-的结果是( ) A . ab a B. ab a - C. ab a -- D. ab a - 9.若5-a ·a -5=)5)(5(a a --,则a 的取值范围是( ) A.a=5 B.a ≥5 C.a ≤5 D.无论a 取何值,等式都无意义 10.设25,3223-=-=-=c ,b a ,则a 、、b、c 的大小关系是( ) A.c b a >> B. b c a >> C. a b c >> D. a c b >> 二、耐心填一填(每小题3分,共24分) 11.同学们玩过“24点”游戏吗?现在给你一个无理数2,你再找3个有理数,使它经过 2017—2018学年度第二学期阶段性测试题 八年级下册数学(第一章) 出题人: 分数: 注意事项 1. 本试卷满分150分,考试时间120分钟。 2. 请将密封线内的项目填写清楚。 3. 请在密封线外答题。 一、选择题(每小题3分,共36分) 1 a 的取值范围是( ) A 、0a ≥ B 、0a ≤ C 、3a ≥ D 、3a ≤ 2、下列各式中一定是二次根式的是( ) A B C 、12+x D 3 x 应满足的条件是( ) A. 52x = B. 52x < C. x ≥52 D. x ≤52 4、当x=3时,在实数范围内没有意义的是( ) A. B. C. D. 5得( ) A. - B. C. 18 D. 6 6 = ) A. 1a ≥- B. 1a ≤ C. 1<1a -≤ D. 11a -≤≤ 7、下列各式计算正确的是( ) A. = B. = C. = D. = 8、若 A = ) A. 23a + B. 22(3)a + C. 22(9)a + D. 29a + 9、已知xy >0,化简二次根式 ) A. B. C. D. 10、下列各式中,一定能成立的是( ) A .3392-?+=-x x x B .22)(a a = C .1122-=+-x x x D .22)5.2()5.2(=- 11、化简)22(28+-得( ) A .—2 B .22- C .2 D . 224- 12、如果数轴上表示a 、b 两个数的点都在原点的左侧,且a 在b 的左侧,则的值为2)(b a b a ++-( ) A .b 2- B .b 2 C .a 2 D .a 2- 二、填空题。(每小题3分,共24分) 13、=-2)3.0( ;=-2)52( 。 14、二次根式 3 1-x 有意义的条件是 。 15、若m<0,则332||m m m ++= 。 16、已知233x x +=-x 3+x ,则x 的取值范围是 。 17、若12+a 与34-a 的被开方数相同,则a = 。 18、=?y xy 82 ,=?2712 。 4.1 二次根式和它的化简(第一课时)教学内容:二次根式的概念及其运用 教学目标: a≥0)的意义解答具体题目.提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题. 教学重难点关键:1 a≥0)的式子叫做二次根式的概念; 2 (a≥0)”解决具体问题. 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学们独立完成下列三个问题: 问题1:已知反比例函数y=3 x ,那么它的图像 在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标是___________. 问题2:如图,在直角三角形ABC中,AC=3,BC=1,∠C=90°,那么AB边的长是__________.B A C 问题3:甲射击6次,各次击中的环数如下:8、7、9、9、7、8,甲这次射击的方差是S2,那么S=_________. 老师点评: 问题1:横、纵坐标相等,即x=y,所以x2=3.因为点在第一象限,所以 . 问题2:由勾股定理得 问题3:由方差的概念得 S= 二、探索新知 都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子, (a ≥0)?的式子叫做二次根式,” 称为二次根号. (学生活动)议一议: 1.-1有算术平方根吗? 2.0的算术平方根是多少? 3.当a<0有意义吗? 老师点评:(略) 例11 x (x>0)、 、1 x y +、x ≥0,y?≥0). 分析;第二,被开方数是正数或0. (x>0)、(x ≥0,y ≥0);不是二次根式的 1x 、1x y +. 例2.当x 分析:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0,才能有意义. 解:由3x-1≥0,得:x ≥ 13 当x ≥1 3 在实数范围内有意义. 三、巩固练习 教材练习1、2、3. 四、应用拓展 例3.当x 1 1 x +在实数范围内有意义? 分析:11x +在实数范围内有意义,0和11 x +中的x+1≠0. 解:依题意,得23010 x x +≥?? +≠? 由①得:x ≥-3 2 由②得:x ≠-1 当x ≥- 32且x ≠-11 1 x +在实数范围内有意义. 二次根式(1)导学案 (一)复习回顾: (1)已知a x =2 ,那么a 是x 的_____;x 是a 的______, 记为____,a 一定是_____数。 (2)4的算术平方根为2 ,用式子表示为 =__________;正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______;式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 (二)自主学习 (1)16的平方根是 ; (2)一个物体从高处自由落下,落到地面的时间是t (单位:秒)与开始下落时的高度h (单位:米)满足关系式2 5t h =。如果用含h 的式子表示t ,则t = ; (3)圆的面积为S ,则圆的半径是 ; (4)正方形的面积为3-b ,则边长为 。 思考:16, 5 h ,πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a (0≥a )叫做二次根式,a 叫做_____。称为 。 1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 3,16-,3 4)0(3 ≥a a ,12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 : (1) 2)4( (2) (3)2)5.0( (4)2 )3 1( 根据计算结果,你能得出结论: ,其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。 如(5)2 =5;也可以把一个非负数写成一个数的平方形式,如5=(5)2 . 练习:(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式: 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解:72-x 4a 2 -11 (三)合作探究 例:当x 是怎样的实数时,2-x 在实数范围内有意义? 解:由02≥-x ,得 2≥x 当2≥x 时,2-x 在实数范围内有意义。 练习:1、x 取何值时,下列各二次根式有意义? ①43-x ③ 2、(1a 的值为___________. (2)若 在实数范围内有意义,则x 为( )。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 3、(1)在式子 x x +-121中,x 的取值范围__________. (2)已知42 -x +y x +2=0,则=-y x _____________. (3)已知233--+ -=x x y ,则x y = _____________。 (四)达标测试 1、=??? ? ??2 53 2、若0112=-+-y x ,那么x = ,y = 。 3、当x = 时,代数式有最小值,其最小值是 。 4、在实数范围内因式分解: (1)-=-229x x ( )2 =(x + )(y - )(2)-=-2 23x x ( )2 =(x + )(y - ) 5、一个数的算术平方根是a ,比这个数大3的数为 6、二次根式1-a 中,字母a 的取值范围是 ________)(2=a x --2142)3( 二次根式 【知识回顾】 1.二次根式:式子a(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母;⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质: (1)(a)2=a(a≥0);(2)= =a a2 5.二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先分解因式,变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. =a>0). (4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算. a(a>0) a -(a<0) 0 (a=0); 【典型例题】 1、 概念与性质 例1、下列各式 1 )-, 其中是二次根式的是_________(填序号). 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 (1)x x -- +315;(2)2 2)-(x 例3、 在根式 1) , 最简二次根式是( )A .1) 2) B .3) 4) C .1) 3) D .1) 4) 例4、已知:的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、已知数a ,b ,若=b -a ,则 ( ) A. a>b B. a 知识点一:二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义:形如 的式子叫二次根式,其中 叫被开方数,只有当 是一个非负数时, 才有意义. 【例2】若式子 13 x -有意义,则x 的取值范围是 . 举一反三: 1、使代数式 2 21x x -+-有意义的x 的取值范围是 2、如果代数式 mn m 1+ -有意义,那么,直角坐标系中点P (m ,n )的位置在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y= 5-x +x -5+2009,则x+y= 解题思路:式子 a (a ≥0),50 ,50x x -≥?? -≥? 5x =,y=2009,则x+y=2014 举一反三: 1、若 11x x ---2 ()x y =+,则x -y 的值为( ) A .-1 B .1 C .2 D .3 3、当a 取什么值时,代数式211a ++取值最小,并求出这个最小值。 已知a 是5整数部分,b 是 5的小数部分,求1 2 a b + +的值。若17的整数部分为x ,小数部分为y ,求y x 1 2 + 的值. 知识点二:二次根式的性质 【知识要点】 1. 非负性:是一个非负数. 注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到. 2. ( )()a a a 20=≥. 注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式: 3. a a a a a a 200==≥-?? ||() () 注意:(1)字母不一定是正数. 3、分母有理化法 通过分母有理化,利用分子的大小来比较。 4、分子有理化法 通过分子有理化,利用分母的大小来比较。 5、倒数法 6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。 7、作差比较法 在对两数比较大小时,经常运用如下性质:①0a b a b ->?>;②0a b a b -< 8、求商比较法 它运用如下性质:当a>0,b>0时,则:①1a a b b >?>; ② 1a a b b < 【典型例题】 【例13】 比较35与53 的大小。 【例14】比较 231-与1 21 -的大小。 【例15】比较76-与65-的大小。 【例16】比较73+与873-的大小。 已知:,求的值. 二次根式和一元二次方程经典练习题 1. 把1a a - 的根号外的因式移到根号内等于 。 2. 若 1a b -+与24a b ++互为相反数,则()2005 _____________a b -=。 3. 若23a p p ,则 () () 2 2 23a a -- -等于( ) A. 52a - B. 12a - C. 25a - D. 21a - 4. 若1a ≤,则 () 3 1a -化简后为( ) A. ()11a a -- B. ()11a a -- C. ()11a a -- D. ()11a a -- 5. 计算: () () 2 2 2112a a -+ -的值是( ) A. 0 B. 42a - C. 24a - D. 24a -或42a - 16.1 二次根式导学案(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念,能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点 重点:二次根式有意义的条件;二次根式的性质. 难点:综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 三、学习过程 (一)复习引入: (1)已知x 2 = a ,那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。 (2)4的算术平方根为2 ,用式子表示为 =__________; 正数a 的算术平方根为_______,0的算术平方根为_______; 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。 (二)提出问题 1、式子a 表示什么意义? 2、什么叫做二次根式? 3、如何确定一个二次根式有无意义? (三)自主学习 自学课本第2页例前的内容,完成下面的问题: 1、试一试:判断下列各式,哪些是二次根式?哪些不是?为什么? 3,16-,34,5-,)0(3≥a a ,12+x 2、计算 : (1) 2)4( (2) 2)5.0( (3) (4)2)3 1( 根据计算结果,你能得出结论: ,其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。 3、当a 为正数时指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负 数 ,只有非负数a 才有算术平方根。所以,在二次根式 中,字母a 必须满足 , 才有意义。 (三)合作探究 2)3(________ )(2=a 4 1、学生自学课本第2页例题后,模仿例题的解答过程合作完成练习 : x 取何值时,下列各二次根式有意义? ①43-x ②223x + ③ 2、(1)若33a a ---有意义,则a 的值为___________. (2)若 在实数范围内有意义,则x 为( )。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 (四)拓展延伸 1、(1)在式子x x +-121中,x 的取值范围是____________. (2)已知42-x +y x +2=0,则x-y = _____________. (3)已知y =x -3+23--x ,则x y = _____________。 2、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a=2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。 (1)把下列非负数写成一个数的平方的形式:5 0.35 (2)在实数范围内因式分解 ①72-x ② 4a 2-11 (五)达标测试 A 组 (一)填空题: 1、 =________; 2、 在实数范围内因式分解: (1)x 2-9= x 2 - ( )2= (x+ ____)(x-____) (2) x 2 - 3 = x 2 - ( ) 2 = (x+ _____) (x- _____) (二)选择题: 1、计算 ( ) A. 169 B.-13 C±13 D.13 2、已知 A. x>-3 B. x<-3 C.x=-3 D x 的值不能确定 3、下列计算中,不正确的是 ( )。 x --21x -2 53???? ??的值为2)13(-30,x x +=则为( ) 《人教版九年级上册全书教案》 第二十一章二次根式 教材内容 1.本单元教学的主要内容: 二次根式的概念;二次根式的加减;二次根式的乘除;最简二次根式. 2.本单元在教材中的地位和作用: 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的,它也是今后学习其他数学知识的基础.教学目标 1.知识与技能 (1)理解二次根式的概念. (2a≥0)是一个非负数,2=a(a≥0)(a≥0). (3(a≥0,b≥0); a≥0,b>0)a≥0,b>0). (4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减. 2.过程与方法 (1)先提出问题,让学生探讨、分析问题,师生共同归纳,得出概念.?再对概念的内涵进行分析,得出几个重要结论,并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.(2)用具体数据探究规律,用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定,?并运用规定进行计算. (3)利用逆向思维,?得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.(4)通过分析前面的计算和化简结果,抓住它们的共同特点,?给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念,来对相同的二次根式进行合并,达到对二次根式进行计算和化简的目的. 3.情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生:利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神,经过探索二次根式的重要结论,二次根式的乘除规定,发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重点 1.a≥0)a≥0)是一个非负数;2=a(a≥0) (a≥0)?及其运用. 2.二次根式乘除法的规定及其运用. 3.最简二次根式的概念. 4.二次根式的加减运算. 教学难点 1a≥0)2=a(a≥0(a≥0)二次根式导学案(人教版全章)
16章 二次根式全章导学案
-人教版第十六章二次根式教案
八下第一章 1.3二次根式的运算(1)
16.1.1二次根式全章导学案
04.二次根式全章复习与巩固讲义
人教版八年级数学下册第一章二次根式的知识点汇总
浙教版八年级数学下册第一章二次根式测试(含答案)
最新人教版八年级数学下册第十六章 二次根式导学案(全章)
二次根式教案
最新浙教版八年级数学下册二次根式全章测试卷
人教版八年级下册数学第一章二次根式测试题
二次根式全章教案(湘教版八年级下册)
二次根式导学案(人教版全章)
第十六章二次根式知识点总结大全
浙教版八年级数学下册第1章二次根式知识点总结
16.1 二次根式导学案
第二十一章 二次根式教案