生命的物质基础章节知识点归纳及典型例题
内容提要：
一、绪论
（一）知识点拨
（二) 典型例题解析
（三）自测题
二、生命的物质基础
（一）组成生物的化学元素
1.知识点拨
2.完全知识点复习
3.进阶习题
（1）能力素质
（2）点击思维
（3）高考巡礼
（二）组成生物体的化合物
1.知识点拨
2.完全知识点复习
3.进阶习题
（1）能力素质
（2）点击思维
（3）学科渗透
（4）高考巡礼
绪论：
（一）知识点拨
1．生物的基本特征主要是从生物体的结构、生理和与环境的关系几个方面来划分的。结构方面：除病毒以外，均由细胞构成。它们都有共同的物质基础，即蛋白质和核酸等。生理功能方面：所有的生物都有新陈代谢特点，这是生物区别于非生物的最根本的特征。而生长、发育和生殖，应激性，遗传和变异等生命现象是建立在新陈代谢基础上的，因此新陈代谢是一切生命活动的基础。在此要注意区别应激性和反射，反射是多细胞动物具有的，它依赖于神经系统，是应激性的一种，应激性的适用范围更广。
2．生物与环境的关系：表现在生物适应环境的同时，也影响着环境。它们是一个相互影响与作用的关系。
3．生物科学的发展：主要是清楚在其发展史上有标志意义的几个事件，即：
描述性生物学阶段：指20世纪以前生物学以描述为主。
实验生物学阶段：以孟德尔遗传规律被重新提出来为标志。
分子生物学阶段：指20世纪30年代以来，生物科学研究的主要目标逐渐集中在与生命本质密切相关的大分子蛋白质和核酸分子结构的研究上。
4．当代生物科学的新进展：主要了解现代生命科学所取得的一些成就，例如最新的“人类基因组计划”、“克隆技术”等。这方面的知识要注意留心大众传媒的一些相关报道。
5．学习生物学的方法与要求，最重要的就是理论联系实际，在掌握理论的基础上与实际生活相联系，只有这样才能真正掌握所学知识。当然还包括一些科学方法和科学态度的形成和建立。
）病毒（如噬菌体、烟草花叶病毒）等极少数没有细胞结构的生物和大多数有细胞结构1（．
的生物（原核生物和真核生物）都具有严整的结构。
（2）新陈代谢是生物体进行一切生命活动的基础，是生物与非生物的根本区别，是生物的最基本特征。理解好新陈代谢中物质变化和能量变化的趋势。
（3）应激性、反射和适应性的区别和联系。应激性是一切生物对外界刺激所发生的反应。反射是多细胞动物通过神经系统对各种刺激发生的反应。适应性是指生物与环境相适合的现象。由上述概念可以分析出，反射是应激性的一种表现形式，应激性包含反射；应激性是一种动态反应，在短时间内完成；适应性强调的是结果，适应性是生物长时间才能形成的一些特征，应激性是适应性的一种表现形式。
(二）典型例题解析
例1一种雄性极乐鸟在生殖季节里，长出蓬松而分披的长饰羽。决定这种性状的出现是由于[]
A．应激性B．多样性C．变异性D．遗传性
解析各种生物都具有上述四种特征。雄性极乐鸟的这一性状是该物种所特有的性状，性状是由遗传物质决定的，是经过自然选择并逐代积累保留下来的遗传现象，由该物种的遗传性所决定，它在每代中都表现出来，与生殖季节中其他因素并无直接关系。答案 D
例2生物的各个物种既能基本上保持稳定，又能向前发展，这是由于生物体都具有[] A．遗传性B．变异性C．适应性D．遗传性和变异性
解析解答这类问题必须仔细辨明题干的要求，寻找到最佳的答案。关键是要注意题干中有两层意思：第一是物种保持稳定，这是遗传的特性；第二是物种向前发展、进化，这必须依赖变异。所以，选择D是最佳的。再比如原鸡是家鸡的祖先，二者很相似，说明生物具有遗传性，而二者产蛋量却有差别，这也说明了物种变异和进化的特性。
答案 D
例3水稻的茎里具有通气组织；北极熊具有白色的体毛，这些现象说明生物具有[]
A．遗传性B．多样性C．适应性D．应激性
解析这类题往往在同学中争议比较大。估计争论焦点主要集中在A或C这两个答案上。作为最佳选择，应该C更为恰当。因为，题干中是生物适应环境的比较典型的实例，反映了动植物在形态结构方面与生活环境是相适合的。因此，应当认为考查的主要目的是适应性。至于部分同学选择了A，可能是认为各种生命现象都是由生物的遗传特性决定的，因此都离不开遗传性。所以，一定要注意审好题，弄清楚题目考查的主要目的是什么。
答案 C
（三）自测题：
一、选择题（每小题只有一个答案符合题意要求）
1．生物体的基本组成物质中作为生命活动主要承担者的是[ ]
A．无机盐B．水C．蛋白质D．核酸
2．下列叙述中正确的是[ ]
A．细胞中全部化学反应称为新陈代谢
属于物质代谢Fe3O4．铁生锈，被氧化成B．
C．食物被消化，并贮存能量是能量代谢
D．动物把粪便排出体外属于新陈代谢
3．成群的蝗虫在飞翔过程中突遇乌云遮日，立刻停飞，落在地面不动，这种现象在生物学叫做[ ] A．遗传性B．适应性C．趋光性D．应激性
4．生物体具有生殖作用，其主要的意义是[ ]
A．增加生物的变异性B．保证种族的延续C．增加物种的数目D．促进个体的生长
5．千百年来，稻种下去还是稻，麦种下去还是麦，然而现今的稻和麦的单株产量，比昔日的单株产量高了许多，这说明生物体具有[ ]
A．适应性和应激性B．生长和发育的特性C．遗传性和变异性D．可变性和恒定性
6．地衣（一种植物）能在岩石的表面上生长，又能使岩石不断风化，这说明生物体[ ]
A．适应环境和影响环境
B．生物的生存与发展与环境无关
C．生物与环境之间没有直接关系
D．生物的生存对环境有一定的影响
7．生物区别于非生物的最本质特征是[ ]
A．能通过生殖发育传递遗传物质给后代
B．通过新陈代谢进行自我更新
C．通过应激性对外界刺激发生反应
D．都具有共同的物质和结构基础
8．达尔文的生物进化理论其中心内容是[ ]
A．人工选择学说B．物种可变论C．物种不变论D．自然选择学说
9．实验生物学阶段研究的目标和手段主要是[ ]
A．描述生物的形态与结构
B．观察生物的形态并进行分类
C．用理化手段研究生物大分子的结构和功能
D．用实验手段和理化技术考察生命过程
10．分子生物学阶段的最重要标志是[ ]
A．创立微观的细胞学说B．达尔文生物进化论
C．提出了DNA分子双螺旋结构D．孟德尔遗传规律的发现
11．21世纪生物学的发展方向是[ ]
A．向群体方向发展B．向细胞学、遗传学方向发展
C．向宏观和微观两方面发展D．向“克隆”生物方向发展
[ ]
．下列属于生物工程方面取得的重大成果是12．
A．营造华北、东北、西北防护林工程
B．建设小张庄农业生态工程
C．在南方建立桑基鱼塘生态工程
D．将某细菌抗虫基因导入棉花，培育出抗棉铃虫新植株
13．下列认识中，你认为正确的是[ ]
A．人是自然的主人，应向自然索取
B．学习生物课，要了解生物科学的研究过程
C．为扩大生产要围海造田
D．学习生物课只要重视课堂学习便可以达到目的
二、问答题
1．生物学是研究________和_______的科学。它自19世纪以后，经历了________、_______和_______三个发展阶段。
2．19世纪自然科学有三大发现，其中生物学占了两项，它们分别是_______和_______。
3．生物新陈代谢的所有化学变化，都是在________催化下进行的；遗传信息的携带者是________。
4．1998年长江洪水泛滥原因为二，一是上游水土流失，使蓄水保水能力降低；二是中下游湖泊淤积，使湖泊调节能力下降。这两方面原因都是与________活动有直接关系，说明了只有遵循生态学原理，才能谋求________与________和谐相处，实现________和________可持续发展。
5．生物工程是指_______与________有机结合而兴起的一门综合性科学技术。
6．20世纪60年代以来，人类社会面临的重大问题有________、________、________、________和________，它们的解决都离不开生态学理论。
参考答案及简析
一、选择题
1．核酸是遗传信息的载体，水和无机盐属无机物，蛋白质是生命活动主要体现者，故此题答案应选C。
2．铁钉生锈已变成另一物质，与生物的新陈代谢有本质区别。此题答案是A。
3．蝗虫飞翔遇乌云遮日（即从光亮变暗这是一种刺激）停飞（这是作出的反应），故本题答案应选D。
。B．生殖虽能增加个体数目，但使种族延续更为重要，故本题答案应选4．
5．千百年种稻麦依然是稻麦，而产量又有变化，正说明其具遗传和变异特性，故本题答案应选C。
6．地衣能在岩石上生长正说明它能适应环境，它分泌地衣酸使岩石风化，又说明它影响环境，故本题答案应选A。
7．生物体通过新陈代谢实现自我更新是生物区别于非生物最基本的特征，故本题答案应选B。
8．自然选择学说是达尔文进化论中心内容，故本题答案应选D。
9．物理、化学的实验方法和研究成果引入生命科学研究领域是实验生物学阶段的主要研究手段，其目标是考察生命过程，故本题答案应选D。
10．1953年DNA双螺旋结构模型的确立是分子生物学的重要标志，故本题答案应选C。
11．近代生物学已从细胞水平进入分子水平去探索生命的本质，而生态学的发展为解决全球重大社会问题发挥作用。故本题答案应选C。
12．将生物科学与工程技术有机地结合是生物工程学，基因的导入培育新品种正是运用生物技术的结果，故本题答案应选D。
13．围海造田，任意向自然索取，这是违背生态规律的。学习生物课，要了解生物学研究方法，所以本题答案应选B。
二、问答题
1．生命现象和生命活动。描述生物学；实验生物学和分子生物学。
2．细胞学说和达尔文的进化学说。
3．酶；核酸。
4．人类；人类与大自然；社会和经济。
5．生物科学；工程技术。
6．人口、环境、自然资源、能源和粮食。
第一章生命的物质基础
(一）组成生物的化学元素
1.组成生物体的化学元素——知识点拨
（1）组成生物体的化学元素分为大量元素与微量元素。大量元素指含量占生物体总质量的万分之一以上的元素，如C、H、O、N、P、S、K、Ca、Mg等；微量元素是指生物生命活动必需的，但需要量极少的一些元素，如Fe、Mn、Zn、Cu、B、Mo等；组成生物体的最基本的元素是C；不同生物的组成元素有差异，元素的含量也不同；各种化学元素只有在生物体内特定的结构基础上才能发挥其生理作用。学习组成生物体的化学元素的主要作用的相关内容时，着重记住一些常见元素的作用，如B元素可促进花粉的萌发和花粉管的伸长等。
（2）．生物界和非生物界的统一性和差异性是本节的难点，统一性表现在没有一种元素是生物界所特有的，都是非生物界可以找到的。差异性体现在生物体内的元素组成和无机界的元素含量的差异上。
2.组成生物体的化学元素——完全知识点
（1）细胞的发现
1665年罗伯特?虎克显微镜的发明，使生物学研究进入到细胞这个微观领域。
（2）细胞学说
19世纪30年代，德国的植物学家施莱登和动物学家施旺提出了细胞学说。
内容:一切动物和植物都是由细胞构成的，细胞是生命的单位。
细胞学说使生物界通过具有细胞结构这个共同的特征而统一起来
,证明生物彼此之间存在着亲缘
关系。
(3)原生质
概念:细胞内的原生命物质(分化：细胞膜，细胞质，细胞核)
组成：蛋白质，核酸，脂类
（4）细胞内的生命物质原生质
化学元素大量元素：C、H、O、N、P、S、K、Ca、Mg
微量元素: Fe、I、Cu、Co、Mo、Zn
各种化合物无机化合物水、无机盐
有机化合物糖类、脂类、蛋白质、核酸
原生质结构细胞膜、细胞核、细胞质(基质、细胞器)
（5）组成生物体的化学元素的重要作用
1）组成原生质的主要元素：C、H、O、N、P、S，约占原生质总量的97%。
2）调节机体活动的元素：如离子态的K+、Na+、Ca2+、OH-、HPO42-、HCO3-等。
3）与蛋白质结合的元素：如Fe2+是血红蛋白成分，Cu2+是血蓝素成分，Mo2+是固氮酶的成分等。
（6）生物界与非生物界的统一性和差异性
（1）构成细胞的化学元素在自然界中都能找到，没有一种是生物所特有的。生物界与非生物界的统一性
（2）组成生物体的化学元素，在生物体内和在无机自然界的含量两者相差很大。生物界和非生物界具有差异性
（3）经过长期的研究证实：生活细胞的原生质中所有的化学元素都可以在无机自然界中找到，没有一种是其本身所特有的。
①这样的事实充分说明了说明了生命物质与非生命物质具有统一性
细胞质和细胞核②由这样的元素及这样的元素构成的化合物组成的原生质能分化为细胞膜、．等，进行生命活动，这说明了生命的说明了生命的物质性
③生命物质中的某些化合物如蛋白质、核酸
等在非生物界是没有的，这样的事实可以说明生命的生命物质的特殊性.
3.组成生物体的化学元素·进阶习题
例1 生物体生命活动的物质基础是[ ]
A．各种化学元素
B．各种化合物
C．大量元素和微量元素
D．组成生物体的各种元素和化合物
解析本题涉及到化学知识的应用，易错为A和B。要清楚，元素虽然是组成生物体的最基本物质，但就生物体生命活动的物质基础而言，绝大部分仍以化合物的形式发挥作用，少量以离子状态起作用。
答案 D
例2 下表是人体内和玉米植株含量较多的化学元素，请回答：
（1）从表中可知，组成人体和玉米的基本元素是________，此外还有________。
（2）从表中看出，人和玉米组成元素种类________，但化学元素的________相差很大。
解析这是一道图表分析题，从表中可以看出组成生物的基本元素是C，此外还有O、N、H，还可以看出不同生物体组成的元素种类大体相同，但元素含量却相差很大。
答案见解析。
点击思维
例3 组成家兔身体的主要元素是[ ]
A．C、H、O、N、Ca、P
B．C、P、O、S、H、N
C．B、H、O、N、S、Zn
D．H、O、K、S、P、Mg
解析解题时要思考哪些元素是基本元素，哪些元素是大量元素，哪些元素是主要元素，哪些元素是微量元素。了解了这些知识，做这个题目就不难了。A选项中的Ca是大量元素而是大量元素而不是主要元素，在Mg项中的D是微量元素，Zn选项中的C不是主要元素，
生物体的大量元素中，C、H、O、N、P、S 6种元素是组成原生质的主要元素，大约占原生质总
例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ． 请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ． 那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k
()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论． 分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3． 故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 例3．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．
第一章解三角形 .正弦定理: 2）化边为角： a : b: c sin A : sin B : sin C ? 7 a si nA b sin B a sin A b sin B ' c sin C J c sin C ' 3 ）化边为角： a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2Rsin C 4 ）化角为边: sin A sin B a ； sin B J b sin C b sin A a c' sin C c ' a b 5 ）化角为边：si nA , si nB , si nC 2R 2R 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ① 已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由 A+B+C=180,求角A,由正弦定理a 竺A, 竺B b sin B c sin C b 与c ②已知两边和其中一边 的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理旦 血 求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正 b sin B 弦定理a 泄求出c 边 c sin C 4. △ ABC 中，已知锐角A ,边b ,贝U ① a bsin A 时，B 无解； ② a bsinA 或a b 时，B 有一个解; ③ bsinA a b 时，B 有两个解。 如：①已知A 60 ,a 2,b 2 3,求B （有一个解） ②已知A 60 ,b 2,a 2.3,求B （有两个解） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数 .三角形面积 各边和它所对角的正弦的比相等, 并且都等于外 接圆的直径， 即 a b c sin A sin B sinC 2.变形：1） a b c a sin sin si sin 2R （其中R 是三角形外接圆的半径） b c sin sinC c 2R 沁；求出 sin C 1.正弦定理：在一个三角形中, bsin A
初中物理所有章节知识点总结 【第一章机械运动】 1．测量长度的常用工具：刻度尺。测量结果要估读到分度值的下一位。2．刻度尺的使用方法： （1）使用前先观察刻度尺的零刻度线、量程和分度值； （2）测量时刻度尺的刻度线要紧贴被测物体； （3）读数时视线要与尺面垂直。 3．测量值和真实值之间的差异叫做误差，我们不能消灭误差，但应尽量减小误差。 4．减小误差方法：多次测量求平均值、选用精密测量工具、改进测量方法。5．误差与错误的区别：误差不是错误，错误不该发生，能够避免，而误差永远存在，不能避免。 6．物理学里把物体位置的变化叫做机械运动。 7．在研究物体的运动时，选作标准的物体叫做参照物。同一个物体是运动还是静止取决于所选的参照物，这就是运动和静止的相对性。 8．速度的计算公式： 1m/s=3.6km/h
【第二章声现象】 9．声是由物体的振动产生的。 10．声的传播需要介质，真空不能传声。 11．声速与介质的种类和介质的温度有关。15℃空气中的声速为340m/s。12．声音的三个特性是：音调、响度、音色。（音调与物体的振动频率有关；响度与物体的振幅有关；音色与发声体的材料和结构有关。） 13．控制噪声的途径：防止噪声的产生、阻断噪声的传播、防止噪声进入人耳。14．为了保证休息和睡眠，声音不能超过50dB；为了保证工作和学习，声音不能超过70 dB；为了保护听力，声音不能超过90 dB。 15．声的利用： （1）传递信息：例如声呐、听诊器、B超、回声定位。 （2）传递能量：例如超声波清洗钟表、超声波碎石。 【第三章物态变化】 16．液体温度计是根据液体热胀冷缩的规律制成的。 17．使用温度计前应先观察它的量程和分度值。
第十一章三角形知识点归纳 考点一:三角形的三边关系 1、三角形两边的和 第三边 2、三角形两边的差 第三边 3、判断三边能组成三角形的方法：最小两数之和大于第三边 4、已知三角形两边的长度为a 和b ，则第三边的取值范围是 两边之差＜第三边＜两边之和 例：下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A.5,6,10 B.5,6,11 C.3,4,8 D.4,4,8 例：已知三角形的两边分别是7和12，则第三边长得取值范围为（ ） 考点二：5、三角形具有 性，四边形具有 性 例：下列图形具有稳定性的是（ ） A.正方形 B.矩形 C.平行四边形 D.直角三角形 考点三： 1. 三角形的高 从△ABC 的顶点向它的对边BC 所在的直线画垂线，垂足为D ， 那么线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高。 注：三角形面积=底×底边上的高 例：AD 是△ABC 的高，∠ADB=∠ADC= 例：AD 是△ABC 的高，AD=3，BC=5,则△ABC 的面积是 2. 三角形的中线 连接△ABC 的顶点A 和它所对的对边BC 的中点D ， 所得的线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线。 几何语言： AD 是△ABC 的中线 BD=CD=2 1BC 注：三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形
D 例：AD 是△ABC 的中线 ，BD=3，则CD= ，BC= ， 若△ABC 的面积是18，则△ABD 的面积等于 。 3. 三角形的角平分线 ∠A 的平分线与对边BC 交于点D ，那么线段AD 叫做三角形的角平分线。 几何语言： AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD=2 1∠BAC 例：AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC=70度，则∠BAD= ,∠CAD= 考点四：三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 几何语言：∠A+∠B+∠C= 例：在△ABC 中，∠B=45度，∠C=55度，则∠A= 考点五：三角形的外角 1、定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 2. 性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 几何语言： ∠ACD 是△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B 例：如图，已知∠ACD=120度，∠B=50度，则∠A= 考点六：n 边形的内角和公式等于 例：计算五边形的内角和是 例：一个多边形的内角和是720度，则这个多边形的边数是 考点七：多边形的外角和等于 例：十二边形的外角和等于 例：正多边形的每个外角的度数都是40度，则这个正多边形的边数是
欢迎阅读数学归纳法典型例题 一. 教学内容： 高三复习专题：数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 四. ??? ??? （1 ??? （2（）时命题成立，证明当时命题也成立。??? 开始的所有正整数 ??? 即只 称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 【要点解析】 ? 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。 ??? 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。
? 2、运用数学归纳法时易犯的错误 ??? （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。 ??? （2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。 ??? （3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。 ? 例1. 时，。 ，右边，左边 时等式成立，即有，则当时， 由①，②可知，对一切等式都成立。 的取值是否有关，由到时 （2 到 本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即 ，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。 （3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确 时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。
基础强化（8）——解三角形 1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； ②. 三角形三边关系：a+b>c; a-b 必修一 第一章集合与函数概念 1．1 集合 1．2 函数及其表示 1．3 函数的基本性质 第二章基本初等函数（Ⅰ） 2．1 指数函数 2．2 对数函数 2．3 幂函数 第三章函数的应用 3．1 函数与方程 3．2 函数模型及其应用 必修二 第一章空间几何体 1．1 空间几何体的结构 1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积 第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质 第三章直线与方程 3．1 直线的倾斜角与斜率 3．2 直线的方程 3．3 直线的交点坐标与距离公式 必修三 第一章算法初步 1．1 算法与程序框图 1．2 基本算法语句 1．3 算法案例 第二章统计 2．1 随机抽样 阅读与思考一个著名的案例 阅读与思考广告中数据的可靠性 阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体 阅读与思考生产过程中的质量控制图 2．3 变量间的相关关系 阅读与思考相关关系的强与弱 第三章概率 3．1 随机事件的概率 3．2 古典概型 3．3 几何概型 必修四 第一章三角函数 1．1 任意角和弧度制 1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的诱导公式 1．4 三角函数的图象与性质 1．5 函数y=Asin（ωx+ψ） 1．6 三角函数模型的简单应用 第二章平面向量 2．1 平面向量的实际背景及基本概念 2．2 平面向量的线性运算 2．3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．4 平面向量的数量积 2．5 平面向量应用举例 第三章三角恒等变换 3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3．2 简单的三角恒等变换 必修五 第一章解三角形 1．1 正弦定理和余弦定理 探究与发现解三角形的进一步讨论 1．2 应用举例 阅读与思考海伦和秦九韶 1．3 实习作业 第二章数列 2．1 数列的概念与简单表示法 2．2 等差数列 2．3 等差数列的前n项和 2．4 等比数列 2．5 等比数列前n项和 第三章不等式 3．1 不等关系与不等式 3．2 一元二次不等式及其解法 3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 3．4 基本不等式 必修三实用性和适用性在高一作用不大，所以高一上学期学必修一二，下学期学必修四五，跳过必修三 第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;s in s in B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b < 【关键字】认识、问题、要点 数学归纳法（ 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 当n =k +1时． 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ． 那么当n =k +1时， 这就是说，当n =k +1时，不等式成立． 由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立． 说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是 1211 1 31 21 1+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 1211 2+<++k k k ． 认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 题型3.证明数列问题 例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)． (1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值． (2)设b n ＝ a 22n －3，T n ＝ b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3 . 解： (1)当n ＝5时， 原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243. (2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2 b n ＝a 22 n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2， 右边＝2(2＋1)(2－1)3 ＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立， 即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3 成立 那么，当n ＝k ＋1时， 左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3 ＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)?? ??k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3 ＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立． 综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3 . 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 七年级数学下册知识点归纳 第五章相交线与平行线 5.1 相交线 一、相交线两条直线相交，形成4个角。 1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。 ①邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角，互为邻补角。如：∠1、∠2。 ②对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。如：∠1、∠3。 ③对顶角相等。 二、垂线 1．垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。 2．垂线：垂直是相交的一种特殊情形，两条直线垂直，其中一条直线叫 做另一条直线的垂线。 3．垂足：两条垂线的交点叫垂足。 4．垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 5．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直 线的距离。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 三、同位角、内错角、同旁内角两条直线被第三条直 线所截形成8个角。 1．同位角：（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧）在两条直线的上方，又 在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。如：∠1和∠5。 2．内错角：（在两条直线内部，位于第三条直线两侧）在两条直线之间，又在直线 EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。如：∠3和∠5。 3．同旁内角：（在两条直线内部，位于第三条直线同侧）在两条直线之间，又在直 线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。如：∠3和∠6。 5.2 平行线及其判定 (一) 平行线 1.平行：两条直线不相交。互相平行的两条直线，互为平行线。a∥b（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。） 2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 3.平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行。如果b//a,c//a,那么b//c (二)平行线的判定： 1. 两条平行线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（同位角相等，两直线平行） 2. 两条平行线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。（内错角相等，两直线平行） 3. 两条平行线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（同旁内角互补，两直线平行） 推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 三角函数及解三角形知识点 总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：22221 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成 απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）??? ??=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin( 导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 .1002 C ！ 解法一 f ＇(0)=x f x f x ?-?+→?) 0()0(lim = x x x x x ?--?-?-??→?0 )100()2)(1(lim 0 Λ =lim 0 →?x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D. 解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D. 点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解. 【例2】 已知函数f (x )=n n n k k n n n n x c n x c k x c x c c 11212210 ++++++ΛΛ，n ∈N *，则 x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 = . 解 ∵ x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 =2x f x f x ?-?+→?2) 2()22(lim + []x f x f x ?--?-+→?-) 2()(2lim 0 =2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)， 又∵f ＇(x )=1 1 2 1 --+++++n n n k k n n n x c x c x c c ΛΛ， ∴f ＇(2)= 21（2n n n k n k n n c c c c 222221+++++ΛΛ）=21[(1+2)n -1]= 2 1(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如 x m x f x m x f x ?--?-→?-)()(000 lim ，且其定义形式可以是 x m x f x m x f x ?--?-→?) ()(000 lim ，也可以是 00 ) ()(lim x x x f x f x --→?（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关 知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖. 【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 . 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 初中物理知识点总结 第一章声现象知识归纳 1 . 声音的发生：由物体的振动而产生。振动停止，发声也停止。 2．声音的传播：声音靠介质传播。真空不能传声。通常我们听到的声音是靠空气传来的。 3．声速：在空气中传播速度是：340米/秒。声音在固体传播比液体快，而在液体传播又比空气体快。 4．利用回声可测距离：S=1/2vt 5．乐音的三个特征：音调、响度、音色。(1)音调:是指声音的高低，它与发声体的频率有关系。(2)响度:是指声音的大小，跟发声体的振幅、声源与听者的距离有关系。 6．减弱噪声的途径：(1)在声源处减弱；(2)在传播过程中减弱；(3)在人耳处减弱。 7．可听声：频率在20Hz～20000Hz之间的声波：超声波：频率高于20000Hz 的声波；次声波：频率低于20Hz的声波。 8．超声波特点：方向性好、穿透能力强、声能较集中。具体应用有：声呐、B超、超声波速度测定器、超声波清洗器、超声波焊接器等。 9．次声波的特点：可以传播很远，很容易绕过障碍物，而且无孔不入。一定强度的次声波对人体会造成危害，甚至毁坏机械建筑等。它主要产生于自然界中的火山爆发、海啸地震等，另外人类制造的火箭发射、飞机飞行、火车汽车的奔驰、核爆炸等也能产生次声波。 第二章物态变化知识归纳 1. 温度：是指物体的冷热程度。测量的工具是温度计, 温度计是根据液体的热胀冷缩的原理制成的。 2. 摄氏温度(℃):单位是摄氏度。1摄氏度的规定：把冰水混合物温度规定为0度，把一标准大气压下沸水的温度规定为100度，在0度和100度之间分成100等分，每一等分为1℃。 ３．常见的温度计有(1)实验室用温度计；(2)体温计；(3)寒暑表。 体温计：测量范围是35℃至42℃，每一小格是0.1℃。 4. 温度计使用：(1)使用前应观察它的量程和最小刻度值；(2)使用时温度计玻璃泡要全部浸入被测液体中，不要碰到容器底或容器壁；(3)待温度计示数稳定后再读数；(4)读数时玻璃泡要继续留在被测液体中，视线与温度计中液柱的上表面相平。 5. 固体、液体、气体是物质存在的三种状态。 6. 熔化：物质从固态变成液态的过程叫熔化。要吸热。 7. 凝固：物质从液态变成固态的过程叫凝固。要放热. 8. 熔点和凝固点：晶体熔化时保持不变的温度叫熔点；。晶体凝固时保持不变的温度叫凝固点。晶体的熔点和凝固点相同。 9. 晶体和非晶体的重要区别：晶体都有一定的熔化温度（即熔点），而非晶体没有熔点。 10. 熔化和凝固曲线图： 初中数学湘教版八年级数学上册三角形知识点集 ⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. （１）三角形的表示方法：三角形ABC 用符号表示为△ABC ， 三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可 用a 表示， △AB Ｃ的角可表示为∠Ｂ或者∠ＡＢＣ，∠Ｃ或者∠ＡＣＢ，∠Ａ或者∠ＢＡＣ， 到底用一个大写字母还是三个大写字母表示角，要看题目用一个大写字母表示角会不会产生混淆 （２）三角形一共有三个顶点，三条边，三个角，这就是三角形的三元素； （３）三角形的对边与对角：一个角对着一条边，一条边对着一个角 如图∠ＢＡＣ的对边是边ＢＣ，边ＡＢ的对边是∠Ｃ或者∠ＡＣＢ ⒉ 三角形的分类： (1)按边分类： (2)按角分类： ⒊ 三角形的主要线段 （1）三角形的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫做重心； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形． （2）三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做内心 三角形的角平分线的表示法： 如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示： ① AD 是?ABC 的角平分线 ② AD 平分∠BAC ，交BC 于D ； ③ ③ 如果AD 是?ABC 的角平分线，那么∠BAD =∠DAC =21∠BAC . 三角形的中线表示法： 如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示： ①AE 是?ABC 的中线； ②AE 是?ABC 中BC 边上的中线； ③如果AE 是?ABC 的中线，那么BE=EC = 21BC . 三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 （等边三角形三条边都相等，也叫做正三角形） 直角三角形有一个角是９０度，直角三角形的两个锐角互余。 A B C D E 图1 2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 2.1 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义 由m×n个数a ij（i 1,2, ,m; j 1,2, , n）组成的m行n 列的矩形数表 a11 a12 a1n a2n a m1 a m2 a mn 称为m×n矩阵，记为 A （a ij ）m n 2．特殊矩阵 （1）方阵：行数与列数相等的矩阵； （2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； （5）单位矩阵：主对角线上元素全是 1 的对角阵，记为E； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设 A (a ij )mn; B (b ij )mn 若a ij b ij(i 1,2, ,m; j 1,2, ,n)，则称 A 与B相等，记为A=B 2.1.2 矩阵的运算 1．加法 (1)定义：设 A (A ij )mn ,B (b ij ) mn ，则 C A B (a ij b ij )mn (2) 运算规律 ① A+B=B+A ； ②( A+B )+C=A+(B+C ) ③ A+O=A ④ A+(-A ) =0， –A 是 A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 (1)定义：设 A (a ij ) mn , k 为常数，则 kA (ka ij )mn (2)运算规律 ①K (A+B) =KA+KB , ② (K+L )A=KA+LA , ③ (KL) A= K (LA) 3．矩阵的乘法 (1)定义：设 A (a ij )mn ,B (b ij )np .则 n AB C (C ij )mp ,其中 C ij a ik b kj k1 (2) 运算规律 ① (AB)C A (BC) ；② A(B C) AB AC ③ (B C)A BA CA 3)方阵的幂 ①定义：A (a ij ) n ，则 A k A K A ②运算规律： A m A n A m n (A m )n A (4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ① AB BA ② AB 0, 不能推出 A 0或B 0; ③ (AB)k A k B k 4．矩阵的转置 (1) 定义：设矩阵 A=(a ij )mn ，将 A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵 A 的转置，记为 A T (a ji )nm ， (2) 运算规律 ①(A T )T A; ②(A B)T A T B T ； ③(kA)T KA T ; ④ (AB)T B T A T 。 《圆》章节知识点 一、圆的概念 1.平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中，定点称为圆心，定长称为半径，以点O为圆心的圆记作“O”，读作“圆O”。 2.确定圆的基本条件：（1）、圆心：定位置，具有唯一性，（2）、半径：定大小。 3.半径相等的两个圆叫做等圆，两个等圆能够完全重合。 4.①连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，②圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，弧用符号“?”表示，圆的任意一条直径的两个端点分圆成为两条等弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。③在同圆或等圆中，能过重合的两条弧叫做等弧。理解：弧在圆上，弦在圆及圆上：弧为曲线形，弦为直线形。 5.不在同一直线上的三个点确定一个圆且唯一一个。 6.①三角形的三个顶点确定一个圆，经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。②与三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。三角形的内切圆是三角形内面积最大的圆，圆心是三个角的角平分线的交点，他到三条边的距离相等：内心到三顶点的连线平分这三个角。 （补充）圆的集合概念 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫 中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定 长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离 都相等的一条直线。高一数学各个章节知识点总结
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