2．2.2对数函数及其性质(一)
课时目标 1.掌握对数函数的概念、图象和性质.2.能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．
1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是________．
2．对数函数的图象与性质
定义y＝log a x (a>0，且a≠1)
底数a>10 图象 定义域________ 值域________ 单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数 共点性图象过点________，即log a1＝0 函数值 特点 x∈(0,1)时， y∈________； x∈[1，＋∞)时， y∈________ x∈(0,1)时， y∈________； x∈[1，＋∞)时， y∈________ 对称性 函数y＝log a x与y＝ 1 log a x的图象关于____对称 3.反函数 对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)和指数函数__________________互为反函数． 一、选择题 1．函数y＝log2x－2的定义域是() A．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．[4，＋∞) 2．设集合M ＝{y |y ＝(1 2)x ，x ∈[0，＋∞)}，N ＝{y |y ＝log 2x ，x ∈(0,1]}，则集合M ∪N 等 于( ) A ．(－∞，0)∪[1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，1] D ．(－∞，0)∪(0,1) 3．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (α)＝1，则α等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．函数f (x )＝|log 3x |的图象是( ) 5．已知对数函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，且过点(9,2)，f (x )的反函数记为y ＝g (x )，则g (x )的解析式是( ) A ．g (x )＝4x B ．g (x )＝2x C ．g (x )＝9x D ．g (x )＝3x 6．若log a 2 3 <1，则a 的取值范围是( ) A ．(0，23) B ．(2 3，＋∞) C ．(23，1) D ．(0，2 3)∪(1，＋∞) 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．如果函数f (x )＝(3－a )x ，g (x )＝log a x 的增减性相同，则a 的取值范围是______________． 8．已知函数y ＝log a (x －3)－1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________． 9．给出函数则f (log 23)＝________. 三、解答题 10．求下列函数的定义域与值域： (1)y＝log2(x－2)； (2)y＝log4(x2＋8)． 11．已知函数f(x)＝log a(1＋x)，g(x)＝log a(1－x)，(a>0，且a≠1)． (1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值． (2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围． 能力提升 12．已知图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝log a 1x ，y ＝log a 2x ，y ＝log a 3x ，y ＝log a 4x 的图象，则a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是( ) A ．a 4 13．若不等式x 2－log m x <0在(0，1 2)内恒成立，求实数m 的取值范围． 1．函数y ＝log m x 与y ＝log n x 中m 、n 的大小与图象的位置关系． 当0 2．由于指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的定义域是R ，值域为(0，＋∞)，再根据对数式与指数式的互化过程知道，对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，它们互为反函数，它们的定义域和值域互换，指数函数y ＝a x 的图象过(0,1)点， 故对数函数图象必过(1,0)点． 2．2.2 对数函数及其性质(一) 知识梳理 1．函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1) (0，＋∞) 2.(0，＋∞) R (1,0) (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] x 轴 3．y ＝a x (a >0且a ≠1) 作业设计 1．D [由题意得：??? log 2x －2≥0， x >0. 解得x ≥4.] 2．C [M ＝(0,1]，N ＝(－∞，0]，因此M ∪N ＝(－∞，1]．] 3．B [α＋1＝2，故α＝1.] 4．A [y ＝|log 3x |的图象是保留y ＝log 3x 的图象位于x 轴上半平面的部分(包括与x 轴的交点)，而把下半平面的部分沿x 轴翻折到上半平面而得到的．] 5．D [由题意得：log a 9＝2，即a 2＝9，又∵a >0，∴a ＝3. 因此f (x )＝log 3x ，所以f (x )的反函数为g (x )＝3x .] 6．D [由log a 23<1得：log a 2 3 当a >1时，有a >2 3，即a >1； 当0 3 . 综上可知，a 的取值范围是(0，2 3)∪(1，＋∞)．] 7．(1,2) 解析 由题意，得??? 0<3－a <1， 0 3－a >1，a >1， 解得1 8．(4，－1) 解析 y ＝log a x 的图象恒过点(1,0)，令x －3＝1，则x ＝4； 令y ＋1＝0，则y ＝－1. 9.1 24 解析 ∵1 ＝f (log 23＋3)＝f (log 224)＝22 2log 24 1log log 24 24 12 2 2-?? == ? ?? ＝124 . 10．解 (1)由x －2>0，得x >2，所以函数y ＝log 2(x －2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R . (2)因为对任意实数x ，log 4(x 2＋8)都有意义， 所以函数y ＝log 4(x 2＋8)的定义域是R . 又因为x 2＋8≥8， 所以log 4(x 2＋8)≥log 48＝3 2 ， 即函数y ＝log 4(x 2＋8)的值域是[3 2 ，＋∞)． 11．解 (1)当a ＝2时，函数f (x )＝log 2(x ＋1)为[3,63]上的增函数， 故f (x )max ＝f (63)＝log 2(63＋1)＝6， f (x )min ＝f (3)＝log 2(3＋1)＝2. (2)f (x )－g (x )>0，即log a (1＋x )>log a (1－x )， ①当a >1时，1＋x >1－x >0，得0 12．B [作x 轴的平行线y ＝1，直线y ＝1与曲线C 1，C 2，C 3，C 4各有一个交点，则交点的横坐标分别为a 1，a 2，a 3，a 4.由图可知a 3 解 由x 2－log m x <0，得x 2 要使x 2 2)内的图象在y ＝x 2的上方，于 是0 ∵x ＝12时，y ＝x 2＝1 4 ， ∴只要x ＝12时，y ＝log m 12≥1 4＝log m 1 4m . ∴12≤1 4m ，即1 16≤m .又0 16 ≤m <1， 即实数m 的取值范围是[1 16，1)．
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