平面向量应用举例
一.教学目标:
1.知识与技能
(1)经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.
(2)揭示知识背景,创设问题情景,强化学生的参与意识;发展运算能力和解决实际问题的能力.
2.过程与方法
通过本节课的学习,让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具;和同学一起总结方法,巩固强化.
3.情感态度价值观
通过本节的学习,使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识;提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.
二.教学重、难点
重点: (体现向量的工具作用),用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题,体会向量在几何、物理中的应用.
难点: (体现向量的工具作用),用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题,体会向量在几何、物理中的应用.
三.学法与教学用具
学法:(1)自主性学习法+探究式学习法
(2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距.
教学用具:电脑、投影机.
四.教学设想
【探究新知】
[展示投影]
同学们阅读教材P116---118的相关内容思考:
1.直线的向量方程是怎么来的?
2.什么是直线的法向量?
【巩固深化,发展思维】
教材P118练习1、2、3题
[展示投影]例题讲评(教师引导学生去做)
例1.如图,AD、BE、CF是△ABC的三条高,求证:AD、BE、CF相交于一点。
证:设BE、CF交于一点H,
?→
?
AB= a,
?→
?
AC= b,
?→
?
AH= h,
则
?→
?
BH= h-a ,
?→
?
CH= h-b ,
?→
?
BC= b-a
∵
?→
?
BH⊥
?→
?
AC,
?→
?
CH⊥
?→
?
AB
C
∴
0)()()(0)(0)(=-???-=?-??
??
=?-=?-a b h a b h b a h a a h b a h
∴?→
?AH ⊥?→
?BC
又∵点D 在AH 的延长线上,∴AD 、BE 、CF 相交于一点
[展示投影]预备知识:
1.设P 1, P 2是直线l 上的两点,P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点,存在实数λ,使?→
?P P 1=λ?→?2PP ,λ叫做点P 分?→
?21P P 所成的比, 有三种情况:
λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)
注意几个问题:
①λ是关键,λ>0内分 λ<0外分 λ≠-1 若P 与P 1重合,λ=0 P 与P 2重合 λ不存在
②始点终点很重要,如P 分?→
?21P P 的定比λ=2
1 则P 分?→?12P P 的定比λ=2
2.线段定比分点坐标公式的获得:
设?→
?P P 1=λ?→
?2PP 点P 1, P, P 2坐标为(x 1,y 1) (x,y) (x 2,y 2) 由向量的坐标运算
?→
?P P 1=(x-x 1,y-y 1) ?→
?2PP
=( x 2-x 1, y 2-y 1) ∵?→
?P P 1=λ?→
?2PP
即(x-x 1,y-y 1) =λ( x 2-x 1, y 2-y 1) ∴???-=--=-)()
(2121y y y y x x x x λλ ??
??
?++=
++=?λ
λλλ11212
1y y y x x x 定比分点坐标公式 3.中点坐标公式:若P 是?→
?21P P 中点时,λ=1
2
22
1
21y y y x x x +=+= 中点公式是定比分点公式的特例。
[展示投影]例题讲评(教师引导学生去做)
例2.已知点).4,2().5,1().1,(21P P x P --①的值及的比分求点x P P P 121λ?→
?
1P 1
P 1
222
②求点的值。的比分221λ?→
?P P P 解:①由2145111111211=++-=++=
λλλλλ解得得y y y 1112
11=++=∴λλx x x
②由2
3
12112222221-=++=-++=
λλλλλ解得得x x y
例3.CD G AB D y x C y x B y x A ABC 是的中点,是边(的三个顶点分别为),,()..().,1? 上的一点,且
2=GD
CG
求点G 的坐标。 解:由D 是AB 的中点,所以D 的坐标为y y x x 2),2
,2(
2
121=++又 32122321213x x x x x x x ++=++?
+=
∴3
2122321
21
3y y y y y y y ++=++?+=∴ 即G 的坐标为)3
,3(
3
21321y y y x x x ++++ ————.重心坐标公式
例4.过点P 1(2, 3), P 2(6, -1)的直线上有一点P
解:当
P 内分?→
?21P P 时 3=λ
当P 外分?→
?21P P 时3-=λ当3=λ得P(5,0) 当3-=λ得P(8,-3)
例5.如图,在平面内任取一点O ,设
→?→?→?→?==b OP a OP 21,,→?→?→?→??→?-=-=21,b PP a OP P P →?→
??→
?→
→
?→
?+++=∴-=-∴a OP OP b a OP λ
λλλ111),()(这就是线段的定比分点向量公式。
特别当,当P 为线段P 1P 2的中点时,有)(2
1→
→?→
?+=b a OP
例6.教材P 119例2. 例7.教材P 119例3.
例8.某人骑车以每小时a 公里的速度向东行驶,感到风从正东方向吹来,而当速度为2a 时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速和方向。
解:设a 表示此人以每小时a 公里的速度向东行驶的向量, 无风时此人感到风速为-a ,设实际风速为v ,
那么此时人感到的风速为v - a ,
O
设?→?OA = -a ,?→
?OB = -2a
∵?→?PO +?→?OA =?→?PA ∴?→
?PA = v - a ,这就是感到由正北方向吹来的风速, ∵?→?PO +?→?OB =?→?PB ∴?→
?PB = v -2a ,于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是?→
?PB , 由题意:∠PBO = 45?, PA ⊥BO , BA = AO
从而,△POB 为等腰直角三角形,∴PO = PB =2a 即:|v | =2a ∴实际风速是2a 的西北风 【巩固深化,发展思维】
1.教材P 119练习1、2、3题.
2.已知平行四边形ABCD 的两个顶点为对角线的交),6,2(),7,29(B A --
点为),,(23
3M 则另外两个顶点的坐标为 . (),),(,34102
21
- 3.△ABC 顶点A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7) ∠BAC 平分线交BC 边于D, 求D 点坐标 . (1,5
41) [学习小结]:略
五、评价设计
1.作业:习题2.7 A 组第1、2、3、4题.
2.(备选题):①若直线02:=++y mx l 与线段AB 有交点,其中A (-2,3),B(3,2),求m 的取值范围.
解:设l 交有向线段AB 于点P (x,y )且
点)时直线过,当A PB
AP
00(=≥=λλλ 则可得3425,0435*******-<≥≥+-=??
??
?++=
++-=m m m m l P y x 或得上,故可得点在因λλλλλ 由于设λ时,无形中排除了P,B 重合的情形,要将B 点坐标代入直线方程得
3
425,34-≤≥-=m m m 或故
②已知O 为△ABC 所在平面内一点,且满足|?→?OA |2
+ |?→?BC |2
= |?→?OB |2
+ |?→?CA |2
= |?→
?OC |2
+ |?→?AB |2
,求证:?→?AB ⊥?→
?OC .
证:设?→?OA = a , ?→?OB = b , ?→
?OC = c
,
B
C
则
?→
?
BC= c-b,
?→
?
CA= a-c,
?→
?
AB= b-a
由题设:
?→
?
OA2 +
?→
?
BC2 =
?→
?
OB2 +
?→
?
CA2 =
?→
?
OC2 +
?→
?
AB2,
化简:a2 + (c-b)2 = b2 + (a-c)2 = c2 + (b-a)2 得:c?b = a?c = b?a
从而
?→
?
AB?
?→
?
OC= (b-a)?c = b?c-a?c = 0
∴
?→
?
AB⊥
?→
?
OC同理:
?→
?
BC⊥
?→
?
OA,
?→
?
CA⊥
?→
?
OB
六、课后反思:
一、选择题 1.已知作用在A 点的三个力F 1=(3,4),F 2=(2,-5),F 3=(3,1)且A (1,1),则合力F =F 1+F 2+F 3的终点坐标为( ) A .(9,1) B .(1,9) C .(9,0) D .(0,9) 解析:F =F 1+F 2+F 3=(8,0). 又因为起点坐标为(1,1),所以终点坐标为(9,1). 答案:A 2.初速度为v 0,发射角为θ,若要使炮弹在水平方向的速度为1 2v 0,则发射角θ应为( ) A .15° B .30° C .45° D .60° 解析:炮弹的水平速度为v =v 0·cos θ=12v 0?cos θ=12?θ=60°. 答案:D 3.△ABC 中,D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点,则AD +BE +CF =( ) A .0 B .0 C .AB D .AC 解析:设AB =a ,AC =b , 则AD =12a +1 2 b , BE =BA +12AC =-a +1 2b , CF =CA +1 2AB =-b +1 2a . ∴AD +BE +CF =0. 答案:B 4.在△ABC 中,D 为BC 边的中点,已知AB =a ,AC =b ,则下列向量中与AD 同向的是( ) A.a +b |a +b | B.a |a |+b |b | C.a -b |a -b | D.a |a |-a |b | 解析:AD =12AB +12AC =1 2(a +b ),而a +b |a +b | 是与a +b 同方向的单位向量.
答案:A 二、填空题 5.平面上有三个点A (-2,y ),B (0,y 2),C (x ,y ),若AB ⊥BC ,则动点C 的轨迹方 程为________. 解析:AB =(2,-y 2),BC =(x ,y 2 ). ∵AB ⊥BC ,∴A AB ·BC =2x -1 4y 2=0,即y 2=8x . 答案:y 2=8x 6.已知A ,B 是圆心为C ,半径为5的圆上的两点,且|AB |=5,则AC · CB =________. 解析:由弦长|AB |=5,可知∠ACB =60°, AC ·CB =-CA ·CB =-|CA ||CB |cos ∠ACB =-5 2. 答案:-5 2 7.质量m =2.0 kg 的物体,在4 N 的水平力作用下,由静止开始在光滑水平面上运动了3 s ,则水平力在3 s 内对物体所做的功为________. 解析:水平力在3 s 内对物体所做的功:F·s =F ·12at 2=12F ·F m t 2=12m F 2t 2=12×1 2×42×32 =36(J). 答案:36 J 8.设坐标原点为O ,已知过点(0,12)的直线交函数y =1 2x 2的图像于A 、B 两点,则OA · OB 的值为________. 解析:由题意知直线的斜率存在,可设为k ,则直线方程为y =kx +12,与y =1 2x 2联立 得12x 2=kx +1 2 , ∴x 2-2kx -1=0,∴x 1x 2=-1,x 1+x 2=2k , y 1y 2=(kx 1+12)(kx 2+12) =k 2x 1x 2+14+k (x 1+x 2) 2 =-k 2+k 2+1 4 =14 , ∴OA · OB =x 1x 2+y 1y 2=-1+14=-3 4.
2.7平面向量应用举例 一.教学目标: 1.知识与技能 (1)经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具. (2)揭示知识背景,创设问题情景,强化学生的参与意识;发展运算能力和解决实际问题的能力. 2.过程与方法 通过本节课的学习,让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具;和同学一起总结方法,巩固强化. 3.情感态度价值观 通过本节的学习,使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识;提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力. 二.教学重、难点 重点: (体现向量的工具作用),用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题,体会向量在几何、物理中的应用. 难点: (体现向量的工具作用),用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题,体会向量在几何、物理中的应用. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】 同学们阅读教材P116---118的相关内容思考: 1.直线的向量方程是怎么来的? 2.什么是直线的法向量? 【巩固深化,发展思维】 教材P118练习1、2、3题 例题讲评(教师引导学生去做) 例1.如图,AD、BE、CF是△ABC的三条高,求证:AD、BE、CF相交于一点。 证:设BE、CF交于一点H, ?→ ? AB= a, ?→ ? AC= b, ?→ ? AH= h, 则 ?→ ? BH= h-a , ?→ ? CH= h-b , ?→ ? BC= b-a ∵ ?→ ? BH⊥ ?→ ? AC, ?→ ? CH⊥ ?→ ? AB B C
平面向量应用举例 编稿:丁会敏 审稿:王静伟 【学习目标】 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 3.体会用向量方法解决实际问题的过程,知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具,提高运算能力和解决实际问题的能力. 【要点梳理】 要点一:向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面: (1)证明线段相等、平行,常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则,有时用到向量减法的意义. (2)证明线段平行、三角形相似,判断两直线(或线段)是否平行,常运用向量平行(共线)的条件://λ?=a b a b (或x 1y 2-x 2y 1=0). (3)证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断两直线(线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件:0⊥??=a b a b (或x 1x 2+y 1y 2=0). (4)求与夹角相关的问题,往往利用向量的夹角公式cos |||| θ?=a b a b . (5)向量的坐标法,对于有些平面几何问题,如长方形、正方形、直角三角形等,建立直角坐标系,把向量用坐标表示,通过代数运算解决几何问题. 要点诠释: 用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面,解决这类题的关键是正确选择基底,表示出相关向量,这样平面图形的许多性质,如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来,从而把几何问题转化成向量问题,再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了. 要点二:向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中,有序实数对(x ,y )既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量,使向量与解析几何有了密切的联系,特别是有关直线的平行、垂直问题,可以用向量方法解决. 常见解析几何问题及应对方法:
平面向量应用举例 【学习目标】 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 3.体会用向量方法解决实际问题的过程,知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具,提高运算能力和解决实际问题的能力. 【要点梳理】 要点一:向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面: (1)证明线段相等、平行,常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则,有时用到向量减法的意义. (2)证明线段平行、三角形相似,判断两直线(或线段)是否平行,常运用向量平行(共线)的条件://λ?=a b a b (或x 1y 2-x 2y 1=0). (3)证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断两直线(线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件:0⊥??=a b a b (或x 1x 2+y 1y 2=0). (4)求与夹角相关的问题,往往利用向量的夹角公式cos |||| θ?= a b a b . (5)向量的坐标法,对于有些平面几何问题,如长方形、正方形、直角三角形等,建立直角坐标系,把向量用坐标表示,通过代数运算解决几何问题. 要点诠释: 用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面,解决这类题的关键是正确选择基底,表示出相关向量,这样平面图形的许多性质,如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来,从而把几何问题转化成向量问题,再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了. 要点二:向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中,有序实数对(x ,y )既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量,使向量与解析几何有了密切的联系,特别是有关直线的平行、垂直问题,可以用向量方法解决. 常见解析几何问题及应对方法: (1)斜率相等问题:常用向量平行的性质. (2)垂直条件运用:转化为向量垂直,然后构造向量数量积为零的等式,最终转换出关于点的坐标的方程. (3)定比分点问题:转化为三点共线及向量共线的等式条件. (4)夹角问题:利用公式cos |||| θ?= a b a b . 要点三:向量在物理中的应用 (1)利用向量知识来确定物理问题,应注意两方面:一方面是如何把物理问题转化成数学问题,即将物理问题抽象成数学模型;另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象. (2)明确用向量研究物理问题的相关知识:①力、速度、位移都是向量;②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法;③动量mv 是数乘向量;④功即是力F 与所产生位移s 的数量积. (3)用向量方法解决物理问题的步骤:一是把物理问题中的相关量用向量表示;二是转化为向量问题的模型,通过向量运算解决问题;三是把结果还原为物理结论. 【典型例题】 类型一:向量在平面几何中的应用
第4讲 平面向量应用举例 一、选择题 1.△ABC 的三个内角成等差数列,且(AB → +AC →)·BC →=0,则△ABC 一定是( ). A .等腰直角三角形 B .非等腰直角三角形 C .等边三角形 D .钝角三角形 解析 △ABC 中BC 边的中线又是BC 边的高,故△ABC 为等腰三角形,又A ,B ,C 成等差数列,故B =π3 . 答案 C 2. 半圆的直径AB =4,O 为圆心,C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点,若P 为半径OC 的中点,则(PA →+PB →)·PC →的值是( ) A .-2 B .-1 C .2 D .无法确定,与C 点位置有关 解析 (PA →+PB →)·PC →=2PO →·PC →=-2. 答案 A 3. 函数y =tan π4x -π2的部分图象如图所示,则(OA →+OB →)·AB →= ( ). A .4 B .6 C .1 D .2 解析 由条件可得B (3,1),A (2,0), ∴(OA →+OB →)·AB →=(OA →+OB →)·(OB →-OA →)=OB →2-OA →2=10-4=6. 答案 B 4.在△ABC 中,∠BAC =60°,AB =2,AC =1,E ,F 为边BC 的三等分点,则
AE →·AF →=( ). A.53 B.54 C.109 D.158 解析 法一 依题意,不妨设BE →=12 E C →,B F →=2FC →, 则有AE →-AB →=12(AC →-AE →),即AE →=23AB →+13 AC →; AF →-AB →=2(AC →-AF →),即AF →=13AB →+23 AC →. 所以AE →·AF →=? ????23AB →+13AC →·? ?? ??13AB →+23AC → =19(2AB →+AC →)·(AB →+2AC →) =19(2AB →2+2AC →2+5AB →·AC →) =19(2×22+2×12+5×2×1×cos 60°)=53,选A. 法二 由∠BAC =60°,AB =2,AC =1可得∠ACB =90°, 如图建立直角坐标系,则A (0,1),E ? ????-233,0,F ? ?? ??-33,0, ∴AE →·AF →=? ????-233,-1·? ????-33,-1=? ????-233·? ????-33+(-1)·(-1)=23+1=53,选A. 答案 A 5.如图所示,已知点G 是△ABC 的重心,过G 作直线与AB ,AC 两边分别交于M , N 两点,且AM →=xAB →,AN →=yAC → ,则x ·y x +y 的值为( ).
平面向量应用举例 课型:新课 设计人: 设计时间:2011.3.2 使用时间: 学习目标: 1.通过应用举例,学会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法,可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题 2.通过本节的学习,体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用,增强积极主动的探究意识,培养创新精神。 重点:理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几 何和物理问题. 难点:选择适当的方法,将几何问题或者物理问题转化为向量问 题加以解决. 学习过程: 例1.证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.已知:平行四边形ABCD . 求证:2 2 2 2 2 2 AC BD AB BC CD DA +=+++. 利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”? (1) 建立平面几何与向量的联系, (2) 通过向量运算,研究几何元素之间的关系, (3) 把运算结果“翻译”成几何关系。 变式训练:ABC ?中,D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点,BF 与CD 交于点O ,设,.AB a AC b == (1)证明A 、O 、E 三点共线; (2)用,.a b 表示向量AO 。 例2,如图,平行四边形ABCD 中,点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点,BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点,你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗? 例3.如图,一条河的两岸平行,河的宽度500d =m ,一艘船从A 处出发到河对岸.已知船的速度|v 1|=10km/h ,水流的速度|v 2|=2km/h ,问行驶航程最短时,所用的时间是多少(精确到 0.1min)? 变式训练:两个粒子A 、B 从同一源发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为(4,3),(2,10)A B s s ==, (1)写出此时粒子B 相对粒子A 的位移s; (2)计算s 在A s 方向上的投影。 当堂检测 1.已知0 60,3,2===?C b a ABC 中,,求边长c 。 2.在平行四边形ABCD 中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC 的长。 3.在平面上的三个力321,,F F F 作用于一点且处于平衡状态, 2121,2 2 6,1F F N F N F 与+= =的夹角为o 45, 求:(1)3F 的大小;(2)1F 与3F 夹角的大小。 课后练习与提高 一、选择题 1.给出下面四个结论: ① 若线段AC=AB+BC ,则向量AC AB BC =+; ② 若向量AC AB BC =+,则线段AC=AB+BC ; ③ 若向量AB 与BC 共线,则线段AC=AB+BC; ④ 若向量AB 与BC 反向共线,则 BC AB BC AB +=+.其中正确的结论有 ( ) A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.河水的流速为2s m ,一艘小船想以垂直于河岸方向10s m 的 速度驶向对岸,则小船的静止速度大小为 ( ) A.10s m B. 262s m C. 64s m D.12s m 3.在ABC ?中,若)()(CB CA CB CA -?+=0,则ABC ?为 ( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定 二、填空题 4.已知ABC ?两边的向量21,e AC e AB ==,则BC 边上的中线向量AM 用1e 、2e 表示为 5.已知10321321=++=++OP OP OP ,OP OP OP ,则1OP 、 2OP 、3OP 两两夹角是 反思总结:
2.5《平面向量应用举例》教学设计 【教学目标】 1.通过应用举例,让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法,可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题; 2.通过本节的学习,让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用,增强学生的 积极主动的探究意识,培养创新精神. 【导入新课】 回顾提问: (1)若O 为ABC ?重心,则OA +OB +OC =0. (2)水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12 AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? (3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么? 教师:本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题;掌握向量法和坐标法,以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤,已经布置学生们课前预习了这部分,检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来. 新授课阶段 探究一:(1)向量运算与几何中的结论"若a b =,则||||a b =,且,a b 所在直线平行或重合"相类比,你有什么体会?(2)由学生举出几个具有线性运算的几何实例. 教师:平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及 数量积表示出来: 例如,向量数量积对应着几何中的长度.如图: 平行四边行 ABCD 中,设AB =a ,AD =b ,则AC AB BC a b =+=+(平移) ,DB AB AD a b =-=-,2 22||AD b AD ==(长度).向量AD ,AB 的夹角为DAB ∠.因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.通过向量运算研究几何运算之间的关系,如距离、夹角等.把运算结果 “翻译”成几何关系.本节课,我们就通过几个具体实例,来说明向量方法在平面几何中的运用 例1 证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 已知:平行四边形ABCD .
平面向量应用举例 一.教学目标: 1.知识与技能 (1)经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具. (2)揭示知识背景,创设问题情景,强化学生的参与意识;发展运算能力和解决实际问题的能力. 2.过程与方法 通过本节课的学习,让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具;和同学一起总结方法,巩固强化. 3.情感态度价值观 通过本节的学习,使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识;提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力. 二.教学重、难点 重点: (体现向量的工具作用),用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题,体会向量在几何、物理中的应用. 难点: (体现向量的工具作用),用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题,体会向量在几何、物理中的应用. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】 [展示投影] 同学们阅读教材P116---118的相关内容思考: 1.直线的向量方程是怎么来的? 2.什么是直线的法向量? 【巩固深化,发展思维】 教材P118练习1、2、3题 [展示投影]例题讲评(教师引导学生去做) 例1.如图,AD、BE、CF是△ABC的三条高,求证:AD、BE、CF相交于一点。 证:设BE、CF交于一点H, ?→ ? AB= a, ?→ ? AC= b, ?→ ? AH= h, 则 ?→ ? BH= h-a , ?→ ? CH= h-b , ?→ ? BC= b-a ∵ ?→ ? BH⊥ ?→ ? AC, ?→ ? CH⊥ ?→ ? AB B C
平面向量的应用举例 Corporation standardization office #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8
2.5平面向量的应用举例 班级学号姓名 .一选择题 1.已知A、B、C为三个不共线的点,P为△ABC所在平面内一点,若 + + +,则点P与△ABC的位置关系是 () A、点P在△ABC内部 B、点P在△ABC外部 C、点P在直线AB上 D、点P在AC边上 2.已知三点A(1,2),B(4,1),C(0,-1)则△ABC的形状为 () A、正三角形 B、钝角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰锐角三角形 3.当两人提起重量为|G|的旅行包时,夹角为θ,两人用力都为|F|,若 |F|=|G|,则θ的值为() A、300 B、600 C、900 D、1200 4.某人顺风匀速行走速度大小为a,方向与风速相同,此时风速大小为v,则此人实际感到的风速为 () A、v-a B、a-v C、v+a D、v 二、填空题 5.一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶,船的实际航行方向与水流方向成300角,则水流速度为 km/h。 6.两个粒子a,b从同一粒子源发射出来,在某一时刻,以粒子源为原点,它 们的位移分别为S a =(3,-4),S b =(4,3),(1)此时粒子b相对于粒子a 的位移; (2)求S在S a 方向上的投影。 三、解答题 7.如图,点P是线段AB上的一点,且AP︰PB=m︰n,点O是直线AB外一点,设OA =a,OB =b,试用,,, m n a b的运算式表示向量OP.
8.如图,△ABC 中,D ,E 分别是BC ,AC 的中点,设AD 与BE 相交于G ,求证:AG ︰GD=BG ︰GE=2︰1. G E D C B A 9.如图, O 是△ABC 外任一点,若1 ()3 OG OA OB OC =++,求证:G 是△ABC 重心(即三条边上中线的交点). 10.一只渔船在航行中遇险,发出求救警报,在遇险地西南方向10mile 处有一只货船收到警报立即侦察,发现遇险渔船沿南偏东750,以9mile/h 的速度向前航行,货船以21mile/h 的速度前往营救,并在最短时间内与渔船靠近,求货的位移。
5-4平面向量应用举 例
一、选择题 1.已知△ABC 中,|AB →|=|AC →|,则一定有( ) A.AB →⊥AC → B.AB →=AC → C .(AB →+AC →)⊥(AB →-AC →) D.AB →+AC →=AB →-AC → [答案] C [解析] ∵|AB →|=|AC →| ∴(AB →+AC →)(AB →-AC →)=|AB →|2-|AC →|2=0, ∴(AB →+AC →)⊥(AB →-AC →). 2.已知两个力F 1,F 2的夹角为90°,它们的合力大小为10N ,合力与F 1的夹角为60°,那么F 1的大小为( ) A .53N B .5N C .10N D .52N [答案] B