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第3章 光学成像系统的频率特性 章
Frequency Property of Optical Imaging Systems
§3.1 透镜的相位变换作用 Phase-Transform Function of Lenses
几何光学中,透镜是折射成像元件, 将物点变换为像点, 几何光学中,透镜是折射成像元件, 将物点变换为像点, 物、 像点均可在无穷远 物理光学中,透镜是实现位相变换的元件, 物理光学中,透镜是实现位相变换的元件, 其前后表面的光场 复振幅分布不同. 复振幅分布不同. 需要首先解决: 透镜的位相变换, 透镜的F.T. F.T.性质 需要首先解决: 透镜的位相变换, 透镜的F.T.性质 基本假设 透镜是薄的, 透镜是薄的, 忽略折射引起的光线的横向偏移 不改变光场振幅, 透镜无吸收, 完全透明, 均匀, 透镜无吸收, 完全透明, 均匀,折射率为n,不改变光场振幅, 仅改变位相 以后再考虑孔径影响) 透镜孔径为无限大 (以后再考虑孔径影响)
2. 焦 距? 成像的波长特性? 3. 成像的波长特性?
是否类似透镜? 问: 1. 是否类似透镜?
1 1 r 2 解: t ( x, y ) = t ( r ) = + cos( ar ) circ 2 2 l 1 1 e jar 2 + e − jar 2 r = + circ 2 l 2 2 x2 + y2 1 1 1 = + exp[ ja ( x 2 + y 2 )] + exp[ − ja ( x 2 + y 2 )]circ 4 l 2 4
分辨本领 ∆λ (在使用波长附近可以分辨的最小波长差) xm m mλz 光栅第m级谱线的位置 级谱线的位置x 光栅第 级谱线的位置 m对 = ⇒ xm = d 与使用波长有关 应于阵列函数谐波频率的位 λz d 置: 瑞利准则要求 mλz − m(λ − ∆λ ) z = λz
d d Lx
L λ m∆λz λz = ⇒ = m x = mN 即 d Lx ∆λ d
代表负透镜 焦距f 焦距 = -k/2a = -π/aλ 代表平镜, 焦距f 无焦度, 1 1 x 2 + y 2 代表平镜 焦距 =∞, 无焦度 仅衰减振幅 = exp− jk circ(r0/l)是孔径函数 是孔径函数P(x,y), 是孔径函数 2 2 ∞ 代表直径为l的圆孔 的圆孔. 代表直径为 的圆孔
衍射光栅： 衍射光栅：线光栅
谱线间隔为1/d, 谱线间隔为 即光栅基频
谱线宽度为1/L 谱线宽度为 x 决定ห้องสมุดไป่ตู้光栅有限 尺寸
#
夫琅和费衍射与傅里叶变换的关系
1 k 2 U ( x, y ) = exp( jkz ) exp j x + y2 j λz 2z ∞ y x ∫ −∞ U ( x0 , y0 ) exp − j 2π λ z x0 + λ z y0 dx0 dy0 ∫ (2.6.1) 将积分部分改写为
透镜的相位变换作用: §3.1 透镜的相位变换作用 广义透镜
x 2 + y 2 的形 任何衍射屏, 任何衍射屏,若其复振幅透过率可写为 exp − jk 式,都可看成一个焦距为 f 的透镜 2f
屏的复振幅透过率: 屏的复振幅透过率:
1 1 r 2 t ( x , y ) = t ( r ) = + cos( ar ) circ 2 2 l
透镜对光波的相位变换作用，是由透镜本身的性质决定的， 透镜对光波的相位变换作用，是由透镜本身的性质决定的，与 入射光波复振幅U 的具体形式无关。 入射光波复振幅 l(x,y)的具体形式无关。 的具体形式无关 Ul(x,y)可以是平面波的复振幅，也可以是球面波的复振幅，还可 可以是平面波的复振幅， 可以是平面波的复振幅 也可以是球面波的复振幅， 以是某种特定分布的复振幅. 以是某种特定分布的复振幅. 只要傍轴条件满足，薄透镜就会以上述形式对 进行相位变换。 只要傍轴条件满足，薄透镜就会以上述形式对Ul(x,y)进行相位变换。 进行相位变换
x-y
q
P2
从波面变换的观点看 透镜将一个发散球面波变换成一个会聚球面波。 透镜将一个发散球面波变换成一个会聚球面波。
透镜的位相变换作用
S’ S S p
P1 O1 O2
z
定义透镜的复 振幅透过率: 振幅透过率
U l ' ( x, y ) t ( x, y ) = U l ( x, y )
x-y
q
P2
2f
单位振幅的平面波垂直入射， 面上的复振幅分布U 单位振幅的平面波垂直入射，P1面上的复振幅分布 l(x,y)=1， ， 在平面P 上造成的复振幅分布为: 在平面 2上造成的复振幅分布为 正透镜: x 2 + y 2 正透镜: f > 0, 表示一个向透镜后 ' U l ( x, y ) = exp − jk 会聚的球面波。 2 f 方f 处的焦点F 会聚的球面波。 负透镜， 0,表示一个由透镜前方 负透镜， f < 0,表示一个由透镜前方 这是一个球面 发出的发散球面波。 -f 处的虚焦点F’ 发出的发散球面波。 波的表达式 与几何光学的结果相同
N为在 x范围内容纳的光栅条纹数 为在L 为在
#
夫琅禾费衍射与傅里叶变换
光栅的分辨本领
光栅的有限的分辨本领是由实际光栅的有限尺寸引起的 高级次衍射的分辨本领比低级次的要高. 高级次衍射的分辨本领比低级次的要高 但对相同级次的不同类型的光栅, 只要 但对相同级次的不同类型的光栅 使用同样的光栅条纹数, 分辨本领相同. 使用同样的光栅条纹数 分辨本领相同 光栅的空间带宽积: 光栅的空间带宽积
k
}
x λz
fx =
, fy =
y λz
k exp( jkz ) exp j ( x 2 + y 2 ) jλ z 2z 1
2
1 I ( x, y) = λz
{U ( x0 , y0 )}
2
x y fx = , f y = λz λz
夫琅禾费衍射与傅里叶变换
菲涅耳衍射的脉冲 响应函数（空域） 响应函数（空域） 夫琅和费衍射图 样的光强分布 菲涅耳衍射的F.T. 菲涅耳衍射的 表达式（空域） 表达式（空域） 菲涅耳衍射的传 递函数（频域） 递函数（频域）
exp( jkz ) exp − jπλz ( f x + f y )
2 2
[
]
{
U ( x 0 , y 0 ) exp j ( x 02 + y 02 ) 2z
0 0
fx =
x y , fy = λz λz
3
夫琅禾费衍射与傅里叶变换
光栅的分辨本领
光栅的有限的分辨本领是由实际光栅的有限尺寸引起的 有限尺寸L 谱线的线形为sinc函数，其半宽度 函数， 有限尺寸 x⇒谱线的线形为 函数 定义
fx = x 1 λz = ⇒x= λz Lx Lx
λ (使用波长)
§3.1 透镜的相位变换作用
1 1 1 由透镜成像的高斯公式: 为透镜的像方焦距。 由透镜成像的高斯公式: q + p = f f 为透镜的像方焦距。
透镜的相位变换因子可简单地表为 t ( x, y ) = exp[− j
k ( x 2 + y 2 )] 2f
此变换与入射波的复振 x2 + y2 U l ' ( x, y ) = U l ( x, y ) exp − jk 幅无关, 它实现变换: 幅无关 它实现变换
(
)
：
(x0 , y0 ) exp− j 2π ∫ ∫U
−∞
∞
x y x0 + y0 dx0 dy0 λz λz
= ∫ ∫ U ( x0 , y 0 ) exp − j 2π ( f x x 0 + f y y 0 ) dx0 dy 0
−∞
∞
[
]
=F
{U ( x , y )}
k 2 2 U ( x + y ) P1面是发散球面波分布： l ( x, y ) = A exp( jkp) exp j 面是发散球面波分布： 2p k P2面是会聚球面波分布 U l ' ( x, y ) = A exp(− jkq ) exp − j ( x 2 + y 2 ) 面是会聚球面波分布: 2q 略去常数位相因子 k 2 U l′( x, y ) 1 2 1 = exp− j ( x + y ) + 透镜的复振幅透过率 t ( x, y ) = p q U l ( x, y ) 2 或相位变换因子为： 或相位变换因子为：
§3.1 透镜的相位变换作用
若考虑透镜的有限尺寸, 若考虑透镜的有限尺寸, 可引入孔径函 P ( x, y ) = 1 一般是圆域函数或矩孔函数), 数P(x,y), (一般是圆域函数或矩孔函数), , (一般是圆域函数或矩孔函数 0 则:
透镜孔径内 其它
k 其中P(x,y)的坐标原 的坐标原 2 2 其中 ( x + y ) t ( x, y ) = P( x, y ) exp − j 2f 点与透镜中心重合
分别考察圆括号中的三项: 设a>0, 分别考察圆括号中的三项
x2 + y2 exp[− ja ( x 2 + y 2 )] = exp − jk k 2 2a
x2 + y 2 2 2 exp[ ja ( x + y )] = exp − jk k 2 − 2a
