动力学分析基础——雅可比矩阵
代码编写,资料整理——ZH1110
动力学仿真计算归结为对典型的常微分方程组的初值问题。在解上述的初值问题时，除了应用常微分方程初值问题的数值积分
外，还将用到求解线性代数方程组的数值方法,所以首先我们必须先研究这两个常用的计算机算法,已便于后面的计算.
高斯消去法求解线性代数方程组(直接法,即消去法)，已在线性代数课程中有详细的讨论，在此给出些说明以及具体的算法描述。
大致可以分为以下两步。
1．将系数矩阵经过一系列的初等行变换（归一化）
在变换过程中，采用原地工作，即经变换后的元素仍放在原来的位置上。
2.消去。它的作用是将主对角线以下的均消成0，而其它元素与向量中的元素也应作相应的变换
最后，进行回代依次解出
如:我们要解如下方程组：
初等行变换:
回代得到结果:
龙格-库塔算法求解常微分方程
用欧拉算法、改进欧拉算法以及经典龙格-库塔算法对常微分方程的初值问题进行数值求解算法。
动力学仿真计算最后会出现一加速度，速度，坐标的两阶微分方程组，其积分需要这种计算方法。
一、 使用欧拉算法及其改进算法（梯形算法）进行求解
所谓的微分方程数值求解，就是求问题的解y(x)在一系列点上的值y(xi)的近似值yi。欧拉(Euler)算法是其实现的依据是用向前差商来近似代替导数。对于常微分方程：
dy/dx=f(x,y)，x∈[a,b]
y(a)=y0
可以将区间[a,b]分成n段，那么方程在第xI点有y'(xI)=f(xI,y(xI))，再用向前差商近似代替导数则为：(y(xI+1)-y (xI))/h= f(xI,y(xI))，因此可以根据xI点和yI点的数值计算出yI+1来.由此可以看出，常微分方程数值解法的基本出发点就是计
算离散化点。
yI+1= yI+h*f(xI ,yI)
下面就举一个简单的常微分方程
y'=x-y+1,x∈[0,0.5]
y(0)=1 （人工计算后的解析式为:y(x)=x+e-x）
'欧拉算法
Private Sub Euler()
For x = 0 To 0.5 Step 0.1
y(i + 1) = y(i) + 0.1 * (x - y(i) + 1)
List1.AddItem y(i)
i = i + 1
Next
End Sub
由于方程曲线是内凹的所以无论如何减少步距,得到的结果都小于真实值，有必要采取措施来抑制、减少误差，尽量使结果精确。在构造欧拉公式时采取的一个重要步骤--用向前差商来代替导数，如将其改为向后差商也是行的通的。此时的欧拉公式就变成了：yI+1= yI+h*f(xI+1,yI+1)，由于该式是一个隐式公式，所以可用迭代法进行计算，直至获取到满足精度要求的yI+1。从数学上可以证明，该式的局部截断误差和前面的欧拉公式的截断误差在主部上之相差正负号，所以只要将显示和隐式的两个欧拉公式相加后再行求解会大大减少误差。可以解得改进后的欧拉公式的表达式为：
yI+1= yI+h*(f(xI, yI)+f(xI+1, yI+hf(xI,yI)))/2
从下表得出的实验数据可以看出，这种经过改进的欧拉算法所存在的误差已大为减少，可以直接单独应用于实际的工程计算。误差的减少主要是由于先利用了欧拉公式对yI+1的值进行了预估，然后又利用梯形公式对预估值作了校正，从而在预估--校正的过程中减少了误差。
xI（各分点） yI （数值解） y(xi) （真实值） | y(xi)- yI | (误差)
0.0 1.000000 1.000000 0.000000
0.1 1.005000 1.004837 0.000163
0.2 1.019025 1.018731 0.000294
0.3 1.041218 1.040818 0.000400
0.4 1.070802 1.070320 0.000482
0.5 1.107076 1.106531 0.000545
使用经典龙格-库塔算法进行高精度求解
对于一阶精度的欧拉公式有：
yi＋１＝yi＋h*K1
K1=f(xi,yi)
当用点xi处的斜率近似值K1与右端点xi＋１处的斜率K2的算术平均值作为平均斜率K*的近似值，那么就会得到二阶精度的改进欧拉公式：
yi＋１＝yi＋h*( K1+ K2)/2
K1=f(xi,yi)
K2=f(xi+h,yi+h*K1)
依次类推，如果在区间[xi,xi+1]内多预估几个点上的斜率值K1、K2、……Km，并用他们的加权平均数作为平均斜率K*的近似值，显然能构造出具有很高精度的高阶计算公式。经数学推导、求解，可以得出四阶龙格－库塔公式，也就是在工程中应用广泛的经典龙格－库塔算法：
yi＋１＝yi＋h*( K1+ 2*K2 +2*K3+ K4)/6
K1=f(xi,yi)
K2=f(xi+h/2,yi+h*K1/2)
K3=f(xi+h/2,yi+h*K2/2)
K4=f(xi+h,yi+h*K3)
龙格 -库塔算法代码清单：
Private Sub Runge_Kutta()
Dim K1 As Single, K2 As Single, K3 As Single, K4 As Single
For x = 0 To 0.5 Step 0.1
K1 = x - y(i) + 1 '求K1
K2 = (x + 0.1 / 2) - (y(i) + K1 * (0.1 / 2)) + 1
K3 = (x + 0.1 / 2) - (y(i) + K2 * (0.1 / 2)) + 1
K4 = (x + 0.1) - (y(i) + K3 * 0.1) + 1
y(i + 1) = y(i) + 0.1 * (K1 + 2 * K2 + 2 * K3 + K4) / 6
List2.AddItem y(i)
i = i + 1
Next
End Sub
从下表记录的程序运行结果来看，在步长为0.1的情况下所计算出来的常微分方程的数值解是非常精确的，用浮点数进行运算时由近似所引入的误差几乎不会对计算结果产生影响。
xI（各分点） yI （数值解） y(xi) （真实值） | y(xi)- yI | (误差)
0.0 1.000000 1.000000 0.000000
0.1 1.004838 1.004837 0.000001
0.2 1.018731 1.018731 0.000000
0.3 1.040818 1.040818 0.000000
0.4 1.070320 1.070320 0.000000
0.5 1.106531 1.106531 0.000000
一般来说经典龙格－库塔算法精确度高又利于计算机编程实现，稳定性也很好，可以考虑作为首选实现算法。
求解两阶微分方程组的龙格—库塔法:
对于两阶微分方程组:
利用雅可比矩阵分析动力学系统约束方程的概念：
对于刚体系，刚体间存在铰(或运动副)。在一个铰的邻接刚体中，一个刚体的运动将部分地牵制了另一刚体的运动。在一般情况下，描述系统位形的坐标并不完全独立，在运动过程中，它们之间存在某些关系。这些关系的解析表达式构成约束方程
将约束方程求导有
这即雅可比(C.G.J. Jacobi)矩阵，或简称约束方程的雅可比。
体系通用的动力学模型(具体可参考分析力学著作)即:
它不是典型的常微分方程组，故仿真计算不是一般的常微分方程组初值问题 。为此定义变量阵,
将方程动力学改写为
上所述，经过上述变换，动力学仿真计算归结为对典型的常微分方程组的初值问题。在对上述初值问题进行数值积分的过程中方程之右函数中的值不能直接得到，需通过解代数方程得到。此时拉格朗日乘子的值也同时得到。由此可知，在解上述的初值问题时，除了应用常微分方程初值问题的数值积分外，还将用到求解线性代数方程组的数值方法。
仿真计算的步骤:
(1) 将时间离散,根据式计算A，b,利用高斯消元法解代数方程；
(2) 进行数值积分得,返回(1)
例1:图示一双质点摆，摆球P 1与P 2的质量为m 1=m 2=1，摆长分别为l 1=1与l 2=1,两球开始位置在正右方。试利用雅可比矩阵建立该双质点摆的动力学方程。
解：如图建立惯性基。双质点摆为两质点系，系统的坐标阵为
约束方程为
可见坐标数为4，约束方程数为2，故系统自由度为2。引入拉格朗日乘子阵。约束方程(1)的雅可比为 例1图
(1)
(每种约束方程都有其偏导数方程,如果你不了解如何求二阶导数直接带公式即可)
主动力只有重力，主动力阵为
将上述分析的结果代入动力学模型，有动力学方程
将式(1)对时间求二阶导数，得到加速度约束方程，即
将后两个方程与动力学方程合并，有完整的动力学方程:
(2)
编写代码：
Const m As Single = 1 '质量
Const g As Single = 9.8 '重力
'速度,加速度
Dim X(2) As Single, Y(2) As Single, Vx(2) As Single, Vy(2) As Single
Dim A(1 To 6, 1 To 6) As Single, b(1 To 6) As Single, Fr(1 To 6) As Single
Private Sub Form_Load()
'开始位置在右方
X(1) = 1: Y(1) = 0: X(2) = 2: Y(2) = 0
Vx(1) = 0: Vy(2) = 0
...
End Sub
'初始化
Private Sub INI()
A(1, 1) = m: A(1, 5) = 2 * X(1): A(1, 6) = -2 * (X(2) - X(1))
A(2, 2) = m: A(2, 5) = 2 * Y(1): A(2, 6) = -2 * (Y(2) - Y(1))
A(3, 3) = m:: A(3, 6) = 2 * (X(2) - X(1))
A(4, 4) = m:: A(4, 6) = 2 * (Y(2) - Y(1))
A(5, 1) = X(1): A(5, 2) = Y(1)
A(6, 1) = X(1) - X(2): A(6, 2) = Y(1) - Y(2): A(6, 3) = X(2) - X(1): A(6, 4) = Y(2) - Y(1)
b(2) = m * g: b(4) = m * g: b(5) = -Vx(1) ^ 2 - Vy(1) ^ 2: b(6) = -(Vx(2) - Vx(1)) ^ 2 - (Vy(2) - Vy(1)) ^ 2 End Sub
Private Sub Timer1_Timer()
Const t = 0.03 '步距
'高斯消去法解方程组
GaMss A(), b(), 6, Fr()
For jj = 1 To 2
'积分
Vx(jj) = Vx(jj) + t * Fr(jj * 2 - 1): Vy(jj) = Vy(jj) + t * Fr(jj * 2)
X(jj) = X(jj) + t * Vx(jj): Y(jj) = Y(jj) + t * Vy(jj)
'绘制球,杆
Picture1.Circle (X(jj), Y(jj)), 0.1
Picture1.Line (X(jj - 1), Y(jj - 1))-(X(jj), Y(jj))
'重新设置初始值
INI
Next
End Sub
例2:利用拉格朗日第一类方程建立所示均质杆封闭的动力学方程,杆开始角度为Pi/6。
解：如图所示，在质心C 建立杆的连体基,该杆关于质心C 的转动惯量为J C =ml 2/12。根据已知条件，杆AB 在运动过程中位形坐标间有如下两个独立的约束方程(s =2)
约束方程的雅可比与加速度约束方程的右项分别为
引入两个拉格朗日乘子λ＝(λ1 λ2)Τ。系统受到的主动力为重力，由增广主动力阵的定义，有。根据上面分析，可
得动力学方程
例2图
(1)
，
(2)
或由式(9.1-25)可得到封闭的动力学方程 代码（略）： (3)
(4)
优化与精度的思考:
优化：动力学仿真主要是对雅可比矩阵不断的跌代,其计算量随刚体数目非线形增长,因此如何加快跌代就成为非常重要的问题了,如——1.在用龙格-库塔算法时可根据斜率动态改变计算步长 2.专门对链条状刚体系优化求解线性代数方程组过程,等等.
精度：如图一单摆,我们用欧拉算法常微分方程的初值问题进行数值求解,球会逐渐出现'下垂',这是由欧拉算法的误差引起的,当然用龙格-库塔算法可以极大程度上消除误差,但会加大计算,这也是值得平衡的一个问题.
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贴切地描述了公司对待这类业务的态度，因为这时公司必须慎重回答“是否继续投资，发展该业务？”这个问题。只有那些符合企业发展长远目标、企业具有资源优势、能够增强企业核心竞争力的业务才得到肯定的回答。得到肯定回答的问题型业务适合于采用战略框架中提到的增长战略，目的是扩大SBUs的市场份额，甚至不惜放弃近期收入来达到这一目标，因为要问题型要发展成为明星型业务，其市场份额必须有较大的增长。得到否定回答的问题型业务则适合采用收缩战略。 如何选择问题型业务是用BCG矩阵制定战略的重中之重，也是难点，这关乎企业未来的发展。对于增长战略中各种业务增长方案来确定优先次序，BCG也提供了一种简单的方法。通过下图权衡选择ROI相对高然后需要投入的资源占的宽度不太多的方案。 （2）明星型业务（Stars，指高增长、高市场份额） 这个领域中的产品处于快速增长的市场中并且占有支配地位的市场份额，但也许会或也许不会产生正现金流量，这取决于新工厂、设备和产品开发对投资的需要量。明星型业务是由问题型业务继续投资发展起来的，可以视为高速成长市场中的领导者，它将成为公司未来的现金牛业务。但这并不意味着明星业务一定可以给企业带来源源不断的现金流，因为市场还在高速成长，企业必须继续投资，以保持与市场同步增长，并击退竞争对手。企业如果没有明星业务，就失去了希望，但群星闪烁也可能会闪花企业高层管理者的眼睛，导致做出错误的决策。这时必须具备识别行星和恒星的能力，将企业有限的资源投入在能够发展成为现金牛的恒星上。同样的，明星型业务要发展成为现金牛业务适合于采用增长战略。 （3）现金牛业务（Cash cows，指低增长、高市场份额） 处在这个领域中的产品产生大量的现金，但未来的增长前景是有限的。这是成熟市场中的领导者，它是企业现金的来源。由于市场已经成熟，企业不必大量投资来扩展市场规模，同时作为市场中的领导者，该业务享有规模经济和高边际利润的优势，因而给企业带来大量现金流。企业
矩阵的开题报告 篇一：矩阵变换及应用开题报告 鞍山师范学院 数学系 13届学生毕业设计（论文）开题报告 课题名称：浅谈矩阵的变换及其应用 学生姓名：李露露 专业：数学与应用数学 班级：10级1班 学号： 30 指导教师：裴银淑 XX年 12月 26日 一、选题意义 1、理论意义： 矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数核心。矩阵的变换是矩阵中一种 十分重要的运算，它在解线性方程组求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到 非常重要的作用。很多复杂、繁琐的问题经过变换都可以化为简单、易于解 决的问题。因此，矩阵变换是研究代数问题的一个重要工具。 2、现实意义：
矩阵变换在物理、力学、信号与信息处理、通信、电子、系统、控制、模式 识别、土木、电机、航空航天等众多学科中式最富创造性和灵活性，并起着 不可代替的作用。 二、论文综述 1、国内外有关研究的综述： 矩阵不仅是个数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具，因此国内 外有许多有关于矩阵的研究。英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词， 他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论。1858年，凯莱发表了关于矩 阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》。自此以后，国内外有了许多关于矩阵的 研究。在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中，就有关于矩阵变换的内容， 在第一章中有关于矩阵初等变换的内容，并有初等变换在矩阵方程中的应用，在 第四章中也提到了Householder变换和Givens旋转。美国著名的约翰斯.霍普金 斯大学的RogerA.Horn和威廉姆和玛丽学院的
CharlesR.Johnson联合编著的《矩 阵分析》也有关于矩阵变换的内容，此书主要涉及的是矩阵变换的应用。国内外 关于矩阵变换的研究都取得了很大的进展，为矩阵知识所涉及的各个领域都作出 了巨大贡献。 2 、本人对以上综述的评价： 矩阵理论一直都是各个学科的基本数学工具，矩阵变换是矩阵理论的基础， 近年来有许多关于矩阵变换的研究，这些研究将一些繁琐复杂的问题简单化，也 极大地推进和丰富了电子信息、航空航天等领域的发展，同时促进了更多的数学 家加入到研究矩阵变换的队伍中，这样就使得矩阵变换知识日渐完善，并应用到 更多的领域中去。 三、论文提纲 前言 (一)、矩阵初等变换及应用 1、矩阵初等变换的基本概念 2、初等变换在方程组中的应用 3、初等变换在向量组中的应用
第三章 1、 已知()ij A a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间n C 中向量 1212(,,,),(,, ,)n n x x x y y y αβ==定义内积为(,)H A αβαβ= （1） 证明在上述定义下，n C 是酉空间； （2） 写出n C 中的Canchy-Schwarz 不等式。 2、 已知2111311101A --?? =? ? -?? ，求()N A 的标准正交基。 提示：即求方程0AX =的基础解系再正交化单位化。 3、 已知 308126(1)316,(2)103205114A A --?? ?? ????=-=-?? ?? ????----?? ?? 试求酉矩阵U ，使得H U AU 是上三角矩阵。 提示：参见教材上的例子 4、 试证：在n C 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。 5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ，使H U AU 为对角矩阵，已知 1 31(1)612A ????? =????????? ? 01(2)10000i A i -????=??????，434621(3)44326962260i i i A i i i i i +--????=----? ???+--?? 11(4)11A -?? =?? ?? 6、 试求正交矩阵Q ，使T Q AQ 为对角矩阵，已知
220(1)212020A -????=--????-?? ，11011110(2)01111011A -?? ??-? ?=?? -??-?? 7、 试求矩阵P ，使H P AP E =（或T P AP E =），已知 11(1)01112i i A i i +????=-????-??，222(2)254245A -?? ??=-?? ??--?? 8、 设n 阶酉矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且1 ()() H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。反之，若H 是Hermite 矩阵，则E iH +满秩，且1 ()()U E iH E iH -=+-是酉矩阵。 证明：若||0+=E U ，观察0-=E U λ知1-为U 的特征值，矛盾，所以矩阵E U +满 秩。()()1 1()()()--=-+=-+-H H H H H i E U E U i E U E U ，要H H H =，只要 ()()1 1()()()()()()---+-=-+?--+=+-?-=-H H H H H H i E U E U i E U E U E U E U E U E U U U U U 故H H H = 由()0+=--=E iH i iE H 知i 为H 的特征值。由Hermite 矩阵只能有实数特征值可得 0+≠E iH ，即E iH +满秩。 111111()()()()()()()()()()()()------=+-+-=+-+-=++--=H H H U U E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E 9、 若,S T 分别是实对称和实反对称矩阵，且det()0E T iS --≠，试证： 1()()E T iS E T iS -++--是酉矩阵。 证明： 1111 [()()]()()()()()()----++--++--=++--++--H E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS 11()()()()--=++++----=E T iS E T iS E T iS E T iS E
第一章 误差分析与向量与矩阵的数 一、容提要 本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效数字、误差限的定义及其相互关系；掌握数值稳定性的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析；熟练掌握向量和矩阵数的定义及其性质。 1．误差的基本概念和有效数字 1）．绝对误差和相对误差的基本概念 设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，则称a x -为近似值a 的绝对误差，简称为误差． 当0≠x 时，x a x -称为a 的相对误差．在实际运算中，精确值x 往往是未知的，所 以常把a a x -作为a 的相对误差． 2）．绝对误差界和相对误差界的基本概念 设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，如果有常数a e ，使得 a e a x ≤- 称a e 为a 的绝对误差界，或简称为误差界．称 a e a 是a 的相对误差界． 此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的，但是它们越小，说明a 近似x 的程度越好，即a 的精度越好． 3）．有效数字 设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，写成 ΛΛn k a a a a 21.010?±= 它可以是有限或无限小数的形式，其中),2,1(Λ=i a i 是9,,1,0Λ中的一个数字，k a ,01≠为整数．如果 n k a x -?≤ -102 1 则称a 为x 的具有n 位有效数字的近似值． 如果a 有n 位有效数字，则a 的相对误差界满足：n a a a x -?≤-11 1021 。 4）．函数计算的误差估计 如果),,,(21n x x x f y Λ=为n 元函数，自变量n x x x ,,,21Λ的近似值分别为n a a a ,,,21Λ，则
几种矩阵完备算法的研究与实现 ——《矩阵分析》课程仿真作业报告* 刘鹏飞 电?系2016210858 摘要 矩阵完备是指从??部分已知的矩阵元素中恢复出整个矩阵。它在计算机视觉、推荐系统以及社交?络等??具有?泛的应?。矩阵恢复可以通过 求解?个与核范数有关的凸优化问题来实现。由此诞?了许多矩阵恢复的算 法，?如FPC算法等。FPC算法虽然实现简单，但其迭代速度较慢。在此基 础上，APG算法经过改进，能够提升迭代速度。但最?化核范数并不是求解 矩阵完备问题的唯??法，其中OptSpace算法构造了?个在流形上的优化问 题，相?于前两种算法能够以更?的精度恢复出原始矩阵。本?主要总结了 FPC、APG和OptSpace三种算法的步骤。特别地，对于OptSpace算法，本 ?提出了求解其中两个?优化问题的具体算法。最后，本?通过仿真实验和理 论分析?较了三种算法的特点，并给出了OptSpace算法的精度?于APG算 法的解释。 关键词：矩阵完备，核范数，FPC，APG，OptSpace 1介绍 1.1矩阵完备及其算法综述 矩阵完备是指从??部分已知的矩阵元素中恢复出整个矩阵。它在计算机视觉、推荐系统以及社交?络等??具有?泛的应?。矩阵完备可以描述成这样?个问题：对于?个m×n的矩阵M，其秩为r，我们只有对M中的部分采样，记*报告中所涉及到的仿真代码可在https://https://www.doczj.com/doc/db9990837.html,/s/1jHRcY8m下载 1
这些采样位置组成的集合为?，那么是否有可能从已知的部分元素中恢复出整个矩阵M。假如M为低秩矩阵，并且已知的元素?够多并且?够均匀地分布在整个矩阵中，那么我们可以通过解如下优化问题来恢复出原始矩阵[1]： min rank(W) s.t.W ij=M ij,(i,j)∈?(1-1)但是，问题(1-1)是?个NP难的?凸问题。在?定条件下，问题(1-1)可以转化成?个最?化核范数的问题。对于矩阵W m×n，W的核范数定义为其奇异值之和，即 ∥W∥?=min(m,n) ∑ k=1 σk(W)(1-2) 其中，σk(W)表?W第k?的奇异值。问题(1-1)可以转化成： min∥W∥? s.t.W ij=M ij,(i,j)∈?(1-3)对于(1-3)中带等式约束的问题，进?步地，可以将它凸松弛成?个?约束的 优化问题[2][3][4]： min 1 2 ∥A(W)?b∥22+μ∥W∥?(1-4) 其中，b是由矩阵中采样位置对应的元素组成的p×1维向量，p=|?|（|·|表?集合的势）；A:R m×n?→R p是?个线性映射，A(W)=(W ij)|(i,j)∈?；μ是?个可以调整的参数。 对于(1-4)中的?约束问题，?献[2][3]分别提出了Fixed Point Continuation （FPC）和Singular Value Thresholding（SVT）的算法。本?认为，这两种算法虽然出发点不同，但其实质都是梯度下降法，没有本质的差别，在算法实现上也基本?样。因此，本?只研究其中?种，即FPC算法。FPC算法虽然实现简单，但其迭代速度慢，效率不?。在此基础上，?献[4]做出了改进，提出?种Accelerated Proximal Gradient Singular Value Thresholding（APG）算法（该算法是在SVT算法上改进的，本?认为FPC和SVT实质上是?种算法，故不做区别），能够?幅度地提?收敛速度。 前?提到的?种算法，都是从(1-1)中的最?化秩的问题出发，经过?步步凸松弛得到的。与上述基本思路不同，?献[5]提出了OptSpace算法，它实质上是通过解另?种优化问题来实现矩阵完备： min F(W)= ∑ (i;j)∈? ∥M ij?W ij∥2 s.t.rank(W)=r(1-5)
SWOT矩阵分析 分析原理 SWOT是英文Strengths、Weaknesses、Opportunities和Threats的缩写，即企业本身的竞争优势，竞争劣势，机会和威胁。SWOT分析有其形成的基础。按照企业竞争战略的完整概念，战略应是一个企业"能够做的"（即组织的强项和弱项）和"可能做的"（即环境的机会和威胁）之间的有机组合。著名的竞争战略专家迈克尔.波特提出的竞争理论从产业结构入手对一个企业"可能做的"方面进行了透彻的分析和说明[1]，而能力学派管理学家则运用价值链解构企业的价值创造过程，注重对公司的资源和能力的分析[2]。SWOT分析，就是在综合了前面两者的基础上，以资源学派学者为代表，将公司的内部分析（即20世纪80年代中期管理学界权威们所关注的研究取向，以能力学派为代表）与产业竞争环境的外部分析（即更早期战略研究所关注的中心主题，以安德鲁斯与迈克尔.波特为代表）结合起来，形成了自己结构化的平衡系统分析体系。 SWOT分析实际上是将对企业内部和外部条件各方面内容进行综合与概括，进而分析组织的优劣势、面临的机会和威胁的一种方法。它将公司的战略与公司内部资源、外部环境有机结合起来。其中，优劣势分析主要是着眼于企业自身的实力及其与竞争对手的比较，而机会和威胁分析将注意力放在外部环境的变化及对企业的可能影响上，但是，外部环境的变化可能会给具有不同资源和能力的企业带来的机会与威胁却可能完全不同，因此，两者之间又有紧密的联系。当公司要拓展在某一新的业务或进行新的投资前，以及在制定销售计划时，所用的战略分析方法之一便是SWOT分析。采用这种决策方法的根本目的是把自己公司和竞争对手公司的优势、劣势、机会和挑战进行比较，然后决定某项新业务或新投资是否可行。做SWOT分析有利于自己的公司在做新业务前是否会充分发挥自己和长处而避免自己的短处，以趋利避害，化劣势为优势，化挑战为机遇。同时，也使自己的公司知道该从学习什么来面对市场商机。即所谓的知己知彼、百战不殆，从而降低公司的经营和投资风险。可见，清楚的确定公司的资源优势和缺陷，了解公司所面临的机会和挑战，对于制定公司未来的发展战略有着至关重要的意义。 特征 与其他的分析方法相比较，SWOT分析从一开始就具有显著的结构化和系统性的特征。就结构化而言，首先在形式上，SWOT分析法表现为构造SWOT结构矩阵，并对矩阵的不同区域赋予了不同分析意义；其次内容上，SWOT分析法的主要理论基础也强调从结构分析入手对企业的外部环境和内部资源进行分析。另外，早在SWOT诞生之前的20世纪60年代，就已经有人提出过SWOT分析中涉及到的内部优势、弱点，外部机会、威胁这些变化因素，但只是孤立地对它们加以分析。SWOT方法的重要贡献就在于用系统的思想将这些似乎独立的因素相互匹配起来进行综合分析，使得企业战略计划的制定更加科学全面。
动力分析中平衡方程组的解法 1前言 描述结构动力学特征的基本力学变量和方程与静力问题类似，但所有的变量都是时间的函数。 基本变量 三大类变量(,)i u t ξ、(,)ij t εξ和(,)ij t σξ是坐标位置(,,)x y z ξ和时间t 的函数，一般将其记为()()()i ij ij u t t t εσ。 基本方程 (1) 平衡方程 利用达朗贝尔原理将惯性力和阻尼力等效到静力平衡方程中，有 ,()()()()0ij j i i i t b t u t u t σρν+--=&&& (1) 其中ρ为密度，ν为阻尼系数。 (2) 几何方程 ,,1 ()(()())2ij i j j i t u t u t ε=+ (2) (3) 物理方程 ()()ij ijkl kl t D t σε= (3) 其中ijkl D 为弹性系数矩阵。 (4) 边界条件 位移边界条件()BC u 为， ()()i i u t u t = 在u S 上 (4) 力的边界条件()BC p 为， ()()ij j i t n p t σ= 在p S 上 (5) 初始条件 0(,0)()i i u t u ξξ== (6) 0(,0)()i i u t u ξξ==&& (7)
虚功原理 基于上述基本方程，可以写出平衡方程及力边界条件下的等效积分形式， ,() ()0p ij j i i i ij j i S u u b u d n p dA δσρνδσΩ∏=---+Ω+-=??&&& (8) 对该方程右端第一项进行分部积分，并应用高斯-格林公式，整理得， ()()0p ijkl ij kl i i i i i i i i S D u u u u d b u d p u dA εδερδνδδδΩΩ-++Ω-Ω+=???&&& (9) 有限元分析列式 单元的节点位移列阵为， 111222()[(),(),(),(),(),()(),(),()]e t k k k U t u t v t w t u t v t w t u t v t w t =L (10) 单元内的插值函数为， (,)()()e t u t N U t ξξ= (11) 其中()N ξ为单元的形状函数矩阵，与相应的静力问题单元的形状函数矩阵完全相同，ξ为单元中的几何位置坐标。 基于上面的几何方程和物理方程及(11)式，将相关的物理量表达为节点位移的关系，有， (,)[](,)[]()()()()e e t t t u t N U t B U t εξξξξ=?=?= (12) (,)()()()()e e t t t D DB U t S U t σξεξξ=== (13) (,)()()e t u t N U t ξξ=&& (14) (,)()()e t u t N U t ξξ=&&&& (15) 将(12)-(15)供稿到虚功方程(9)中，有， [()()()()]()0e e e e e e e T e t t t t t M U t C U t K U t R t U t δδ∏=++-=&&&g (16) 由于()e t U t δ具有任意性，消去该项并简写有， e e e e e t t t t U C U KU R ++=&&& (17) 其中， e e T M N Nd ρΩ= Ω? (18) e e T C N Nd νΩ=Ω? (19)
速度分析---雅可比矩阵---关节速度与末端速度的映射关系 雅克比矩阵的获得方法：位置关系求导；矢量积法；微分变换法 雅克比的性质： 6 x n 的偏导数矩阵，前3行为末端线速度传动比，后3行为末端角速度传动比。行数=机器人在操作空间的维数，列数n=关节数。 雅克比的应用： 1、判断奇异状态：|J|=0 2、雅克比矩阵的奇异值分解，将雅可比矩阵分解出对角阵（对角元素为奇异值），对角阵和雅可比矩阵具有相同的秩。 3、条件数，定义式（文献）根据是否满自由度划分，和奇异值存在关系：条件数是最大和最小奇异值的比值。条件数k ≥1，当k=1时，操作臂所具有的形位称为各向同性，灵巧性最高，各奇异值相等。 4、最小奇异值，可用来作为控制所需关节速度上限的指标（限定式见文献）。 5、运动灵巧性指标，条件数的倒数。 附件1：矢量积法 矢量积的方法是whitney 基于运动坐标系概念于1972年提出的求解机器人运动雅克比矩阵的方法。末端抓手的微分移动和微分转动分别用d 和δ表示，线速度和角速度分别用v 和w 表示。 对于移动关节i 的运动，它在末端手抓产生于z1轴相同方向的线速度，且 0i i v z q w ?? ??=???????? 因此得到雅可比矩阵的第i 列 0i i Z L ?? =???? (移动关节i) 对于转动关节i 的运动，它在终端抓手上产生的线速度为矢量积0 ()i i n i v z p q =?，产生 的角速度为i i w z q = 。 因此，雅可比矩阵的第i 列为 ()00i i i i n i n i i i Z R P Z P J z Z ??????==? ????????? 式中，?表示矢量积符号，0 i n P 表示末端抓手坐标的原点相对坐标系{i}的位置在基座标系{0} 的表示，0 i n P = ( )0 i i n R P ,Zi 是坐标系{i}的Z 轴单位方向，它是用坐标系表示的。 附件2：微分变换法 速度可以看成是单位采样时间内的微分运动。因此，操作速度与关节速度之间的额关系
企业战略分析方法GPS矩阵 BCG矩阵是常用的企业战略分析方法，主要关注多元化企业的业务组合问题。BCG矩阵的实质是通过业务优化组合实现企业现金流量平衡。 由于BCG矩阵仅以相对市场份额和市场增长率两个指标作为战略分析的依据，存在较大局限性。如BCG矩阵没有很好地回答四种业务组合与企业利润的关系。人们在BCG 矩阵的基础上演化出GE矩阵、内外部矩阵（IEM）法、战略地位与行动评价矩阵（SPACE）法等又略显复杂。 盈利是企业经营的目的和动力，资本因追逐利润而流动和配置，基于利润最大化进行经营和决策是市场经济下企业的最基本行为。 咨询工作中发现很多企业存在一种比较常见的现象：一些业务单元，或某业务单元的一些市场，在相对市场份额和市场增长率方面均名列前茅，给企业创造了大量的现金流，但这些业务单元或市场并没有给企业带来多少利润，甚至是长期亏损经营。对于这些业务单元或市场，很多企业不知如何是好，是扩张，还是收缩？扩张，虽然可以较快地扩大业务规模，扩大市场占有率，但企业必须承担更多的亏损压力；
收缩，虽然可以减少亏损，但无疑会丧失市场，丧失大量现金流。怎么办？显然，BCG矩阵不能从战略上回答这一问题。 案例一： 某大型制药企业的业务主要由原料药、中间体、制剂和医药商业组成。其业务组合的BCG矩阵分析如图1所示。由于当时国内市场的稳步、快速增长，出口势头强劲，原料药业务既有现金牛的特点，又有明星的特点。三年前，企业在讨论业务发展战略时，对企业的最大业务——原料药的意见出现很大分歧。主要有三种观点：第一种观点认为，根据BCG矩阵原理，企业不应再对原料药业务进一步加大投资，应该由原料药业务的现金牛作用支持制剂业务（市场增长率高，毛利率高）的发展；第二种观点认为，原料药是企业的立业之本，企业应该进一步加大投资，将原料药做大、做强，打造行业航母，充分发挥规模化、集约化效应；第三种观点认为，由于原料药属于高污染、高能耗、低附加值的初级产品，毛利率很低，随着近年来《制药工业水污染物排放标准》等医药政策及标准的提高，企业减污、排污成本明显加大，进一步压缩原料药原本微薄的毛利空间。因此，主张采取选择性提高的战略。
结构动力学分析 1静力分析与动力学分析的区别 静力分析是分析结构在承受稳定载荷作用下的受力特性。结构动力分析是分析结构在承受随时间变化的载荷作用下的动力学特性。 2动力学特性 动力学特性通常有下面几种类型： 2.1振动特性 即结构的振动形式和振动频率。 2.2随时间变化载荷的效应 例如，对结构位移和应力的效应。 2.3周期（振动）或随机载荷的效应 3四种动力学分析及举例 3.1模态分析 用于确定结构的振动特性，即固有频率和振型。在承受动态载荷的结构设计中，固有频率和振型是重要的参数。模态分析也是其他动力学分析前期必须完成的环节。 举例：如何避免汽车尾气排气管装配体的固有频率与发动机的固有频率相同？ 3.2瞬态分析 用于确定结构在受到冲击载荷时的受力特性。 举例：怎样确保桥墩在受到撞击时的安全？ 3.3谐响应分析 用于确定结构对稳态简谐载荷的响应。 举例：如何确定压缩机、电动机、泵、涡轮机械等旋转引起的轴承、支座、固定装置、部件应力？ 3.4谱分析 用于确定结构在受到动载荷或随机载荷时的受力特性。 举例：如何确定房屋和桥梁承受地震载荷时的受力？ 4四种动力学分析基本原理 4.1模态分析理论的基本假设 线性假设：结构的动态特性是线性的，即任何输入组合所引起的输出等于各自输出的组 合，其动力学特性可用一组线性二阶微分方程来描述。任何非线性特性，如塑性、接触单元
等，即使定义了也将被忽略。 时不变性假设：结构的动态特性不随时间而变化，微分方程的系数是与时间无关的常数。 可观测性假设：系统动态特性所需要的全部数据都是可测量的。 遵循Maxwell互易性定理：在结构的i点输入所引起的j响应，等于在j点的相同 输入所引起的i点响应。此假设使结构的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵和频响矩阵都成了对称矩阵。 4.2谐响应分析基本原理 谐响应分析是一种线性分析，非线性特性被忽略。 输入：已知大小和频率的谐波载荷（力、压力和强迫位移）；同一频率的多种载荷，可以是相同或不相同的。 输出：位移、应力、应变等。 已知动力学运动方程： [M]{u}+[C]{u}+[K]{u}={F(t)} 其中，[M] 为质量矩阵，[C]为阻尼矩阵，[K]为刚度矩阵，{u}为节点位移向量，{F(t)}载荷为时间的任意函数。对简谐运动而言，{u}和{F(t)}均为简谐形式。 4.3瞬态分析基本原理 瞬态分析也叫时间历程分析。载荷和时间的相关性使得惯性力和阻尼作用比较重要，如果惯性力和阻尼作用不重要，就可以用静力学分析代替瞬态分析。 输入：结构在稳态载荷、瞬态载荷和简谐载荷的随意组合作用下随时间变化的载荷。 输出：随时间变化的位移、应力、应变等。 瞬态动力学的基本运动方程： [M]{u}+[C]{u}+[K]{u}={F(t)} 其中，[M] 为质量矩阵，[C]为阻尼矩阵，[K]为刚度矩阵，{u}为节点位移向量，{F(t)}载荷为时间的任意函数。 4.4谱分析基本原理 谱分析模态分析的扩展，是将模态分析的结果与一个已知的谱联系起来计算结构的位移和应力。 主要用于分析承受地震或其他随机载荷的建筑物及桥梁结构等。
2012-2013学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A) 专业 学号 姓名 一、（共30分，每小题6分）完成下列各题： （1）设4 R 空间中的向量????????????=23121α，????????????--=32232α，????????????=78013α，???? ?? ??????--=43234α， ????? ? ??????--=30475α Span V =1{}321,,ααα，Span V =2{}54,αα，分别求21V V +和21V V I 的 维数. 解：=A { }54321,,,,ααααα? ? ??? ? ??? ???--→000004100030110 202 01 21V V +和21V V I 的维数为 3和1 （2） 设() T i i 11-=α，() T i i 11-=β是酉空间中两向量，求 内积()βα, 及它们的长度（i = . （0， 2, 2）； （3）求矩阵?? ?? ? ?????----=137723521111A 的满秩分解.
解：?? ?? ? ?????----=137723521111A ??????? ? ??? ????? -- --→0000747510737201 ??????????----=137723521111A ??????????--=775211??????? ??? ??? ?? ? ----747 510737201* （4）设-λ矩阵???? ? ??++=2)1(000000 )1()(λλλλλA ，求)(λA 的标准形及其 行列式因子. 解：????? ??++=2)1(000000)1()(λλλλλA ()()??? ? ? ??++→2111λλλλ （5）设*A 是矩阵范数，给定一个非零向量α，定义 *H x x α=， 验证x 是向量范数. 二、（10分）设3R 中的线性变换T 在基321,,εεε下的矩阵表示为 ?? ?? ? ?????-=021110111A ， （1）（5分）求T 的值域)(T R 的维数及一组基； （2）（5分）求T 的核)(T N 的维数及一组基. 解：（1）由题意知 T [ε1,ε2,ε3]=[]?? ?? ? ?????-021110111,,321εεε
中国石油装备企业竞争力对标分析报告
目录 第一部分行业内企业对标情况 (1) 第一章行业内对标企业概况 (1) 第一节国民油井华高（Nationl Oilwell Varco） (1) 第二节卡麦隆公司（CAMERON） (7) 第三节红人公司（McJunkin Red Man Corporation） (12) 第二章行业内企业基本情况及产品技术对标 (13) 第一节行业内企业基本情况对标 (13) 第二节行业内企业业务产品对标 (16) 第三节行业内企业技术研发对标 (17) 第三章行业内企业财务数据对标 (19) 第一节盈利能力对标 (19) 第二节成长能力对标 (24) 第三节偿债能力对标 (27) 第四节行业内企业财务数据竞争力分析 (28) 第四章行业内企业发展模式对标 (29) 第一节2004-2009年NOV兼并分析 (29) 第二节2004-2009年间CAMERON的兼并分析 (32) 第三节MRC兼并情况 (34) 第四节并购经验分析 (34) 第五章行业内企业销售体系及销售管理对标 (37) 第一节行业内企业销售体系对标 (37) 第二节行业内企业销售管理对标 (43) 第六章行业内企业对标结论 (47) 第一节CPTDC 公司SWOT模型分析 (47) 第二节CPTDC 波士顿矩阵分析 (48) 第三节CPTDC 战略地位与行动评价矩阵 (49) 第四节战略钟模型 (51) 第二部分行业外企业对标情况 (54) 第一章行业外对标企业概况 (54) 第一节中粮集团简介 (54) 第二节中粮集团业务及产品构成 (56) 第三节企业经营情况分析 (58)
一、I F E矩阵 内部因素评价矩阵（Internal Factor Evaluation Matrix，IFE矩阵），是一种对内部因素进行分析的工具，其做法是从优势和劣势两个方面找出影响企业未来发展的关键因素，根据各个因素影响程度的大小确定权数，再按企业对各关键因素的有效反应程度对各关键因素进行评分，最后算出企业的总加权分数。通过IFE，企业就可以把自己所面临的优势与劣势汇总，来刻划出企业的全部引力。 IFE矩阵建立的步骤 IFE矩阵可以按如下五个步骤来建立： (1) 列出在内部分析过程中确定的关键因素。采用10~20个内部因素，包括优势和弱点两方面的。首先列出优势，然后列出弱点。要尽可能具体，要采用百分比、比率和比较数字。 (2) 给每个因素以权重，其数值范围由0.0（不重要）到1.0（非常重要）。权重标志着各因素对于企业在产业中成败的影响的相对大小。无论关键因素是内部优势还是弱点，对企业绩效有较大影响的因素就应当得到较高的权重。所有权重之和等于1.0。 (3) 为各因素进行评分。1分代表重要弱点；2分代表次要弱点；3分代表次要优势；4分代表重要优势。值得注意的是，优势的评分必须为4或3，弱点的评分必须为1或2。评分以公司为基准，而权重则以产业为基准。 (4) 用每个因素的权重乘以它的评分，即得到每个因素的加权分数。 (5) 将所有因素的加权分数相加，得到企业的总加权分数。 无论IFE矩阵包含多少因素，总加权分数的范围都是从最低的1.0到最高的4.0，平均分为2.5。总加权分数大大低于2.5的企业的内部状况处于弱势，而分数大大高于2.5的企业的内部状况则处于强势。IFE矩阵应包含10~20个关键因素，因素数不影响总加权分数的范围，因为权重总和永远等于1。 下表是对瑟克斯.瑟克斯公司（Civcus-civcus Enterprises）进行内部评价的例子。 瑟克斯.瑟克斯公司IFE矩阵
第4章 速度运动学——雅可比矩阵 在数学上，正运动学方程在笛卡尔位置和姿态空间与关节位置空间之间定义了一个函数，速度之间的关系由这个函数的雅可比矩阵来决定。 雅可比矩阵出现在机器人操作的几乎各个方面：规划和执行光滑轨迹，决定奇异位形，执行协调的拟人动作，推导运动的动力学方程，力和力矩在末端执行器和机械臂关节之间的转换。 1.角速度：固定转轴情形 k θ ω =（k 是沿旋转轴线方向的一个单位向量，θ 是角度θ对时间的倒数） 2.反对称矩阵 一个n n ?的矩阵S 被称为反对称矩阵，当且仅当0=+S S T ,我们用)3(so 表示所有 33?反对称矩阵组成的集合。 如果)3(so S ∈，反对称矩阵满足0=+ji ij s s 3,2,1,=j i ，所以ii S =0，S 仅包含三个独立项，并且每个33?的反对称矩阵具有下述形式： ???? ? ?????---=0001 2 13 23s s s s s s S 如果T z y x a a a a ),,(=是一个3维向量，我们将对应的反对称矩阵)(a S 定义为如下形式： ???? ????? ?---=000 )(x y x z y z a a a a a a a S 反对称矩阵的性质 1）)()()(b S a S b a S βαβα+=+ 向量a 、b 属于3 R ，α、β为标量
2）p a p a S ?=)( 向量a 、b 属于3R ，p a ?表示向量叉乘 3）)()(Ra S R a RS T =，左侧表示矩阵)(a S 的一个相似变换，这个公式表明：)(a S 在坐标系中经过R 旋转操作的矩阵表示与反对称矩阵)(a SR 相同，其中)(a SR 对应于向量a 被转过R 这种情形。 4）对于一个n n ?的反对称矩阵S ,以及任何一个向量n R X ∈，有0=SX X T 旋转矩阵的导数 )(θθ SR R d d = 公式表明：计算旋转矩阵的R 的导数，等同于乘以一个反对称矩阵S 的矩阵乘法操作。 3.角速度：一般情况 )())(()(t R t w S t R = ，其中，矩阵))((t w S 是反对称矩阵，向量)(t w 为t 时刻旋转坐标系相对于固定坐标系上的点p 。 4.角速度求和 假定我们有112010...-=n n n R R R R ，则00,00)(n n n R S R ω= ，其中 0,104 ,303 ,202,10 1,01,10134,30323,20212,10101,00,0......n n n n n n n R R R R ----+++++=+++++=ω ω ω ωωωωωωωω （0 2,1ω表示对应于1 2R 导数的角速度在坐标系0000z y x o 中的表达式） 5.移动坐标系上点的线速度 v r o Rp S o p R p +?=+=+=ωω 110)( 其中，1 Rp r =是从1 o 到p 的向量在坐标系0000z y x o 的姿态中的表达式，v 是原点1o 运
福特汽车公司战略----波士顿矩阵和通用矩阵分析报告 ---------- Boston Matrix与GE Matrix的异同 关键词：分析波士顿矩阵、通用矩阵、福特汽车公司 背景：分别用分析波士顿矩阵(Boston Matrix)与通用矩阵(GE Matrix)分析1988年福特公司的投资组合,采用波士顿矩阵的分析方法得出的结论是福特公司是瘦狗类经营单位，就是它会使人有这样的看法，就是认为福特的汽车业务经营单位应被抽资而转向清算；而用通用矩阵进行分析时得到如下结论：美国汽车行业的吸引力属于中下等水平，而福特汽车公司的竞争力是高的，这两种方法都是企业投资组合分析方法，但是分析得出的结论截然不同，这事由于这两种分析方法存在着差异，但是他们之间也有很多相同之处。这两个工具都很有价值。 一、福特公司背景： 福特汽车公司是世界第三大汽车工业公司。它是一个以生产汽车为主，业务范围涉及电子、航空、钢铁和军工等领域的综合性跨国垄断工业集团。它于1901年成立于美国的底特律，目前公司总部设在美国密执安州的迪尔伯恩市，拥有职工总数达37万人。旗下品牌:
在当时,1988年，福特公司收益达到历史最高水平（53亿美 元，即每股10.96美元），也是所有汽车公司中最高的。福特公司实施纵向一体化战略，集团中如福特玻璃公司生产了福特在北美的小汽车和卡车所用的全部玻璃，福特信贷公司在1988年为160万辆车提供资金并为分销商和大众消费者提供信贷,这对福特公司的发展有着相当大的帮。 二、波士顿矩阵(BCG Matrix) : BCG 矩阵是制定公司层战略最流行的方法之一。该方法是由波士顿咨询集团（Boston Consulting Group, BCG ）在上世纪福特公司旗下品牌 : 福特汽车公司 水星汽车公司 阿斯顿马丁汽车公司 林肯汽车公司 沃尔沃汽车公司 捷豹汽车公司 路虎汽车公司 马自达汽车公司 福特金融公司 赫兹汽车租赁公司